ly thuyet toan 12 trung học phổ thông nguyễn viết tý thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó... Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song [r]

PHẦN 1

CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( bước làm tốn )

Hàm số bậc ba :y ax 3bx2cx d

Hàm số bậc bốn :y ax 4bx2c Hàm soá

ax b y

cx d  

 c0,ad bc 0

 Tập xác định : D = R  Đạo hàm : y’=

y’=  x = ?

lim ?

x  y xlim y?

 Bảng biến thiên :

 Các khỏang đồng biến , nghịch biến , điểm

cực đại , điểm cực tiểu

 y’’=

y’’=  x = ?

Bảng xét dấu y’’:

 Các khỏang lồi , lõm , điểm uốn

 Vẽ đồ thị :

 Tập xác định : D = R\

d c  

    

 Đạo hàm : y’=  

2

ad bc cx d

 

 y' 0 ( y’<0 ) ,  x D

y’ không xác định

d x

c  

 Tiệm cận :

Tiệm cận đứng :

d x

c 

.Tieäm caän ngang :

a x

c 

 Bảng biến thiên :

 Các khỏang đồng biến (hoặc nghịch

biến ) Hàm số khơng có cực trị

 Vẽ đồ thị :

Bài tập : 1/ Khảo sát hàm số :

a/ y= x3 2x2 x 1 b/ y= x33x2 3x1 c/ y=

4

1

4x 2x

 

d/ y=

2

2

x x  

e/ y=

4

2 x f/ y =

3

x x 

 g/

2 2 2

1

x x y

x   

 h/

2 2

1

x x y

x   



Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Chú ý :

 y’ (x0) hệ số góc tiếp tuyến của ( C ) điểm M ( x0 ; y0 )  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b y’ (x0) = a  Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b y’ (x0) = −1a

Bài tập :

Phương trình tiếp tuyến với (C) đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M (x0 ; y0 ) là: y – y0 = y’ (x0) ( x – x0 )

2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =

2

x x 

 tại giao điểm với trục hồnh

3/ Cho hàm số y = x3

3 −2x

2

+3x+1 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C) :

a/ Tại điểm có hồnh độ x0 = 12

b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x –

4/ Cho hàm số y = x4 2x2 3 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C) :

a/ Tại giao điểm ( C ) trục tung

b/ Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = 24 x +1

Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Bài toán: Dựa vào đồ thị ( C) hàm số y =f(x) ,

Biện luận số nghiệm phương trình : F(x , m ) = ( với m tham số ).

Caùch giải :

Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài tốn: Tìm giátrị lớn – giá trị nhỏ hàm số y= f (x)

Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ]

 Tính y’

 Lập bảng biến thiên (a ; b )  Kết luận :  ; 

max CD

a b yy

mina b; yyCT

 Tính y’

 Giải pt y’ = tìm nghiệm x0a b;   Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)

Chọn số lớn M , kết luận :maxa b; y M

Chọn số nhỏ m , kết luận :mina b;  y m

Bài tập

5/Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau tập tương ứng : a/ f x 2x3 3x212x1

5 2;

2

    

  b/ f x x2.lnx treân 1;e

c/  

4

2

f x x x   

 treân 1; 2 e/ y=x+cos

2 x

treân [0;

π

2]

f/ y=(x+2).√4− x2 tập xác định g/ y = x3 + 3x2 - 9x – treân [ - ; ]

h/ y = x +

1

x treân 1; m/ y= cos 2x4sinx treân 0;2

      

6/ Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau :

 Chuyển phương trình : F(x , m ) = dạng : f(x) = h(m) (*)

 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( C) đường thẳng

(d) : y= h (m)

 Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết :

( Nếu (d) (C ) có ngiao điểm (*) có nnghiệm đơn Nếu (d) (C ) có giao điểm (*) vô nghiệm

1/ y =

2

2

x x



 2/ y =

3

3

x x 

 3/ y =

2 2 3

6

x x x  

 4/ y =

5

x 

 5/

2

2

1

x x y

x   



CÁC DẠNG TÓAN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ A TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Giao điểm hai đồ thị.

Hòanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) y = g(x) nghiệm phương trình:

f(x) = g(x) (1)

Do đó, số nghiệm phân biệt (1) số giao điểm hai đường cong 2 Sự tiếp xúc hai đường cong.

a) Hai đường cong y = f(x) y = g(x) gọi tiếp xúc với điểm M(x0 ; y0 ) chúng có tiếp chung M Khi đó, M gọi tiếp điểm

b) Hai đường cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình

¿ f(x)=g(x) f '(x)=g '(x)

¿{ ¿

có nghiệm Nghiệm hịanh độ tiếp điểm

B.BÀI TẬP.

1 Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị:

a) y = x3 + 4x2 + 4x + y = x + 1 b) y = x3 + 3x2 + y = 2x + 5

c) y = x3 – 3x y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – y = x2 + 1

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh ba điểm phân

biệt

3) Tìm m để đồ thị hàm số y = 13x3− x+m cắt trục hòanh ba điểm phân biệt

4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + khơng cắt trục hịanh.

5) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hòanh điểm phân biệt.

6) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y = 2xx −1

+1

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị

7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số y = 2x2+3x+3 x+1

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị

8) Tìm m để đường thẳng qua điểm A( -1 ; -1) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = 2xx+2

+1

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc nhánh

9) Chứng minh (P) : y = x2 -3x – tiếp xúc với (C) : − x2+2x −3

x −1

10) Tìm m cho (Cm) : y = x

2

+m

x −1 tiếp xúc với đường thẳng y = -x +

12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.

TIẾP TUYẾN A.TÓM T T GIÁO KHOA.Ắ

1) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) điểm M0(x0 ; y0)

(C)

y = y’(x0)(x – x0) + y0

2 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k

Gọi M0(x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến (C) M0 là:

y = y’(x0)(x – x0) + y0

Giải phương trình y’(x0) = k tìm x0 y0

3.Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến qua A(xA ; yA)

Gọi (Δ) đường thẳng qua A có hệ số góc k

Phương trình (Δ) : y = k(x – xA) + yA

(Δ) tiếp xúc (C)

⇔

f(x)=k(x − xA)+yA

f '(x)=k

¿{

có nghiệm, nghiệm hệ hịanh độ tiếp điểm

B BÀI TẬP.

1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) :

a) Tại điểm uốn (C)

b) Tại điểm có tung độ -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x –

d) Vng góc với đường thẳng d2 : x + 24y =

2 Cho (C) : y = x −x

+2 Viết phương trình tiếp tuyến (C):

a) Tại giao điểm (C ) với trục Ox

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –

c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x

d) Tại giao điểm hai tiệm cận 3.Cho (C ) : y = x2+x −1

x −1 Viết phương trình tiếp tuyến (C ):

a) Tại điểm có hịanh độ x =

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + = c) Vuông góc với tiệm cận xiên

4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a) y = x3 – 3x + qua điểm A(1 ; 0)

b) y = 12 x4−3x2+3

2 qua điểm A(0 ; 2¿

d) y = x2−4x+5

x −2 qua điểm A(2 ; 1)

Phaàn

HAØM LUỸ THỪA , HAØM SỐ MŨ VAØ HAØM SỐ LOGARIT

CHỦ ĐỀ 2 : HAØM SỐ LŨY THỪA , HAØM SỐ MŨ VAØ HAØM SỐ LƠGARÍT

1/ Phương trình mũ- lôgarít :

Dạng ax= b ( a> , a0 )

 b0 : pt vô nghiệm  b>0 : log

x

a

a  b x b

Daïng logax b ( a> , a0 )

 Điều kiện : x >

 log

b a x b  x a

2/Bất phương trình mũ- lôgarít :

Dạng ax > b ( a> , a0 )

 b0 : Bpt có tập nghiệm R  b>0 :

ax b xlogab , a>1

ax b xlogab, < a <

Daïng logax b ( a> , a0 )

 Điều kiện : x >

 log

b

a x b  x a , a >1

loga x b  x a b , < x <

3/ Cách giải :Đưa số – Đặt ẩn phụ Bài tập

7/ Giải phương trình :

1/ 3x1 3x2 3x3 9.5x 5x1 5x2

     2/ 2.16x - 17.4x + = 3/ log4(x +2 ) = log2x 4/ 34x8 4.32x5 27

   5/ 4x1 6.2x1 8 0 6/ log3xlog3x2 1 7/

2 3

7 11

11

x x

        

    8/

2 5 4

4

x  x

 

  

  9/31x 31x 10

 

10/

7

log log

6

x  x 

11/ log ❑3

2

x+3 log1

2

x+2=0

12/ 4log9 xlog 3x 

13/ lnx + ln(x+1) = 14/ 3.25x + 49x = 35x 15/

3 27

9 81

1 log log

1 log log

x x

x x

 



 

8 / Giải bất phương trình : 1/ 2x23x 4

 2/ 16x 4x 0 3/ 13 

log x1 2

/ log3x2log9x2

5/ 3  13 

log 4x log 2x3 2

6/ 3log 2log 3logx  4x  16x4 0

Bài 1: LUỸ THỪA

Bài 1: Tính a) A =

1

5

3 1

3

2 4

3 : : 16 : (5



   

   

    b)

1 3

(0, 25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )

4

    

  

 

Baøi 2: a) Cho a = (2 3)1 vaø b = (2 3)1

 Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1 b) cho a = 4 10 5 vaø b = 4 10 5 Tính A= a + b

Bài 4: a) Biết 4-x + 4x = 23 Tính 2x + 2-x b) Biết 9x + 9-x = 23 Tính A= 3 x + 3-x Bài 5: Tính

a) A = 2 2 2 2 2 2 b) B = 5 2 23

c) C =

3 23

3 d) D = 27 33

Vấn đề 2: Đơn giản biểu thức

Bài 6: Giản ước biểu thức sau

a) A = (a 5)4 b) B = 81a b4 với b 

c) C = (a325)35 (a > 0) d) D =

2 1

3 9

(a 21)(a a  )(a 1) với a > 0

e) E =

2

1 1

2 2

1 1

2 2

( )

2

( )

x y x y x y

xy x y x y

               

  với x > 0, y > 0

f ) F =

2 2 1 a x x x 

  với x =

1 a b b a       

  vaø a > , b >

g) G =

a x a x a x a x

  

   Với x =

2

ab

b  vaø a > , b > 0

h)

1 2

2

1

( )

( )

( )

a b c b c a

a b c

a b c bc

                   

i) I =

3 3 2 2

2 2 3

1 ( )

3 )

2 ( )

b a a b

a a b a b b

a a b b a



    

     

  

 

j) J =

2

1

1 1

2 2

4

2

a a a a

a a a a

              

  với < a  1, 3/2

Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức

Bài chứng minh : x2 x1 x x1 2 với 1 x  2

Bài 9: chứng minh:

2

3 1

1

2 2

2 1

2

( )

x a x a

ax x a x a                      

    với < a < x

Bài 10 chứng minh:

1

4 3 2 2

1

2

3 ( )

( ) : ( )

2 ( )

x x y xy y y x y

x y x y

x xy y x x y

                  

Với x > , y > 0, x  y , x  - y

Bài 11 Tìm x bieát

a) 2x = 1024 b) (1/3)x = 27

Bài 2: HAØM SỐ LUỸ THỪA

Vấn đề 1: Tìm tập xác định hàm số

Bài 12 tìm tập xác định hàm số a)

1

(1 ) x  b)

2

(3 x ) c) (x2 – 2)-2 d) (x2 2x 3)

e) a)  

2 3

3x x 

c)  

4 x

Vấn đề 2: Tính đạo hàm hàm số

Bài 13: Tính đạo hàm hàm số

a)  

2 3

3x x 

b) 2x 13 

 c) 4 x2

d)  

1

2 3

3x x  2 

e) x2 x 2  

 

f)  

3

4x x 

g)  

x x

h) 2x1 i) ) (x2 – 2)-2

Vấn đề 3: Khảo sát biến thien vẽ đồ thị hàm số

Baøi 14

a) y = x-4/3 b) y = x3 c) y =

1

(1 ) x 

d) y = x 4/3 e) y = x -3 f) y =

1 2

(1 x )

Baøi 3: LOGARIT

Vấn đề 1: phép tính logarit

Bài 15 Tính logarit số

A = log24 B= log1/44 C =

1 log

25 D = log279

E = log4 48 F = 3 log G = 5 log      

  H=

I = log (2 2)16 J=

0,5

log (4) K = loga3a L =

5

log ( )

a

a a

Bài 16 : Tính luỹ thừa logarit số A = 4log 32 B = 27log 39

C = 9log 23

D = 2log      

E =

log 10

8 F = 21 log 70 G = 23 4log 3 H = 9log 3log 53 

I = (2 )a log 1a

J = 27log 3log 53 

Vấn đề 2: Tìm số X

Bai 17: Tìm số X biết

a) logx7 = -1 b) logx103 0,1 c) log 3x  d) log 8x 6

e)

3 log

4 x  f) log x 

Bài 18: Tim X biết a) 81

1 log x b)

log log log log

2

a x a  a  a

c)  2 

1

log 9log 3log

2

x 

d) log0,1x2 e)

2

log log 32 log 64 log 10

5

a x a  a  a

Vấn đề 3: Rút gọn biểu thức

Bài 19: Rút gọn biểu thức

A = log 8log 813 B = 13

log 25log

C =

3

2 25

1

log log

5

D = log 6log 9log 23 E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 73 F =

2

log 30

log 30 G =

5 625

log

log H =

2

96 12

log 24 log 192 log  log

I = 13

log 2log 49 log 27 

J = a logab b logba 

Vấn đề 4: Chứng minh đẳng thức logarit

Bai 20: Chứng minh ( giả sử biểu thức sau cho có nghĩa) a)

log log

log ( )

1 log a a ax a b x bx x  

 b)

1 1 ( 1)

loga loga logan 2loga

n n

x x x x



     

c) cho x, y > vaø x2 + 4y2 = 12xy

Chứng minh: lg(x+2y) – lg2 = (lgx + lg y) / d) cho < a  1, x >

Chứng minh: log ax

2

1

log (log )

2 a

a x x

Từ giải phương trình log3x.log9x =

e) cho a, b > a2 + b2 = 7ab chứng minh: 2

1

log (log log )

3

a b

a b



Baøi 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Vấn đề 1: tìm tập xác định hàm số

Bài 21: tìm tập xác định hàm số sau a) y =

3 log

10 x b) y = log3(2 – x)2 c) y =

1 log

1

x x  

d) y = log3|x – 2| e)y =

2

log ( 2)

x x 

 f) y =

2

log

1

x x 

g) y =

2

2

log  x 4x

h) y =

1

log x1 i) lg( x2 +3x +2)

Vấn đề 2: Tìm đạo hàm hàm số

Bài 22: tính đạo hàm hàm số mũ

a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3x e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( ex22 1x

) h) y = 44x – i) y = 32x + 5 e-x +

1 3x

j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x k) y =

2 1

4x

x 

Bài 23 Tìm đạo hàm hàm số logarit a) y = x.lnx b) y = x2lnx -

2

2

x

c) ln( x 1x2 ) d) y = log3(x2- 1) e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)

Vấn đề 3: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

Bài 24: khảo sát vẽ đồ thị hàm số mũ , logarit a) y = 3x b) y =

1

x

   

  c) y = log4x d) y = log1/4x

Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Phương trình mũ

Dạng Đưa số

Bài 25 : Giải ác phương trình sau a) 2x4 34

 b)

2 6

2

2x x 16 c) 32x39x23x5

d) 2x2 x 41 3 x

 e) 52x + – 52x -1 = 110 f)

5 17

7

32 128

4

x x

x x

 

  

f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - g) (1,25)1 – x = (0,64)2(1 x)

Dạng đặt ẩn phụ

Bài 26 : Giải phương trình

c) 52x + 4 – 110.5x + – 75 = d)

1

5

2

2 5

x x

   

  

       

e) x 53 x 20

f) 4 15 4 15

x x

   

g)  6  6 10

x x

   

Daïng Logarit hóaï

Bài 27 Giải phương trình

a) 2x - = 3 b) 3x + 1 = 5x – c) 3x – 3 = 5x27x12 d) 2x2 5x25x6

 e)

1

5 500

x x x



 f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

Dạng sử dụng tính đơn điệu

Bài 28: giải phương trình

a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x

Vấn đề 2: Phương trình logarit

Dạng Đưa số

Bài 29: giải phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0 e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – 2 + 1)

Dạng đặt ẩn phụ

Bài 30: giải phương trình a)

1

1

4 ln x2 ln x  b) logx2 + log2x = 5/2

c) logx + 17 + log9x7 = d) log2x + 10 log2x6 9 e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – log16x = 2log2x g)

2

2

2 2

log x3log xlog x2

h) lg 16 l g 64 3x2  o 2x  Dạng mũ hóa

Bài 31: giải phương trình

a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = – x Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ

Bài 32: Giải bất phương trình a) 16x – 4 ≥ 8 b)

2

1

9

x

    

  c)

6

9x 3x

d) 4x2 x 1

 e)

2

4 15

3

1

2

2 x x

x

  

 

  

  f) 52x + > 5x Bài 33: Giải bất phương trình

a) 22x + + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 c)

1

1

4x 2x 3

d) 5.4x+2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x

Bài 34: Giải bất phương trình

a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2)

Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit

Bài 35: Giải bất phương trình

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0

e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1 g) 13

3

log

2

x x

  

Baøi 36: Giải bất phương trình

a) log22 + log2x ≤ b) log1/3x > logx3 – 5/2

c) log2 x + log2x ≤ d)

1

1 log xlogx 

e) 16

1 log 2.log

log

x x

x 

 f)

4

3

log (3 1).log ( )

16

x

x 

 

Bài 37 Giải bất phương trình

a) log3(x + 2) ≥ – x b) log5(2x + 1) < – 2x

c) log2( – x) > x + d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 PHN TCH PHN

Nguyên hàm hàm Phân thức.

a Lý thuyết 1) ∫dx

ax+b=

1

aln|ax+b|+C (a ) 2) ∫

dx

(x −a)(x −b)dx=

1

a − bln| x − a

x − b|+C (a b¿

3) ∫dx x2− a2=

1 2aln|

x −a

x+a|+C 4)

ax+b¿2 ¿ ¿−1

a

1 ax+b

¿ dx

¿

∫¿

(a 0¿

5) ∫dx

√x2

+a

=ln|x+√x2+a|+C

1) ∫

3 xdx

x2−5x+4 2) ∫  dx x

x

1

2

3) ∫

5x2−3x −20

x2−2x −3 dx

4) ∫dx

x(x2+1)=∫

xdx

x2

(x2+1)=

1 2∫(

1

x2−

1

x2

+1)d(x

2

)=1

2ln|

x2 x2

+1|+C

5) ∫dx

x(x4+1) 6) ∫

dx

x(x5+2)

7)

x+2¿2

¿

x+2¿2

¿

x+2¿2

¿ ¿ ¿

x(x+2)−

1 ¿ ¿ 2x¿

(x+2)− x

¿

x¿ dx

¿

∫¿

]dx=

4ln|

x x+2|+

1 2(x+2)+C

8)

x+2¿3

¿

x¿ dx ¿

∫¿

9)

x+2¿2 ¿

(x+1)¿ dx

¿

∫¿

10) ∫dx x2(x+2)

11) ∫ x

2−1

(x2+5x+1)(x2−3x+1)dx =

∫

1− x2

(x+5+1

x)(x −3+

1

x)

dx=∫

d(x+1

x)

(x+1

x+5)(x+

1

x−3)

=1

8ln|

x2−3x+1

x2

+5x+1|+C

12) ∫ x

+1

x4−3x2

+1dx 13) ∫

x3 x2

+2x+1dx 14)

x10

+1¿2 ¿

x¿ dx ¿

∫¿

15)

∫ x

4 −1

x(x4−5)(x5−5x+1)dx

A D¹ng : ∫a sinx+bcosx csinx+dcosx dx

I Cách làm : tìm A ; B cho : asinx+bcosx=A(c sinx+d cosx)+B (c sinx+d cosx)’ Ta đợc ∫a sinx+bcosx

csinx+dcosx dx =Ax+Bln |c.sinx+d.cosx| +C

II Ap dông : tÝnh 1) ∫sinx

cosx+2 sinx dx 2) ∫

3 sinx −2 cosx

2sinx −3 cosxdx ( häc sinh làm lớp ý 1và Gv chữa)

VN 3) ∫

1+tgxdx 4) ∫

dx 4+3 tgx

B Một số dạng khác 1) ∫sinx+cosx

3+sin 2x dx Ta cã :

∫sinx+cosx

3+sin 2x dx =

sinx −cosx¿2 ¿ sinx −cosx

¿

¿2+(sinx −cosx)

d(¿¿¿)

d(sinx −cosx)

2−(sinx −cosx)+∫¿

∫¿ 4−¿ sinx+cosx

¿

∫¿

=

4ln|

2+(sinx −cosx)

2−(sinx −cosx)|+C

2) ∫sin 3x

3 sin 4x −sin 6x −3sin 2xdx

3) ∫

dx

sinx sin(x+π

6)

( §s : ln|

sinx

sin(x+π

6)|

)

4) ∫cot gx

1+sin9xdx = ∫

cosx

sinx(1+sin9x)dx=∫

d(sinx)

sinx(1+sin9x)=

1 9ln|

sin9x

1+sin9x|+C

5) ∫dx

sin3x cos5x dx (§S :

1 4tg

4 x+3

2tg

2

x+3 ln|tgx|−

2 tg2x+C¿

1)

sinx+cosx¿4 ¿ ¿ dx

¿

∫¿

2) ∫sin 4x

sin6x

+cos6x dx

3)

sinx+2cosx¿2 ¿ ¿

dx

¿ ∫¿

4) ∫tg(x+π

3)cotg(x+

π

6)dx

5) ∫cos 6x

sin4x dx 6) ∫

sin2x

cos6x dx

Tính tích phân phơng pháp đổi biến A. Lý thuyết

Một số dạng cách đổi biến: với a dơng 1) ∫

α β

dx

a2+x2

; ta đặt x=atgt (t (−π

2;

π

2) )

2) ∫

α β

√a2− x2dx; ∫

❑ ❑

dx

√a2− x2 ta đặt x=a.sint (t [− π

2;

π

2] ) hc x=a.cost (t [0; π]

)

B.Bµi tËp tÝnh :

1) I= ∫

√3

2dx

x√4x2−1dx Ta cã : I= ∫1

√3

2 dx

x2√4− x2

dx

; đặt t= x

Ta đợc :

¿ dt=−1

x2 dx x=

√3⇒t=√3

x=1⇒t=1

¿{ {

¿

⇒I=−∫

√3

dt

√4− t2=∫

√3

dt

√4− t2=⋯= π

3

2) I= ∫

x3√1− x2dx

Hd : đặt x=sint (t [− π

2 ;

π

2]¿

Đợc đs I=

3) I= ∫ 1

e

dx

x√1−ln2x

(§S : I=- π

2 )

4) I= ∫

0

x2dx

x6+3 (§S : I=

π√3

54 )

( Học sinh làm bảng nháp, Gv chấm ,chữa) C Bài tập nhà TÝnh :

1) ∫

2

√3

√2

dx

x√x2−1 (§s: π

12¿ 2) ∫

0

π

4

4 sin3xdx 1+cos4x

(§s: √2 ln3+2√2

5 )

3) ∫

1 2

lnx

1+x2dx (§s : 0) 4) ∫

x4+1

x6+1dx (§s :

π

3¿

5) ∫

0

√3

x5√1+x2dx (§s : 848

105 ¿

TÝnh tÝch ph©n b»ng phơng pháp tích phân phần

A Lý thuyÕt

∫

a b

udv=uv

¿b ¿a −∫a

b

vdu

(trong u=u(x) ; v=v(x) hàm có đạo hàm liên tục [a;b]

B Bµi tËp Bµi tÝnh:

1) I= ∫

x3ex2

dx

Gi¶i: ta cã I=

2∫0

1

x2ex2d(x2)=1

2∫0

1

y.eydy=⋯=1

2

2) I= ∫

0

π

2 esin2

x sinx cos3x dx

Giải : đặt t=sin2x

⇒

dt=2sinx cos xdx x=0⇒t=0 x=π

2⇒t=1

¿{ { Ta đợc I= ∫

0

et

(1−t)1

2dt= 2(∫0

1

etdt−

∫

tetdt

)=⋯=e −2

3) I= ∫

π2

sin√xdx

Giải : đặt t=

√x⇒

dt=

2√x dx⇒dx=2 tdt x=0⇒t=0

x=π2⇒t=π

¿{ {

Ta đợc I= ∫

π

2tsin tdt=⋯=2π

4) I= ∫

eπ

cos(lnx)dx ( Hd : đặt t=lnx ta đa tích phân ) H/s làm ; Gv chấm , chữa ; đs: −1

2 (e

π

+1) Bµi tÝnh:

1) I= ∫

e e

|lnx|dx (§S : 2- −2

e¿ 2) I= ∫0

ex sin2

(πx)dx (§S : e −1

4 ¿

3) I= ∫

0

π

4

x tg2xdx (§S: π4− π

2

32 −

ln

2 ¿ 4) I= ∫1 10

xlg2xdx

(§S: 50- 50

ln 10+ 99

4 ln210¿

C Bµi tËp vỊ nhµ 1) ∫

1

e

π

2

sin(lnx)dx (§S : 12(e π

2

+1)¿ 2) ∫

0

π

2

cosx ln(1+cosx)dx (§S: π

2−1¿ 3) ∫0

2

xe

− x

2 dx (§S : 4-

e¿ 4) ∫

e

π

2 cos2

(lnx)dx (§S :

2 5(e

π

2

+1) )

5) ∫

π

4

π

2

xdx

sin2x (§S : π

4+ln√2¿ 6) ∫π

4

π

3

sinx ln(tgx)dx

(§S : −3

4 ln3−ln(√2−1)¿

7) ∫

− π

3

π

3

xsinx

cos2x dx (§S :

4π

3 −2 ln tg 5π

12 ¿ 8) ∫

(π2)

3

Tích phân số hàm đặc biệt A.Lý thuyết

CMR:

1) Nếu f(x) hàm chẵn, liên tục [-a;a]

a a

f(x)dx=2∫ −a a

f(x)dx

2) NÕu f(x) lµ hàm lẻ, liên tục [-a;a]

a a

f(x)dx=0

3) NÕu f(x) lµ hµm tuần hoàn với chu kì T, liên tục [0;T]; [a;a+T] th× ∫

a a+T

f(x)dx=∫

0

T

f(x)dx

4) Víi a>0, f(x) hàm chẵn, liên tục R, Với số thùc α ta cã : ∫

−α α

f(x)dx

ax+1 =

1 2∫− α

α

f(x)dx

5) NÕu f(x) liªn tơc trªn [0; π¿ th× ∫

π

xf(sinx)dx=π

2∫❑ ❑

f(sinx)dx

6) NÕu f(x) liªn tơc [ 0;

2

a)

0

π

2

f(sinx)dx=∫

0

π

2

f(cosx)dx

b) ∫

0

π

2

f(cot gx)dx=∫

2

f(tgx)dx

Giáo viên chứng minh toán , yêu cầu h/s biết cách chứng minh nhớ kết quả. B. Bài tËp

Bµi 1 tÝnh :

1) I= ∫

− π

4

π

4

x7−3x5+7x3− x+1

cos2x dx .

HD +) Cm toán +) CM hàm f(x)= x

7−3x5

+7x3− x

cos2x lµ hµm lỴ

+) Ta đợc : I= ∫

− π

4

π

4

f(x)dx+∫ −π

4

π

4

dx

cos2x =

tgx ¿π

4 ¿−π

4

 =2

2) ∫ 2π

3) ∫ 2004π

√1−cos 2xdx (§S: 4008 √2 )

VN

4) ∫

− π

2

π

2

x+cosx

4−sin2xdx (§S

1 2ln 3¿

5) x2

+1

x+√¿ ¿ cosx ln¿

∫

−π

2

π

2

(ĐS 0)

Bài 2 tính 1) I= ∫

−1

x4

2x

+1dx .

Giải : đặt t=-x

⇒

dt=−dx

x=−1⇒t=1

x=1⇒t=−1

¿{ {

Ta đợc I=

− t¿4 ¿ ¿2−t+1(−dt)

¿ ¿

∫

−1

¿

Do vËy I=

2∫−1

1 x4dx

=⋯=1

5

2) ∫

−1

dx

(ex+1)(x2+1) (§S:

π

4¿

VN 3) ∫

− π

2

π

2 x2

|sinx|

2x

+1 dx (§S : π −2¿

4) ∫

− π

2

π

2

sinx sin 2x cos 5x ex

+1 dx

(§S: 0)

5) ∫

− π

4

π

4

sin6x+cos6x

6x+1 dx (ĐS :

5

Bài tÝnh

1) I= ∫

π

x sinx cos2xdx Giải

Đặt:x=

−t⇒

dx=−dt

x=0⇒t=π

x=π⇒t=0

¿{ {

I=

∫

π

0

(π − t)sin(π − t)cos2(π −t)(−dt)=∫

0

π

(π − x) sinx cos2xdx=π∫

0

π

sinx cos2xdx− I

Do vËy I= π

2∫0

π

sinx.cos2x dx=⋯=π

3

2) ∫

π

xsinx

1+cos2xdx (§S:

π2

4 ¿

VN

3) ∫

π

x cos4x sin3xdx

(§S : ) 35 2

4) ∫

π

xsinx

9+4 cos2xdx

Bµi

1) CMR : ∫

0

π

2

sinnxdx

=∫

π

2

cosnxdx

2) TÝnh: a)

∫

π

2

sinnx

sinnx+cosnx dx

b)

√sinx

(¿−√cosx)dx

∫

π

2

¿

c)

sinx+cosx¿3 ¿ ¿ cosx −6 sinx

¿

∫

π

2

¿

DiÖn tích hình phẳng-Thể tích vật thể tròn xoay. A Lý thuyÕt

1) Miền (D) giới hạn đờng : y=f(x); y=g(x); x=a;x=b có diên tích: SD= ∫

a b

|f(x)− g(x)|dx

2) Miền (D) giới hạn đờng: y=f(x);y=0;x=a;x=b quay quanh trục Ox tạo vật trể trịn xoay tích : VOx= π∫

a b

f2(x)dx

3) Miền (D) giới hạn đờng: x=f(y);x=0;y=a;y=b quay quanh trục Oy tạo vật trể trịn xoay tích : VOy= π∫

a b

f2(y)dy

B.Bµi tËp

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng:

1) y= |x2−4x+3| ;y=3 (ĐS: 8(đvdt)) 2) y= |x21|; y

=|x|+5 (ĐS:

73

3

đvdt))

3) x= √y ; x+y-2=0 ;y=0 (§S: ¿

5 6¿

®vdt))

4) y=x2 ; y= x

2

8 ; y=

x (§S: 8ln3) 5) y=x2 ; y= x

2

27 ; y= 27

x (§S: 27ln3) 6) y=x2 ; x=y2.

7) y=ex ; y=e-x ;x=1.

Bài : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay miền (D) giới hạn đờng:

1) y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (§S : 16 π¿

2) y=x2 ; x=y2 quanh Ox.

3) y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox (§S : 16π

5 ¿

4) y=-x2+4x ; trôc Ox :

a) Quanh Ox (§S : 512π

15 ¿

b) Quanh Oy (§S : 128π

3 ¿

5) y=(x-2)2 ;y=4

a) Quanh Ox (§S : 256π

b) Quanh Oy (§S : 128π

3 ¿

6) y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2.

a) Quanh Ox (§S : 206π

15 ¿

b) Quanh Oy (ĐS : 12

Tích phân ÔN ĐAI HOC I.Các phơng pháp tính tích phân

1 Tính tích phân định nghĩa ,tính chất bảng nguyên hàm bản 2 Ph ơng pháp đổi bin s

Bài toán: Tính

( )

b

a

I ∫f x dx

,

*Phơng pháp đổi biến dạng I

Định lí Nếu 1) Hàm x u t ( ) có đạo hàm liên tục đoạn  ;  ,

2) Hàm hợp f u t( ( )) đợc xác định  ;  , 3) u( ) a u, ( ) b,

th×

'

( ) ( ( )) ( )

b

a

I f x dx f u t u t dt 



∫ ∫

VÝ dô 1 HÃy tính tích phân sau:

a)

2

0

5 I ∫x x  dx

b)

 

2

4

0

sin 1 cos

J x xdx



∫ 

Gi¶i: a) Ta cã  

 

3 5 3 5

3 d x

 

1 3

3

0

5 5

3 d x

I x 

 ∫ 

 

1

1 3

1

3 2 3

0

1 1

1 1 ( 5) 2

5 ( 5) ( 5) 5

1 0 0

3 3 1 9

2 x

x d x x x

 

      



∫

4 10

6 5

3 9

 

b) Ta cã

2

4

0

(sin 1) (sin )

J x d x



∫ 

5

1 6

sin sin 2

5 x x 0 5



 

   

 

VÝ dơ 2 H·y tÝnh c¸c tÝch sau:

a)

2

0

4 x dx

∫

b)

2 01

dx x 

∫ Gi¶i: a) Đặt

2sin , ;

2 2 x t t    

  Khi x = th× t = Khi x 2 th× 2

t 

Tõ x2sint  dx2costdt

4 2

2 2

0 0

4  4 4sin 2cos 4 cos 

∫ x dx ∫ t tdt ∫ tdt

 



b) Đặt

, ;

2 2 x tgt t     

  Khi x 0 th× t 0, x 1 th× t 4

 

Ta cã: cos2

dt x tgt dx

t

  

1 4

2 2

0 0

1

1 cos 0

    

 

∫dx ∫ dt ∫dt t

x tg t t

 

 

NÕu hµm sè díi dÊu tÝch phân có chứa dạng

2 2, 2

a x a  x và x2  a2 (trong a số dơng) mà khơng có cách biến đổi khác nên đổi sang hàm số lợng giác để làm thức, cụ thể là:

 Víi

2

a  x , đặt x asin ,t t 2 2;

 

 

   

 

hc x a cos ,t t0;

 Víi

2

a x , đặt x atgt t, 2 2;

 

 

   

 

hc x acotgt t , 0;

 Víi

2

x  a , đặt sin , 2 2; \ 0 

a

x t

t

 

 

   

 

hc

; cos

a x

t

 t0; \  2  .

*Phơng pháp đổi biến dạng II

Định lí : Nếu hàm số u u x ( )đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn a b;  cho

'

( ) ( ( )) ( ) ( )

f x dx g u x u x dx g u du  th×

( )

( )

( ) ( )

u b b

a u a

I ∫f x dx∫g u du

VÝ dô 3: TÝnh

2

0

5 I x x dx

Giải: Đặt

3

( ) 5

u x x  .Tacã u(0) 5, (1) 6 u 

Từ đợc:

 

6

5

6

1 2 2 4 10

6 5 6 5

5

3 9 9 9 9

I  ∫udu  u u    

Ví dụ 4: Hãy tính tích phân sau phơng pháp đổi biến dạng II:

a)

 

1

5

0

2x1 dx

∫

b)

ln

e

e

dx x x

∫

c)

2

4 2

1

x dx

x x

  

d)

2

1 (2 1)

dx x ∫ e) 3 2 cos(3 ) 3 x dx   

Giải: a) Đặt u 2x1 x0 th× u 1 Khi x 1th× u 3

Ta cã

2

2 du du  dx dx

Do đó:

 

1 6

5 5 6

0

3

1 1

2 1 (3 1)

1

2 12 12

u

x dx  u du   

∫ ∫

= 60 3. b)Đặt u lnx Khi x e th× u 1 Khix e th× u 2

Ta cã dx du x   2 2

ln ln ln1 ln 2

1 ln e e dx du u

x x  u    

∫ ∫

c)Đặt

2 1

u x x Khi x0 u 1 Khi x 1 u 3. Ta có du (2x1)dx Do đó:

1

2

0

3

4 2 2

2ln 2(ln ln1) 2ln 3 1

1

x du

dx u

x x u



   

d)Đặt u 2x 1 Khi x 1th× u 1 Khi x 2 th× u 3

Ta cã

2

2 du du  dx dx 

Do đó:

2

2

1

3

1 1 1 1 1

( 1) 1

(2 1) 2 2 2 3 3

dx du

x  u  u 

e)Đặt 2 3 3 u  x 

Khi 3

x 

th× 3

u 

,

2 3 x 

th×

4 3 u  

Ta cã

3

3 du du  dx dx

2

3

3

4

2 1 1 3 1 4

cos(3 ) cos sin sin sin

3 3 3 3 3 3

3

x dx udu u

 

 



  



 

      

 

∫ ∫

1 3 3 3

3 2 2 3

 

    

  .

3.Ph ơng pháp tích phân phần.

nh lí . Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục a b;  thì:

 

' '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx a

 

∫ ∫

hay

b b

a a

b

udv uv vdu

a

 

∫ ∫

¸p dụng công thức ta có qui tắc công thức tích phân phần sau:

Bớc 1: Viết f(x)dx díi d¹ng

'

udv uv dx cách chọn phần thích hợp f(x) làm

u(x) phần lại

'( )

dv v x dx

 Bíc 2: TÝnh du u dx ' vµ

'( )

v ∫ ∫dv v x dx

 Bíc 3: TÝnh

'

b b

a a

vdu  vu dx

∫ ∫

vµ

b uv

a

Bớc 5: áp dụng công thức

Ví dô 5: TÝnh

ln

e

x xdx

Giải: Đặt

ln

u x

dv xdx   





2

2 dx du

x x v 

    

2 2

1

1 1

ln ln

1 1

2 2 2 4 4

e e

e e

x e x e

x xdx  x  xdx    

∫ ∫

VÝ dụ 6: Tính tích phân sau:

a) lnx dx x ∫ b) cos x xdx  ∫ c) x xe dx ∫ d) cos x e xdx

Giải: a) Đặt

5 ln 1 1 4 dx

u x du

x

dv dx v

x x                

 Do đó:

2

2

5

1

1 1

ln ln ln 1 15 4ln

4 64 4 256

x x dx

dx

x x x x

            ∫ ∫

b) Đặt cos sin

u x du dx

dv xdx v x

 

 



 

 

  Do đó:

 

2

0

cos sin 2 sin cos 2 1

2 2

0 0

x xdx x x xdx x

            ∫ ∫ c)Đặt x x

u x du dx

dv e dx v e

 

 



 

 

  Do đó:

  1 0 1 1 1 1 0 0

x x x x

xe dx xe  e dx e e   e e 

∫ ∫

d) Đặt cos sin

x x

u e du e dx

dv xdx v x

           2 0

cos sin 2 sin

0

x x x

e xdx e x e xdx

 



 ∫   ∫

Đặt

1

1 sin cos

x x

u e du e dx

dv xdx v x

   



 

 

 

2

2

0

cos cos 2 cos

0

x x x

e xdx e e x e xdx

 

 

 ∫    ∫

2

2

0

1

2 cos 1 cos .

2

x x e

e xdx e e xdx

 

 



 ∫    ∫ 

*Cách đặt u dv phơng pháp tích phân phần

( )

b

x a

P x e dx

∫ ( )ln

b

a

P x xdx

∫ ( )cos

b

a

P x xdx

∫ cos

b x a

e xdx

∫

u P(x) lnx P(x) ex

dv e dxx P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng sử dụng cơng thức tích phân phần làm để chọn u

'

dv v dx thích hợp biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u phần f(x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv v dx ' phần f(x)dx vi phân hàm số biết có nguyên hàm dễ tìm

Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân phần:

 NÕu tÝnh tÝch ph©n

( ) ( ) P x Q x dx 



∫

mà P(x)là đa thức chứa x Q(x)

hàm số: , cos , sin

ax

e ax ax ta thờng đặt

'( )

( )

( ) ( )

du P x dx u P x

dv Q x dx v Q x dx 

 

 



 

 

 

 NÕu tÝnh tÝch ph©n

( ) ( ) P x Q x dx 



mà P(x) đa thức x Q(x) hàm số ln(ax) ta

t

 

'

( )

( ) ( )

du Q x dx u Q x

dv P x dx v P x dx 

 

 



 

 

 

 ∫

 NÕu tÝnh tÝch ph©n

cos

ax

I e bxdx



 ∫

hc

sin

ax

J e bxdx



 ∫

th×

ta đặt

1

cos sin

ax

ax du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b   

 



 

 

 



đặt

1

sin cos

ax

ax du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b   

 



 

 

 



Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân phần hai lần sau trở thành tích phân ban đầu Từ suy kết tích phân cn tớnh

II.Tích phân số hàm số thờng gặp

1 Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:

 

2 0

dx

I a

ax bx c 



 

 

∫

.

(trong

2

0

ax bx c  víi mäi x ; ) XÐt  b2  4ac

+)NÕu  0 th×

2

2 dx I

b a x

a 

 

 



 

 

∫

+)NÕu  0 th×  1  2

1 dx

I

a x x x x

     ∫ , (trong

1 ;

2 2 b b x x a a         )  

1 2

1

ln x x I

a x x x x

      

+) NÕu  0th×

2 2 2 4                          

∫ dx ∫ dx

I

ax bx c b

a x

a a

 

 

Đặt

2

1

1

2 4 2

   

 b    

x tgt dx tg t dt

a a a , ta tính đợc I.

b) TÝnh tÝch ph©n:

 

2 , 0

mx n

I dx a

ax bx c        ∫ .

(trong

( ) mx n

f x

ax bx c

 

  liªn tục đoạn ; )

+) Bằng phơng pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: mx+n

ax2+bx+c=

A(2ax+b)

ax2+bx+c +

B

ax2+bx+c

+)Ta cã I= ∫

α β

❑ mx+n

ax2+bx+c dx=∫α β

❑A(2ax+b)

ax2+bx+c dx+∫α β

❑ B

ax2+bx+c dx

TÝch ph©n ∫

α β

❑A(2 ax+b)

ax2+bx+c dx = Aln|ax

2

+bx+c|¿εβ

TÝch ph©n

dx ax bx c 

  

∫

tính đợc

c) TÝnh tÝch ph©n

( ) ( ) b a P x I dx Q x ∫

víi P(x) Q(x) đa thức x.

 Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) xét trờng hợp: + Khi Q(x) có nghiệm đơn  1, , ,2 nthì đặt

2 ( ) ( ) n n A A A P x

Q x x   x    x 

+ Khi   

2

( ) , 4 0

Q x  x  x  px q  p  q 

thì đặt

2

( )

. ( )

P x A Bx C

Q x x  x px q



 

  

+ Khi    

2

( )

Q x  x  x 

với  đặt

 2

( ) ( )

A

P x B C

Q x x   x   x 

VÝ dơ 7 TÝnh tÝch ph©n: 4 11 5 6 x dx x x    ∫ Gi¶i:

Cách 1.Bằng phơng pháp đồng hệ số ta tìm A, B cho:

 

 

2 2

2 5

4 11

, \ 3; 2

5 6 5 6 5 6

A x

x B

x

x x x x x x

                    2 2 5 4 11

, \ 3; 2

5 6 5 6

Ax A B

x

x

x x x x

 



    

    

2 4 2

5 11 1

A A

A B B

             VËy    

2 2

2 2 5

4 11 1

, \ 3; 2

5 6 5 6 5 6

x x

x

x x x x x x

 

     

      

Do

1 1

2 2

0 0

4 11 2 5

2

5 6 5 6 5 6

x x dx

dx dx

x x x x x x

 

 

     

∫ ∫ ∫

2 1 2 1 9

2ln 5 6 ln ln

0 3 0 2

Cách Vì  

2 5 6 2 3

x  x  x x

nªn ta cã thể tính tích phân cách: Tìm A, B cho:

 

2

4 11

, \ 3; 2

5 6 2 3

x A B

x

x x x x

                2 3 4 11

, \ 3; 2

5 6 5 6

A B x A B

x

x

x x x x

               4 3

3 2 11 1

A B A

A B B

              VËy  

4 11 3 1

, \ 3; 2

5 6 2 3

x

x

x x x x



     

    

Do

1 1

2

0 0

4 11

3

5 6 2 3

x dx dx

dx

x x x x



 

   

∫ ∫ ∫

1 1 9

3ln 2 ln 3 ln

0 0 2

x x

    

VÝ dơ 8:TÝnh tÝch ph©n:

2

0 1

dx x  x

∫ Gi¶i: Do 1 2

0 1 1 3

2 4 dx dx x x x            ∫ Đặt

1 3 3

, ; 1

2 2 6 3 2

x  tgt t    dx tg t dt

 

VËy

 

1 3

2

2

6

3

1 2 3 2 3 3 3

2 3

1 (1 ) 3 3 9

4 6

tg t dt dx

dt t

x x tg t

VÝ dơ 9 TÝnh tÝch ph©n:

2 3

2

0 1

x dx x 

∫

Gi¶i:

1 1

2 3 2

2 2

0 1 1 1

x dx x x dx xdx xdx

x x x

 

     

    

∫ ∫ ∫ ∫

2

1 1

1 1 1 3

ln 1 ln

2 2

2 0 2 0 8 2 4

x

x

    

2 TÝch ph©n hàm l ợng giác

2.1.Dng 1: Bin i tích phân bản

VÝ dơ 10: H·y tính tích phân sau:

a)

2

2

sin sin 7

J x xdx



  ∫

;

b)

2

4

0

cos (sin cos )

K x x x dx



∫ 

;

c)

2 3

0

4sin 1 cos

x

M dx

x 

 

∫

Gi¶i

a)

2

2

1 1

cos5 cos9

2 2

J xdx xdx

 

 

 

 ∫  ∫

1 2 1 2 4

sin 5 sin 9

10 18 45

2 2

x x

 

 

  

 

b) Ta cã  

4 2 2

cos (sinx xcos ) cosx  x sin xcos x  2sin xcos x

 

 

2

1 1 3 1

cos 1 sin 2 cos 1 1 cos 4 cos cos cos 4

2 4 4 4

x x x x  x x x

          

   

 

3 1

cos cos5 cos3

4 x 8 x x

  

2 2

4

0 0

3 1 1

cos (sin cos ) cos cos5 co3

4 8 8

K x x x dx xdx xdx xdx

   

∫   ∫  ∫  ∫

3 1 1 3 1 1 11

sin 2 sin 5 2 sin 3 2

4 x 0 40 x0 24 x 0 4 40 24 15

  

      

c)

3 2

4sin 4sin sin 4(1 cos )sin

4(1 cos )sin

1 cos 1 cos 1 cos

x x x x x

x x

x x x



   

  

 M 2

2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lợng giác

2.2.1.TÝnh cos

dx I

asinx b x c



 

∫

Phơng pháp:

Đặt

2

2 1

x dt

t tg dx

t

  



Ta cã:

2 sin

1

t x

t 

 vµ

2

2

1 cos

1 t x

t  



 

2

cos 2

dx dt

I

asinx b x c c b t at b c

 

     

∫ ∫

biết cách tính

VÝ dô 11 TÝnh 4cos 3sin 5

dx

x x

Giải: Đặt

2

2

1 2

1

2 2 2 1

x x dt

t tg dt tg dx dx

t

 

       



2 2 2 2 1 1 2

cos 3sin 3 3 3 3 2

1 1             ∫ ∫ ∫ dt

dx t dt

t t

x x t t

t t 1 1 2 ln ln 2 2 2         x tg t C C x t tg

2.2.2 TÝnh sin2 sin cos cos2

dx I

a x b x x c x d



  

∫

Ph¬ng ph¸p:    

2

sin sin cos cos

dx I

a d x b x x c d x

     ∫     2 cos dx x

a d tg x btgx c d 

   

∫

Đặt cos2

dx

t tgx dt

x

      

dt I

a d t bt c d

 

   

∫

tính đợc

VÝ dơ 12 TÝnh: sin2 2sin cos 3cos2

dx I

x x x x



 

∫ .

Gi¶i:Ta cã

2

2 2

cos

sin 2sin cos 3cos 2 3

dx

dx x

I

x x x x tg x tgx

 

  

Đặt cos2

dx

t tgx dt

x

  

   

2

1 1 1 1

ln ln

2 3 1 3 4 3 4 3

dt dt t tgx

I C C

t t t t t tgx

               ∫ ∫ 2.2.3 TÝnh sin cos sin cos

m x n x p

I dx

a x b x c

 



 

.

Phơng pháp:

   

sin cos sin cos cos sin ,

m x n x p A a  x b x c B a x b x C x

+)

VËy

sin cos

sin cos

m x n x p

I dx

a x b x c

 



 

∫ =

= A∫dx+B∫ acosx − bsinx

asinx+bcosx+cdx+C∫

dx

asinx+bcosx+c

Tích phân ∫dx tính đợc Tích phân ∫ acosx − bsinx

asinx+bcosx+cdx=ln|asinx+bcosx+c|+C

TÝch ph©n ∫dx

asinx+bcosx+c tính đợc

VÝ dô 13 TÝnh:

cos 2sin

4cos 3sin

x x

I dx

x x

 



∫

Gi¶i:

Bằng cách cân hệ số bất định, tìm A B cho:

   

cosx2sinx A 4cosx3sinx B  4sinx3cos ,x x

   

cosx2sinx  4A3B cosx 3A 4B sin ,x x 2

4 3 1 5

3 4 2 1

5 A

A B

A B

B 

 

 

 

   

 

  

 

2 4sin 3cos 2 1

. ln 4cos 3sin

5 4cos 3sin 5 5

x x

I dx x x x C

x x

 

 

       



 

∫ .

2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đa về tích phân hàm lợng giác đơn giản

(Xem ví dụ 17, 20, 21)

2.4.Chú ý: Nguyên hàm d¹ng  

sin ,cos

R x x dx

∫ , víi Rsin ,cosx xlµ mét hµm h÷u tØ theo sinx, cosx

Để tính ngun hàm ta đổi biến số đa dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta biết cách tính tớch phõn

Trờng hợp chung: Đặt

2

2 1

x dt

t tg dx

t

  

Ta cã

2

2

2 1

sin ;cos

1 1

t t

x x

t t



 

 

 Những trờng hợp đặc biệt:

+) NÕu Rsin ,cosx xlµ mét hµm số chẵn với sinx cosx nghĩa

R sin , cosx  x Rsin ,cosx xthì đặt t tgx t cotgx, sau đa tích phân dạng hữu tỉ theo biến t

+) Nếu Rsin ,cosx xlà hàm số lẻ sinx nghĩa là: R sin ,cosx x  Rsin ,cosx xthì đặt t cosx +) Nếu Rsin ,cosx xlà hàm số lẻ cosx nghĩa là: Rsin , cosx  x  Rsin ,cosx xthỡ t t sinx

3.Tích phân hàm vô tỉ

3.1 Dạng 1: Biến đổi tích phân vô tỉ bản

VÝ dô 14 TÝnh tÝch ph©n:

1

0 1

dx I

x x



 

∫

Gi¶i

   

1

3

2

0

1 2

1 1

0 3

1

 

        

   

∫ dx ∫

I x x dx x x

x x 232 2 

VÝ dô 15:TÝnh tÝch ph©n

1

2

0 1

x dx x x

∫

Gi¶i:

1

3

2

0

2

( )

15

x dx

x x x dx

x x



   

 

∫ ∫

3.2.Dạng 2: Biến đổi tích phân hàm lợng giác

(xem vÝ dô 2)

3.3Dạng 3: Biến đổi làm căn

Gồm: Đổi biến số t toàn thức

Vit biu thc cn dới dạng bình phơng

VÝ dơ 15:TÝnh

I=∫

0

Gi¶i: I=∫

0

x3

√1− x2dx

=∫

0

x2❑

√1− x2 xdx Đặt t= 1 x2

t2=1 x2x2=1t2

Ta cã: xdx=-tdt, Khi x= th× t =1,khi x = th× t =0 VËy

I=−∫

1

(1− t2)t2dt=(t

3

3−

t5

5)¿0

=

15 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối

VÝ dô 16: TÝnh

2

2

1

J x dx

 ∫ 

Gi¶i: LËp b¶ng xÐt dÊu cđa x2 1 đoạn 2;2

x -2 -1

2 1

x  + - +

Do

     

2 1

2 2

2 1

1 1 1 1

I x dx x dx x dx x dx



  

∫  ∫  ∫  ∫ 

3 1 1 2

4

2 1 1

3 3 3

x x x

x  x x

     

         

 

     

III.Tích phân số hàm đặc biệt

1.Cho hàm số y f x( ) liên tục lẻ đoạn  a a;  Khi đó

( ) 0

a

a

I f x dx 

∫ 

.

VÝ dô 17: Chøng minh

2

2

2

0 4 sin

xdx I

x 

 

 

Giải: Đặt x t dx dt Khi x= π

2 th× t = -

π

2 , x 2





Do : I= ∫

π

2

− π

2

tdt

4−sin2t=− I

Suy : 2I = Ta đợc

2

2

0 4 sin

xdx I

x 

 

 



∫

2.Cho hàm số y f x( ) liên tục chẵn đoạn  a a;  Khi đó

0

( ) 2 ( )

a a

a

I f x dx f x dx 

∫  ∫

.

Chøng minh : Ta cã

0

0

( ) ( ) ( )

a a

a a

I f x dx f x dx f x dx

 

∫ ∫ ∫

(1)

Ta tÝnh

0

( )

a

J f x dx 

∫

cách đặt xt0 t a  dx dt

0

0

( ) ( ) ( ) ( )

a a

a a

J f x dx f t dt f t dt f x dx 

 ∫  ∫  ∫ ∫

(2)

Thay (2) vào (1) ta đợc

( ) 2 ( )

a a

a

I f x dx f x dx 

∫  ∫

VÝ dơ 18: TÝnh tÝch ph©n:

2

2

cos 4 sin

x x

I dx

x 

 

 



∫

Gi¶i: Ta cã

2 2

2 2

2 2

cos cos

4 sin 4 sin 4 sin

x x x x

I dx dx dx

x x x

  

  

  



  

  

Do

1( ) 4 sin2

x f x

x 

 lµ hµm số lẻ

; 2 2    

  nªn

2 2 0 4 sin x dx x      ∫ vµ 2 cos ( ) 4 sin x f x x 

 hàm số chẵn

; 2 2      

  nªn ta cã:

 

2 2

2

0

2

cos cos (sin )

2 2

4 sin 4 sin (sin 2) sin 2

x x d x

dx dx

x x x x

             ∫ ∫ ∫ VËy

1 sin 2 1

ln 2 ln 3

2 sin 2 0 2

x I x     

3.Cho hàm số y f x( ) liên tục chẵn đoạn [−α:α] Khi đó

I=∫ −α α

f(x)

ax+1dx=

1 2∫−α

α

f(x)dx

Chøng minh: Đặt t= -x dt= - dx

Ta cã f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1=

1 t t a a  Khi x= - α th× t = α ; x = α th× t =- α VËy I=∫

−α α

f(x)

ax

+1dx=∫− α α

atf (t)

at

+1 dt=∫− α α

at+1−1

at

+1 f(t)dt

¿∫

−α α

f(t)dt+∫ − α α

f(t)

at

+1dt=∫− α α

f(x)dx+I

Suy I=∫ −α α

f(x)

ax

+1dx=

1 2∫−α

α

f(x)dx

VÝ dơ 19: TÝnh tÝch ph©n:

1 4

12 1

x x I dx    ∫ Giải:Đặt t= -x dt= - dx

Khi x= - th× t = ; x =1 th× t =-1 VËy I=∫

−1

x4

2x

+1dx=∫−1

t4

2− t

+1dt=∫−1

2t 2t

+1t

4

¿∫

−1

t4dt−∫

−1

t4

2t

+1dt=∫−1

x4dx− I

Suy I==1 2∫−1

1

x4dx=1

2

x5

5 ¿−1

=1

5

4.Cho f(x) liên tục đoạn

0; 2    

  Khi

2

0

(sin ) (cos )

f x dx f x dx

 



∫ ∫

.

Chøng minh:

§Ỉt 2

t   x dxdt

Khi x = th× 2 t 

, 2 x

th× t =

Do

0

2 2

0 0

2

(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )

2

f x dx f t dt f t dt f x dx

  





   

∫ ∫ ∫ ∫

NhËn xét : Bằng cách làm tơng tự ta có công thức

*Nếu f(x) liên tục 0;1 thì

(sin ) (sin )

2

xf x dx f x dx

   

 



 



∫ ∫

*Nếu f(x) liên tục 0;1 thì

2

(cos ) (cos )

 



∫xf x dx ∫f x dx

   

 



VÝ dô20:Chøng minh: I=

2

0

sin

sin cos 4

n

n n

x

dx

x x



  

∫

Gi¶i :

I=

2

0

sin cos

sin cos sin cos

n n

n n n n

x x

dx dx

x x x x

 



 

∫ ∫

=J

+) VËy I+J=

2

0

sin cos

sin cos sin cos 2

n n

n n n n

x x

dx dx

x x x x

 



 

 

∫ ∫

VËy I=

0

sin

sin cos 4

n n n x dx x x     ∫

VÝ dơ 21: TÝnh tÝch ph©n:

2 sin 1 cos x x dx x 

Giải: Đặt x t 0 t   dx dt

Khi       2 sin sin

1 cos 1 cos

t t x x dx dt x t            ∫ ∫ 2 0 2 0 sin sin

1 cos 1 cos

sin sin

1 cos 1 cos

t t t

dt dt

t t

x x x

dx dx x x               ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 sin sin 2

1 cos 1 cos

x x x

dx dx x x        ∫ ∫ VËy 2 0 sin sin

1 cos 2 cos 4

x x x

dx dx x x         ∫ ∫

Bài tập đề ngh

Bài 1.Tính tích phân sau

aI=

π

2

sin 2x

√cos2x+4 sin2xdx ( §H-KA-2006)

b¿I=∫

0

π2

c¿I=∫

0

π

2

sin 2x+sinx

√1+3 cosx dx

(§H-KA-2005) e¿I=∫

0

π

2

sin 2x cosx

1+cosx dx (§H-KB-2005)

g¿I=∫ π

4

π

2

sinx −cosx √1+sin 2x dx

sinx −cosx+3¿3 ¿

¿ cos 2x

¿

i¿I=∫

0

π

2

¿

d¿I=∫

0

π

2

(2x −1)cos2x dx

f¿I=∫

π

4 x

1+cos2x dx

h¿I=∫ π

4

π

3

tanx

cosx√1+cos2x

dx

k¿I=∫

0

π

4

xtan2x.dx

Bµi 2.Tính tích phân sau

aI=

0

√3

x5+2x3 √x2+1 dx

c¿I=∫

0

√2x+1

1+√2x+1dx

e¿I=∫

1

x3.

√x2−1 dx g¿I=∫

√5 2√3

dx

x√x2

+4

b¿I=∫

√3

dx

x2

(x2+1) d¿I=∫

1

1

x2(1+

1

x)dx f¿I=∫

1

√3

dx

x+x3

h¿I=∫ −3

(|x+2||x 2|)dx

Bài Tính tích ph©n sau

a¿I=∫

0

(x2+1)exdx

c¿I=∫

0

dx 1+ex

x+2¿2 ¿ ¿

x2.ex

¿

e¿I=∫

0

¿

g¿I=∫ −1

x(e2x+√3x+1)dx

b¿I=∫

1

ln(1+x)

x2 dx d¿I=∫

1

e

x3

+1

x lnx dx f¿I=∫

2

ln(x2− x) dx

h¿I=∫

π

2

PHẦN HÌNH HỌC

CHỦ ĐỀ 1 : KHỐI ĐA DIỆN , MẶT CẦU VÀ MẶT TRỊN XOAY

Cần nhớ :1/ Tam giác cạnh a có : Đường cao h =

a

diện tích S =

2 3

4

a

2/ Hình vng cạnh a có : Đường chéo a 2 diện tích S =

a

Bài tập

9/ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a Tính thể tích khối chóp biết : a/ Cạnh bên 2a

b/ Góc SAC 450

c/ Góc mặt bên mặt đáy 600

10/ a/Tính thể tích khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có A’A, AB, BC vng góc đơi A’A= 2a, AB = a, BC= a

b/ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy tam giác cạnh a điểm A’ cách ba điểm A ,B ,C ,cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ

c/ Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có tất cạnh a Tính thể tích khối lăng trụ

11/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA (ABC) , SA= a

5 Tính thể tích khối chóp

Bài tập

12/ Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón biết :

a/ Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh góc vuông a b/ Đường sinh a , góc đường sinh mặt phẳng đáy 600

c/ Bán kính đáy r = 12 góc đỉnh 1200

13/ Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ biết

a/ Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng

 Thể tích khối lăng trụ : V = B h ( B : diện tích đáy , h chiều cao )  Thể tích khối hộp chữ nhật : V = a.b.c ( a,b,c ba kích thước )  Thể tích khối lập phương : V = a3 (a: cạnh )

 Thể tích khối chóp : V =

1

3 B h ( B : diện tích đáy , h chiều cao )

 Hình nón có : Diện tích xung quanh Sxq rl - Thể tích

2

1

V  r h

 Hình trụ có :Diện tích xung quanh Sxq 2rl - Thể tích V  .r h2

( l : đường sinh, r : bán kính đáy, h : đường cao )

 Mặt cầu có : Diện tích S = 4R2 - Thể tích V =

3

b/ Bán kính đáy a , chiều cao 2a

14/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật , SA vng góc ABCD a/ Xác định mặt cầu qua S , A ,B , C, D

b/ Tính diện tích mặt cầu biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a

15/ (Đại học khối A – 2006 )

Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ , bán kính đáy chiều cao bằ.Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a

Tính thể tích khối tứ diện OO’AB

Ch

Ủ ĐỀ 2 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

§ HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I.TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VAØ CỦA VÉC TƠ:

1 Hệ tọa độ :

Hệ ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi có chung điểm gốc

O gọi hệ trục tọa độ Đêcac vng góc Oxyz ( hay hệ tọa độ Oxyz )

@ ⃗i,⃗j,⃗k vectơ đơn vị tương ứng trục Ox, Oy, Oz

@ ⃗i2

=⃗j2=⃗k2=1

@ ⃗i.⃗j=⃗i.⃗k= ⃗j.⃗k=0

@Ox: trục hoành, Oy: trục tung, Oz: trục cao

@O: gốc tọa độ

Tọa độ điểm:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz chọn, cho điểm M Ttọa độ điểm M

ký hiệu M=(x ; y ; z)hayM(x ; y ;z) Ta có :

( ; ; )

M x y z  OM  xi y j zk 

3 Tọa độ vectơ:

Cho hệ tọa độ Oxyz vectơ ⃗a tùy ý, có ba số (x,y,z): ⃗

a=xi⃗+y⃗ỵ+zk⃗ , ba số (x,y,z) gọi tọa độ vectơ ⃗a

Nhận xét:

Vậy ⃗OM=(x ; y ; z) tọa độ điểm M x y z( ; ; ),

II.BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ:

 Định lý :

Đối với hệ tọa độ Oxyz, ⃗a=(x , y , z) , ⃗b=(x',y',z ')

a) ⃗a+ ⃗b=(x+x';y+y';z+z ')

b) ⃗a −b⃗=(x − x';y − y';z − z ')

c) k.⃗a=(kx;ky;kz), k∈R

 Hệ quả:

1 ⃗a=(x , y , z) , b⃗=(x',y',z ') Ta coù ⃗

a=⃗b⇔

x=x '

y=y '

z=z '

¿{ {

2 A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) ⃗AB=(xB− xA; yB− yA; zB− zA)

3 M trung điểm AB xM=xA+xB

2 ; yM=

yA+yB

2 ; zM=

zA+zB

2 ;

* Ví dụ: Cho A(1;0;−2), B(2;1;−1) Tìm tọa độ điểm C cho ⃗AC=3⃗BC

* Giaûi:

Gọi tọa độ điểm C là: C(x ; y ;z) , ta có:

⃗AC=(x −1; y −0; z+2) ⃗

BC=(x −2; y −1; z+1)

Do đó: ⃗AC=3⃗BC

⇔ x −1=3(x −2)

y −0=3(y −1)

z+2=3(z+1)

⇔

¿x=5

2

y=3

2

z=−1

2 ¿{{

Vaäy C(5

2; 2;−

1 2)

* Ví dụ 1: Xác định tọa độ vectơ ⃗a biết: ⃗

a=3⃗i−4⃗j+5k⃗

* Giaûi:

* Ví dụ 2: Cho ⃗a=(2;−5;3),b⃗=(0;2;−1)

) ; ; (



c Hãy xác định tọa độ vectơ ⃗d , biết ⃗d=4a −⃗

3⃗b+3⃗c

* Giaûi:

Gọi tọa độ vectơ ⃗d=(x ; y ; z) Ta có

¿

x=4 2−1

3.0+3

y=4 (−5)−1

3 2+3

z=4 3−1

3(−1)+3

⇔

¿x=11

y=1

3

z=55

3 ¿{{

¿

Vậy: ⃗d=(11;1

3; 55

3 )

III.TÍCH VƠ HƯỚNG:

1.Biểu thức toạ đọ tích vơ hướng:

Định lý:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , Nếu ⃗a=(x , y , z) , b⃗=(x',y',z ')

⃗

a.⃗b=xx'+yy'+zz' Biểu thức tọa độ tích vơ hướng )

2.Ứng dụng:

@Nếu ⃗a=⃗b ⃗a2

=x2+y2+z2 vaø |⃗a|=√x2+y2+z2

@ ⃗a⊥⃗b⇔xx'+yy'+zz'=0

@ Khoảng cách hai điểm A(xA; yA; zA) B(xB; yB; zB) là:

AB=√(xB− xA)2+(yB− yA)2+(zB− zA)2

@ Góc hai vectơ:

Nếu ϕ góc hai vectơ ⃗a=(x , y , z) , ⃗b=(x',y',z ') ⃗a ,⃗b ≠⃗0

cosϕ= ⃗a.b⃗ |⃗a|.|b⃗|=

xx'+yy'+zz'

√x2+y2+z2.√x '2+y '2+z '2

* Ví dụ: Cho ⃗a=(4;3;1) , ⃗b=(−1;2;3)

Tính |a⃗+ ⃗b|=¿ ? góc ϕ hai vectơ ⃗a ;b⃗

* Giải:

⇒|⃗a+⃗b|=√32+42+52=5√2

vaø cosϕ= 4(−1)+3 2+1 √42+32+12.√12+22+32

=5√91

182

Vậy (a ;⃗ b⃗)=ϕ với cosϕ=5√91

182

IV TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, ỨNG DỤNG: 1) Định nghĩa:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ⃗a=(x , y , z) , ⃗

b=(x',y',z ') Vectơ có ba tọa độ ba định thức (*) gọi tích có hướng ( hay tích

vectơ ) hai vectơ ⃗a ;b⃗ Ký hiệu: [⃗a ,⃗b]

Vaäy:

¿

y z y ' z '

¿rli ¿;

¿z x

z ' x '

¿rli ¿;

¿x y

x ' y '

¿

||

[⃗a ,⃗b]=¿

2) Tính chất:

@ ⃗a ;b⃗ phương ⇔[⃗a ,b⃗]=⃗0

@ [⃗a ,⃗b]⊥a ,⃗ [⃗a ,⃗b]⊥b⃗

@ |[a ,⃗ b⃗]|=|⃗a|.|⃗b|.sinϕ;ϕ=(a ;⃗ b⃗)

3)Aùp dụng:

a) Diện tích tam giác:

Trong hệ tọa độ Oxyz, diện tích ΔABC là:

SΔABC=1

2|[⃗AB ⃗AC]|

b) Điều kiện vectơ đồng phẳng:

* Định lý: Điều kiện cần đủ để ba vectơ ⃗a ,⃗b ,⃗c đồng phẳng là: [a ,⃗ ⃗b].⃗c=0

c) Thể tích khối hộp:

Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: V=|[⃗AB.⃗AD].⃗AA'|

d) Thể tích tứ diện ABCD bằng : VABCD=16 AB AC AD, 

                                         

* Ví dụ: Trong kg với hệ tọa độ Oxyz,

a) CMR: A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện

b) Tính đường cao CK tam giác ΔBCD

c) Tính góc CBD góc (AB,CD)

d) Tính thể tích tứ diện ABCD, từ suy độ dài đường cao tứ diện ABCD qua đỉnh A

* Giải: a) Ta có:

⃗AB=(−2;1;1),⃗AC=(−2;1;−1),⃗AD=(1; −1;−3)

1 ¿ 1−1

¿rli ¿; ¿1−2

−1−2 ¿rli ¿; ¿−2

−21 ¿rli

¿||

¿[⃗AB,⃗AC]=¿ ¿ ¿ ¿

Suy ba vectơ ⃗AB;⃗AC;⃗AD k0 đồng phẳng

Do A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện

b) Ta coù: SΔBCD=1

2DK BC⇒DK=

2SΔBCD

BC

⃗BC=(0;0;−2),⃗BD=(3;−2; −4)

¿

SΔBCD=

1

2|[⃗BC;⃗BD]| 0−2

−2 ¿rli ¿−2

4 ¿rli ¿0 3−2 ¿rli ¿2

¿ ¿||

¿ ¿=1

−2¿2 ¿ 02

+02+¿ BC=√¿

Do đó: DK=2√13

2 =√13

c) cos CBD=cos(⃗BC;⃗BD)=⃗BC.⃗BD

BC BD

−4¿2 ¿ −2¿2+¿

32 +¿

2.√¿

¿0 3+0 (−2)+(−2).(−4) ¿

Vậy: CBD = ϕ với cosϕ=4√29

29

@ Gọi ϕ góc hai đường thẳng AB CD (00≤ϕ≤900) , Do ϕ

hoặc bù với (⃗AB;⃗CD) , ta có:

cosϕ=|cos(⃗AB;⃗CD)|=|⃗AB ⃗CD|

AB CD =

5√102

51

d) Thể tích tứ diện ABCD phần sáu thể tích hình hộp có ba cạnh xuất phát từ A: AB, AC, AD

Neân VABCD=1

6 |[⃗AB,⃗AC].⃗AD|= 6.2=

1

Gọi AH đường cao tứ diện kẽ từ A

Ta coù: VABCD=1

3SΔBCD AH

⇒AH=3 VABCD

SΔBCD

=√13

3

IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1 Phương trình mặt cầu :

* Định lý 1: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz.Mặt cầu (S) tâm

I(a , b , c), bán kính R có PT :

(x − a)2+(y − b)2+(z −c)2=R2 (1)

* Neáu I ≡O(0;0;0) PT mặt cầu (S) :

x2+y2+z2=R2 (2)

2 2 2 2 2 0 (3)

x y z  Ax By Cz D  với A2 B2 C2 D 0

    phương trình mặt cầu

tâmIA B C, ,  bán kính R A2 B2 C2 D

   

* Ví dụ1: Tìm tâm bán kính mặt cầu có PT:

x2+y2+z2+4x −2y+6z+5=0

* Giải :

Ta coù:

2

2

2

A A

B B

C C

 

 

 

  

 

   

 

và bán kính

−3¿2−5 ¿

−2¿2+12+¿ ¿

R=√¿

,Tâm I(2;1;-3)

BÀI TẬP:

Xác định tâm bán kính mặt cầu 1)x2y2z2 4x6y 0

2)x2 y2z2 8x2z 1

ẹS: 1)Tâm I(2 ;-3 ;0) R=3 2) Tâm I (4;0;-1) vµ R=4

Ví d ụ2 : Lập phơng trình mặt cầu:

1) Tâm I(2;2;-3) R=3

2) Qua A(3;1;0); B(5;5;0) tâm I thuộc Ox

3) Qua điểm A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) D(1;1;6) 4) §êng kÝnh AB víi A(1;-3;5); B(-3; 4; -3)

Giải:

1) Ta có phơng trình mặt cầu ( ) ( ) ( )

2 2

2

x- + -y + +z =

2) Ta cã t©m I(a ;0 ;0) Do Mc (S)

Di qua A b nên ta cã IA=IB=R =>IA2=IB2

( ) ( )

( )

( )

2

2 2 2

3 25 10

10; 0;

( ) : 10 50

a a

a

I R

PTmc S x y z

=> - + = - + => =

=> => =

=> - + + =

3) G/s Pt mặt cầu (S) x2+y2+z2+ ax+by+cz+d=0(a2+b2+c2 4d)

Do (S) qua A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) D(1;1;6) nên ta có

4 17 16 2

6 38

a b d

a d

a b d

a b c d

ì + + =-ïï

ïï - + =-ïí

ï - - + =-ïï

5 / /

=>ph ơng trình mặt cầu 77 /

28 /

a b c d ì =-ïï ïï =-ù ị ớù =-ùù ù =-ùợ

4)Ta có tâm I(-1;

1

2;1) R= 2AB=

1 129

=> Pt mặt cầu là:

( ) ( )

2

2 129

1

2

x+ + -ổỗỗy ửữữữ+ -z =

ỗố ứ

BAỉI TẬP –SGK: Bµi : (68)

a)

1 55

4 11; ;

3 3

d  a b c 

                                                         

b) e a⃗ ⃗ 4b⃗ 2c⃗0; 27;3 

Bµi : (68)

áp dụng công thức trọng tâm :

3 3

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x x

y y y y

z z z z                   VËy G( ;0;

3 3)

Bµi :(68)

Ta cã :

   

 

 

1;1;1 , 0; 1;0

1;0;1

(2;0; 2) ' 2;5;

AB AD

AC AB AD

C CC                                      ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ vµ Ta cã :

 

' ' ' ' 2;5;

AA BB CC DD   ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

VËy :

     

' 3;5; , ' 4;6; , ' 3;4;

A  B  D 

§2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHAÚNG:

Vectơ ⃗n ≠⃗0 gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) nằm

đường thẳng vng góc với mặt phẳng (α)

( nói tắt vectơ ⃗n vng góc với mp(α) ).Kí hiệu: ⃗n⊥(α)

* Mặt phẳng (α) hoàn toàn xác định biết điểm thuộc VTPT

nó

b) Chú ý:

@ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz ⃗a=(x ; y ; z),b⃗=(x';y';z ') hai vectơ

không phương đường thẳng chứa chúng song song với (hoặc nằm trên) mp (α) vectơ ⃗n=[a ;⃗ ⃗b] VTPT mp (α)

@ Hai vectô ⃗a ,⃗b nói gọi cặp vectơ phương (VTCP) của mp (α)

@ Nếu M1, M2, M3 ba điểm không thẳng hàng mp (α) thì:

+) ⃗M1M2,⃗M1M3 cặp VTCP mp (α)

+) ⃗n=[⃗M1M2;⃗M1M3] VTPT mp (α)

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG:

1) Định nghóa:

Phương trình dạng: Ax+By+Cz+D=0 , (A2

+B2+C2≠0) (1)

gọi phương trình tổng quát mp (α)

2) Chú ý:

@ PTTQ mp (α) qua M0(x0; y0;z0) có VTPT ⃗n=(A ; B ;C)

là:

A(x − x0)+B(y − y0)+C(z− z0)=0

@ Neáu mp (α) có PT: Ax+By+Cz+D=0 (α) có VTPT là:

⃗

n=(A ; B ;C)

3) Các trường hợp riêng PTTQ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có PT:

Ax+By+Cz+D=0

@ Nếu D = mp (α) : Ax+By+Cz=0 ln qua gốc tọa độ

@ Neáu A = 0, B ≠0, C ≠0 mp (α) có PT:

By+Cz+D=0 chứa song song với Ox

@ Trường hợp B = 0, C = 0,xét tương tự

Vậy: Nếu PTTQ khơng có mặt x (y, z) mp tương ứng song song chứa

Ox (song song chứa Oy, Oz )

@Nếu PTTQ mp (α) có dạng: Cz+D=0 thì mp (α) song song với

mp(Oxy)

@ Nếu A, B, C, D khác đặt a=−D

A , b=− D

B , c=− D

C ta coù

xa+y

b+ z

c=1 gọi PT theo đoạn chắn

4) Ví dụ: Viết PTTQ mp (α) qua điểm M(1;−2;3) song song với

mặt phẳng (β) :

2x −3y+z+5=0

* Giải:

Vì mp (α) song song với mp (β) nên mp (α) có VTPT là: ⃗n=(2;−3;1)

Vậy PTTQ mp (α) là: 2(x −1)−3(y+2)+z −3=0

⇔2x −3y+z −11=0

BÀI TẬP

* Bài 1: Cho hai điểm A(2;3;−4), B(4;−1;0) Viết PTTQ mặt phẳng

trung trực AB

* Giaûi:

Gọi I t.điểm đoạn AB, ta có I(3;1;−2)

Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua I nhận vectơ ⃗AB=(2;−4;4) làm

VTPT

Vậy PTTQ mặt phẳng cần tìm là: 2(x −⇔3)x −−42(y −y+21)+z+43(=z+02)=0

* Baøi 2: Cho A(−1;2;3), B(2;−4;3), C(4;5;6) Viết PTTQ mặt phẳng qua

điểm A,B,C

* Giải:

Ta có ⃗AB=(3;−6;0),⃗AC=(5;3;3) ⇒n⃗=[⃗AB;⃗AC]=(−18;−9;39)=−3(6;3;−13)

Do mp (ABC) qua A(−1;2;3) nhận vectơ ⃗n1=(6;3;−13) làm VTPT

nên có phương trình:

6(x+1)+3(y −2)−13(z −3)=0

⇔6x+3y −13z+39=0

* Baøi 3: Viết PTTQ mặt phẳng qua điểm hình chiếu điểm

M(2;−3;4) trục tọa độ

Giaûi:

Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M(2;−3;4) trục

Ox, Oy, Oz thì:

⃗OM=⃗OM

1+⃗OM2+⃗OM3

Do đó: M1(2;0;0), M2(0;−3;0), M4(0;0;4)

Vậy: phương trình mặt phẳng qua điểm hình chiếu ñieåm

M(2;−3;4) trục tọa độ :

x

2−

y

3+

z

4=1

III.ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VNG GĨC: 1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song:

  / /         

' '

n kn n kn

cat n kn

D kD D kD

   

 

              

 

 

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

⃗ ⃗

*Chú ý:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

(α1) (α2) có PTTQ là:

(α1):A1x+B1y+C1z+D1=0 (1) (α2):A2x+B2y+C2z+D2=0 (2)

@ (α1) caét (α2)⇔A1:B1:C1≠ A2:B2:C2 @ (α1)≡(α2)⇔ A1 A2

=B1

B2

=C1

C2

=D1

D2

@ (α1)//(α2)⇔ A1 A2

=B1 B2

=C1 C2

≠D1 D2

* Ví dụ1 Xét vị trí tương đối mặt phẳng:

(α1):x+2y − z+5=0

(α2):2x+3y −7z −4=0

* Giải:

@ mp(α1) có VTPT ⃗n1=(1;2;−1)

@ mp(α2) có VTPT ⃗n2=(2;3;−7) Vì

1 2≠

2 3≠

−1

−7 neân (α1) cắt (α2)

*Ví dụ 2 :Xác định giá trị m, l để hai mặt phẳng song song với

a) 2x+ly+2z+3=0;mx+2y −4z+7=0

b) 2x+y+mz−2=0; x+ly+2z+8=0

* Giaûi:

a) Hai mặt phẳng song song với m2=l

2=

−4≠

⇔

2

m=

2

−4

l

2=

−4

⇔

¿m=−4

l=−1

¿{

b) Hai mặt phẳng song song với 21=1

l= m

2 ≠

⇔ m

2=

2 1

l=

2

⇔

¿m=4

l=1

2 ¿{

2 Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc:

Cho hai mặt phẳng () () có PT:

(β()α:A ' x):Ax++B ' yBy++CzC ' z++DD '=0=0 Ta coù: ()  ()  n n  0

                           

 AA’ + BB’ + CC’ =

IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MP:

* Định lý: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz Khoảng cách từ điểm

M0(x0; y0;z0) đến mặt phẳng () :Ax + By + Cz + D = tính cơng thức : d(M0;(α))=|Ax0+By0+Cz0+D|

√A2+B2+C2

* Ví dụ :

Tính khoảng cách từ điểm M(1;−1;2) đến mặt phẳng () :

x+2y+2z−10=0

* Giải :

Ta có d(M ;(α))=|1 1+2 (−1)+2 2−10|

√12+22+22

=7

3

§3.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

* Véctơ ⃗a ≠⃗0 gọi véctơ phương đường thẳng  ⃗a nằm

trên đường thẳng song song với ( trùng ) 

*Định lý: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, PTTS đường thẳng 

¿

x=x0+a1t

y=y0+a2t z=z0+a3t

, t∈R, a12+a12+a32≠0 ¿{ {

¿

*Phương trình tắc đường thẳng.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, PTTS đường thẳng  qua điểm

M0(x0; y0;z0) vaø nhận vectơ ⃗a=(a1; a2; a3) làm VTCP có dạng: x − x0

a1 = y − y0

a2 = z− z0

a3

a12+a12+a32≠0

* Nếu hai số a1;a2;a3 ta viết PTCT với quy

ước mẫu số tử số

Ví dụ1:

Viết PTTS, PTCT đường thẳng  qua A(2;0;−1) có VTCP ⃗a=(−1;3;2)

* Giải:

PTTS đường thẳng cần tìm là:

2

, , PTCT là:

1

1

x t

x y z

y t t R

z t

  

 



    



   



Ví dụ 2: Tìm PTCT đường thẳng  biết  qua điểm M(4;3;1) song

song với

đường thẳng d :

¿

x=1+2t

y= −3t

z=3+2t

¿{ {

¿

* Giải:

Vectơ phương d ⃗a=(2;−3;2) Vì  // d nên  có VTCP ⃗

a

Vậy PTCT 

2

4

x y z

 

 

III.ĐIÈU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU:

3 Điều kiên để hai đường thẳng chéo nhau:

BAØI TẬP ÔN CHƯƠNG

* Bài 1: Trong không gian cho điểm

A(0;0;3) , B(1;1;5), C(−3;0;0), D(0;−3;0)

a) Tính diện tích tam giác ADC

b) CMR : điểm A, B, C, D đồng phẳng

* Giải : a) Ta có ⃗AC=(−3;0; −3), ⃗AD=(0; −3;−3)

 [⃗AC;⃗AD]=(−9;−9;9)

Do : SΔADC=12|[⃗AC;⃗AD]|=9√23

b) Ta coù ⃗AB=(1;1;2)

 [⃗AC;⃗AD].⃗AB=(−9).1+(−9).1+9 2=0

 vectơ ⃗AC;⃗AD ⃗;AB đồng phẳng

Do điểm A, B, C, D đồng phẳng

* Bài : Cho tứ diện ABCD với đỉnh

A(6;−2;3) , B(0;1;6), C(2;0;−1), D(4;1;0)

a) Vieát PT mặt phẳng (ABC), (BCD)

b) Viết PT mp() chữa AB song song CD

c) Viết PT đt  qua A vng góc với (BCD) tìm tọa độ giao điểm chúng

* Giải : a) Ta có ⃗AB=(−6;3;3), ⃗AC=(−4;2; −4)

⃗BC=(2;−1;−7), ⃗BD=(4;0;−6)

*Phương trình mặt phẳng (ABC)

mp(ABC) có VTPT : ⃗n=[⃗AC;⃗AB]=(18;36;0) Do phương trình tổng quát mp(ABC)

laø:

18(x −0)+36(y −1)+0(z−6)=0

⇔x+2y −2=0

*Phương trình mặt phẳng (BCD)

mp(BCD) có VTPT : ⃗n1=[⃗BD;⃗BC]=(6;16;−4) Do phương trình tổng quát

mp(BCD) laø:

6(x −0)+16(y −1)−4(z −6)=0

⇔3x+8y −2z −8=0

Vì () chứa AB song song CD nên có cặp VTCP ⃗AB∧⃗CD , có

VTPT laø:

⃗

n=[⃗AB;⃗CD]=(0;12;−12) hay ⃗n '=(0;1;−1)

Do PTTQ mặt phẳng () là:

(x −0)+1.(y −1)−1.(z −6)=0

⇔ y − z+5=0

c) Vì  (BCD) nên nhận ⃗n2=(3;8;−2) làm VTCP, PTTS đường thẳng 

laø:

¿

x= 6+3t

y=−2+8t

z= 3−2t

, t∈R

¿{ {

¿

Thay x, y, z vào phương trình (BCD), ta được:

3(6+3t)+8(−2+8t)−2(3−2t)−8=0

⇔t=12

77

 x=498

77 , y=− 58 77 , z=

207 77

Vậy giao điểm  với (BCD) :

M(498

77 ;−

58 77 ;

207

77 )

* Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz, cho (S):

x2+y2+z2−2x −4y −6z=0

a) Xác định tọa độ tâm tính bán kính (S)

b) Xét vị trí tương đối (S) mp() : x+y − z+k=0 tùy theo k

c) Tìm tọa độ giao điểm (S) với  qua M(1;1;1), N(2;−1;5) Viết PT mặt

phẳng tiếp xúc với (S) giao điểm

* Giải :

a) Ta coù

¿ 2a=2

2b=4

2c=6

⇒

¿a=1

b=2

c=3

∧R=√14 ¿{ {

¿

.Vậy (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=√14

b) Ta có

−1¿2 ¿ 12+12+¿

√¿

d(I ;(α))=|1 1+1 2−1 3+k|

¿

@ |k|=√42⇔k=−√42∨k=√42  () (S) tiếp xúc

@ |k|>√42⇔k<−√42∨k>√42  () (S) điểm chung

c) Ta có ⃗MN=(1;−2;4)

Phương trình đường thẳng  qua M, N là:

¿ x=1+t y=1−2t z=1+4t

, t∈R ¿{{

¿

Thay x, y, z vào phương trình (S), ta được: 21t2−12t −9

=0⇔t=1∨t=−3

7

@ t=1: Giao Δ (S) A(2;−1;5)

@ t=−3

7: Giao Δ vaø (S) laø B( 7;

13

7 ;−

5 7)

* Phương trình tiếp diện A: Ta có ⃗AI=(−1;3;−2)

Mặt phẳng tiếp xúc với (S) A nhận ⃗AI làm VTPT nên có PTTQ:

−1 (x −2)+3(y+1)−2(z −5)=0

⇔x −3y+2z −15=0

* Phương trình tiếp diện B: Ta coù ⃗BI=(−3

7;− 7;−

26 )

Mặt phẳng tiếp xúc với (S) B nhận ⃗BI làm VTPT nên có PTTQ: 21x+7y+182z+105=0

BAØI 4: (Đề thi kỳ sở)

Trong không gian với hệ toạ độ O xyz cho điểm A(3;2;6),B(3; -1, 0), C(0,-7,0), D(-2, 1; -1)

a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC)

b/ Tính góc đường thẳng (d) qua hai điểm A, D mp(ABC)

GIẢI

a/ Viết Phưong trình mp (ABC)

- Ta coù:

(0;3;6); ( 3; 6;3)

, ( ) : , (5, 2,1)

9

BA BC

Vtpt mp ABC n BA BC

   

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⃗ ⃗ ⃗

Vậy Phưong trình mp(ABC) là:5(x-3)-2(y-2) +(z-6) = 0 5x –2y +z –17 =

b/ Ta có a⃗ AD ( 5; 1; 7)  vtcp đường thẳng AD

- Gọi  góc đường thẳng AD mp(ABC) , 00  900

Khi đó: sin

25 7 10

5 75 30

a n a n

  

  

BAØI 5(TN 05+06)

Trong KG với hệ tọa độ O xyz,

cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x 2y 4z 0    vaø hai

đthẳng 

x 2y x 2z

x y z

( ) : ,( ) :

1 1

    



  

 



1.Chứng minh: ( )va( )1 2 chéo

2.Viết pt tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đthẳng ( )va( )1 2

GIẢI

1/ + Phưong trình tham soá

1

2

( ) :

x t y t z t

      

  

+ ( )1 qua điểm A(0;1;0) có vtcp

u⃗(2; 1;1) ,

( )2 qua điểm B(0;1;0) có vtcp

v⃗ ( 1;1; 1) ,

+ u v,   (0;1;1),AB(1; 1;0)

⃗⃗ ⃗

+ u v AB,     1 ( ) ( )1 va 2

                                         

cheùo

2/ + Gọi (P) tiếp diện cần tìm Vì (P) // với ( )va( )1 2 nên có vtpt

nu v,  (0;1;1) ⃗ ⃗ ⃗

Phưong trình mặt phẳng (P) có dạng y + z +m =

+Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;-2)và có bán kính R =

+Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I,(P)) = R 

3

3 3

2

m

m 

   

+Với m 3  ( ) :P1 y z  3 0

+ Với m 3 

PHỤ LỤC THÊM:

Trong KG,hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng:

1: M1(x1; y1; z1) có VTCP ⃗a1=(a1;b1; c1)

1, 2 đồng phẳng ⇔[⃗a1;⃗a2].⃗M1M2=0

1.Điều kiên để hai đường thẳng song song: a)1, 2 song song 

a1:b1:c1=a2:b2:c2≠ a3:b3:c3

với a3=(x2− x1),b3=(y2− y1), c3=(z2− z1)

b) 1, 2 truøng 

a1:b1:c1=a2:b2:c2=a3:b3:c3

với a3=(x2− x1),b3=(y2− y1), c3=(z2− z1)

2 Điều kiên để hai đường thẳng cắt nhau:

1, 2 caét

⇔

[⃗a1;⃗a2].⃗M1M2=0

a1:b1:c1≠ a2:b2:c2

¿{

3 Điều kiên để hai đường thẳng chéo nhau:

1, 2 cheùo ⇔[⃗a1;⃗a2].⃗M1M2≠0

Ví dụ: Xét vị trí tương đối hai đ.thẳng

Δ1:x −1

2 =

y −7

1 =

z−3

Δ2: x −6

3 =

y+1

−2 =

z −3

* Giaûi :

1: M1(1;7;3) có VTCP ⃗a1=(2;−1;4)

2: M2(6;−1;3) có VTCP ⃗a2=(3;−2;4)

Ta có [⃗a1;⃗a2]=(4;4;−1) ⃗M1M2=(5;−8;0) ⇒[⃗a1;⃗a2].⃗M1M2=4 5+4 (−8)+(−1) 0=−12

Vậy: 1 chéo 2

Chùm mặt phaúng:

Cho mp (α1) (α2) cắt có PT:

(α1):A1x+B1y+C1z+D1=0 (1) (α2):A2x+B2y+C2z+D2=0 (2)

1 Định lý:

Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng (α1) (α2) có PT dạng: λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0

λ2+μ2≠0

Ngược lại phương trình dạng (*) phương trình mặt phẳng qua giao tuyến (α1) (α2)

2 Định nghóa:

Tập hợp mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng (α1) (α2) gọi

3 Ví dụ: Cho ba mặt phẳng có PT:

(α1):2x − y+z+1=0 (α2):x+3y − z+2=0 (α3): 2x −2y −3z −3=0

a) Lập PTTQ mp(α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (α1) (α2) qua M(1;2;1)

b) Lập PTTQ mp(β) qua giao tuyến hai mặt phẳng (α1) (α2) song

song Oy

c) Lập PTTQ mp(γ) qua giao tuyến hai mặt phẳng (α1) (α2) vuông góc (α3)

* Giải:

a) (α1) cắt (α2) :−1 :1≠1 :3:−1

PTTQ mp(α) có dạng:

λ(2x − y+z+1)+μ(x+3y − z+2)=0(∗)

⇔(2λ+μ)x+(− λ+3μ)y+(λ − μ)z+λ+2μ=0 Điểm M(1;2;1)∈(α) nên :

2λ+μ −2λ+6μ+λ − μ+λ+2μ=0

⇔λ+4μ=0

Chọn λ=4⇒μ= -1, thay vào (∗) ta được:

7x −7y+5z+2=0

b) PTTQ mp(β) có dạng (*)

Vì mp(β) //Oy nên hệ số y (*) 0, tức là: − λ+3μ=0

Chọn λ=3⇒μ=1, tahy vào (∗) ta :

7x+2z+5=0

c) PTTQ mp(γ) có dạng (*)

VTPT (γ):⃗n1=(2λ+μ ;− λ+3μ ; λ − μ)

VTPT (α3):⃗n2=(2;−2;−3)

Ta có: (γ)⊥(α3)⇔⃗n1.⃗n2=0

⇔2 (2λ+μ)−2(− λ+3μ)−3(λ − μ)=0

⇔−3λ+μ=0

Chọn λ=1⇒μ=3 , thay vào (∗) ta được:

5x+8y −2z+7=0 *

Vị trí tương đối đt  mp( )

Trong KG,hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng: Δ:x − x0

a = y − y0

b = z − z0

c

() : Ax + By + Cz + D =

a) caét ()  Aa + Bb + Cc

b)  // () 

¿ Aa+Bb+Cc=0

Ax0+By0+Cz0+D ≠0

¿{

c) () 

¿ Aa+Bb+Cc=0

Ax0+By0+Cz0+D=0

¿{

¿

d)  ()  a : b : c = A : B : C

* Ví dụ :

Xét vị trí tương đối đường thẳng  (), tìm giao điểm chúng cắt

nhau

Δ:

x= 2t

y=1+2t

z=5+2t

; (α):x+y+z- 10=0

¿{ {

* Giải :

Đường thẳng  có VTCP ⃗a=(2;2;2)

Mặt phẳng () có VTPT ⃗n=(1;1;1)

Ta có : : = : :   ()

Tham số t ứng với giao điểm M  () nghiệm phương trình: 2t+1+2t+5+2t −10=0⇔t=2

3

Thay t=2

3 vào phương trình  , ta

x=4

3 , y= , z=

19

Vaäy : M(4

3; 3;

19 )

Khoảng cách từ điểm đến đt:

 Định lý: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz Cho đường thẳng  qua

M0 có VTCP ⃗a điểm M1 Khoảng cách từ điểm M1 đến đường

thẳng  tính cơng thức : 

d(M1; Δ)=|[a ;⃗

⃗M0M1]| |⃗a|

* Ví dụ :

Tính khoảng cách từ điểm M1(2;3;1) đến đường thẳng  : x+2

1 =

y −1

2 =

z+1

−2

* Giaûi :

Đường thẳng  qua M0(−2;1;−2) có VTCP

⃗a=(1;2;−2)  ⃗M0M1=(4;2;2)

Ta coù: [⃗M

⇒d(M1; Δ)=|[⃗a ;

⃗M0M1]| |⃗a|

−8¿2+102+62

¿

−2¿2 ¿ 12+22+¿

√¿ ¿ ¿

√¿ =¿

Khoảng cách hai đt chéo nhau:

Trong KG Oxyz, cho hai đường thẳng 1, 2 chéo Đường thẳng 1 qua M1

có VTCP ⃗a1 , đường thẳng 2 đi qua M2 có VTCP ⃗a2 Khoảng cách 1

vaø 2 laø:

d(Δ1; Δ2)=

|[⃗a1;⃗a2].⃗M1M2| |[⃗a1;⃗a2]|

* Ví dụ :

Tính khoảng cách hai đt 1 2 :

Δ1:

x=1+t

y=−1−t

z=1

; Δ2: ¿x=2−3t

y=−2+3t

z= 3t

¿{ {

* Giaûi :

1 qua M1(1;−1;1) có VTCP ⃗a1=(1;−1;0)

2 qua M2(2;−2;0) có VTCP ⃗a2=(−3;3;3)

Ta coù ⃗M

1M2=(1;−1;−1)

[⃗a1;⃗a2]=(−3;−3;0)

 [⃗a1;⃗a2].⃗M1M2 =

Vậy : d(Δ1; Δ2)=

|[⃗a1;⃗a2].⃗M1M2| |[⃗a1;⃗a2]| =

Góc hai đường thẳng :

Cho hai đường thẳng 1 2 có PT:

1 1 2

1

1 1 2

:x x y y z z ; :x x y y z z

a b c a b c

     

Gọi  góc hai đt 1 2, ta có cosϕ=

|a1a2+b1b2+c1c2| √a12+b12+c12.√a22+b22+c22

*1 2  a1a2+b1b2+c1c2 =

*Ví dụ : Tính góc hai đường thẳng:

Δ1:

x=1+2t

y=−1+t

z=3+4t

, Δ2: ¿x=2− t

y=−1+3t

z=4+2t

¿{ {

* Giải: VTCP 1 ⃗a1=(2;1;4)

VTCP 2 ⃗a2=(−1;3;2) Do góc  1 2 tính:

−1¿2+32+22

¿ ¿

√22

+12+42.√¿ cosϕ=|2 (−1)+1 3+4 2|

¿

2 Góc đường thẳng mặt phẳng :

Cho đường thẳng  mặt phẳng () có PT:

Δ:x − xa 0= y − y0

b = z − z0

c

(α):Ax+By+Cz+D=0

Gọi  góc đt  mp (), ta có

sinϕ= |Aa+Bb+Cc|

√A2

+B2+C2.√a2+b2+c2

*  // ()  ()  Aa + Bb + Cc =

*Ví dụ : Tính góc đt  mp():

Δ:x=5+t, y=−2+t, z=4+√2t

(α):x − y+√2 z-7=0

* Giải: VTCP  ⃗a=(1;1;√2) VTPT () ⃗n=(1;−1;√2) Do

góc   và() tính:

−1¿2+√22

¿ 12+¿

√12+12+√22.√¿ sinϕ=|1 1+1.(−1)+√2 √2|

¿

 = 300

3 Góc hai mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng () () coù PT:

cosϕ= |AA'+BB'+CC'| √A2+B2+C2.√A '2+B'2+C '2

*Ví dụ : Tính góc hai mp() mp() :

(α):x+2y+ z+4=0; (β):x − y −2z −3=0

* Giải: VTPT () ⃗n1=(1;2;1)

VTPT () ⃗n2=(1;−1;−2)

Do góc  () () tính:

−2¿2 ¿

−1¿2+¿ 12

+¿

√12+22+12.√¿

cosϕ=|1 1+2 (−¿1)+1.(−2)|

 = 600

Giao mặt phẳng mặt cầu:

Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz cho mp() mặt cầu (S) có phương

trình:

(S):((x −aα): Ax)2 +By+Cz+D=0

+(y −b)2+(z − c)2=R2

Goïi H hình chiếu I lên (), ta có:

IH=d(I ;(α))

a) IH<R:(α)∩(S)=(C)

(C) : ñ tròn tâm H , bán kính r=√R2−IH2

Phương trình đường tròn là:

Ax+By+Cz+D=0

¿

(x − a)2+(y − b)2+(z − c)2=R2

¿

với |Aa+Bb+Cc+D|

√A2+B2+C2 <R {

¿ ¿ ¿

¿

b) IH=R:(α)∩(S)={H}

() :Tiếp diện (S) H

c) IH>R:(α)∩(S)=∅

 () khơng có điểm chung với (S)

(S):x2+y2+z2−6x −2y+4z+5=0 (α):x+2y+z −1=0

* Giải :

Ta có:

¿ 2a=6

2b=2

2c=−4

⇒ ¿a=3

b=1

c=−2

vaø R=3

¿{ {

¿

Do đó: d(I ;(α))=|1 3+2 1+1.(−2)+5|

√12

+22+12

=√6

3 Vì d(I ;(α))=√

6

3 <R=3 nên (α)∩(S)=(C)

Phương trình đường trịn (C) là:

¿

x2+y2+z2−6x −2y+4z+5=0

x+2y+z −1=0

¿{

¿

PHẦN ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP NĂM 2008-2009

SỞ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO BẾN TRE ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I – NH 2008 -

2009

TRƯỜNG THPT CHÂU THÀNH B MƠN: TỐN - LỚP : 12 (CHUẨN)

Thời gian làm bài : 150 phút ( khơng tính thời gian giao đề )

HỌ VAØ TÊN LỚP ĐIỂM NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

A- PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( Ñ) :

Học sinh trả lời câu hỏi sau cách đánh chéo vào ô bảng trả lời :

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a/ b/ c/ d/

Câu1) Cho hàm số y=x3 5x26x1 Hàm số có cực trị x x1, Tích x x1, 2bằng : a/2 b/

10

Câu2) Cho hàm số y = x4 2x2 có đồ thị (C) Nếu tiếp tuyến điểm M thuộc ( C) có hệ số

góc

24 hồnh độ điểm M là:

a/ b/ c/2 d/–

Câu3) Gọi M ,N giao điểm đường thẳng y = 2x +1 với đường cong

1 x y x  

 Khi :

hồnh độ

trung điểm I đoạn MN :

a/ b/ c/ -1 d/

3



Câu4) Giá trị lớn hàm số f(x) =x33x2 9x1 đoạn [0 ; ] là

a/ 28 b/25 c/ 54 d/ 36

Câu5) Phương trình đường tiệm cận đồ thị hàm số

2 2 x y x x  

 laø :

a/ x = , x = - , y = b/ x = , x = , y = c/ x = , x = , y = d/ x = , x = - , y =

Câu6) Đạo hàm hàm số y e sin2x :

a/ y' sin  x esin2x b/y' sin  x esin2x c/y' sin cos  x x esin2x d/

sin ' cos x

y  x e

Câu7) Bất phương trình 2x23x 4

 có tập nghiệm :

a/  ;1  2; b/ (1 ; ) c/  ; 2  1; d/ (-2 ; )

Câu8) Tập xác định hàm số

1 lg x y x       

  laø :

a/1;  \ b/ (-1 ; ) c/   ; 1  2; d/   ; 1  2;

Câu9) Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a : a/ a b/ 3 a c/ 3 a d/ 2 a

Câu10) Một mặt phẳng qua trục hình trụ T cắt hình trụ theo thiết diện hình vuông có cạnh

2R Diện tích xung quanh hình trụ T laø : a/ Sxq 8R2 b/

2

xq

S  R c/Sxq 6R2 d/Sxq 4R2

Câu11) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao 2a.Thể tích khối nón có đỉnh S đáy đường tròn nội tiếp ABCD :

a/ a  b/ 3 a  c/ a  d/ a 

Câu12) Thể tích khối chóp tứ giác có tất cạnh a : a/ 3 a b/ 2 a c/ 3 a d/ 3 a

Caâu13) ( 3 điểm) Cho hàm số

3

2

3

x x y   x

có đồ thị (C) a/ Khảo sát hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến (D) đồ thị (C) điểm A có hồnh độ Tìm giao điểm

( D) ( C)

c/ Tìm m để phương trình 2x3 3x212x6m0 có nghiệm phân biệt

Câu14) ( 2 điểm) a/ Giải phương trình :

1

log

log x x6

b/ Giải hệ phương trình :

2

16x 17.4y x 16

x y

 

  



  



Câu15) ( 2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt đáy góc tạo cạnh bên SC mặt đáy 600

a/Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b/Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

ĐỀ

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số yx33x21 có đồ thị (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có nghiệm phân biệt x3 3x2k 0 .

Câu II ( 3,0 điểm )

a Giải phương trình 33x 4 92x 2 b Cho hàm số

1 y

sin x



Tìm nguyên hàm F(x ) hàm số , biết đồ thị hàm số F(x) qua điểm M(6



; 0) c Tìm giá trị nhỏ hàm số

1

y x

x

  

với x > Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy đường cao h = Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

1 Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) :

x y z

1 2

 

 

 mặt

phẳng

(P) : 2x y z 0   

a Chứng minh (d) cắt (P) A Tìm tọa độ điểm A

b Viết phương trình đường thẳng () qua A , nằm (P) vng góc với (d)

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường : 1ylnx,x,xee trục hồnh Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

x 4t y 2t z t

   

  

  

 mặt phẳng

(P) : x y 2z 0   

a Chứng minh (d) nằm mặt phẳng (P)

b Viết phương trình đường thẳng () nằm (P), song song với (d) cách (d)

khoảng 14

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm bậc hai cũa số phức z 4i

.Hết

ĐỀ 2

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số

2x y

x

 

 có đồ thị (C)

c Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

d Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(1;8) Câu II ( 3,0 điểm )

d Giải bất phương trình

x logsin2 x

3

 



e Tính tìch phân : I =

x

(3 cos2x)dx



c Giải phương trình x2 4x 0  tập số phức

Câu III ( 1,0 điểm )

Một hình trụ có bán kính đáy R = , chiều cao h = Một hình vng có đỉnh nằm hai đường trịn đáy cho có cạnh khơng song song khơng vng góc với trục hình trụ Tính cạnh hình vng

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình

3 Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) hai mặt phẳng (P) :

2x y 3z 0    (Q) : x y z 0    a Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q)

b Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua giao tuyến (d) (P) (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (T) : 3x y 0  

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = x22x trục hồnh Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hồnh

4 Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

x y z

2 1

  

 

mặt

phẳng (P) : x 2y z 0   

a Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (P) b Tính góc đường thẳng (d) mặt phẳng (P)

c Viết phương trình đường thẳng () hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng

(P)

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Giải hệ phương trình sau : y

4 log x 42 2y log x 22

  



 

 

 

Hết

ĐỀ

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số y x 4 2x21 có đồ thị (C)

f Dùng đồ thị (C ) , biện luận theo m số nghiệm thực phương trình

4

x  2x  m (*) .

Câu II ( 3,0 điểm )

f Giải phương trình

log x 2log cosx cos

3 log x x

3



 



 

g Tính tích phân : I =

x x(x e )dx



∫

h Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = 2x33x2 12x 2 trên

[ 1;2]

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với đơi với SA = 1cm,

SB = SC = 2cm Xác định tân tính bán kính mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình Theo chương trình chuẩn :

Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( 2;1; 1) ,B(0;2; 1) ,C(0;3;0) ,

D(1;0;1)

a Viết phương trình đường thẳng BC

b Chứng minh điểm A,B,C,D không đồng phẳng c Tính thể tích tứ diện ABCD

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Tính giá trị biểu thức P (1  i)2(1 i)2 Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; 1;1) , hai đường thẳng

x y z ( ) :1

1



  

 ,

x t ( ) : y 2t2

z

   

     

 mặt phẳng (P) : y 2z 0 

a Tìm điểm N hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng (2)

b Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng ( ) ,(1 2) nằm mặt phẳng (P)

Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm m để đồ thị hàm số

2

x x m

(C ) : ym

x

  

phân biệt A,B cho tuếp tuyến với đồ thị hai điểm A,B vng góc Hết

ĐỀ

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số y x 3 3x 1 có đồ thị (C)

g Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

h Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M( 14

9 ; 1) Câu II ( 3,0 điểm )

i Cho hàm số

2

x x

y e   Giải phương trình yy2y 0

j Tính tìch phân :

2 sin 2x

I dx

2 (2 sin x)

 



∫

c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 2sin x cos x 4sinx 1    Câu III ( 1,0 điểm )

Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O đáy đến dây cung AB đáy a , SAO 30  , SAB 60   Tính độ dài đường sinh theo a

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình

5 Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

x y z ( ):1

2

 

  

  ,

x 2t ( ): y2 3t

z    

      

a Chứng minh đường thẳng ( )1 đường thẳng ( )2 chéo

b Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng ( )1 song song với đường thẳng ( )2

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

6 Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : x y 2z 0    mặt cầu (S) : x2y2z2 2x 4y 6z 0    a Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P)

b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Biểu diễn số phức z = 1+ i dạng lượng giác

.Hết

ĐỀ

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số

x y

x

 

 có đồ thị (C)

i Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

j Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt

Câu II ( 3,0 điểm )

k Giải bất phương trình

ln (1 sin )

2 2

2

e log (x 3x)

 

  

l Tính tìch phân : I =

2 x x

(1 sin )cos dx

2

0 



∫

m Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

x e y

x e e 

 đoạn [ln2 ; ln4]

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cà cạnh a Tính thể tích

hình lăng trụ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

x 2t

(d ) : y 31

z t

  

    



x y z

(d ) :2

1

 

 



a Chứng minh hai đường thẳng (d ),(d )1 vng góc khơng cắt

b Viết phương trình đường vng góc chung (d ),(d )1 Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Tìm mơđun số phức z 4i (1 i)    Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng () : 2x y 2z 0    hai đường thẳng (d1 ) :

x y z

2

 

 

 , (d2 ) :

x y z

2

  

 



a Chứng tỏ đường thẳng (d1) song song mặt phẳng () (d2) cắt mặt phẳng ()

b Tính khoảng cách đường thẳng (d1) (d2 )

c Viết phương trình đường thẳng () song song với mặt phẳng () , cắt đường thẳng

(d1) (d2 ) M N cho MN = Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm nghiệm phương trình z z 2, z số phức liên hợp số phức z

.Hết

ĐỀ

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số y = x 2x2 có đồ thị (C) k Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

l Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M ( 2;0) Câu II ( 3,0 điểm )

n Cho lg392 a , lg112 b  Tính lg7 lg5 theo a b

o Tính tìch phân : I =

2

1 x

x(e sin x)dx



c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có hàm số x y

1 x  

 Câu III ( 1,0 điểm )

Tính tỉ số thể tích hình lập phương thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lập phương

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình

Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với đỉnh A(0;2;1) , B(3;1;2) , C(1;1;4)

a Viết phương trình tắc đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A tam giác b Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm C vuông góc với mặt phẳng (OAB) với O gốc tọa độ

Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường (C) :

1 y

2x 

 , hai đường thẳng x = , x = trục hoành Xác định giá trị a để diện tích hình phẳng (H) lna

2 Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;4;2) hai mặt phẳng (P1) : 2x y z 0    , (P ) : x 2y 2z 02    

a Chứng tỏ hai mặt phẳng (P1) (P2) cắt Viết phương trình tham số giao tuyến  hai mặt phằng

b Tìm điểm H hình chiếu vng góc điểm M giao tuyến 

Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường (C) : y = x2 (G) : y = x Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hồnh

.Hết

ĐỀ

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số y x 33x2 4 có đồ thị (C)

n Cho họ đường thẳng (d ) : y mx 2m 16m    với m tham số Chứng minh (d )m cắt đồ thị (C) điểm cố định I

Câu II ( 3,0 điểm )

p Giải bất phương trình

x

x x

( 1) ( 1)



 

  

q Cho

f(x)dx



∫

với f hàm số lẻ Hãy tính tích phân : I =

f(x)dx



∫

c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có hàm số

2 x 4x y 2 

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình

9 Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O , vng góc với mặt phẳng (Q) :x y z 0   cách điểm M(1;2;1) khoảng

Câu V.a ( 1,0 điểm ) : Cho số phức

1 i z

1 i  

 Tính giá trị z2010. 10.Theo chương trình nâng cao :

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d ) :

x 2t y 2t

z

   

   

 mặt phẳng

(P) : 2x y 2z 0   

a Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm (d) , bán kính tiếp xúc với (P)

b Viết phương trình đường thẳng () qua M(0;1;0) , nằm (P) vng góc với

đường thẳng (d) Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Trên tập số phức , tìm B để phương trình bậc hai z2Bz i 0  có tổng bình phương hai

.Hết

ĐỀ

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số

x y

1 x

 

 có đồ thị (C)

o Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

p Chứng minh đường thẳng (d) : y = mx  4 2m qua điểm cố định đường cong (C) m thay đổi

Câu II ( 3,0 điểm )

r Giải phương trình log (22 x1).log (22 x 1  2) 12

s Tính tìch phân : I =

0 sin 2x dx (2 sin x) /2   

∫

t Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

2

x 3x (C) : y

x

  

 , biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng (d) : 5x 4y 0  

Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình chóp S,ABC Gọi M điểm thuộc cạnh SA cho MS = MA Tính tỉ

số thể tích hai khối chóp M.SBC M.ABC

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình

Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có đỉnh A,B,C nằm

trục Ox,Oy,Oz có trọng tâm G(1;2;1) Hãy tính diện tích tam giác ABC Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường ( C ) : y = x2, (d) : y = x trục hồnh

Tính diện tích hình phẳng (H) Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Biết A’(0;0;0) , B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 Gọi M,N trung điểm cạnh AB B’C’

b Tính góc khoảng cách hai đường thẳng AN BD’ Câu V.b ( 1,0 điểm ) :

Tìm hệ số a,b cho parabol (P) : y 2x ax b tiếp xúc với hypebol (H) :

y x 

Tại điểm M(1;1)

.Hết

ĐỀ

( Thời gian làm 150 phút )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( điểm )

Câu I ( 3,0 điểm )

Cho hàm số y x 42(m 2)x 2m2 5m 5 có đồ thị (Cm)

q Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =

b Tìm giá trị m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt Câu II ( 3,0 điểm )

u Giải phương trình 9x 5x4x2( 20)x

v Tính tích phân : I =

2 ln(1 x )dx



∫

w Tìm giá trị lớn hàm số y = lnx x Câu III ( 1,0 điểm )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB = a , BC = 2a



ABC 60 ; SA vng góc với đáy SC tạo với đáy góc  a) Tính độ dài cạnh AC

b) Tính theo a  thể tích khối chóp S.ABCD

II PHẦN RIÊNG ( điểm )

Thí sinh học chương trình làm làm phần dành riêng cho chương trình Theo chương trình chuẩn :

Câu IV.a ( 2,0 điểm ) :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;0; 1) ,B(1;0;0) ,C(1;1;1) mặt phẳng ( ): x y z 0    

a Viết phương trình mặt phẳng ABC Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng (ABC) mặt phẳng ()

b Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A,B,C có tâm nằm mặt phẳng () Câu V.a ( 1,0 điểm ) :

Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y x  y x 22 Tính thể tích khối trịn xoay (H) quay quanh trục hồnh

Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D1 1 có cạnh AA1a, AB = AD = 2a Gọi M,N,K trung điểm cạnh AB,AD,AA1

a) Tính theo a khoảng cách từ C1 đến mặt phẳng (MNK)

b) Tính theo a thể tích tứ diện C MNK1 Câu V.b ( 1,0 điểm ) :