TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12

TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12; TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12; TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12; TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12; TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12; TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12; TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12; TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12; TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12

KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 MỤC LỤC PHẦN I GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN .2 VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: .2 II PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: .4 II PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: .6 II PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Bài 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ .8 I KIẾN THỨC CƠ BẢN: .8 Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: .9 Bài 6: SỰ TƯƠNG GIAO 11 Bài 7: ĐỒ THỊ CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI 13 CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT .14 Bài 1: LŨY THỪA .14 Bài 2: LOGARIT .15 Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 16 Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT 17 CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN .20 Chủ đề: ĐẠO HÀM 20 Bài 1: NGUYÊN HÀM 21 Bài 2: TÍCH PHÂN 23 Bài 3: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN .25 CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC 26 PHẦN II HÌNH HỌC 28 CHUYÊN ĐỀ 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP – 10 28 CHUYÊN ĐỀ 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 29 CHUYÊN ĐỀ 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 32 Chương I: KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 32 Chương II: KHỐI TRÒN XOAY 34 Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 36 KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12 PHẦN I GIẢI TÍCH CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x ) xác định K ○ Hàm số y  f ( x ) đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Trên khoảng K , đồ thị “đường lên” từ trái sang phải ○ Hàm số y  f ( x ) nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Trên khoảng K , đồ thị “đường xuống” từ trái sang phải Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm khoảng K ○ Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '( x ) 0, x  K ○ Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '( x ) 0, x  K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm khoảng K ○ Nếu f '( x )  0, x  K hàm số đồng biến khoảng K ○ Nếu f '( x )  0, x  K hàm số nghịch biến khoảng K ○ Nếu f '( x ) 0, x  K hàm số không đổi khoảng K Hàm số bậc 3: y ax  bx  cx  d (với a 0 ) ○ TXĐ: D  ○ y ' 3ax  2bx  c a  ► Hàm số đồng biến tập xác định y ' 0, x  D     0 a  ► Hàm số nghịch biến tập xác định y ' 0, x  D     0 ax  b d (với x  ) cx  d c  d  a.d  b.c ○ TXĐ: D  \   ○ y'  (cx  d )2  c  ► Hàm số đồng biến tập xác định y '  0, x  D  a.d  b.c  ► Hàm số nghịch biến tập xác định y '  0, x  D  a.d  b.c  Hàm số biến: y  KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 II PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP: Xét tính đơn điệu hàm số y  f ( x ) tập xác định: Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số Bước 2: Tính y ' Cho y ' 0 giải phương trình tìm nghiệm (nếu có) Bước 3: Lập bảng biến thiên (xét dấu y ' ) Kết luận:  Khoảng y ' mang dấu “–”thì hàm số nghịch biến  Khoảng y ' mang dấu “+”thì hàm số đồng biến Tìm m để hàm số đồng biến – nghịch biến tập xác định: Cho hàm số y  f ( x, m) TXĐ: D ? Tính y '  f '( x , m) a  ► Hàm số y  f ( x, m) đồng biến D y ' 0, x  D   , giải điều kiện tìm m   0 a  ► Hàm số y  f ( x, m) nghịch biến D y ' 0, x  D   , giải điều kiện tìm m    y  f ( x ) Tìm điều kiện tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng (a; b) cho trước: Cho hàm số y  f ( x, m) có tập xác định D khoảng (a; b)  D ► Hàm số nghịch biến (a; b)  y ' 0, x  (a; b) ► Hàm số đồng biến (a; b)  y ' 0, x  (a; b) ☺ Lưu ý: Có thể sử dụng phương pháp Max, Min (Cô lập tham số m ) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu (a; b) : Hàm số đồng biến (a; b)  f '( x , m) 0, x  (a; b) Hàm số nghịch biến (a; b)  f '( x , m) 0, x  (a; b)  m g( x ) Tách m khỏi biến đặt   m g( x ) Khảo sát tính đơn điệu hàm số g( x ) (a; b)  m g( x )  m max g( x )  a; b    tìm m Từ bảng biến thiên, kết luận:  m g( x )  m min g( x )  a; b   Tìm m để hàm số y ax  bx  cx  d (với a 0 ) có độ dài khoảng đồng biến (hoặc nghịch biến) ( x1 , x2 ) d: Tính y '  a 0 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến:     Biến đổi x1  x2 d thành ( x1  x2 )2  x1 x2 d (2) Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm  kết ☺ Nhắc lại số kiến thức liên quan: Cho tam thức g( x ) ax  bx  c, (a 0) (1) KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 a  a) g( x ) 0, x      0 a  c) g( x ) 0, x      0 a  b) g( x )  0, x       a  d) g( x )  0, x       Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Giả sử hàm số y  f ( x ) đạt cực trị điểm x0 Khi f ( x ) có đạo hàm x0 f '( x0 ) 0 Định lý 2: (điều kiện đủ thứ để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; x0 ) ( x0 ; b) f '( x )  0, x0  (a; x0 )   f '( x )  0, x0  ( x0 ; b)  hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 Khi đó: a) f '( x ) đổi dấu từ “trừ” sang “cộng” qua x0 f '( x )  0, x0  (a; x0 ) b)  f '( x )  0, x0  ( x0 ; b)   hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 f '( x ) đổi dấu từ “cộng” sang “trừ” qua x0 Định lý 3: (điều kiện đủ thứ hai để hàm số có cực trị) Quy tắc Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm (a; b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) 0 f ( x ) có đạo hàm cấp hai khác khơng điểm x0 Khi đó: a) f "( x0 )   hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 b) f "( x0 )   hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 II PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Dạng 1: Định giá trị tham số m để hàm số y  f ( x ) có cực trị khơng có cực trị a) Hàm số bậc ba: y  f ( x ) ax  bx  cx  d , (a 0) a 0 Hàm số có hai cực trị  y ' 0 có hai nghiệm phân biệt     a 0 Hàm số khơng có cực trị  y ' 0 vơ nghiệm có nghiệm kép    0 b) Hàm số trùng phương: y  f ( x ) ax  bx  c, (a 0) Hàm số có cực trị  y ' 0 có nghiệm phân biệt a.b  KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 Hàm số có cực trị  y ' 0 có nghiệm  a.b 0  x 0 ☺ Chú ý: Ta có: y ' 4ax  2bx 0    2ax  b 0 Hàm số có cực trị  2ax  b 0 có hai nghiệm phân biệt khác Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị (đạt cực đại, cực tiểu) điểm x0  f '( x0 ) 0  f "( x0 ) 0 a) Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị x0    f '( x0 ) 0  f "( x0 )  b) Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại x0    f '( x0 ) 0  f "( x0 )  c) Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu x0   Dạng 3: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước TXĐ: D  ? Tính y '  ? Lập luận: - Đây dạng tập nâng cao ta thường gặp đề thi Để làm dạng toán này, trước tiên ta cần nắm phương pháp giải dạng toán nêu bên trên, đồng thời phải kết hợp với số kiến thức khác đại số, hình học, … Dạng 4: Định m để hàm trùng phương dạng: y ax  bx  c, (a 0) có cực trị tạo thành tam giác vng Với a.b  hàm số có ba điểm cực trị Do điểm A(0; c) nằm Oy cách hai điểm B, C Nên ABC vuông A Điều tương với AB  AC (do AB  AC có sẵn rồi)     b b2   b b  AB   ;  ; AC  ;     Mặt khác ta có:    2a 4a  a a      b b b3     Do AB  AC nên AB AC 0  2a 16a a Dạng 5: Định m để hàm trùng phương dạng: y ax  bx  c, (a 0) có cực trị tạo thành tam giác Với a.b  hàm số có ba điểm cực trị Do AB  AC , nên ta cần tìm điều kiện để AB BC b4  16a2 b b4   Do vây: AB  AC   2a 16a2 Mặt khác ta có: AB  AC  b b ; BC 2  2a 2a 2b b3   24  a a b3  24 a Dạng 6: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị a) Hàm số bậc ba: y  f ( x ) ax  bx  cx  d , (a 0) Hàm số có điểm cực đại A( x A ; y A ) cực tiểu B( x B ; yB ) phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A, B là: x  xA y  yA  xB  x A yB  y A Dạng 7: Khoảng cách hai điểm cực trị: KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12 Hàm số có điểm cực đại A( x A ; y A ) cực tiểu B( x B ; yB ) khoảng cách hai điểm cực trị A, B là: AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2 Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Cho hàm số y  f ( x ) xác định D ○ Số M gọi giá trị lớn hàm số y  f ( x ) D  f ( x ) M , x  D y M , ta kí hiệu max D x0  D : f ( x ) M  ○ Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y  f ( x ) D  f ( x ) m, x  D y m , ta kí hiệu D x0  D : f ( x ) m  y m ► Chú ý: Nếu f ( x ) m chưa thể suy D II PHƯƠNG PHÁP – CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Dạng 1: (quy tắc 1) Tìm GTLN – GTNN hàm số khoảng Cho hàm số y  f ( x ) TXĐ: Tính y ' Cho y ' 0  tìm nghiệm Bảng biến thiên: Kết luận: - GTLN = yCÑ - GTNN = yCT Dạng 2: (quy tắc 2) Tìm GTLN – GTNN đoạn  a; b  Cho hàm số y  f ( x ) Hàm số xác định đoạn  a; b  Tính y ' Cho y ' 0  tìm nghiệm x1 , x2 ,   a; b  Tính f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),  số lớn Kết luận: GTLN  a; b  GTNN  số nhỏ  a ;b  ► Chú ý: Nếu tìm GTLN – GTNN hàm số y  f ( x ) mà khơng rõ GTLN – GTNN tập ta hiểu tập xác định hàm số y  f ( x ) Dạng Tìm GTLN – GTNN hàm số phương pháp gián tiếp Cho hàm số y  f (sin ax,cos ax ) Biến đổi hàm số dạng: y F ( ( x )) Đặt: t  ( x ) , ta có: KIẾN THỨC CƠ BẢN TỐN 12 - Điều kiện ẩn t Dt - Đưa hàm số y F (t ) Tìm GTLN – GTNN hàm số y F (t ) Dt Dạng Tìm điều kiện (tham số m ) để hàm số y  f ( x, m) có GTLN – GTNN đoạn  a; b  số cho trước M ► Cách 1: Hàm số xác định liên tục  a; b  Tính đạo hàm f '( x, m) Giải PT f '( x, m) 0 tìm nghiệm x1 , x2 , , xi   a; b  Tính giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xi ) f (a), f (b) Lần lượt giải PT: f ( x1 ) M , f ( x2 ) M , , f ( xi ) M f (a) M , f (b) M  tìm nghiệm m ? Thay m ? vào hàm số kiểm tra trực tiếp xem giá trị m ? có thỏa toán (nhận loại) ► Cách 2: Sử dụng định nghĩa Bài 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 Cho hàm số y  f ( x ) Nếu thỏa điều kiện sau: Tiệm cận đứng:  lim  x  x0  lim  x  x0  lim  x  x0   xlim   x0 f ( x )  f ( x )   x x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số f ( x )  f ( x )   Tiệm cận ngang: lim f ( x ) y0 ; lim f ( x ) y0 y y gọi đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số x   x   Hàm số biến: y  ax  b (c 0, ad  bc 0) cx  d  d   c D  \  lim  y  ?   d x   c a c ; lim  y ?   d x   c lim y  ; lim y  x   x    TCĐ: x  d c a a  TCN: y  c c ☺ Chú Ý: Cho hàm số dạng: y  P( x ) hàm số phân thức hữu tỷ Q( x ) - Xác định tiệm cận đứng: Cho Q( x ) 0 tìm nghiệm x0 Ta lấy x0 vào P( x ) ta được: Nếu P( x0 ) 0 đồ thị có tiệm cận đứng x x0 Nếu bậc ( P( x ) Q( x ) ) đồ thị có tiệm cận ngang Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Sơ đồ khảo sát hàm số: KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 Hàm đa thức: y ax  bx  cx  d (a 0) Hàm phân thức: y  y ax  bx  c (a 0) TXĐ: D  y ?  ; lim y ?  Tính: xlim   x   ax  b (c 0, ad  bc 0) cx  d  d   c TXĐ: D  \  Tiệm cận: Tính: y ' Cho y ' 0 tìm nghiệm (nếu có) y ' lim y  ?  lim y ?  Lập BBT (xét dấu ) x    d  ; x    d  KL khoảng đồng biến, nghịch biến, CĐ –  c  c CT d  TCĐ: x  Đồ thị:   c (C )  Ox : x 0  y  ? (C )  Oy : y 0  x ? a c a a  TCN: y  x   x   c c ad  bc Tính y '  (kết luận y '  0, x  D (cx  d )2 y '  0, x  D ) lim y  ; lim y  Hoặc: lập bảng giá trị (cho giá trị) Vẽ đồ thị * Cách tìm điểm uốn đồ thị h.số bậc 3: y ax  bx  cx  d (a 0) Giải pt: y " 0 tìm nghiệm x ?  y ?  điểm uốn I ( x; y ) Lập BBT (xét dấu) KL khoảng đồng biến – nghịch biến khơng có cực trị Đồ thị: (C )  Ox : y 0  x ? (C )  Oy : x 0  y ? * Chú ý: có cực đại, cực tiểu  x  xCT yCÑ  yCT  I  CÑ ;  2   Hàm số bậc 3: y ax  bx  cx  d (a 0) Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Đồ thị có dạng: - Có cực trị y ' 0 có nghiệm phân biệt - Khơng có cực trị y ' 0 có nghiệm kép vơ nghiệm Hàm số trùng phương: y ax  bx  c (a 0) Đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng Đồ thị có dạng: - Có cực trị y ' 0 có nghiệm phân biệt - Có cực trị y ' 0 có nghiệm KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 12 ax  b (c 0; ad  bc 0) cx  d  d a Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận I   ;  làm tâm đối xứng  c c Hàm số biến: y  Đồ thị cực trị y y 0 x ad – bc > ad – bc < Bài 6: SỰ TƯƠNG GIAO I Các toán tiếp tuyến hàm số y  f ( x ) : Tiếp tuyến hàm số y  f ( x ) điểm M0 ( x0 ; y0 ) : Dạng: y  f '( x0 ).( x  x )  y0 (1)  x0 ?  Ta phải tìm đủ yếu tố:  y0 ?  f '( x )  ?  x sau vào PTTT (1) Biết tọa độ tiếp điểm ( x0 ; y0 ) : Ta có: x0 y0 Tìm f '( x )  f '( x0 ) 10