Tóm tắt lý thuyết 12 đầy đủ các nội dung ôn tập THPT giúp các em tự tin khi học Toán. Tài liệu gồm 4 chương với các dạng bài tập thường gặp, cũng như kỹ năng sử dụng máy tính Casio để giải toán. Bên cạnh đó còn có tài liệu lý thuyết hình học 12
PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH A LỚP 10 I Quy tắc xét dấu đa thức: Bậc f (x) ax b a 0 x : “trái trái, phải cùng” x0 f(x) trái f (x) ax bx c a 0 Bậc hai : * Vô nghiệm: x f(x) x * Có nghiệm kép : x x0 f(x) cùng * Có nghiệm phân biệt: “trong trái, ngồi cùng” x x1 x2 f(x) trái f (x) ax bx cx d a 0 Bậc ba * Có nghiệm: xét dấu bậc * Có nghiệm: tìm nghiệm đơn rời xét dấu bậc (qua nghiệm kép không đổi dấu) * Có nghiệm: x x1 x2 x3 f(x) trái Quy tắc chung cho đa thức: - Tìm nghiệm đa thức trái f x ax n a1 x n an - Sắp xếp nghiệm từ nhỏ đến lớn x1 x2 xn x ; đa thức dấu với hệ số a Qua nghiệm đơn đa thức đổi dấu, - Trong khoảng từ n qua nghiệm kép đa thức không đổi dấu (Có thể kết hợp máy tính để xét dâu) II Dấu nghiệm phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = (a 0) (*) với = b2 – 4ac (’ = b’2 – ac) Khi đó: b c S = x1 + x2 =P = x1.x2 = x x a a + Viet: (*) có hai nghiệm , a 0 + (*) có hai nghiệm phân biệt Mã Bính Mai - 0983889393 Trang a 0 P + (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔a c 0, a * ax2 + bx + c < 0, ∀ x * ax2 + bx + c ¿ * ax2 + bx + c ¿ a ∀ x 0 0, a 0, ∀ x 0 IV Giải phương trình thường gặp Điều kiện xác định: f x xác định f ( x) ³ f x xác định f ( x) ¹ f ( x) > xác định Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối: f x |A|=B⇔¿ {B≥0¿¿¿ |A|=|B|⇔¿ [ A=B [ ¿ [ A=−B Phương trình chứa ẩn dấu căn: A 0 ( hoaëc B 0) A B A B √ A=B⇔ { B≥0 A=B2 B LỚP 11 I Cấp số cộng – Cấp số nhân Cấp số cộng Định nghĩa un +1=un +d , (d gọi cơng sai) Số hạng tổng qt Tính chất un = u1 + ( n - 1)d a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Û a + c = 2b Tổng n số hạng đầu Mã Bính Mai - 0983889393 n(u1 + un ) ; n(n - 1) S n = nu1 + d Sn = Trang Cấp số nhân un+1 = un q , (q gọi công bội) un = u1.q n- a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Û a.c = b u (1- q n ) Sn = 1- q Sn = u1 ;( q đồng biến - Nếu kết < nghịch biến b) f '( x ) 0, x K f(x) nghịch biến K Lưu ý: Nếu f '( x) 0, x K f(x) không đổi K K gọi chung khoảng đơn điệu hàm số y ax3 bx cx d a 0 Lưu ý: Tìm m để hàm số bậc ba đơn điệu ¡ + Tính y ' 3ax 2bx c tam thức bậc hai có biệt thức ' a y ' 0, x ¡ ' 0 + Hàm số đồng biến ¡ a y ' 0, x ¡ ' 0 + Hàm số nghịch biến ¡ + Nếu a có chứa m phải xét trường hợp a 0 a 0 Mã Bính Mai - 0983889393 Trang Mã Bính Mai - 0983889393 Trang II Cực trị hàm số Nhận dạng điểm cực trị hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có bảng biến thiên đồ thị (C) sau: Bảng biến thiên Dấu hiệu 1) Nếu f ' x0 0 f ' x không xác định x đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x x điểm cực đại hàm số f ' x0 0 f ' x 2) Nếu không xác định x đổi dấu từ âm sang dương qua x x điểm cực tiểu hàm số Chú ý: hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm đạo hàm không xác định Đồ thị Mã Bính Mai - 0983889393 Trang Cách tìm điểm cực trị hàm số Tự luận Quy tắc 1: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm y’ Giải phương trình y’ = để tìm nghiệm tìm điểm y’ khơng xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên, từ suy điểm cực trị Quy tắc 2: hàm số có đạo hàm cấp hai Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm y’ Giải phương trình y’ = để tìm nghiệm xi Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai tính f '' xi y '' f '' x Trắc nghiệm casio d x Sử dụng chức dx để tính đạo hàm hàm số điểm x0 Nhập hàm số, cho x = X rx0 kết nghi ngờ x0 điểm cực trị r x0 - 0.1 dương r x0 + 0.1 âm x0 điểm cực đại r x0 - 0.1 âm r x0 + 0.1 dương x0 điểm cực tiểu Bước 4: Dựa vào dấu sau: f '' xi kết luận f '' xi + Nếu xi điểm cực đại hàm số f '' xi + Nếu xi điểm cực tiểu hàm số Cực trị hàm số bậc ba 2 Cho hàm số: y ax bx cx d có đạo hàm y ' 3ax 2bx c biệt thức ' - Để hàm số có cực đại, cực tiểu y ' 0 có nghiệm phân biệt ' - Để hàm số có khơng cực trị y ' 0 vơ nghiệm có nghiệm kép ' 0 - Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu: + Cách 1: Tìm tọa độ điểm cực đại cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B y mx n y ' Ax B + Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: Phần dư phép chia y Ax B phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu 2c 2b bc y xd 9a 9a + Cách 3: Công thức : - Khoảng cách điểm cực trị: Mã Bính Mai - 0983889393 AB 4k 16k b 3ac k a 9a với Trang Cực trị hàm số y ax bx c a 0 y ' 4ax 2bx 2 x 2ax b Cho hàm số: y ax bx c có đạo hàm - Hàm số có cực trị ab 0 - Hàm số có cực trị ab (a b trái dấu) b b A(0; c), B ; , C ; 2a 4a 2a 4a - Giả sử hàm số y ax bx c có cực trị Khi đó: + Tam giác ABC ln cân A y cos BAC b 8a b 8a + + Tam giác ABC vuông cân 8a + b3 = + Tam giác ABC 24a + b3 = + + S ABC b5 32a A x O B C S ABC S 32a S b5 0 -III Giá trị lớn – Giá trị nhỏ hàm số Lý thuyết Giá trị lớn nhất: Giá trị nhỏ nhất: M max f ( x) [a ;b ] m min f ( x) [ a ;b ] Tự luận Tìm GTLN – GTNN hàm số tập xác định ta dựa vào bảng biến thiên Để tìm GTLN – GTNN hàm số f(x) liên tục [a;b] ta làm sau: Bước 1: Tìm y’ Tìm điểm xi khoảng (a,b) mà đạo hàm khơng xác định Bước 2: Tính f(x1); f(x2); ;f(xi); f(a); f(b) Bước 3: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN (GTNN) cần tìm -Mã Bính Mai - 0983889393 Trang Trắc nghiệm Casio Mở chế độ Table Start Giá trị a End: Giá trị b Step: Càng mịn tốt, tùy đoạn đề cho Nhìn vào kết f(x) dự đốn kết GTLN, GTNN IV Đường tiệm cận Lý thuyết Tiệm cận đứng: Minh họa đồ thị (hoặc BBT) Đường thẳng x x0 tiệm y f x cận đứng nếu: lim f x x x0 lim f x x x0 lim f x x x0 lim f x x x0 Tiệm cận ngang: Đường thẳng y y0 tiệm cận ngang y f x lim f x y0 x lim f x y0 x nếu: Lưu ý: Hàm đa thức khơng có đường tiệm cận d a ax b x y y c TCN: c cx d có TCĐ: Hàm phân thức bậc c bậc c t Khi tính giới hạn ( x ) để tìm tiệm cận ngang hàm số dạng phân thức Hàm số a x a x m am y n n b0 x b1 x bn m a0 0, b0 0; m 1, n 1; m, n ¢ y ax b cx dx e a 0, c 0 Mã Bính Mai - 0983889393 m=n mn c0 Trang Tiệm cận ngang a y b0 y 0 Khơng có Khơng có y a c Casio lim y - Tính x nhập hàm số CALC x vô nhỏ ( x 10 ) lim y - Tính x nhập hàm số CALC x vô lớn ( x 10 ) y Khi tìm tiệm cận đứng hàm số dạng mẫu mà nghiệm tử f x g x ta tìm điểm x0 nghiệm IV Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Hàm số bậc ba y ax bx cx d (a 0) 1.1 Tập xác định: D ¡ 1.2 Sự biến thiên: 2 - Đạo hàm: y ' 3ax 2bx c với biệt thức ' b 3ac - Tính đơn điệu: tìm nghiệm y ' 0 lập bảng biến thiên - Số cực trị: hàm số có cực trị khơng có cực trị + Nếu ' 0 hàm số khơng có cực trị + Nếu ' hàm số có hai điểm cực trị x1 ; x2 2b x x 3a x x c 3a Theo vi – et ta có - Đường tiệm cận: Đờ thị hàm bậc ba khơng có đường tiệm cận 1.3 Đồ thị: a0 a0 y ' 0 có hai nghiệm phân biệt hay y y ' O y ' 0 có nghiệm kép hay ' 0 x O y y O x O Mã Bính Mai - 0983889393 x Trang 10 x Phép tịnh tiến đồ thị: Cho (C) đồ thị hàm số y = f (x) p > 0, ta có: • Tịnh tiến (C) lên p đơn vị đờ thị y = f (x) + p • Tịnh tiến (C) xuống p đơn vị đờ thị y = f (x) - p • Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị đờ thị y = f (x + p) • Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị đờ thị y = f (x - p) Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối: Đồ thị y f | x | Dạng 1: Vẽ Bước 1: Vẽ f(x) (C) Bước 2: + Giữ lại phần đồ thị bên phải Oy + Bỏ phần đồ thị bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải qua Oy y f x Dạng 2: Vẽ Bước 1: Vẽ f(x) (C) Bước 2: + Giữ lại phần đồ thị bên Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị bên Ox qua Ox + Bỏ phần đồ thị Ox Đồ thị nhận y f x y y x x y y x x Sự tương giao hai đồ thị Lý thuyết Hình vẽ y f x C Cho hàm số có đờ thị hàm số y g x C có đờ thị C C - Phương trình hồnh độ giao điểm f x g x 1 - Số giao điểm C1 C2 số nghiệm 1 - Hoành độ giao điểm nghiệm x0 y f x - Để tìm tung độ y0 ta thay x0 vào Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 14 1 y g x cho việc thay đơn giản M x0 ; y0 - Điểm gọi toạ độ giao điểm Áp dụng: * Dựa vào BBT, đồ thị hàm số y f x để tìm số nghiệm phương trình - Từ phương trình đề cho biến đổi thành dạng có đờ thị song song với Ox f x g ( m) g m hàm y g m - Vẽ đồ thị đường thẳng , dựa vào số giao điểm đồ thị kết luận số nghiệm phương trình * Cơ lập m khảo sát tính đơn điệu hàm số K - Tìm y’ - Cô lập m đưa dạng - Vẽ bảng biến thiên - Kết luận: + g ( m) f x f x g ( m) f x g (m) f x , x K g m min f x xK g ( m) f x , x K g m max f x xK + Phương trình tiếp tuyến Dạng 1: Tại M(x0; y0) y f ’ x0 x x0 y0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: Cần xác định đại lượng: xo , y0 , k f ’ x0 Lưu ý: Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm Cho x0 Nếu đề cho tung độ tiếp điểm Cho y0 Nếu đề cho hệ số góc tiếp tuyến Cho k f ’ x0 f ’ x0 a Nếu đề cho tiếp tuyến song song y ax b Cho Nếu đề cho tiếp tuyến vuông góc với y ax b Cho Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 15 y’ x0 a Dạng 2: Tiếp tuyến qua A(xA; yA) y y '( x0 ) x x0 y0 y f x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: (*), với Thay tọa độ A vào (*) giải tìm x0 Viết phương trình tiếp tuyến Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 16 CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LÔGARIT I Lũy thừa Định nghĩa luỹ thừa Số mũ * Nguyên dương: n ¥ Số mũ * Nguyên âm: n ¥ m (m ¢ , n ¥ * ) n Hữu tỉ: * Vụ t: lim rn (rn Ô , n ¥ ) Cơ số a¡ a 0 Luỹ thừa a a.a a (n thừa số a) a 0 a n n a 1 an m n a0 a n am a0 a lim a rn Tính chất luỹ thừa Với a > 0, b > 0, m, n ¡ ta có: am a m a n a m n ; a m n ; (a m ) n a m.n ; (ab) n a n b n an So sánh số: a : am an m n ; n an a ; n b b a : am an m n So sánh số mũ: với a b ta có: a m bm m ; a m bm m Định nghĩa tính chất thức n n n ¥ *, n 2, b ¡ Định nghĩa: a b b a Tính chất: a na n m n m n a n a ; b nb; ab n a n b ; m n a m.n a Chú ý: n + Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu a + Khi n chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối -II Logarit Cho số a, b, c > 0, a, c Định nghĩa Tính chất Quy tắc tính Đổi số log a b a b log a a 1; log a 0; log a b.c log a b log a c lo g a b logc b lo g c a Logarit tự nhiên: log b log10 b ln b log e b a log a b log a =b ; b =log a b−log a c c () log a b= logc a.log a b logc b Mã Bính Mai - 0983889393 Logarit thập phân: Trang 17 (b≠1) log b a loga ( aα )=α n log a b =n log a b log a m b= log a b m ( m≠0 ) III Hàm số luỹ thừa – Hàm số mũ – Hàm số Logarit Hàm số luỹ thừa Hàm số mũ Định y x ( số) y a x (a > 0, a 1) nghĩa y u (u: biểu thức) D ¡ Tập ¢ DK u ¡ DK xác ¢ ; 0 u 0 định ¢ DK u Đạo hàm Hàm số Logarit y log a x (a > 0, a 1) y log a u (u: biểu thức) y log a x có D (0; ) y log a u DK u Sự biến thiên Đồ thị Khi hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến x ln a u log a u u ln a u ln x ln u u x; Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến Tiệm cận Khi hàm số có tiệm cận ngang Ox, tiệm cận đứng Oy Đồ thị hàm số nhận Ox làm tiệm cận ngang ln nằm phía Ox Đờ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng ln nằm phía bên phải Oy ' x a x a x ln a ' u u ' a u au ln a u x u log a x e x e x eu eu u n n Chú ý: Hàm số y x không đồng với hàm số y x (n ¥ *) IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng bản: a f ( x ) b a 1 Trường hợp b 0 f x b a 1 vô nghiệm f x log a b b0 b 0 a Nghiệm b0 a 1 tập nghiệm ¡ f x log a b a 1 Một số phương pháp giải phương trình mũ: * Đưa số: Mã Bính Mai - 0983889393 f x g x a a a 1 f x g x Trang 18 f x loga b * Đặt ẩn phụ: Đặt t a f x Ta thường gặp dạng sau: ma f x na f x p 0 Đặt t a f x đưa phương trình bậc theo t b f x f x f x ma nb 0 Trong ab 1 Đặt t a suy t f x f x ma f x n ab pb f x 0 Chia vế cho b * Logarit hóa: lấy logarit vế a f x b g x log a a f x log a b g x a đặt b f x t f x g x log a b V PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng bản: Trường hợp log a f ( x ) b a 1 Nghiệm b f ( x ) a với b a 1 log a f ( x ) b a 1 log a f ( x ) b a 1 f x ab a 1 f x ab a 1 f x ab a 1 f x ab Một số phương pháp giải phương trình logarit: Đặt điều kiện trước giải phương trình f x g x log a f x log a g x f x g x * Đưa số: * Đặt ẩn phụ * Mũ hóa VI Bài tốn thực tế Bài toán lãi suất ngân hàng : Đặt + A: số tiền ban đầu + r: lãi suất % + n: thời gian để tính tiền gốc lẫn lãi + T: số tiền nhận sau thời gian n 1.1 Lãi suất đơn: lãi suất không nhập vốn T A(1 r.n) 1.2 Lãi suất kép: lãi suất nhập vốn để sinh lãi T A(1 r ) n Chú ý: Từ công thức lãi kép ta suy công thức sau: A Mã Bính Mai - 0983889393 T T T r n n log1r n (1 r ) ; A A; Trang 19 1.3 Lãi suất gửi thêm hàng tháng: Đầu tháng, khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A * đồng với lãi kép r%/ tháng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n ¥ ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) là: A n T r % 1 r % r% 1.4 Lãi suất rút tiền hàng tháng: Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đờng Số tiền cịn lại sau n tháng tính: 1 r% n T A 1 r% X r% 1.5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đờng với lãi suất r%/tháng Sau tháng kể từ ngày vay bắt đầu hồn nợ, hai lần hồn nợ cách tháng, lần hoàn nợ số tiền X đờng Số tiền cịn lại sau n tháng giống rút tiền hàng tháng 1 r% n T A 1 r% X r% X Ar % r % n 1 Chú ý: Để sau n tháng trả hết nợ T = Do đó: Bài tốn dân số: Dân thành phố năm thứ m Xm (dân) Biết tỷ lệ tăng dân số từ năm m đến năm n r%/năm Tính số dân Xn thành phố vào năm thứ n X n X m 1 r% nr % Công thức tăng trưởng mũ: S A.e n n log Một số tự nhiên dạng có chữ số Mã Bính Mai - 0983889393 Trang 20 n m 1 r% n