Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một lượng kiến thức lớn và thời gian học của chương trình. Vì vậy việc sử dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số là điều cần thiết và bổ ích cho học sinh lớp 12. Theo tôi các em không có gì phải hoang mang cả bởi vì “nếu có sự chuẩn bị tốt thì sẽ thi tốt”, nhà thơ Khuyết Danh có câu nói “Lúc thấy việc không học hỏi. Khi thi thố mới hối hận”. Điều cần làm bây giờ là các em học thật chắc kiến thức (chú ý các em cần đọc kĩ và suy nghĩ các khái niệm, định nghĩa trong sách giáo khoa để giải quyết được các câu trắc nghiệm về lí thuyết) và ôn luyện như bình thường đồng thời giữ vững sự chăm chỉ, cần cù, ý chí quyết tâm. Từ những lý do trên, để giúp học sinh có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán về hàm số bản thân tôi nghiên cứu và chia sẽ đến quý bạn đồng nghiệp đề tài “Một số kinh nghiệm khi giải toán chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lớp 12”
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH LONG TRƯỜNG THCS – THPT TRƯNG VƯƠNG Tổ Toán SánG kiến kinh nghiệm Đề tµi : “Một Số Kinh Nghiệm Khi Giải Tốn Chương Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Lớp 12” Người thực hiện: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương Đề tài: “Một Số Kinh Nghiệm Khi Giải Toán Chương Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Lớp 12” I PHẦN MỞ ĐẦU: Lý chọn đề tài: - Trong nội dung chương trình mơn Tốn lớp 12 THPT, đạo hàm ứng dụng đạo hàm có vai trị quan trọng chiếm lượng kiến thức lớn thời gian học chương trình Vì việc sử dụng đạo hàm để giải toán hàm số điều cần thiết bổ ích cho học sinh lớp 12 Theo em phải hoang mang “nếu có chuẩn bị tốt thi tốt”, nhà thơ Khuyết Danh có câu nói “Lúc thấy việc khơng học hỏi Khi thi thố hối hận” Điều cần làm em học thật kiến thức (chú ý em cần đọc kĩ suy nghĩ khái niệm, định nghĩa sách giáo khoa để giải câu trắc nghiệm lí thuyết) ơn luyện bình thường đồng thời giữ vững chăm chỉ, cần cù, ý chí tâm - Từ lý trên, để giúp học sinh có kỹ ứng dụng đạo hàm để giải tốn hàm số thân tơi nghiên cứu chia đến quý bạn đồng nghiệp đề tài “Một số kinh nghiệm giải toán chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số lớp 12” - Trường THCS-THPT TRƯNG VƯƠNG trường có tỉ lệ đầu vào thấp, ý thức học tập em cịn mang tính thụ động chưa chủ động tự giác tiếp thu kiến thức, học sinh trung bình yếu phát triển nhận thức chưa phù hợp với u cầu địi hỏi mơn Học sinh hỏng kiến thức từ lớp lớn Đặc biệt lượng kiến thức đạo hàm, hàm số mơ hồ đối tượng học sinh - Chất lượng kiểm tra chương GT12 năm học 2017 – 2018 (năm học trước): Lớp Sĩ số Yếu Tb K G 12/5 32 15,63% 17 53,13% 21,88% 9,38% Mục tiêu nghiên cứu: - Nhiều học sinh bở ngỡ Bộ GD&ĐT chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Học sinh lúng túng q trình phân tích đề để tìm vấn đề vận dụng kiến thức để giải vấn đề, giải tốn Từ học sinh dẫn đến thiếu phương pháp học tập phù hợp, giáo viên chưa mạnh dạn thay đổi phương pháp trực quan hơn, hợp lý cho hình thức thi, cho đối tượng học sinh Từ đòi hỏi yêu cầu thực tiễn: đổi phương pháp dạy học theo hướng phát triển lực học tập học sinh, theo hình thức thi trắc nghiệm phù hợp Thực phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học điều quan trọng Nhiệm vụ nghiên cứu: - Trước thay đổi, hay nói cách khác cách thi mới, điều tất yếu bạn buộc phải tập làm quen với Khơng tài giỏi để thích ứng với mới, điều cần thời gian để tích lũy kinh nghiệm, thi vậy, thiết nghĩ từ bạn nên giải nhiều dạng đề thi trắc nghiệm hơn, tập làm quen với câu hỏi trắc nghiệm Bạn tìm lỗi mà thường gặp phải để từ tìm phương pháp giải tối ưu cho trắc nghiệm - Để thực đổi phương pháp giảng dạy Tốn giúp cho học sinh nhìn thấy lôi hấp dẫn học phần hàm số Qua đó, thực nghiên cứu giúp nhiều cho thân nắm vững kiến thức q trình giảng dạy, ơn tập TN THPT Quốc Gia để trao đổi, chia học tập kinh nghiệm từ đồng nghiệp với Giáo viên: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương Các phương pháp nghiên cứu: - Phân tích: tình hình học sinh, việc nắm vững kiến thức học sinh từ khó khăn thắc mắc học phần đạo hàm, hàm số - Tổng hợp: sử dụng công cụ mô hình tự tạo kết hợp với phương pháp giảng dạy từ giáo viên, thực tế diễn lớp học qua đối tượng học sinh trung bình yếu ý kiến đóng góp đồng nghiệp - Thực nghiệm: giúp cho việc giảng dạy toán phương pháp hệ thống kiến thức nhẹ nhàng từ nhiều đối tượng cần phải thử nghiệm phương pháp dạy qua lớp khác để rút kinh nghiệm cải tiến phù hợp cho lớp sau II PHẦN NỘI DUNG: Hàm số quy tắc thể mối quan hệ phụ thuộc hai đại lượng x y , y phụ thuộc vào x theo quy tắc có tên f , kí hiệu: y = f ( x) Như vậy, x thay đổi y thay đổi theo Do đó, câu hỏi đặt hàm số xảy sau: ◦ Khi x tăng y tăng hay giảm, khoảng tương ứng nào? ◦ Khi x thay đổi TẬP XÁC ĐỊNH giá trị y đạt lớn nhất, nhỏ bao nhiêu? ◦ Đồ thị hàm số y = f ( x) có hình dạng nào? Trong chương học sinh cần nắm tính chất hàm số ta thường gặp giải toán Sự biến thiên hàm số: 1.1 Điều kiện đồng biến, nghịch biến: Trước hết, học sinh cần nắm vững điều kiện hàm số đồng biến, nghịch biến định lý sau: Điều kiện biến thiên Cho hàm số y = f ( x) liên tục (a; b) có: f '( x) 0, x (a; b) đồng biến (a; b) f '( x) 0, x (a; b) nghịch biến (a; b) f '( x) = 0, x (a; b) y = c (hàm hằng) (a; b) Điều ngược lại không bởi: Nếu f '( x) (hoặc f '( x) ), x (a; b) (không đổi dấu (a; b) ) f ( x) không hàm (a; b) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) (a; b) Trường hợp hàm ( y = c ) hàm số không đồng biến không nghịch biến miền xác định Về đặc điểm đồ thị, hàm số y = f ( x) đồng biến (a; b) đồ thị có hình dáng lên tính từ trái qua phải Hàm số nghịch biến (a; b) đồ thị có hình dáng xuống tính từ trái qua phải Ví dụ, với hàm số có đồ thị hình bên, ta thấy hàm số nghịch biến khoảng (−;0) (2; +) Hàm số đồng biến (0; 2) Giáo viên: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương Bảng biến thiên công cụ trực quan để quan sát khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Chẳng hạn, hàm số y = − x + x − có bảng biến thiên sau: x - -∞ + y' - 0 y +∞ + - -3 -∞ -∞ Hàm số hàm số đồng biến khoảng (−; − 2) (0; 2) , nghịch biến (− 2;0) ( 2; +) Như vậy, ta xét dấu đạo hàm hàm số thơng tin hàm số hiểu rõ ràng Có thể nói, đạo hàm trái tim hàm số Do vậy, học sinh cần nắm vững quy tắc xét dấu hàm số (biểu thức biến) bất kỳ, làm chủ hàm số Quy tắc xét dấu f '( x) Hàm số y = f ( x) có đạo hàm f '( x) tập xác định D ( f '( x) khơng xác định D ) Ta xét dấu f '( x) theo bước sau: ◦ Tìm giá trị x D cho f '( x) = f '( x) không xác định (mẫu f '( x) = ) ◦ Lập bảng xét dấu f '( x) (cũng suy bảng biến thiên) cách kiểm tra dấu f '( x) khoảng định Có dạng: x x1 -∞ x2 - + y' +∞ y x3 + +∞ -∞ +∞ - f(x3) f(x2) -∞ Ta kiểm tra dấu cách thay khoảng giá trị đại diện vào f '( x) theo quy tắc: đổi dấu qua nghiệm bội lẻ không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn Sau số ví dụ minh học Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = x3 − 3x + Hướng dẫn giải x = Ta có: f '( x) = 3x − x Cho f '( x) = x = Như vậy, f '( x) có hai nghiệm phân biệt Rất dễ dàng để có bảng biến thiên Tập xác định: D = x -∞ + y' - y -∞ +∞ + +∞ -2 Vậy hàm số đồng biến khoảng (−;0) (2; +) , nghịch biến (0; 2) Lưu ý: Sử dụng cách sau để xét dấu f '( x) : ◦ Thay x = vào f '( x) ta thấy khoảng (2; +) dương Từ khoảng cịn lại đổi dấu liên tục tính chất nghiệm đơn ◦ Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai “trong trái – cùng” Giáo viên: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương ◦ Sử dụng máy tính cầm tay thử khoảng giá trị đại diện vào f '( x) để xác định dấu tồn khoảng tương ứng Ví dụ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y = 2x −1 x −1 Hướng dẫn giải \ 1 Ta có: f '( x) = Tập xác định: D = −1 ( x − 1)2 Vậy f '( x) 0, x nên hàm số nghịch biến khoảng xác định (nghĩa hai khoảng (−;1) (1; +) ) Bảng biến thiên hàm số minh họa hình sau Ví dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = x − x − Hướng dẫn giải x = Ta có: f '( x) = x3 − x = x( x − 1) Cho f '( x) = x = 1 Giới hạn: lim f ( x) = + (có thể sử dụng máy tính cầm tay kiểm tra cho nhanh chóng) Tập xác định: D = x → Từ đây, áp dụng quy tắc xét dấu dễ dàng có bảng biến thiên: x -∞ y -1 - y' + +∞ - +∞ + -3 +∞ -4 -4 Lưu ý: Các giới hạn vơ cực hàm số tính bình thường (hoặc sử dụng máy tính cầm tay kiểm tra cho nhanh chóng) Ví dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = x2 − x Hướng dẫn giải Tập xác định: D = Ta có: f '( x) = 3 x − Ta tìm x nghiệm f '( x) làm f '( x) không xác định Ta có: f '( x) = x = f '( x) không xác định x = 27 Ta lập bảng biến thiên: x -∞ - y' +∞ 27 + - +∞ y 27 -∞ Lưu ý: dù f '( x) không xác định x = f ( x) xác định x = Trường hợp này, f '( x) đổi dấu qua x = x đổi dấu qua x = Các giới hạn vô cực sử dụng máy tính cầm tay kiểm tra cho nhanh chóng Giáo viên: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = x − x − Hướng dẫn giải Tập xác định: D = ( −; −13; + ) Ta có: f '( x) = x −1 x2 − x − Cho f '( x) = x = 1 D Vậy khoảng xác định, f '( x) khơng đổi dấu Do đó, khoảng xác định ta thay giá trị đại diện vào f '( x) xác định dấu Từ ta có bảng biến thiên: x -1 -∞ +∞ - y' +∞ +∞ y 0 Ví dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = x3 − 3x + 3x − Hướng dẫn giải Tập xác định: D = Ta có: f '( x) = 3x − x + = 3( x − 1)2 Cho f '( x) = x = Do x = nghiệm bội (nghiệm kép) nên f '( x) không đổi dấu Mà hệ số bậc hai f '( x) > nên f '( x) 0, x Vậy hàm số đồng biến Bảng biến thiên: x -∞ + y' +∞ + +∞ y -1 -∞ 1.2 Điều kiện tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng: Để làm tốt tốn tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng định sẵn, học sinh cần nhớ lại số định lý quan trọng học lớp 10: Định lý dấu tam thức bậc hai Định lý dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai: Hệ quả: P( x) = ax + bx + c, a Với : a.P( x) , x Với : a.P( x) x (−; x1 ) ( x2 ; +) P( x) 0, x P( x) 0, x a.P( x) x ( x1 ; x2 ) a a Lưu ý: Đối với hàm f ( x) liên tục (a; b) có f '( x) khơng đồng ( f '( x) đồng (a; b) f '( x) = , x (a; b) ) thì: ◦ f ( x) đồng biến (a; b) f '( x) 0, x (a; b) ◦ f ( x) nghịch biến (a; b) f '( x) 0, x (a; b) Nếu f ( x) liên tục a; b hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) hay đoạn a; b tương đương Khi đó, toán hỏi điều kiện biến thiên khoảng hay đoạn không cần phân biệt Giáo viên: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương Bây giờ, ta giải số dạng toán thường gặp Hàm bậc ba: y = ax3 + bx + cx + d , (a 0) Dạng 1: Hàm bậc đồng biến (nghịch biến) Ta có: f '( x) = Ax + Bx + C , A Hàm số đồng biến A f ' Hàm số nghịch biến Ví dụ Tìm m để hàm số sau đồng biến : y = mx3 − mx + (m + 2) x − Hướng dẫn giải Với m = , y = x − nên y ' = 0, x Vậy hàm số đồng biến Với m , y ' = 3mx − 2mx + (m + 2) Hàm số đồng biến A f ' m m − 3m(m + 2) m ( −; −3 0; + ) m Kết hợp trường hợp được: m Lưu ý: Trường hợp hàm số chứa tham số hệ số a , ta phải xét riêng a = ví khơng sử dụng định lý dấu tam thức bậc Một tốn chia làm nhiều trường hợp sau phải lấy hợp tập kết lại Dạng 2: Hàm bậc đồng biến (nghịch biến) (a; b) Ta có y ' = 3ax + 2bx + c = Ax + Bx + C Nếu lập tham số khơng cần xét trường hợp A = , dùng định lý dấu tam thức bậc phải xét riêng A = A chứa tham số Cô lập tham số m y ' : Không cô lập tham số m y ' Hàm số đồng biến (a; b) Gọi S tập nghiệm A f '( x) y ' 0, x a; b cô lập tham soá m ⎯⎯⎯⎯⎯ → g ( x) m, x a; b S= S = ( −; x1 x2 ; + ) m g ( x) Khi điều kiện: Hàm số nghịch biến (a; b) A f '( x) 0, x a; b a; b S a;b y ' 0, x a; b ⎯⎯⎯⎯⎯ → g ( x) m, x a; b cô lập tham số m A f '( x) 0, x a; b a; b x1 ; x2 m max g ( x) a;b Lưu ý: Đối với hàm bậc 3, hàm số đơn điệu (a; b) hay a; b tương đương Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 − x + (m − 2) x + m3 + nghịch biến (0; 2) Hướng dẫn giải Hàm số nghịch biến (0; 2) f '( x) = 3x − x + m − 0, x 0; 2 Cô lập tham số m , điều kiện tương đương với m −3x + x + 2, x 0; 2 m min(−3x + x + 2) m −6 0;2 Giáo viên: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 − mx + (m + 1) x − đồng biến (−;0) Hướng dẫn giải Ta có: y ' = 3x − 2mx + (m + 1) Hàm số đồng biến (−;0) đồng biến ( −;0 3x − 2mx + (m + 1) 0, x ( −;0 3x + m(2 x − 1), x ( −;0 Do x nên x − 3x + 3x + , x ( −;0 m max ( −;0 x − 2x −1 2 6x − 6x − 3x + Xét g ( x) = (−;0) Có g '( x) = ; g '( x) = (2 x − 1)2 2x −1 Vậy 3x + m(2 x − 1) m x= + 21 − 21 0; x = 0 6 x 3- 21 -∞ +∞ + g' - 3- 21 g -∞ -∞ Từ bảng biến thiên: m − 21 Ta tìm giá trị lớn (GTLN) hàm g ( x) ( −;0 cách dùng chức TABLE máy tính Casio fx – 570 Trường hợp không lập luận tham số y ' ta phải sử dụng đến định lý dấu tam thức bậc Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + (3m2 + 6m) x + nghịch biến (2;3) Hướng dẫn giải 2 Ta có: y ' = 3x − 6(m + 1) x + 3m + 6m Hàm số nghịch biến (2;3) y ' 0, x 2;3 x − 2(m + 1) x + m(m + 2) 0, x 2;3 Nhẩm theo Viet tính Delta ta giải được: x − 2(m + 1) x + m(m + 2) m x m+2 Vậy hàm số nghịch biến 2;3 m m + m Dạng 3: Hàm bậc đồng biến (nghịch biến) khoảng có độ dài Nếu b2 − 3ac hàm số đồng biến (nghịch biến) nên không thỏa mãn đề b − 3ac Vậy yêu cầu toán x1 − x2 = l y' 3a = l b2 − 3ac = 9a 2l Lưu ý: Nếu tốn hỏi nghịch biến phải có a đồng biến a Giáo viên: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 − mx + (2m − 1) x − m + nghịch biến khoảng có độ dài Hướng dẫn giải m= Áp dụng cơng thức, ta có: m2 − 2m + = m = − Hàm biến: y = ax + b , ad − bc cx + d Hai dạng toán hàm biến Hàm số y = ad − bc ax + b với c , ad − bc có y ' = TXĐ: D = (cx + d )2 cx + d d \ − c Dạng 1: Điều kiện hàm số đồng biến, Dạng 2: Điều kiện hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng xác định: nghịch biến ( ; ) : Đồng biến: ad − bc ad − bc Đồng biến: d Nghịch biến: ad − bc − ( ; ) Lưu ý: Nếu ad − bc = f ( x) = const nên không thỏa mãn yêu cầu toán c ad − bc Nghịch biến: d − c ( ; ) Các ví dụ sau minh họa cho trường hợp Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx + nghịch biến khoảng xác định x+m Hướng dẫn giải Tập xác định: D = \ −m Có y ' = m2 − ( x + m)2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định m2 − −1 m Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx + nghịch biến (0; +) x+m Hướng dẫn giải Tập xác định: D = \ −m Có y ' = m2 − ( x + m)2 −1 m −m − m (0; +) m − Hàm số nghịch biến (0; +) m 1 Giáo viên: Nguyễn Huỳnh Trường THCS-THPT Trưng Vương Một số hàm số khác: ◦ Đối với hàm số khác, chắn cô lập tham số m y ' (bởi không, chắn nội dung kiến thức rơi ngồi chương trình) Do đó, khó khăn dạng chủ yếu nằm khâu tính đạo hàm hàm số khảo sát sau cô lập tham số ◦ Trong trường hợp sau cô lập m có dạng m g ( x) (hoặc m g ( x) ) với x (a; b) mà ta không chuyển đoạn a; b (tức g ( x) không xác định a b ), toán trở thành tìm điều kiện để đường y = m nằm bên nằm bên (có thể chạm) đồ thị hàm g ( x) (a; b) Khi đó, ta cần lập bảng biến thiên tính lim g ( x) lim g ( x) cho kết luận xác x →b − x →a + Ví dụ Tìm m để hàm số y = ln( x + 1) − mx + đồng biến Hướng dẫn giải Tập xác định: D = Có y ' = Hàm số đồng biến 2x −m x +1 y ' 0, x m 2x , x x +1 2x 2x điều kiện m , m g ( x) m −1 x +1 x +1 Để tìm giá trị nhỏ hàm số y = g ( x) có nhiều cách: Đặt g ( x) = ◦ Lập bảng biến thiên ◦ Dùng chức TABLE máy tính cầm tay ◦ Dùng bất đẳng thức Ví dụ − Tìm m để hàm số y = sin x − cos x + mx + nghịch biến ; 4 Hướng dẫn giải − Hàm số xác định nên xác định ; 4 Có y ' = cos x + sin x + m − − Hàm số nghịch biến ; cos x + sin x −m, x ; 4 4 −m max (sin x + cos x) − ;4 Ta biết g ( x) = a sin x + b cos x có GTLN Vậy max (sin x + cos x) = nên m a + b2 = − ;4 Lưu ý: ví dụ này, hàm số liên tục khoảng hay đoạn tương đương Giáo viên: Nguyễn Huỳnh nên điều kiện đồng biến Trường THCS-THPT Trưng Vương Cực trị hàm số: 2.1 Định nghĩa cách tìm cực trị hàm số: Định nghĩa: Cực trị hàm số ◦ Hàm số y = f ( x) gọi đạt cực đại x0 D tồn số h cho khoảng (h − x0 ; h + x0 ) D f ( x0 ) f ( x) , x (h − x0 ; h + x0 ) \ x0 Có nghĩa f ( x0 ) giá trị lớn so với “lân cận hai bên” x0 , x0 gọi điểm cực đại hàm số f ( x) , f ( x0 ) giá trị cực đại, điểm A( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số ◦ Hàm số y = f ( x) gọi đạt cực tiểu x0 D tồn số h cho khoảng (h − x0 ; h + x0 ) D f ( x0 ) f ( x) , x (h − x0 ; h + x0 ) \ x0 , x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f ( x) , f ( x0 ) giá trị cực tiểu, , điểm A( x0 ; f ( x0 )) gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số Về mặt trực quan, ta hình dung định nghĩa cực đại, cực tiểu hàm số thông qua điều kiện đủ sau: ◦ Hàm số y = f ( x) có x0 D f '( x) đổi dấu từ dương sang âm qua x0 theo chiều từ trái sang phải hàm số đạt cực đại x0 ◦ Hàm số y = f ( x) có x0 D f '( x) đổi dấu từ âm sang dương qua x0 theo chiều từ trái sang phải hàm số đạt cực tiểu x0 Có thể hình dung cực đại, cực tiểu hàm số qua bảng biến thiên sau (chú ý x0 , đạo hàm hàm số khơng xác định): x0 x y' + yCĐ y x0 x y' + - y yCT Điều ngược lại nhìn chung khơng Nghĩa có hàm số đạt cực đại khơng tồn số h để f '( x) 0, x ( x0 − h; x0 ) f '( x) 0, x ( x0 ; x0 + h) Tương tự cực tiểu Chú ý: cực đại cực tiểu hàm số gọi chung cực trị Tại x0 , đạo hàm hàm số không xác định Từ định nghĩa ta thấy lập bảng biến thiên hàm số (mà chất xét dấu đạo hàm), cực dại cực tiểu hàm số x0 Ví dụ Hàm số y = f ( x) có f '( x) = x( x − 1)2 ( x + 1)3 có điểm cực trị? Hướng dẫn giải x = f '( x) = đổi dấu qua nghiệm x = 0; x = −1 mà không đổi dấu x = 1 qua x = Do hàm số có hai cực điểm cực trị Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 10 Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Hàm số y = 33 x − x có điểm cực trị? Hướng dẫn giải Tập xác định: D = 1− x − = Tìm x để y ' = x = 3 x x Tìm x để y ' không xác định, x = Bảng biến thiên f ( x) : Có y ' = x -∞ - y' + +∞ - +∞ y -∞ Vậy hàm số đạt cực tiểu x = cực đại x = Lưu ý: ví dụ điển hình mà y ' có nghiệm hàm số có điểm cực trị Nhiều học sinh bị sai lầm giải nghiệm đạo hàm mà khơng tìm điểm khơng xác định đạo hàm Trường hợp khó để lập bảng biến thiên hàm số (như hàm lượng giác), có cách sử dụng quy tắc điều kiện đủ cực trị Định lý: Điều kiện đủ cực trị Cho hàm số y = f ( x) có x0 D thấy: f '( x0 ) = hàm số đạt cực đại x0 f "( x0 ) ◦ Quy tắc áp dụng (cho hàm có f '( x) f "( x) xác định D f ( x) ): ◦ Tính f '( x) giải f '( x) = x1 , x2 , f '( x0 ) = ◦ hàm số đạt cực tiểu x0 ◦ Tính f "( x1 ), f "( x2 ) , … f "( x0 ) ◦ Kết luận dựa vào dấu f "( x1 ), f "( x2 ) , f '( x0 ) = ◦ khơng kết luận … f "( x0 ) = cực trị hàm số x0 (có thể đạt cực trị, không) Điều ngược lại, hàm số đạt cực trị x0 chưa thể khẳng định f "( x0 ) dương hay âm, chí chưa dám khẳng định f '( x) = cịn có trường hợp đạo hàm không xác định x0 Vì vậy, định lý khơng phải điều kiện cần đủ cho cực trị hàm số Do đó, hàm số mà f '( x) xác định TXĐ f ( x) hàm số đạt cực trị x0 suy f '( x) = (vì f '( x) khơng có điểm khơng xác định) Khi đó, học sinh yên tâm dùng điều kiện f '( x) = điều kiện cần cực trị hàm số Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 11 Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx + 2cos x đạt cực trị x = Khi đó, hàm số đạt cực đại hay cực tiểu đó? Hướng dẫn giải Tập xác định: D = Có y ' = m − 2sin x xác định Hàm số đạt cực trị x = y ' = m = 3 Do điều kiện y ' điều kiện cần nên chưa đảm bảo m = có làm cho hàm số đạt 3 cực trị không, nên ta cần kiểm tra lại Thử lại, với m = tính y " = −2cos x Ta thấy y " = −1 Vậy hàm số đạt cực đại x = 3 2.2 Cực trị hàm số bậc ba: Kết định lý điều kiện đủ cho hàm số nói chung Nhưng hàm bậc ba y = ax3 + bx + cx + d , (a 0) Trong trường hợp a chứa tham số, học sinh cần xét riêng a = Đó điều kiện cần đủ, phần tập trung giải dạng toán chứa tham số hàm bậc Muốn vậy, học sinh cần nắm số dạng toán sau Dạng 1: Điều kiện số cực trị hàm số Hàm bậc 3: y = ax3 + bx + cx + d , (a 0) có đạo hàm y ' = 3ax + 2bx + c ◦ Khơng có cực trị y ' không đổi dấu hay 'y ' b2 − 3ac ◦ Có cực trị (có hai cực trị) y ' có nghiệm phân biệt 'y ' b2 − 3ac Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 − mx + (m + 1) x − khơng có cực trị Hướng dẫn giải Do a = nên áp dụng điều kiện, ta có: m2 − 3(m + 1) − 21 + 21 m 2 Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = mx3 + (m + 2) x + x − có cực đại cực tiểu Hướng dẫn giải Dễ thấy với m = hàm số hàm bậc 2, nên khơng thể có cực đại cực tiểu (2 cực trị) Vậy hàm số có cực đại cực tiểu y ' = có nghiệm phân biệt m m m (Do m2 + m + 0, m 2 ( m + 2) − m m + m + Vậy m thỏa toán Giáo viên: Nguyễn Huỳnh ) 12 Trường THCS-THPT Trưng Vương Dạng 2: Điều kiện hàm số đạt cực trị điểm xác định Hàm bậc 3: y = ax3 + bx + cx + d , (a 0) ◦ Đạt cực đại x0 ◦ Đạt cực tiểu x0 f '( x0 ) = f "( x0 ) f '( x0 ) = f "( x0 ) Học sinh ý, điều kiện cần đủ cực trị hàm số bậc Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = − x3 + x = m x + đạt cực đại Hướng dẫn giải Có y ' = − x + 2m 2m x y " = −2 x + 3 y '(2) = y "(2) Hàm số đạt cực đại x0 m = m=3 m Vậy m = thỏa tốn Lưu ý: học sinh giải điều kiện cần trước y '(2) = m = sau thử lại vào hàm số hàm cụ thể khơng có tham số Từ dễ dàng kiểm tra điều kiện đủ 2.3 Cực trị hàm số trùng phương: Dạng: y = ax + bx + c dễ dàng giải tường minh cực trị hàm số tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số Bởi dễ giải nghiệm đạo hàm: y ' = 4ax3 + 2bx = x(2ax + b) ◦ Nếu a = , hàm số suy biến thành hàm bậc 2: y = bx + c , với b ◦ Nếu b = hàm số hàm y = c Trường hợp dễ dàng xét trực tiếp x = ◦ Nếu a , phương trình y ' = Số nghiệm phương trình rõ ràng x = − b 2a phụ thuộc vào dấu a b Dạng 1: Số cực trị hàm trùng phương Từ số nghiệm phương trình x(2ax + b) = Xét trường hợp a + b2 ◦ Hàm số có cực trị x = a b a b a b Cực tiểu Cực đại ◦ Hàm số có cực trị a b a b cực đại, cực tiểu a b cực tiểu, cực đại Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 13 Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx − (m − 2) x + có cực trị cực trị cực tiểu Hướng dẫn giải Với m = có y = x + rõ ràng có cực tiểu m m −(m − 2) Với m , hàm số có cực tiểu Vậy m thỏa tốn Ví dụ Tìm m để hàm số y = mx + (m2 − m − 2) x + m4 có điểm cực đại hai điểm cực tiểu Hướng dẫn giải m m 0m2 − m m − m − Hàm số có cực đại cực tiểu Vậy m thỏa toán Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Học sinh cần nắm rõ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số với cực đại cực tiểu hàm số Sự khác “lân cận” quan tâm ẩn Nói đến GTLN, GTNN phải xét tập “lân cận” biến mà tồn giá trị lớn hay nhỏ Cụ thể nội dung sau 3.1 Phương pháp chung tìm GTLN, GTNN: Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định tập D Nếu tồn x0 D cho: f ( x) M , x D x0 D : f ( x0 ) = M M gọi giá trị lớn f ( x) D Ký hiệu: M = max f ( x) D f ( x) m, x D x0 D : f ( x0 ) = m M gọi giá trị nhỏ f ( x) D Ký hiệu: m = f ( x) D Do đó, giá trị cực đại hay cực tiểu hàm số hiểu GTLN hay GTNN lân cận (một khoảng nhỏ) chứa x0 Khi toán khơng nói tìm GTLN, GTNN tập tập xác định hàm số Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x Hướng dẫn giải Tập xác định: D = Có f ( x) = sin x + 4 Nếu làm theo định nghĩa, học sinh phải biết số đánh giá bất đẳng thức Hơn nữa, học sinh mắc sai lầm đánh giá sin x + cos x dấu “=” không xảy Do đó, −1 sin x + 1, x 4 Nên − f ( x) Dấu “=” xảy nên max f ( x) = f ( x) = − Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 14 Trường THCS-THPT Trưng Vương Cách chung tìm GTLN GTNN hàm số Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f ( x) K (không khoảng đồng biến nghịch biến, K khoảng, đoạn hợp nhiều khoảng, đoạn) mà hàm số xác định Việc cần làm đơn giản “Lập bảng biến thiên hàm số K ” Căn vào bảng biến thiên đưa kết luận toán Ví dụ Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) = 3x2 + (0; +) x Hướng dẫn giải Có y ' = x − , y ' = x3 = x = x2 Bảng biến thiên: x y' y +∞ - + +∞ +∞ Vậy GTLN hàm số (0; +) x = 3.2 Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn a; b : Hạn chế cách dùng định nghĩa bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN hàm số phải biết đánh giá bất đẳng thức (khó với nhiều học sinh) phải lập bảng biến thiên để nhìn thấy GTLN, GTNN hàm số Tuy nhiên, hàm số khó lập bảng biến thiên lại liên tục a; b thi việc tìm GTLN, GTNN hàm số a; b hồn tồn khơng cần phải lập bảng biến thiên Định lý: Tìm GTLN GTNN đoạn Hàm số y = f ( x) liên tục a; b Khi đó, ta có: ◦ Hàm số ln có GTLN GTNN ◦ Quy tắc tìm GTLN, GTNN - Tính f '( x) a; b - Tìm nghiệm f '( x) = f '( x) không xác định Giả sử x1 , x2 , (a; b) M = max f ( x) a;b - Tính f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), m = f ( x) a;b M = max f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), m = f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x3 − 3x + đoạn 0; 2 Hướng dẫn giải Có f '( x) = 3x − = x = 1 có x = 1 (0; 2) Tính giá trị f (0) = 1; f (1) = −1; f (2) = Vậy GTLN hàm số GTNN – Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 15 Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Cho hàm số y = 3x − x3 + m , ( m tham số) Tìm tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số đoạn 0; Hướng dẫn giải Có y ' = − 3x Trên (0; 3) có y ' xác định có nghiệm x = 3x − x3 Tính f (0) = m, f (1) = m + 2, f (3) = m Vậy M = max f ( x) = m + 0; Có M = m = 2 Ví dụ x + m2 Cho hàm số f ( x) = (với m tham số thực) Tìm giá trị lớn hàm số x −1 đoạn 2; 4 Hướng dẫn giải Ta thấy hàm số liên tục 2; 4 −9 − m2 Có y ' = 0, x (2; 4) ( x − 1)2 Vậy max f ( x) = f (2) 2;4 Tiệm cận đồ thị hàm số 4.1 Tiệm cận ngang: Định nghĩa: Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Đường tiệm y = y0 ( y0 hữu hạn) tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x) y0 = lim f ( x) y0 = lim f ( x) x →− x →+ Như vậy, muốn tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số, cần tính: lim f ( x) = y0 x → Học sinh cần lưu ý, theo định nghĩa hàm y = c tiệm cận ngang Mặc dù có nhiều quan điểm trái ngược trường hợp Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 16 Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số: a) y = 2x +1 x −1 b) y = x+2 x − x +1 c) y = x +1 x2 + Hướng dẫn giải 2+ 2x +1 x = a) Ta có: lim = lim x → x − x → 1− x Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường y = + x+2 b) Ta có: lim = lim x x = x → x − x + x → 1 1− + x x Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường y = 1 x2 + x +1 x = lim = 2 x + x → x + x2 c) Ta có: lim x → Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Ví dụ x +1 Tìm m để đồ thị hàm số y = Ta có: lim x → x +1 mx + mx + có hai tiệm cận ngang Hướng dẫn giải x = lim x → mx = m Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang giới hạn tồn hay m Khơng phải có hàm phân thức có tiệm cận ngang, hàm thức có tiệm cận ngang Ví dụ Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = x2 + x + − x Hướng dẫn giải Ta có: lim ( x + x + − x) = + x →− Vậy đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang bên trái Có lim ( x + x + − x) = lim 2x + = x2 + 2x + + x Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = bên phải x →+ x →+ Lưu ý: Đồ thị hàm số mà có lim( f ( x) g ( x)) có dạng − có tiệm cận ngang x → số hạng bậc cao hàm số có dạng f ( x) hệ số bậc cao g ( x) Tương tự với f ( x) − g ( x) Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 17 Trường THCS-THPT Trưng Vương 4.2 Tiệm cận đứng: Định nghĩa: Tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x) bốn giới hạn sau xảy ra: lim = + lim = + x → x0+ x → x0− lim = − lim = − x → x0+ x → x0− Ta lưu ý dùng định nghĩa để tìm x0 mà dùng để kiểm tra biết x0 Vậy dấu hiệu để tìm x0 ? Căn vào định nghĩa, để x = x0 đường tiệm cận đứng, x0 cần thỏa mãn điều kiện: ◦ Ngoại trừ hàm số logarit, hàm số chương trình phổ thơng phải hàm phân thức đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Khi đó, x0 nghiệm mẫu (ngược lại x0 nghiệm mẫu đường thẳng x = x0 chưa tiệm cận đứng đồ thị hàm số) ◦ Nếu x0 nghiệm mẫu thức đồng thời nghiệm tử thức sau phân tích tử mẫu thành nhân tử ( x − x0 ) giản ước nhân tử chung, phải nhân tử ( x − x0 ) mẫu (tử giản ước không hết) ◦ Nếu x0 nghiệm mẫu f ( x) chứa bên x0 ) A( x ) A( x0 ) (để hàm số xác định Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 18 Trường THCS-THPT Trưng Vương Ví dụ Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: a) y = 2x +1 x −1 b) y = x −1 ( x − 1)2 c) y = x−2 x −x−2 d) y = x2 −1 − x x2 − x Hướng dẫn giải a) Vì x = nghiệm mẫu khơng nghiệm tử, hàm số xác định hai bên x = nên x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số b) Vì x = nghiệm mẫu nghiệm tử mẫu nghiệm bội tử nghiệm bội (nghiệm đơn) nên sau giản ước nhân tử chung x −1 mẫu Do đó, đường thẳng x = tiệm cận đứng c) Tập xác định \ −1; 2 Có x = x = −1 nghiệm mẫu (nghiệm đơn) x = nghiệm tử nên có đường thẳng x = −1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1 1 Ta thấy x = x = nghiệm mẫu hàm số không xác định hai bên x = Nên x = khơng tiệm cận đứng Cịn x = nghiệm mẫu không nghiệm tử mà hàm số lại xác định hai bên x = nên x = tiệm cận đứng d) Tập xác định: D = −; − ; + \ 1 2 III PHẦN KẾT LUẬN: Kết luận: Sáng kiến kinh nghiệm làm số kết sau: a Nghiên cứu số chủ đề thường gặp chương hàm số lớp 12 giúp ích cho việc hệ thống kiến thức b Thiết kế giảng giáo án điện tử nhờ ứng dụng công nghệ thông tin nhằm hỗ trợ dạy học dạng toán chương hàm số lớp 12 c Phân tích làm rõ hiệu ứng dụng giáo án điện tử hệ thống kiến thức hỗ trợ việc dạy học hiệu - Kết thu năm học 2018 – 2019 (kiểm tra chương giải tích 12): Lớp 12/8 Sĩ số 33 Yếu 0% Tb 27,27% K 15,15% 19 G 57,58% Bản thân viết đề tài nhằm với mục đích trao đổi với quý Thầy giáo dạy mơn Tốn số kinh nghiệm giảng dạy chương hàm số lớp 12 cho hiệu Trong lúc biên soạn chắn nhiều hạn chế nên tài liệu có thiếu sót, tơi xin chân thành đón nhận góp ý Q Thầy Cơ Xin trân trọng cảm ơn ! Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 19 Trường THCS-THPT Trưng Vương Tài liệu tham khảo: - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Giải Tích 12 Nhà xuất Giáo Dục, 2008 - Tài liệu bồi dưỡng giáo viên Bộ Giáo Dục & Đào Tạo - Sách giáo khoa Giải Tích 12 - Chương trình nội dung tập huấn Sở Giáo Dục & Đào Tạo Vĩnh Long Vĩnh Long, ngày 09 tháng 04 năm 2019 Nhận xét đánh giá HĐGK …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… Chủ Tịch Người viết Nguyễn Huỳnh Giáo viên: Nguyễn Huỳnh 20