Tổng hợp lý thuyết toán 12 Tổng hợp lý thuyết Toán lớp 12 Giải tích và Hình học đầy đủ

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ 4 1 SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 4 1 1 Định nghĩa 4 1 2 Quy tắc và công thức tính đạo hàm 4 1 3 Bảng công thức tính đạo hàm 5 1 4 Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức 6 1 5 Đạo hàm cấp 2 6 2 CỰC TRỊ HÀM SỐ 8 2 1 Định nghĩa 8 2 2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 9 2 3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 9 2 4 Quy tắc tìm cực trị 9 3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 10 3 1 Cực trị của hàm đa thức bậc ba 10 3 2 Cực trị của hàm.

MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa K Kí hiệu khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số ( ) y=f x K xác định ta có: y=f x K • Hàm số gọi đồng biến (tăng) nếu: ( ) ( ) ( ) ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 < f x2 ( ) y=f x • Hàm số gọi nghịch biến (giảm) ( ) K nếu: ( ) ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 > f x2 Hàm số đồng biến nghịch biến K * Nhận xét: ( ) K gọi chung đơn điệu f x • Hàm ⇔ • ( ) ( ) f x2 − f x1 x2 − x1 ( ) ( ) x2 − x1 biến K Khi đồ thị hàm số ( ) f x2 − f x1 đồng > 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2 lên từ trái sang phải f x Hàm số ⇔ • số nghịch biến K < 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2 Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải f ′ x > 0, ∀x ∈ a;b ⇒ f x Nếu hàm số đồng biến khoảng ( ) ( a;b) ( ) ( ) • f ′ ( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b) ⇒ Nếu ( ) f x hàm số nghịch biến ( a;b) • khoảng f ′ x = 0, ∀x ∈ a;b ⇒ ( ) ( ) ( ) f x hàm số Nếu không đổi khoảng ( a;b) ( ) ( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a;b) f x • Nếu ( ) đồng biến khoảng f x • Nếu nghịch biến khoảng • Nếu thay đổi khoảng ( a;b) ( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( a;b) một đoạn nửa khoảng ( ) f x phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số đoạn hoặc nửa khoảng đó” 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm ( ) ( ) liên tục u = u x ; v = v x ;C : Quy tắc tính đạo hàm: Cho ′ u ± v = u′ ± v′ • Tổng, hiệu: ′ ′ u.v = u′.v + v′.u ⇒ C u = C u′ • Tích: ( ( ) ) ( )  u  u′.v − v′.u  C ′ C u′ , v ≠ ⇒ = −  ÷=  ÷ v2 u2 v u ( • Thương: số ) ( ) ( ) y = f u , u = u x ⇒ yx′ = yu′ ux′ • Đạo hàm hàm hợp: Nếu 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ Đạo hàm hàm hợp cấp ′ ′ C =0 xα = α xα −1 (C số) ′ ′ xα = α xα −1 uα = α uα −1.u′ ( ) ( ) ( ) ( )  ′  ÷ = − (x ≠ 0) x x  ′ u′  ÷ =− u ≠ u u ( x ) ′ = 21x ( x > 0) ( u ) ′ = 2u′u ( u > 0) ( sinx) ′ = cosx ( sinu) ′ = u′.cosu ( cosx) ′ = − sin x ( cosu) ′ = −u′.sinu ( tanx) ′ = cos1 x ( tanu) ′ = cosu u ( cot x) ′ = − sin1 x ( cot u) ′ = − sinu u ( e ) ′ =e ( e ) ′ = u′.e ( ′ 2 ′ x ) x u u ( a ) ′ = a lna ( a ) ′ = u′.a lna ( ln x ) ′ = x1 ( ln u ) ′ = uu′ ( log x ) ′ = xln1 a u′ ( log u ) ′ = u.ln a x x u a u a 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức  ax + b ′ ad − bc  ÷ =  cx + d  cx + d ( • ) a   b x2 + a   c x+ d   f  ax2 + bx + c ′ d   e =  ÷  dx + ex + f  dx2 + ex + f • ( ) 1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa ′ f ′′ ( x) =  f ′ ( x)  1.5.2 Ý nghĩa học b   c e   f () s= f t Gia tốc tức thời chuyển động ( ) thời điểm t0 là: ( ) a t0 = f ′′ t0 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f ( n) * Một số ý: n −1 ( ) f x • Nếu hàm số ′ ( x) =  f ( ) ( x)  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2) ( ) ( ) gx ( ) f x +g x hàm số K đồng biến (nghịch biến) đồng biến (nghịch biến) ( ) K ( ) f x −g x • Tính chất không hiệu f x gx Nếu hàm số hàm số dương đồng ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x K biến (nghịch biến) hàm số đồng biến K (nghịch biến) Tính chất khơng ( ) ( ) f x ,g x K không hàm số dương u=u x x ∈ a;b u x ∈ c;d Cho hàm số , xác định với hàm số • ( ) f u( x)  Hàm số Ta có nhận xét sau: ( ) ( ) x ∈ a;b xác định với ( ) u=u x • Giả sử hàm số f u( x)  ( ) ( ) ( ) x ∈ a;b đồng biến với ( ) ( ) Khi đó, hàm số x ∈ a;b ⇔ f u đồng biến với đồng biến với u∈ ( c; d) ( ) u=u x • Giả sử hàm số số ( ) f u x  nghịch biến với nghịch biến với x ∈ ( a; b) x ∈ ( a; b) ⇔ f ( u) Khi đó, hàm nghịch biến với ( ) u ∈ c;d Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số f K Giả sử hàm số có đạo hàm ( ) f' x ≥0 • Nếu với x∈K mợt số hữu f x∈ K • ( ) f' x =0 K hạn điểm hàm số đồng biến f' x ≤0 f' x =0 x∈K Nếu với một số hữu ( ) hạn điểm ( ) x∈K hàm số f nghịch biến K Chú ý: y= * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y′ dấu đạo hàm không xảy ( ) ax + b  d x ≠ − ÷ cx + d  c dấu "= " xét ( ) y = f x = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f ′ x = 3ax2 + 2bx + c Giả sử ¡ Hàm số đồng biến  a >   ∆ ≤ ⇔ f ′ x ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a =   b =   c > ¡ Hàm số nghịch biến  a <   ∆ ≤ ⇔ f ′ x ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a =   b =   c < ( ) c ( ) a =b=c = ( ) f x =d Trường hợp hệ số khác (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều l khoảng có độ dài ta giải sau: ( ) y′ = f ′ x;m = ax2 + bx + c Bước 1: Tính ( x ;x ) ⇔ y′ = Bước 2: Hàm số đơn điệu có nghiệm phân biệt  ∆ > ⇔ a ≠ ( *) Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có đợ dài ( ⇔ x1 − x2 = l ⇔ x1 + x2 Bước 4: Giải ( *) ) giao với − 4x1x2 = l ⇔ S2 − 4P = l ( * *) l ( * *) để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa x0 ∈ K f Giả sử hàm số xác định tập K Ta nói: x0 f • điểm cực tiểu hàm số tồn mợt khoảng ( a;b) chứa Khi • x0 ( ) f x0 • f ( x0 ) cho ( a; b) ⊂ K x0 ( ) ( ) ( ) { } f x > f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 f gọi giá trị cực tiểu hàm số điểm cực đại hàm số chứa • • • x0 cho ( a;b) ⊂ K f ( ) tồn một khoảng ( ) ( ) { } ( a;b) f x < f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 f Khi gọi giá trị cực đại hàm số Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải một điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số • Nếu x0 ( x ;f ( x ) ) điểm cực trị hàm số điểm gọi f điểm cực trị đồ thị hàm số * Nhận xét: ( ) f x0 • Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung khơng phải giá trị f lớn (nhỏ nhất) hàm số ( ) f x0 tập D; giá f trị lớn (nhỏ nhất) hàm số chứa x0 mợt khoảng hay nói cách khác tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa x0 x0 điểm cực đại ( cực ( ) f x0 cho (nhỏ nhất) hàm số khoảng f Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm K tập Hàm số khơng có cực trị một tập cho trước 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: ( ) y=f x Giả sử hàm số đạo hàm điểm x0 đạt cực trị điểm • ( ) y=f x Khi đó, có ( ) Đạo hàm f ′ ( x) x0 • x0 f ′ x0 = Chú ý: • giá trị lớn ( a;b) f • ( a;b) điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm Hàm số đạt cực trị mợt điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Hàm số đạt cực trị mợt điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x0 f f Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số có đạo hàm điểm x0 f '( x0 ) = ( ) (x f′ x > • Nếu ( x ;x • +h khoảng ) f′ x < ( x ;x + h) − h; x0 ) ( ) f′ x < khoảng ( ) f x x0 một điểm cực đại hàm số x0 − h; x0 f′ x > khoảng khoảng ( ) Nếu 0 ( x0 ) ( ) ( ) f x một điểm cực tiểu hàm số 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: ( ) f′ x • • • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm xi Bước 2: Tìm điểm mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm f′ x Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Nếu ( ) ( ) f′ x Định lí 3: ( i = 1;2; ) đổi dấu qua ( ) xi hàm số đạt cực trị y=f x Giả sử Khi đó: có đạo hàm cấp khoảng ( ) ( ) f ′ x0 = 0, f ′′ x0 < • Nếu (x ( ) − h;x0 + h xi ) f hàm số f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ x0 > đạt cực đại f Nếu hàm số đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2: • ( ) f′ x • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm với x0 x0 h > • Bước 2: Tìm nghiệm ( i = 1;2; ) xi phương trình ( ) f ′ x = ( ) f ′′ x ( ) f ′′ xi Bước 3: Tính tính f ′′ xi < xi f ∗ Nếu hàm số đạt cực đại điểm f ′′ xi > xi f ∗ Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm • ( ) ( ) MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước Bài tốn tổng qt: ( ) y = f x;m = ax3 + bx2 + cx + d Cho hàm số Tìm tham số m để hàm số x1, x2 K có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước? Phương pháp: • Bước 1: D =¡ ∗ Tập xác định: y′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C ∗ Đạo hàm: • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) ⇔ y′ = y′ có hai nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt A = 3a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ ⇒ m ∈ D1  ∆ = B − 4AC = 4b2 − 12ac > b − 3ac >  y′  • Bước 3: x1, x2 y′ = Gọi hai nghiệm phương trình I= m 2p m m 2p+1 ∫ ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( sin x) ( cosx) cosxdx = ∫ ( sin x ) ( − sin x ) d ( sin x ) p k p m  k p  = ∫ ( sin x ) C p0 − C p1 sin2 x + + ( −1) C pk ( sin2 x ) + + ( −1) C pp ( sin2 x )  d ( sin x ) = m+ 2k +1+m 2p+1+m  ( sin x ) m+1  ( ) ( sin x ) ( sin x ) k p sin x k p ( ) ( ) C p  +c −Cp + + −1 C p + + −1 C p m+1 m+ 2k + + m 2p + + m   c Nếu I= m ∫ ( sinx ) lẻ 2p+1 ( m = p +1) n , chẳn biến đổi: n 2p n ( cosx ) n dx = ∫ ( cosx ) ( sin x ) sin xdx = − ∫ ( cosx ) ( − cos2 x ) d ( cosx ) p k p n  k p  = − ∫ ( cosx ) C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cosx ) =  ( cosx ) n+1 ( ) n+ ( cosx ) 2k+1+n ( cosx ) 2p+1+n  k p cosx k p  +c − C p −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p n+1 n+3 2k + + n 2p + + n   n lẻ, lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé m, n u = sinx • Nếu số hữu tỉ biến đổi đặt (*) d Nếu m m B = ∫ sin x cos xdx = ∫ ( sin x ) ( cos2 x ) m n Tích phân (*) tính ⇔ số n −1 cosxdx = ∫ u m ( − u2 ) m+1 n −1 m+k ; ; 2 5.3.2.3 Dạng I1 = • n n ( ) ( ) tan x dx ; I = cot x dx ( n Ỵ N ) ∫ ∫ dx ∫ ( + tan x) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tan x) = tan x + c 2 • dx ∫ ( + cot x) dx = ∫ sin x = −∫ d ( cot x) = − cot x + C 2 • ∫ tan xdx = sin x d ( cosx ) dx = − ∫ cosx ∫ cosx = − ln cosx + C cosx • ∫ cot xdx = ∫ sin x dx = ∫ d ( sin x ) = ln sin x + C sin x n −1 du số nguyên ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hình phẳng 6.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f (x) đoạn b S= a;b ∫ f (x) dx a , trục hoành hai đường thẳng x =a , x =b xác định: 6.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , liên tục y = f (x) y = g(x) đoạn b S= a;b ∫ f (x) − g(x) dx a hai đường thẳng x =a , x =b xác định: - b ∫ a Nếu f (x) dx = b ∫ f (x)dx a đoạn [a;b] , hàm số f (x) khơng đổi dấu thì: b ∫ f (x) dx = a b ∫ f (x)dx a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường , x = g(y) x = h(y) hai đường thẳng , xác định: y=c y=d d S= ∫ g(y) − h(y) dy c 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay 6.2.1 Thể tích vật thể Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox B điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm liên tục đoạn [a;b] , Giả sử hàm số x (a ≤ x ≤ b) S(x) O 6.2.2 Thể tích khối trịn xoay - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường trục Ox: y = f (x) , trục hoành hai đường thẳng x=a , x =b quanh d O y c x (C): x = g(y)  (Oy): x =  y = c  y = d d V y = π ∫ [ g( y )] dy c - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g(y) , trục hoành hai đường thẳng y=c , y=d quanh trục Oy: - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , hai đường thẳng , quanh x =a x =b y = f (x) y = g(x) trục Ox: b V = π ∫ f 2(x) − g2(x) dx a PHẦN IV SỐ PHỨC SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức • Số phức (dạng đại số) : thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, • Tập hợp số phức kí hiệu: • • z z số thực ⇔ ( z = a + bi ; a,b ∈ ¡ £ a phần i = −1 phần ảo z số ảo (hay cịn gọi ảo) • Số ) Trong : ( ) b= ⇔ phần thực ( ( ) ( z2 = c + di c, d ∈ ¡ ) bàng phần thực phần ảo chúng tương đương • Khi ta viết a = c z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔  b = d 1.3 Biểu diễn hình học số phức Số phức biểu diễn điểm z = a + bi a, b ∈ ¡ ( ) hay r mặt phẳng phức với hệ tọa M a;b u = a;b độ Oxy ( ) vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức • Hai số phức z1 = a + bi a, b ∈ ¡ ( ) ) a=0 1.4 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z =z; • • z ( z = a + bi a, b ∈ ¡ ⇔z=z ; z = a − bi z  z z.z ' = z.z ';  ÷ = ; z ÷ z  2 z ± z' = z ± z'; số thực ) z số ảo z = −z z.z = a2 + b2 1.5 Môđun số phức Độ dài vectơ uuuu r gọi môđun số phức z kí hiệu OM Vậy z uuuu r hay uuuu r 2 z = OM z = a + bi = OM = a + b Mợt số tính chất: • uuuu r ; z = a + b = zz = OM • • z ≥ 0, ∀z ∈ £ ; z = ⇔ z = z1.z2 = z1 z2 ; ; z1 z2 • z = z = z1 − z2 ≤ z1 ± z2 ≤ z1 + z2 z1 z1 z2 z2 = z1z2 z2 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức Khi đó: z1 = a + bi a, b ∈ ¡ z2 = c + di c, d ∈ ¡ ( ( ) ( ) ( ) z1 ± z2 = a + c ± b + d i • Số đối số phức z = a + bi −z = −a − bi ) • Tổng mợt số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z = a + bi, z + z = 2a 2.2 Phép nhân số phức • Cho hai số phức z1 = a + bi a, b ∈ ¡ ( Khi đó: ( )( ) ( ) ) ( ( z2 = c + di c, d ∈ ¡ ) ) z1z2 = a + bi c + di =   ac – bd + ad + bc i • Với số thực ( k số phức ( z = a + bi a, b ∈ ¡ ) , ta có ) k.z = k a + bi = ka + kbi Đặc biệt: 0.z = với số phức • Lũy thừa i 4n = 1, i 4n +1 = i, i i : 4n +2 z i = 1, i = i, = −1, 4n +3 2.3 Chia hai số phức Số phức nghịch đảo Phép chia hai số phức z' z i khác i = −1, = −i, z≠0 i = i 2.i = −i ∀n ∈ ¥ số z −1 = ∗ z z z' z '.z z '.z = z 'z−1 = = z z.z z TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: • tập hợp điểm đường thẳng ax + by + c = ⇒ • • x = 0⇒ y = 0⇒ tập hợp điểm trục tung Oy tập hợp điểm trục hoành Ox • ( x − a) + ( y − b) kính • tập hợp điểm hình trịn tâm R ( ) ( )  x − a + y − b = R2  ⇒ x2 + y2 − 2ax − 2by + c =  bán kính ( ) • • • • • • tập hợp điểm đường trịn có tâm I a;b , • ( ) bán I a;b , 0⇒ R = a2 + b2 − c tập hơp điểm miền bên phải trục tung y < 0⇒ x < 0⇒ y > 0⇒ tập hợp điểm miền phía trục hồnh tập hợp điểm miền bên trái trục tung tập hợp điểm phía trục hồnh y = ax2 + bx + c ⇒ 2 2 tập hợp điểm đường Parabol tập hợp điểm đường Elip x y + = 1⇒ a b tập hợp điểm đường Hyperbol x y − = 1⇒ a b PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm • Cho số , có số phức cho z z bậc hai • Mọi số phức z z12 = z z≠0 có hai bậc hai • Căn bậc hai số thực z âm ±i z ta nói z1 một Tổng quát, bậc hai số thực a âm ±i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai Xét biệt số ax + bx + c = 0, ∀a,b,c ∈ ¡ ,a ≠ ∆ = b2 − 4ac phương trình Ta thấy: • Khi , phương trình có mợt nghiệm thực ∆=0 • Khi , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ∆>0 • Khi ∆ 0)  z r max z = + z1 z1   min z = z2 − r  z1 z1  • Cho số phức z thỏa mãn z1.z − z2 = r1,( r1 > 0) max P = • Cho số phức z z2 z1 − z3 + thỏa mãn max z = k z1 r1 z1 P = z2 z1 − z3 − ( r1 z1 ) z1.z + z2 + z1.z − z2 = k, k > z = k2 − z2 z1 ... vào I TÍCH PHÂN 3.1 Cơng thức tính tích phân b b ∫ f (x)dx = F (x) a = F (b) − F (a) a b * Nhận xét: Tích phân hàm số f ∫ f (x)dx từ a đến b kí hiệu a b ∫ f (t)dt a hay Tích phân phụ tḥc vào... (C ) y = f (x) Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số có phương trình Tìm tọa độ (C) M M điểm thuộc để tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ nhỏ Phương pháp giải: ( M x;y • Gọi ) tổng khoảng cách từ... đối xứng qua điểm Phương pháp giải: ( + Bx2 + Cx + D đồ thị I (xI , yI ) ) (C ) ( đối xứng qua điểm • Ta có I ) Giải hệ phương trình tìm a,b ( ) + Bx2 + Cx + D Bài toán 2: Cho đồ thị cặp điểm