Tóm tắt Lý thuyết Toán 12 Hình học

Tóm tắt kiến thức trọng tâm từng bài cho các em khối 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT 2023. Tài liệu hệ thống toàn bộ công thức cần nhớ, các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao giúp các em vững vàng khi ôn tập môn Toán

PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP B' S C' D' A' F' N E' A B B C D A F E M D C KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 26 KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 3.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối Khối đa diện lồi Khối đa diện khơng lồi 3.2 Khối đa diện 3.2.1 Khái niệm: Khối đa diện loại {p,q} khối đa diện có tính chất: - Mỗi mặt đa giác p cạnh - Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Nhận xét: mặt khối đa diện đa giác 3.2.2 Bảng tóm tắt tính chất khối đa diện LOẠI {p;q} {3;3} {4;3} {3;4} TÊN Khối Tứ diện Khối Lục diện (Lập phương) Khối Tám mặt TÍNH CHẤT CÁC MẶT MẶT (M) Tam giác Hình vng Tam giác ĐỈNH CẠNH  M.p     q   M p      4 6 12 12 THỂ TÍCH V a3 12 V = a3 V a3 Mã Bính Mai - 0983889393 SỐ MẶT ĐỐI XỨN G Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R a R a R a 2 Trang 27 LOẠI {p;q} {5;3} {3;5} TÊN (Bát diện đều) Khối 12 mặt TÍNH CHẤT CÁC MẶT MẶT (M) Ngũ giác 12 ĐỈNH CẠNH  M.p     q   M p      20 30 THỂ TÍCH V (15  5)a Khối 20 Tam giác (15  5)a 20 12 30 V mặt đều 12 Công thức liên quan số đỉnh (D), cạnh (C) mặt (M): - Hệ thức Euler: D + M = C + Hoặc: qD = 2C = pM SỐ MẶT ĐỐI XỨN G Bán kính mặt cầu ngoại tiếp 15 R 15 R a a  15   10  3.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi - Kết 1: Cho khối tứ diện Khi  Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều;  Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) - Kết 2: Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện - Kết 3: Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 4.1 Thể tích khối chóp Nội dung Hình vẽ V  Sđáy h  Sđáy : Diện tích mặt đáy  h : Độ dài chiều cao khối chóp 4.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ V Sđáy h  Sđáy : Diện tích mặt đáy  h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Mã Bính Mai - 0983889393  Trang 28  4.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V abc 4.4 Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V a3 4.5 Thể tích khối chóp cụt Nội dung V  h B  B   BB   Hình vẽ   Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao 4.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt  Đường chéo hình vng cạnh a a  Đường chéo hình lập phương cạnh a a 2  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a,b,c : a  b  c a  Đường cao tam giác cạnh a là: Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 29 CÁC CƠNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG 5.1 Hệ thức lượng tam giác 5.1.1 Tam giác vuông: Cho D ABC vuông A , đường cao AH 2  AB  AC  BC A  AB BH BC  AC CH BC  AH BC AB.AC B  AH  BH HC H C 1   2 AB AC  AH  AB  BC sinC BC cosB AC tanC AC cot B 5.1.2 Tam giác bất kỳ: Cho D ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc bán kính đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r ; nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a2 b2  c2 - 2bc.cosA; b2 c2  a2  2ca.cosB ; c2 a2  b2  2ab.cosC a b c    2R  Định lí hàm số sin: sin A sin B sinC  Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 5.2 Các công thức tính diện tích * Tam giác 1 S  ah a  bh b  ch 2 c;  1 S  bc sin A  ca.sin B  ab sinC 2  S  abc 4R ;  S  pr     S  p p a p b p c  Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 30  ABC vuông A : S AB AC BC AH  2 a a2 AH  S ,  ABC đều, cạnh a : * Các hình khác a b abb a Hình chữ nhật Tên gọi Hình vng Hình thoi Hình bình hành Hình thang Minh họa a Diện tích S = a2 S =a.b S  a.b S = a.ha S  a  b  h GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN 6.1 Các loại góc khơng gian Góc hai đường thẳng a b: - Chọn điểm O tùy ý (có thể chọn a b) - Qua O vẽ a '/ / a b '/ / b - a , b  a ', b ' Góc đường thẳng a mặt phẳng   :   - Xác định giao điểm O a - Lấy điểm A tùy ý a khác O - Xác định hình chiếu A A’ lên    AA '      - Góc a      AOA ' Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 31 Góc hai mặt phẳng - Xác định giao tuyến   : c        - Tìm   đường thẳng a  c - Tìm  đường thẳng b  c   - Góc      a , b 6.2 Các loại khoảng cách không gian Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: d  O, a  OH d  O,  P   OH với OH  a với OH  (P ) O H P Khoảng cách hai đường thẳng song song: Khoảng cách đường thẳng mặt d a, P d  O,  P   phẳng song song:     với Oa a P d  a, b  d  O, a  O H với O  b ngược lại Khoảng cách hai mặt phẳng song song: d   P  ,  Q   d  O,  Q   với O  (P ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo d a, b   AB nhau:  với AB  a; AB  b a A O P Q H b B 6.3 Bài toán xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài tốn: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 32 S S d(M,(P))=MH d(N,(P))=d(M,(P)) d(N,(P))= N d(M,(P))=MH d M d H NK d(M,(P)) MK H M' Q N' Q K K M P M' K P M P Hình M Hình N Hình Cách 1: Sử dụng định nghĩa (Hình 1) + Dựng mặt phẳng (Q) chứa điểm M vng góc với mặt phẳng (P) theo giao tuyến d + Trong mặt phẳng (Q) kẻ MH vng góc với d H d M ,  P   MH + Xác định khoảng cách:  Cách 2: Sử dụng dạng khoảng cách trung gian + Sử dụng khoảng cách song song (Hình 2) Giả sử MN / /  P  , đó: d  N ,  P   d  M ,  P   + Sử dụng khoảng cách tỉ lệ (định lý Thalet, Hình 3) d  N ,  P   NK NN ' NK   d  M ,  P   MK MM ' MK Giả sử MN cắt mặt phẳng (P) điểm K, đó: Vậy: Cách 3: Vận dụng cơng thức thể tích khối chóp V  S ABC SH Xét khối chóp S ABC tích (Hình 4) Ta có: 1 V  S SBC d  A,  SBC    S SAC d  B,  SAC    S SAB d  C ,  SAB   3 Từ ta có cơng thức tích khoảng cách theo thể tích biết diện tích đáy (Hình 5): d  A,  SBC    3V S SBC S A d(A,(SBC))= A C S C H B Hình 3.V SΔSBC A' B Hình Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 33 HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ LĂNG TRỤ ĐỀU 7.1 Hình chóp * Đáy đa giác (tam giác đều, hình vng,…) * Chân đường cao trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy (trọng tâm G tam giác, tâm O hình vng,…) + Các mặt bên tam giác cân + Góc cạnh bên mặt đáy + Góc mặt bên mặt đáy 7.1 Lăng trụ đều: lăng trụ đứng có đáy đa giác TỈ SỐ THỂ TÍCH Dạng 8.1 Tỉ số thể tích hình chóp tam giác: Hình S Cho S.ABC, đoạn thẳng SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác điểm S A' VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC C' Lưu ý: áp dụng đáy tam giác A B' C B Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 34 8.2 Tỉ số thể tích hình chóp tứ giác có đáy S hình bình hành: A' Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình D' B'  P  cắt cạnh hành tâm O Mặt phẳng O' C' A D SA, SB, SC , SD, SO A ', B ', C ', D ' O ' O SA SB SC SD SO a, b, c, d , e SB ' SC ' SD ' SO ' Đặt SA ' Khi đó: B C S a) a  c b  d 2e M VS A ' B 'C ' D ' a  b  c  d  V 4abcd S ABCD b) N A D Đặc biệt: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M, N trung điểm B C SA, SB VS MNCD  VS ABCD 8.3 Tỉ số thể tích lăng trụ tam giác A C Cho lăng trụ ABC ABC  có điểm M , N , P lần B lượt thuộc cạnh AA, BB, CC  cho P M AM BN CP a, b, c AA BB CC  C' A' VABC MNP a b c  Khi đó: VABC A ' B ' C ' N B' 8.4 Tỉ số thể tích khối hộp A Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Mặt phẳng   cắt cạnh AA ', BB ', CC ', DD ' M , N , P, Q AM BN CP DQ a, ' b, c, d ' ' BB CC DD' cho AA Khi ta có: a) a  b c  d D M B C N Q D' A' P B' Mã Bính Mai - 0983889393 C' Trang 35 Loại Hình chóp có đỉnh nhìn đoạn thẳng góc vng Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy Minh họa Cho S.ABCD có ABCD hình vng SA  ( ABCD ) Công thức Tâm mặt cầu trung điểm SC SC R Bán kính: S  h R  R    2 Trong đó: Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy, h chiều cao hình chóp d C A Rd  a 3 +  cạnh a: +  vuông: Rd = 1/2 cạnh huyền B + Hình vng cạnh a: a 2 + Hình chữ nhật cạnh a, b: Rd  a  b 2 Rd  Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy Mặt bên thường tam giác cân, đều, vuông  GT  R  R R      Trong đó: Rb, Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy; GT giao tuyến mặt bên mặt đáy b Mã Bính Mai - 0983889393 d Trang 41 Hình chóp S b2 2h Trong đó: b cạnh bên, h chiều cao hình chóp R C A * Tứ diện cạnh a: O R B Hình hộp chữ nhật có ba kích thước x,y,z a B A O D C x2  y2  z2 R I z A' B' y O' D' Hình lập phương cạnh a C' x A' D' a Mặt cầu nội tiếp: a R'  R B' C' A B Hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h, đường sinh l Mặt cầu ngoại tiếp: O D C Mặt cầu ngoại tiếp nón: h2  r 2h Mặt cầu nội tiếp nón: rh R'  l r *Khối nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước có R 2 Vn max  h  R , r  R Khi Vn max  Mã Bính Mai - 0983889393 32  R3 81 Trang 42 Hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao h  h R  r    2 O h A *Hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước có R I Vt max  h  Khi O' 2 r R, r  R 3 Vt max   R3 B Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 43 PHẦN III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.1 Tọa độ vectơ    i  (1;0;0); j  (0;1;0);k (0;0;1)  Vectơ đơn vị:      a a1 i  a j  a k  a  a1;a ;a   Vectơ   a  a1;a ;a  , b  b1; b ; b3   Tính chất: Cho Khi đó:    a b  a1 b1;a b ;a b  k.a  ka1;ka ;ka     a  a12  a 22  a 32 a b  a1 b1;a b ;a b3  a Tích vơ hướng b a1.b1  a b  a 3.b3    a  b  a.b 0  a1.b1  a b  a b3 0   a1b1  a b  a 3b3 a.b cos a, b     a b a1  a 22  a 32 b12  b 22  b32   Góc vectơ:  a  a, b      b2 Tích có hướng      a, b   a  a, b   b    ;  a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a  ;  b1 b1 b  ;       a a a a phương b  a k.b   a, b  0    k b1 b b3 10        a, b  c 0  11 a, b,c đồng phẳng  m, n   : a mb  nc hay         a, b  c 0  12 a, b,c không đồng phẳng  m, n   : a mb  nc hay    SABC   AB, AC  13 Diện tích tam giác ABC:  SABCD   AB, AC  14 Diện tích hình bình hành ABCD:    VABCD   AB, AC  AD 15 Thể tích khối tứ diện ABCD:   VABCD.A ' B 'C ' D '   AB, AD  AA ' 16 Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C'D' :     AB, AC  AD 0  17 Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện  Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 44 1.2 Tọa độ điểm     A  x; y;z   OA xi  y j  zk   M  x; y; z  Cho , đó: + Hình chiếu M lên trục tọa độ là: M1 (x;0;0)  Ox;M (0; y;0)  Oy;M (0;0;z)  Oz + Hình chiếu M lên mặt phẳng tọa độ là: M (x; y;0)   Oxy  ;M (0; y;z)   Oyz  ;M (x;0; z)   Oxz   Tính chất: Cho A  x A ; y A ;z A  , B  x B ; y B ;z B  ,C  x C ; y C ;z C   AB  x B  x A ; y B  y A ;z B  z A  AB   xB  2 x A    yB  yA    zB  zA     x  kx B y A  ky B z A  kz B  k 1  MA kMB  M  A ; ;   k  k 1 k   M chia đoạn AB theo tỉ số  x  x B yA  yB zA  zB  M A ; ;  2   M trung điểm AB:  x  x B  x C y A  yB  yC z A  z B  zC  G A ; ;  3   G trọng tâm tam giác ABC:  x  x B  x C  x D yA  y B  yC  yD z A  z B  zC  z D  G A ; ;  4   G trọng tâm tứ diện ABCD: Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 45 ... AB AC BC AH  2 a a2 AH  S ,  ABC đều, cạnh a : * Các hình khác a b abb a Hình chữ nhật Tên gọi Hình vng Hình thoi Hình bình hành Hình thang Minh họa a Diện tích S = a2 S =a.b S  a.b S =... SBC S A d(A,(SBC))= A C S C H B Hình 3.V SΔSBC A'' B Hình Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 33 HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ LĂNG TRỤ ĐỀU 7.1 Hình chóp * Đáy đa giác (tam giác đều, hình vng,…) * Chân đường cao trùng... đường thẳng l song song với trục Hình trụ trịn xoay: Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB đường gấp khúc ADCB tạo thành hình trụ trịn xoay Hình trụ có: - Hai đáy hai hình trịn có bán kính r - Đường