Lý thuyết toán 12

TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 PHẦN 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ BÀI SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài tốn 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến hàm số: Cho hàm số y = f ( x ) +) f ' ( x )  đâu hàm số đồng biến +) f ' ( x )  đâu hàm số nghịch biến Quy tắc: +) Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = tìm nghiệm +) Lập bảng xét dấu f ' ( x ) +)Dựa vào bảng xét dấu kết luận Bài tốn 2: Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đơn điệu khoảng (a,b) +) Để hàm số đồng biến khoảng ( a, b ) f / ( x )  0x  ( a, b ) +) Để hàm số nghịch biến khoảng ( a, b ) f / ( x )  0x  ( a, b ) ax + b Có TXĐ tập D Điều kiện sau: cx + d +) Để hàm số đồng biến TXĐ y '  0x  D +) Để hàm số nghịch biến TXĐ y '  0x  D 1) Riêng hàm số: y =  y '  x  ( a, b )  +) Để hàm số đồng biến khoảng ( a; b )  d x  − c   y '  x  ( a, b )  +) Để hàm số nghịch biến khoảng ( a;b )  d x  − c  2) Tìm m để hàm số bậc y = ax + bx + cx + d đơn điệu R +) Tính y ' = 3ax + 2bx + c tam thức bậc có biệt thức  a  a  +) Để hàm số đồng biến R   +) Để hàm số nghịch biến R       BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài tốn 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu hàm số Dấu hiệu 1: 1) Nếu f ' ( x0 ) = f ' ( x ) không xác định x đổi dấu từ dương sang âm qua x x điểm cực đại hàm số 2) Nếu f ' ( x0 ) = f ' ( x ) không xác định x đổi dấu từ âm sang dương qua x x điểm cực tiểu hàm số *) Quy tắc 1: +) Tính y ' +) Tìm điểm tới hạn hàm số (tại y ' = y ' không xác định) +) Lập bảng xét dấu y ' dựa vào bảng xét dấu kết luận Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Dấu hiệu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp x  f ' ( x0 ) = +)   x điểm cực đại  f " ( x0 )  *) Quy tắc 2: +) Tính f ' ( x ) , f " ( x )  f ' ( x0 ) = +)   x điểm cực tiểu  f " ( x0 )  +) Giải phương trình f ' ( x ) = tìm nghiệm +) Thay nghiệm vừa tìm vào f " ( x ) kiểm tra từ suy kết luận Bài toán 2: Cực trị hàm bậc Cho hàm số: y = ax + bx + cx + d có đạo hàm y ' = 3ax + 2bx + c Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' = có nghiệm phân biệt    Để hàm số có khơng cực đại, cực tiểu  y ' = vơ nghiệm có nghiệm kép    Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu +) Cách 1: Tìm tọa độ điểm cực đại cực tiểu A, B Viết phương trình đường thẳng qua A, B +) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y = ( mx + n ) y '+ ( Ax + B) Phần dư phép chia y = Ax + B phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu Bài toán 3: Cực trị hàm số bậc trùng phương Cho hàm số: y = ax + bx + c có đạo hàm y ' = 4ax3 + 2bx = x ( 2ax + b ) Hàm số có cực trị ab  a  +) Nếu  hàm số có cực tiểu khơng có cực đại b  a  +)  hàm số có cực đại khơng có cực tiểu b  hàm số có cực trị ab  (a b trái dấu) a  +)  hàm số có cực đại cực tiểu b  a  +) Nếu  hàm số có cực đại cực tiểu b  BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định D M  f ( x ) x  D +) M GTLN hàm số D nếu:  Kí hiệu: M = max f ( x ) D x  D : f ( x ) = M m  f ( x ) x  D +) m GTNN hàm số D nếu:  Kí hiệu: m = f ( x ) D x  D : f ( x ) = m +) Nhận xét: Nếu M, m GTLN GTNN hàm số D pt f ( x ) − m = & f ( x ) − M = có nghiệm D Quy tắc tìm GTLN – GTNN hàm số: *) Quy tắc chung: (Thường dùng cho D khoảng) - Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = tìm nghiệm D - Lập BBT cho hàm số D - Dựa vào BBT định nghĩa từ suy GTLN, GTNN Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 *) Quy tắc riêng: (Dùng cho  a; b  ) Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục  a; b  - Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = tìm nghiệm  a, b  - Giả sử phương trình có nghiệm x1 , x  a, b - Tính giá trị f ( a ) ,f ( b ) ,f ( x1 ) ,f ( x ) So sánh chúng kết luận Chú ý: GTLN,GTNN hàm số số hữu hạn Hàm số liên tục đoạn  a, b  ln đạt GTLN, NN đoạn Nếu hàm sồ f ( x ) đồng biến  a, b  max f ( x ) = f ( b ) , f ( x ) = f ( a ) Nếu hàm sồ f ( x ) nghịch biến  a, b  max f ( x ) = f ( a ) , f ( x ) = f ( b ) Cho phương trình f ( x ) = m với y = f ( x ) hàm số liên tục D phương trình có nghiệm f ( x )  m  max f ( x ) D D BÀI TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa: +) Đường thẳng x = a TCĐ đồ thị hàm số y = f ( x ) có điều kiện sau: lim y = + lim+ y = − lim− y = + lim− y = − x →a + x →a x →a x →a +) Đường thẳng y = b TCN đồ thị hàm số y = f ( x ) có điều kiện sau: lim y = b lim y = b x →+ x →− Dấu hiệu: +) Hàm phân thức mà nghiệm mẫu khơng nghiệm tử có tiệm cận đứng +) Hàm phân thức mà bậc tử  bậc mẫu có TCN +) Hàm y = a x , (  a  1) có TCN y = +) Hàm số y = log a x, (  a  1) có TCĐ x = Cách tìm: +) TCĐ: Tìm nghiệm mẫu khơng nghiệm tử +) TCN: Tính giới hạn: lim y lim y x →+ Chú ý: +) Với đồ thị hàm phân thức dạng y = x →− ax + b cx + d ( c  0; ad − bc  ) ln có tiệm cận ngang y = a c d tiệm cận đứng x = − c +) Nếu x → +  x   x = x = x +) Nếu x → −  x   x = x = − x Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 BÀI BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định hình hàm số bậc 3: y = ax3 + bx + cx + d a0 y y ' = có hai nghiệm phân biệt hay  y/  O y ' = có hai nghiệm kép hay  y/ = a0 y x O x y y O x O y ' = vô nghiệm hay  y/  y x y O x O x Định hình hàm số bậc 4( Trùng phương) : y = ax + bx + c x = +) Đạo hàm: y ' = 4ax3 + 2bx = x ( 2ax + b ) , y ' =    2ax + b = a0 y y ' = có nghiệm phân biệt hay ab  a0 y O O y ' = có nghiệm hay ab  Định hình hàm số y = +) Đạo hàm: y = y y O ad − bc ( cx + d ) x x O x ax + b Tập xác định: D = cx + d x  d \ −   c Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 a d TCN: y = c c  d a +) Đồ thị có tâm đối xứng: I  − ;   c c ad − bc  +) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x = − ad − bc  y O y O x x BÀI SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Phương pháp: Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đồ thị (C) (C’) +) Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’): f ( x ) = g ( x ) +) Giải phương trình tìm x từ suy y tọa độ giao điểm +) Số nghiệm (*) số giao điểm (C) (C’) BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị) +) Lập phương trình hồnh độ giao điểm dạng F ( x, m ) = (phương trình ẩn x tham số m) +) Cơ lập m đưa phương trình dạng m = f ( x ) +) Lập BBT cho hàm số y = f ( x ) +) Dựa giả thiết BBT từ suy m *) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên m độc lập với x Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc +) Lập phương trình hồnh độ giao điểm F ( x, m ) = +) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x = x nghiệm phương trình x = x0 +) Phân tích: F ( x, m ) =  ( x − x ) g ( x ) =   (là g ( x ) = phương trình bậc g ( x ) = ẩn x tham số m ) +) Dựa vào yêu cầu toán xử lý phương trình bậc g ( x ) = Phương pháp 3: Cực trị *) Nhận dạng: Khi tốn khơng lập m không nhẩm nghiệm *) Quy tắc: +) Lập phương trình hồnh độ giao điểm F ( x, m ) = (1) Xét hàm số y = F ( x, m ) Trang TÓM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 +) Để (1) có nghiệm đồ thị y = F ( x, m ) cắt trục hoành điểm (2TH) - Hoặc hàm số đơn điệu R  hàm số khơng có cực trị  y ' = vơ nghiệm có nghiệm kép   y'  y y f(x) = x3 3∙x O q( x ) = x + x + O - Hoặc hàm số có CĐ, CT ycd yct  (hình vẽ) +) Để (1) có nghiệm đồ thị y = F ( x, m ) cắt trục hoành điểm phân x x y y biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  O f(x) = x x O 3∙x + x f(x) = x3 + 3∙x + +) Để (1) có nghiệm đồ thị y = F ( x, m ) cắt trục hoành điểm phân y y biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct = O g( x ) = x 3∙x + O x x f(x) = x3 + 3∙x + Bài tốn: Tìm m để đồ thị hàm bậc cắt trục hoành điểm lập thành cấp số cộng: Định lí vi ét: b c *) Cho bậc 2: Cho phương trình ax + bx + c = có nghiệm x1 , x ta có: x1 + x = − , x1x = a a *) Cho bậc 3: Cho phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm x1 , x , x ta có: b c d x1 + x + x = − , x x + x x + x x = , x x x = − a a a 2.Tính chất cấp số cộng: Cho số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì: a + c = 2b Phương pháp giải toán: b +) Điều kiện cần: x0 = − nghiệm phương trình Từ thay vào phương trình để tìm m 3a +) Điều kiện đủ: Thay m tìm vào phương trình kiểm tra BÀI TOÁN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC ax + b Phương pháp : Cho hàm số y = ( C ) đường thẳng d : y = px + q Phương trình hồnh độ giao điểm cx + d ax + b = px + q  F ( x, m ) = (phương trình bậc ẩn x tham số m) (C) (d): cx + d *) Các câu hỏi thường gặp: d Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt khác − c Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C)  (1) có nghiệm phân biệt x1 , x thỏa mãn : − d  x1  x c Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh trái (C)  (1) có nghiệm phân d biệt x1 , x thỏa mãn x1  x  − c Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh (C)  (1) có nghiệm phân biệt x1 , x d  x2 c *) Chú ý: Công thức khoảng cách: thỏa mãn x1  − +) A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) : AB = ( xB − x A ) ( + yB − yA ) Ax0 + By0 + C  M ( x0 ; y0 ) +)   d ( M , ) = A2 + B  : Ax0 + By0 + C = BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC TRÙNG PHƯƠNG: ax + bx + c = (1) Nhẩm nghiệm: - Nhẩm nghiệm: Giả sử x = x nghiệm phương trình  x =  x0 - Khi ta phân tích: f ( x, m ) = ( x − x02 ) g ( x ) =   g ( x) = - Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc : g ( x ) = Ẩn phụ - tam thức bậc 2: - Đặt t = x , ( t  ) Phương trình: at + bt + c = (2) t  = t2 - Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 , t thỏa mãn:   t1 = t = t   t2 - Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 , t thỏa mãn:    t1 = t - Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 , t thỏa mãn: = t1  t - Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 , t thỏa mãn:  t1  t Bài tốn: tìm m để ( C ) : y = ax + bx + c cắt trục Ox điểm pbiệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng - Đặt t = x , ( t  ) Phương trình: at + bt + c = (2) - Để (1) cắt (Ox) điểm phân biệt (2) phải có nghiệm dương t1 , t ( t1  t ) thỏa mãn t = 9t1 - Kết hợp t = 9t1 vơi định lý vi – ét tìm m 100 ac BÀI TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán 1: Tiếp tuyến điểm M ( x ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số: * Giải nhanh : b = Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) điểm M ( x ; y0 )  ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M - Tính đạo hàm y / Tìm hệ số góc tiếp tuyến y(/x0 ) - Phương trình tiếp tuyến điểm M là: y = y(/x0 ) ( x − x0 ) + y0 Bài tốn 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi (  ) tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 - Giả sử M ( x ; y0 ) tiếp điểm Khi x thỏa mãn: y(/x0 ) = k (*) - Giải (*) tìm x Suy y0 = f ( x ) - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x ) + y0 Bài toán 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) điểm A ( a; b ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A - Gọi (  ) đường thẳng qua A có hệ số góc k Khi (  ) : y = k ( x − a ) + b (*) f ( x ) = k ( x − a ) + b (1) - Để (  ) tiếp tuyến (C)   có nghiệm ( 2) f ' ( x ) = k - Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm * Chú ý: Hệ số góc tiếp tuyến với (C) điểm M ( x ; y0 ) thuộc (C) là: k = y(/x0 ) Cho đường thẳng ( d ) : y = ax + b +) (  ) / / ( d )  k = a +) (  ) ⊥ ( d )  k a = −1  k = − a k − a +) ( , Ox ) =   k =  tan  + k a Tiếp tuyến điểm cực trị đồ thị (C) có phương song song trùng với trục hồnh Cho hàm số bậc 3: y = ax3 + bx + cx + d , ( a  ) +) Khi a  : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc nhỏ +) Khi a  : Tiếp tuyến tâm đối xứng (C) có hệ số góc lớn +) ( , d ) =   tan  = Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 PHẦN : MŨ VÀ LÔGARIT BÀI LŨY THỪA Định nghĩa luỹ thừa Số mũ   = n N*  =0 Cơ số a Luỹ thừa a  a n = a.a a (n thừa số a) a0 = 1 a−n = n a aR a0  = −n ( n  N * ) a0 m (m  Z , n  N * ) a0 n  = lim rn (rn  Q, n  N * ) a0 Tính chất luỹ thừa • Với a > 0, b > ta có: m n = a = n a m ( n a = b  bn = a) a = lim a rn  a a a  −        a a = a ; =a ; (a ) = a ; (ab) = a b ;   =  a b b     •  a 1 : a  a     a 1 : a  a     ; • Với  a  b ta có: a m  bm  m  ; a m  bm  m  Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương Định nghĩa tính chất thức • Căn bậc n a số b cho b n = a • Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: p a na n m n n n ab = n a n b ; = n (b  0) ; a = m n a a p = ( n a ) (a  0) ; b b p q Nếu = n a p = m a q (a  0) ; Đặc biệt n a = mn a m n m • Nếu n số nguyên dương lẻ a < b n a  n b Nếu n số nguyên dương chẵn < a < b n a  n b Chú ý: + Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu n a + Khi n chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối BÀI HÀM SỐ LŨY THỪA 1) Hàm số luỹ thừa y = x ( số)    + Số mũ  Hàm số y = x Tập xác định D  = n (n nguyên dương) y=x n D=R  = n (n nguyên âm n = 0) y=x n D = R \ {0}  y=x  số thực không nguyên D = (0; +) n Chú ý: Hàm số y = x không đồng với hàm số y = n x (n  N*) 2) Đạo hàm ( u ) =  u −1.u ( x ) =  x −1 ( x  0) ; • u  Chú ý:  ( n u ) = n n u n −1 Trang TÓM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 BÀI LƠGARIT Định nghĩa • Với a > 0, a  1, b > ta có: log a b =   a  = b a  0, a  Chú ý: log a b có nghĩa  b  • Logarit thập phân: lg b = log b = log10 b n • Logarit tự nhiên (logarit Nepe): Tính chất • log a = ;  1 ln b = log e b (với e = lim 1 +   2, 718281 )  n log a a = ; log a ab = b ; a loga b = b (b  0) • Cho a > 0, a  1, b, c > Khi đó: + Nếu a > log a b  log a c  b  c + Nếu < a < log a b  log a c  b  c Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có: b • log a (bc) = log a b + log a c • log a   = log a b − log a c • log a b =  log a b c Đổi số Với a, b, c > a, b  1, ta có: log a c • logb c = hay log a b.log b c = log a c log a b 1 • log a b = • log a c = log a c (  0) log b a  BÀI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT x 1) Hàm số mũ y = a (a > 0, a  1) • Tập xác định: D = R • Tập giá trị: T = (0; +) • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang • Đồ thị: Các qui tắc tính logarit y a 1 y = ax y y = ax x x  a 1 2) Hàm số logarit y = log a x (a > 0, a  1) • Tập xác định: D = (0; +) • Tập giá trị: T = R • Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghịch biến • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng • Đồ thị: Trang 10 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Tháng (n = 2): A = a (1 + r ) + a (1 + r ) r = a (1 + r ) ………………… n –1 n –1 n Tháng n (n = n): A = a (1 + r ) + a (1 + r ) r = a (1 + r ) Vậy T = a (1 + r ) n (*) Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng PHẦN : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BÀI ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K nếu: F '( x) = f ( x) , x  K • Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là:  f ( x)dx = F ( x) + C , C  R • Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất •  f '( x)dx = f ( x) + C  f (x)  g(x)dx =  f (x)dx   g(x)dx •  kf ( x)dx = k  f ( x)dx (k  0) • BẢNG NGUYÊN HÀM Trang 13 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Ngun hàm hàm số sơ cấp: 1/  kdx = kx + C Nguyên hàm hàm số thường gặp: ( ax + b ) 1/  ( ax + b ) dx = +C a n +1 1 2/  dx = ln ax + b + C ax + b a /  e ax +b dx = eax +b + C a k ax +b /  k ax +b dx = +C a ln k /  cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a /  sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C a 7/ dx =  (1 + tan (ax + b))dx cos (ax + b) = tan(ax + b) + C a 8/  dx =  (1 + cot (ax + b))dx sin (ax + b) = − cot(ax + b) + C a n +1 n x n +1 /  x dx = +C n +1 /  dx = ln x + C x 1 4/  dx = − + C x x 5/  dx = x + C x 6/  xdx = x +C n /  e x dx = e x + C ax +C ln a /  cos xdx = sin x + C /  a x dx = 10 /  sin xdx = − cos x + C dx =  (1 + tan x ) dx = tan x + C cos x 12 /  dx =  (1 + cot x ) dx = − cot x + C sin x dx x−a = ln + C, a  13/  2 x −a 2a x + a 11/  14/  tan xdx = − ln cos x + C 15/  cot xdx = ln sin x + C BÀI PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số  f u ( x ) u ' ( x ) dx = F u ( x ) + C BÀI PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN  udv = u.v −  vdu (*) + Phương pháp chủ yếu dùng cho biểu thức dạng  f (x).g(x)dx trường hợp sau: +Phương pháp lấy nguyên hàm phần : Công thức Chú ý: Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: b  f( x).e dx x a b b b b a a a a  f ( x).cos xdx  f ( x).sin xdx  f ( x).l n xdx  f(x ).k x b dx  f (x ).logk xdx a u f(x) f(x) f(x) lnx f(x) dv e x dx cosxdx sin xdx f ( x ) dx k x dx logk x f ( x ) dx BÀI TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân • F(x) ngun hàm hàm số y = f ( x ) Công thức tính tích phân: Trang 14 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 b I =  f ( x)dx = F ( x ) = F (b) − F (a ) b a a • Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a I =  f ( x)dx =  f (t )dx =  f (u )dx = F (b) − F (a ) • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang b cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b là: S =  f (x)dx a Tính chất tích phân b • b a a b b a a b b  f (x)  g(x)dx =  f (x)dx   g(x)dx • Nếu f(x)  [a; b]  f (x)dx  a b c a b a a c •  f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx a b b •  kf (x)dx = k  f (x)dx (k: const) •  f (x)dx = −  f (x)dx •  f (x)dx = b b a a • Nếu f(x)  g(x) [a; b]  f (x)dx   g(x)dx a Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số • Bước 1: Đặt t = u ( x)  dt = u ' ( x)dx t = u (b) x=b • Bước 2: Đổi cận :  x=a t2 = u (a ) • b b t1 a a t2 Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo t I =  f ( x)dx =  g u ( x) .u '( x)dx =  g (t )dt b) Phương pháp tích phân phần: / • Bước 1: Viết f ( x ) dx dạng u ( x)v ( x)dx • u = u ( x ) Bước 2: Đặt :  / • b b b b Bước 3: Tính I =  f ( x ) dx =  udv = ( uv ) −  vdu a a a a /  du = u ( x ) dx   dv = v ( x ) dx  v = v ( x ) BÀI ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH b 1) Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi: (C) y = f(x), Trục hoành (Ox), x = a, x = b là: S =  f (x)dx a b 2) Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x), y = g(x) , x = a, x = b là: S =  f (x) − g(x)dx a Chú ý: • Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) khơng đổi dấu thì: b b a a  f (x)dx =  f (x)dx • Trong cơng thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng cơng thức phân đoạn: Trang 15 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 b c d b c d b a c d a c d  f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx +  f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx +  f (x)dx a (vì đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) BÀI ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH • Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm điểm a b S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (a  x  b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] b Thể tích B là: V =  S ( x)dx a • Thể tích khối trịn xoay: Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) b sinh quay quanh trục Ox: V =   f ( x)dx a Chú ý: Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung d quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là: V =   g ( y )dy c PHẦN : SỐ PHỨC Khái niệm số phức • Tập hợp số phức ký hiệu là: • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b  R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) • z số thực  phần ảo z (b = 0) z ảo  phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo a = a ' (a, b, a ', b '  R ) • Hai số phức nhau: a + bi = a’ + b’i   b = b ' Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R) biểu diễn điểm M(a; b) hay u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức: • ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i • ( a + bi ) − ( a’ + b’i ) = ( a − a’) + ( b − b’) i • Số đối z = a + bi –z = –a – bi • u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u + u ' biểu diễn z + z’ u − u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : • ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i • k (a + bi ) = ka + kbi (k  R ) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi z  z z.z = a + b • z = z ; z  z ' = z  z ' ; z.z ' = z.z ';   = ;  z2  z2 • z số thực  z = z ; z số ảo  z = − z Môđun số phức : z = a + bi • z = a + b2 = zz = OM z =0z=0 • z  0, z  C , Trang 16 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 • z.z ' = z z ' Chia hai số phức: • z −1 = z (z  0) z Căn bậc hai số phức: • z z = z' z' • • z − z'  z  z'  z + z' z' z '.z z '.z = z 'z −1 = = z z.z z • z' = w  z ' = wz z x − y2 = a • z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi  z = w    2xy = b • w = có bậc hai z = • w  có hai bậc hai đối • Hai bậc hai a >  a • Hai bậc hai a <  −a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A  )  = B2 − 4AC −B   •   : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 = , (  bậc hai ) 2A B •  = : (*) có nghiệm kép: z1 = z = − 2A Chú ý: Nếu z0  C nghiệm (*) z0 nghiệm (*) Trang 17 TÓM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 PHẦN : ĐA DIỆN, NĨN, TRỤ, CẦU I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos  = (KỀ chia HUYỀN) BC BC AC AB tan  = (ĐỐI chia KỀ) cot  = (KỀ chia ĐỐI) AB AC B sin  = II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) => AB = BC − AC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH A  H C AB2 = BH.BC 1 = + 2 AH AB AC III ĐỊNH LÍ CƠSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC a b c A IV ĐỊNH LÍ SIN = = = 2R sin A sin B sin C V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC N M AM AN MN AM AN a) ; b) = = = AB AC BC MB NC VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG B C Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp) a a2 Tam giác cạnh a: a) Đường cao: h = ; b) S = c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vuông: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vng cân (nửa hình vng): a) S = a2 (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a 2 A Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có góc 30o 60o BC BC b) BC = 2AB c) AC = d) S = 60 o 30 o B C Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) Hình thoi: S = d1.d (d1, d2 đường chéo) A S = (a + b ).h Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) N M 10 Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 11 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) G 12 Đường tròn: a) C =  R b) S =  R2 (R: bán kính đường trịn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC B P Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác C Trang 18 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm Đường cao: Giao điểm đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tgiác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đ tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Đường thẳng d vng góc với mp (  ): () ⊥ () d ⊥ a; d ⊥ b   a) a  b b) ()  () = a  d ⊥ (  ) d ⊥ () d a ⊥ d  () a, b     A c) Đt d vng góc với mp (  ) d vng góc với đt nằm mp (  ) Góc  đt d mp (  ): d cắt (  ) O A  d O  AH ⊥ () d' Nếu  góc d (  )  hay AOH =  H   H  ( ) Góc mp (  ) mp (  ):  ()  () = AB F  Nếu FM ⊥ AB; EM ⊥ AB góc (  ) (  )  hay EMF =  EM  (), FM  ()  E Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ): B  Nếu AH ⊥ (  ) d(A, (  )) = AH (với H  (  )) M IX DIỆN TÍCH HÌNH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:  A V = h.Sđáy Thể tích khối lăng trụ: Diện tích xq hình nón tròn xoay: h.Sđáy VS.ABC SA SB SC = VS.ABC SA SB SC S xq =  rl Thể tích khối nón trịn xoay: V = Diện tích xq hình trụ trịn xoay: S xq Thể tích khối trụ trịn xoay: V = h.Sđáy = h. r ( h: chiều cao khối trụ) Thể tích khối chóp: Tỉ số thể tích khối chóp tam giác: Diện tích mặt cầu: Thể tích khối cầu: V = 1 h.Sđáy = h. r (diện tích đáy đường trịn) 3 = 2 rl (r: bk đường tròn; l: đường sinh) S xq = 4 R (R: bk mặt cầu ) V =  R (R: bán kính mặt cầu) Trang 19 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 I KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: + Các mặt đa giác p cạnh + Mỗi đỉnh đỉnh chung q cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại  p, q Định lí           Chỉ có loại khối đa diện Đó loại 3; , loại 4; , loại 3; , loại 5; , loại 3;5 Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Số MPĐX Tứ diện 3; 3 Khối lập phương 12 4; 3 Bát diện 12 3; 4 Mười hai mặt 20 30 12 5; 3 15 Hai mươi mặt 12 30 20 3;5 15   Chú ý: Giả sử khối đa diện loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt Khi đó: p Đ = 2C = nM Trang 20 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 PHẦN : HÌNH KHÔNG GIAN OXYZ I TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) AB = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2 a  b = ( a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ) z k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 ) a = a12 + a22 + a32 k ( 0;0;1)  a1 = b1  a = b  a2 = b2 a = b  3 j ( 0;1;0 ) a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 y O a / / b  a = k b  a  b =  a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 x i (1;0;0 ) a ⊥ b  a.b =  a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = 10 cos(a,b) = a.b a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a + a22 + a32 b12 + b22 + b32 a 11 Tích cóhướ ng : a  b =  a, b  =   b2 ( a3 a3 , b3 b3 )  ( a  b ) c  a1 a1 , b1 b1 a2   b2  12 a, b, c đồng phẳng  a  b c = 13 a, b, c không đồng phẳng y −kyB z −kzB   x −kxB 14 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M  A , A , A  1− k 1− k   1− k  x + x y + yB z A + z B  15 M trung điểm AB: M  A B , A ,  2    x + x + x y + yB + yC z A + zB + zC 16 G trọng tâm tam giác ABC: G  A B C , A , 3   ,  17 Véctơ đơn vị : i = (1, 0, 0); j = (0,1, 0); k = (0, 0,1) 18 M ( x, 0, 0)  Ox; N (0, y, 0)  Oy; K (0, 0, z )  Oz 19 M ( x, y, 0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x, 0, z )  Oxz 1 a1 + a22 + a32 20 SABC = AB  AC = 2 AB  AC AD 21 VABCD = ( ) 22 VABCD A/ B/ C / D/ = ( AB  AD) AA/ II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mp() : n ≠ véctơ pháp tuyến   n ⊥ () Cặp véctơ phương mp() : a , b cặp vtcp mp()  gía véc tơ a , b // () Trang 21 TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12       Quan hệ vtpt n cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]  Pt mp() qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C) A ( x – xo ) + B ( y – yo ) + C ( z – zo ) =  (): Ax + By + Cz + D = ta có n = (A; B; C) x y z Phương trình mặt phaúng qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : + + =1 a b c Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: điểm véctơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = ; (Oxz) : y = ; (Oxy) : z = Chùm mặt phẳng : Giả sử 1  2 = d đó: (1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ; ( ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Phương trình mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ : m ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Để lập phương trình mặt phẳng  ta cần xác định điểm thuộc  VTPT ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) Dạng 1:  qua điểm M x ; y ; z có VTPT n = A; B;C : ( ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ( ) ( ) Dạng 2:  qua điểm M x ; y ; z có cặp VTCP a ,b : ( ) Khi VTPT  n = a , b  ( ) ( ) Dạng 3:  qua điểm M x ; y ; z song song với mặt phẳng (  ) : Ax + By + Cz + D = ( ) : A (x − x ) + B (y − y ) + C (z − z ) = 0 ( ) 0 Dạng 4:  qua điểm không thẳng hàng A, B,C ( ) Dạng 5: ( ) qua điểm M đường thẳng (d ) không chứa M : – Trên (d ) lấy điểm A VTCP u – Một VTPT ( ) là: n = AM , u  Dạng 6: ( ) qua điểm M , vng góc với đường thẳng (d ) : VTCP u đường thẳng (d ) VTPT ( ) Dạng 7: ( ) qua đường thẳng cắt d , d : Khi ta xác định VTPT  là: n = AB, AC  – Xác định các VTCP a ,b các đường thẳng d1, d2 ( ) – Một VTPT  là: n = a , b  ( ) – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M   ( ) Dạng 8:  chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 ( d1, d2 chéo ) : – Xác định các VTCP a ,b các đường thẳng d1, d2 ( ) – Một VTPT  là: n = a , b  Trang 22 TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 ( ) – Lấy điểm M thuộc d1  M   ( ) Dạng 9:  qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2 : – Xác định các VTCP a ,b các đường thẳng d1, d2 ( ) – Một VTPT  là: n = a , b  ( ) ( ) ( ) – Xác định VTCP u ( d ) VTPT n (  ) – Một VTPT ( ) là: n = u, n  – Lấy điểm M thuộc d  M  ( ) Dạng 11: ( ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt  (  ) , (  ) : – Xác định các VTPT n , n (  ) (  ) – Một VTPT ( ) là: n = u , n  Dạng 12: ( ) qua đường thẳng ( d ) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k Dạng 10:  qua đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  :       ( cho trước: ) – Giả sử () có phương trình: Ax + By + Cz+D = A2 + B + C  () ( ) ( ) (2 )) – Từ điều kiện khoảng cách d (M ,( )) = k , ta phương trình ( ) – Giải hệ phương trình (1) , (2 ) , ( ) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm các ẩn cịn lại) Dạng 13: ( ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) điểm H : – Giả sử mặt cẩu ( S ) có tâm I bán kính R – Một VTPT ( ) là: n = IH – Lấy điểm A, B  d  A, B   ( ta hai phương trình , III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG  x = x0 + a1t  Phương trình ttham số đường thẳng :  y = y0 + a2t (t  R) z = z + a t  Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a = (a1; a2 ; a3 ) vtcp đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 Phương trình tắc đuờng thẳng : = = a1 a2 a3 Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a = (a1; a2 ; a3 ) vtcp đường thẳng  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = Phương trình tổng quát đường thẳng:  (với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2)  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = n1 = ( A1; B1; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) hai VTPT VTCP u = [n1 , n2 ] y = x = x = †Chú ý: a Đường thẳng Ox:  ; Oy:  ; Oz:  z = z = y = b Đường thẳng (AB): Có VTCP u AB = AB Trang 23 TÓM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 c 12  u1 = u2 d 1⊥2  u1 = n2 CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Dạng 1: d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) :  x = xo + a1t  (d ) :  y = yo + a2t z = z + a t o  ( t  R) Dạng 2: d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP  VTCP d Dạng 4: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) vng góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d ⊥ P nên VTPT ( ) ( ) ( ) P VTCP d ( ) (Q) : Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng P , • Cách 1: Tìm điểm VTCP  (P ) – Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị ( Q )   cho ẩn) – Tìm VTCP d : a =  nP , nQ  • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) vng góc với hai đường thẳng d1, d2 : Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên VTCP d là: a =  ad1 , ad2  Dạng 7: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) , vng góc cắt đường thẳng  • Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng  H    M 0H ⊥ u  Khi đường thẳng d đường thẳng qua M 0, H • Cách 2: Gọi ( P ) mặt phẳng qua A vng góc với d ; (Q ) mặt phẳng qua A chứa d ( ) ( ) Khi d =   P  Q Dạng 8: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : • Cách 1: Gọi M1  d1, M  d2 Từ điều kiện M , M1, M thẳng hàng ta tìm M1, M Từ suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: Gọi P = (M 0, d1 ) , Q = (M 0, d2 ) Khi d = P  Q Do đó, VTCP d có ( ) ( ) thể chọn a = nP , nQ  Dạng 9: d nằm mặt phẳng ( ) ( ) (P ) ( ) ( ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : Tìm các giao điểm A = d1  P , B = d2  P Khi d đường thẳng AB Trang 24 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Dạng 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) ( ) (P ) ( ) chứa  d1, mặt phẳng Q chứa  d2 Khi d = P  Q Dạng 11: d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: MN ⊥ d1 • Cách 1: Gọi M1  d1, M  d2 Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d đường MN ⊥ d2 thẳng MN • Cách 2: – Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad , ad   2 – Lập phương trình mặt phẳng P chứa d d1, cách: ( ) + Lấy điểm A d1 ( ) + Một VTPT P là: nP = a , ad    – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứa d d2 ( ) ( ) ( ) Khi d = P  Q ( ) Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng P : • Lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứa  vng góc với mặt phẳng ( P ) cách: – Lấy M   – Vì Q chứa  vng góc với P nên nQ = a  , nP  ( ) ( ) ( ) ( ) Khi d = P  Q Dạng 13: d qua điểm M, vuông góc với d1 cắt d2 : • Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng P qua M vng góc với d1 ( ) – Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa M Khi d = ( P )  (Q ) d2 IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kính R Dạng 1: ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c) = R (S) Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( ) với a + b + c − d  S có tâm I ( −a; −b; −c ) bán kính R = a + b2 + c − d ( ) Để viết phương trình mặt cầu S , ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu ( ) 1: S có tâm I ( a; b; c ) bán kính R : (S): ( x − a)2 + ( y − b) + ( z − c) = R Trang 25 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 ( ) 3: (S ) nhận đoạn thẳng AB 2: S có tâm I ( a; b; c ) qua điểm A : Khi bán kính R = IA cho trước làm đường kính: –Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : x +x y + yB z +z xI = A B ; y I = A ; zI = A B 2 AB – Bán kính R = IA = 4: S qua bốn điểm A, B, C , D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ): ( ) ( ) – Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng: () x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d =  * () – Thay toạ độ các điểm A, B, C , D vào  * , ta phương trình ( ) – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu S ( ) ( ) 5: S qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng P cho trước: Giải tương tự dạng ( ( )) ( ) tiếp xúc với mặt cầu (T ) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R ' mặt cầu (T ) ( ) 7: (S ) có tâm I 6: S có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng P cho trước: Khi bán kính R = d I ; P ( ) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu S (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) V KHOẢNG CÁCH AB = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2     Cho M ( xM ; yM ; zM ) , mp( ) : Ax + By + Cz + D = ,  : M ( x0 ; y0 ; z0 ) , u ,  ' : M ' ( x0 '; y0 '; z0 ') , u ' AxM + ByM + CZ M + D a Khoảng cách từ M đến mặt phẳng : d ( M , ( ) ) = b Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d ( M , ) = A2 + B + C [ MM , u ] u c Khoảng cách hai đường thẳng: d (, ’) = [u, u '].M M '0 [u, u '] VI GÓC ( ) Góc hai véc tơ u , v : cos u, v = u.v u.v Góc hai đường thẳng có vectơ phương u , v : cos  = cos(u; v) = u.v u.v = aa ' + bb' + cc ' a +b +c a +b +c 2 '2 '2 '2 , (0    900 ) Trang 26 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Cho đường thẳng d có vecto phương u = (a; b; c) mặt ( ) có pháp tuyến n = ( A; B; C ) ,  góc đường thẳng mặt phẳng đó: u.n aA + bB + cC sin  = = 2 u n a + b + c A2 + B + C Góc hai mặt phẳng (), (’) có véc tơ pháp tuyến n, n ' : n.n ' cos((),(’))=cos= n n' VII VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐIỂM, MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU Vị trí tương đối hai mặt phẳng: ( ) , (  ) có véc tơ pháp tuyến (A1; B1; C1), (A2; B2; C2): ( ) cắt (  ) : A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 A B C D ( ) / /(  ) : = =  , (với điều kiện thỏa mãn) A2 B2 C2 D2 A B C D ( )  (  ) : = = = , (với điều kiện thỏa mãn) A2 B2 C2 D2 ( ) ⊥ (  ) : A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = Vị trí tương đối đường thẳng: (d) qua M có vtcp a d , (d’) qua N có vtcp a d / d, d’ song song  { a d // a d / M  (d / ) } d, d’ trùng  { a d // a d / M  (d / ) } Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Cho mp  : Ax + By + Cz + D = mặt cầu S : (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 ( ) • ( ) (S ) khơng có điểm chung • ( ) tiếp xúc với (S ) ( )  d (I ,( ))  R ( ) tiếp diện  d (I ,( )) = R Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S vng góc với  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H d  H tiếp điểm S với  • ( ) cắt (S ) theo đường tròn  d (I ,( ))  R Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I S vng góc với  ( ) ( ) ( ) – Tìm toạ độ giao điểm H d  ( ) ( ) H tâm đường tròn giao tuyến S với  Bán kính r đường tròn giao tuyến: r = R − IH Trang 27 ... LÝ THUYẾT TOÁN 12 a d TCN: y = c c  d a +) Đồ thị có tâm đối xứng: I  − ;   c c ad − bc  +) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x = − ad − bc  y O y O x x BÀI SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TOÁN... là: y = y(/x0 ) ( x − x0 ) + y0 Bài toán 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Gọi (  ) tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k Trang TĨM TẮT LÝ THUYẾT TOÁN 12 - Giả sử M ( x ; y0 ) tiếp điểm Khi... A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Tháng (n = 1): A = a + ar = a (1 + r ) Trang 12 TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12 Tháng (n = 2): A = a (1 + r ) + a (1 + r ) r = a (1 + r ) ………………… n –1 n –1 n Tháng