Tính đa tách biến của bài toán micz kepler chín chiều dưới góc nhìn giải tích và đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ Hồ CHÍ MINH TRƯỜNG DAI HOC KHOA HOC Tư NHIÊN LE DAI NAM TÍNH ĐA TÁCH BIEN TỐN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU DƯỚI GĨC NHÌN GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ LUẬN ÁN TIẾN Sĩ Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ Hồ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC TƯ NHIÊN LÊ DẠI NAM TÍNH ĐA TÁCH BIEN TỐN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU DƯỚI GĨC NHÌN GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ Ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số ngành: 62 44 01 03 Phản biện 1: PGS.TS Võ Văn Viên Phản biện 2: TS Trần Nguyên Lân Phản biện 3: TS Trần Chiến Thắng Phản biện độc lập 1: PGS.TS Võ Văn Viên Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Trương Thanh Hiếu NGƯỜI HƯÓNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH LÊ VĂN HỒNG Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2022 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận án tiến sĩ "Tính đa tách biến tốn MICZ-Kepler chín chiều góc nhìn giải tích đại số" cơng trình nghiên cứu tơi viết; cơng trình chưa (hrợc sử dụng để nhận cấp chứng chi’ tương đương khác Ngoại trừ nội dung trích dẫn giải thích cụ thể, toàn kết nêu luận án xin cam đoan tính trung thực kết Một phần luận án công bố công trình nêu Mục Danh mục cơng trình tác giả, tơi tác giả Nghiên cứu sinh LÊ DẠI NAM i Lời cảm ơn Dầu tiên, tơi xin dành lời cảm ơn đến thân Khơng có nỗ lực thân say mê, tơi khơng tin đủ kiên trì để hồn thành cơng trình Tôi xin dành lời cảm ơn chân thành đến Giáo sư Lê Văn Hoàng (Trường Dại học Sư phạm TP.HCM), người hướng dần khoa học Thầy người định hướng cho đến với đường nghiên cứư khoa học đầy chông gai nhiều hạnh phúc Thầy người dạy cho học đầu đời nghiên cứu khoa học, rèn luyện cho tơi phẩm chất dể theo đuối nghiệp Từ năm tháng cậu sinh viên Trường Đại học Sư phạm TP.HCM đến làm nghiên cứu sinh Trường Dại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM, dược thầy hướng dẫn có lẽ điều may mắn Xin cảm ơn thầy thầy tận tâm, kiên trì ln tin tưởng đứa học trị Ngồi ra, tơi xin cảm ơn ngài Pinaki Roy (Giáo sư, Trường Đại học Tôn Đức Thắng), người mà xem người thầy thứ hai Dược làm việc với Giáo sư Roy, học nhiều diều, không túy kiến thức, kĩ mà say mê, chuyên nghiệp trình làm nghiên cứu Giáo sư xem đồng nghiệp học trị ln động viên, giúp tơi tự tin Tơi cảm thấy q may mắn làm việc với nhà khoa học chuyên nghiệp, tận tâm với nghề nhu' Giáo sư Roy Tôi xin gứi lời cảm ơn đến đàn anh trước nhóm nghiên cứu: Tiến sĩ Phan Ngọc Hưng (Trường Dại học Sư phạm TP.HCM), Tiến sĩ Nguyễn Thành Sơn (Trường Đại học Kiến trúc TP.HCM) Thạc sĩ Thói Ngọc Tuấn Quốc (Trường Phổ Thơng Năng Khiếu, DIIQG TP.HCM) Các anh người trực tiếp hướng dẫn dến với nghiên cứu tốn MICZ-Kepler chín chiều Nhờ kinh nghiệm học từ anh trao đổi hữu ích, tơi hồn thành cơng trình Tôi xin gửi lời cảm ơn đến anh chị Phịng thí nghiệm Vật lý tính tốn Khoa Vật lý Trường Dại học Sư phạm TP.HCM Những người mà tơi có q trình ditợc hợp tác nghiên cứu, giảng dạy thời gian mà thực luận án tiến sĩ Cũng xin cảm ơn ThS Phan Anh Luân (Nghiên cứu sinh University of Rome Tor Vergata, Italy), bạn Hà Thanh Sang (Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong) bạn Lưu Phong Sư (Trường Dại học Sư phạm TP.HCM) quãng thời gian dược hợp tác, hướng dẫn 11 dm dắt bạn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quan mà công tác - Viện Tiên tiến Khoa hục Vật liệu, Trường Dại học Tôn Dức Thắng Dặc biệt cả, xin cảm ơn PGS Phạm Thanh Phong (Viện trương) ln tạo điều kiện đổ tơi vừa hồn thành cơng tác vừa hồn thành luận án tiến sĩ Tôi cảm thấy hạnh phúc làm việc môi trường cỏi mở chuyên nghiệp Viện, môi trường dầy khát vọng mà người trẻ tơi ln mơ ước đến Ngồi ra, tơi xin gửi lời cảm ơn đến anh chị đồng mơn tơi Nhóm nghiên cứu Vật lý Ngun tứ Phân Tử Quang học Viện TS Hoàng Văn Hưng, TS Lê Thị cẩm Tú Các anh, chị động viên tơi nhiều q trình hoàn thành Luận án Tiến sĩ Đặc biệt, chị Tú giúp tơi nhiều q trình hồn thiện hồ sơ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy Phịng Sau đại học, Trường Dại học Khoa học Tự nhiên, DHQG TP.HCM thầy Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý Vật lý kĩ thuật, Trường Dại học Khoa học Tự nhiên, DHQG TP.HCM tận tình hỗ trự q trình hồn thành chương trình đào tạo nghiên cứu sinh tơi Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô Hội đồng bảo vệ Luận án cấp Dơn vị chuyên môn cấp Cơ sở tạo hai phản biện độc lập góp ý thầy, giúp tơi hồn thiện luận án Tơi xin cảm ơn Tổ chức Gặp gỡ Việt Nam, Quỹ học bổng Odon Vallet Học bổng Odon Vallet giúp trang trải nhiều q trình hồn thành luận án tiến sĩ tơi mong có ngày giúp đỡ Quỹ bạn trẻ hệ sau Tôi xin cảm ơn Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) tài trợ hỗ trợ cho số công bố quốc tế Dể thực Luận án Tiến sĩ này, nghiên cứu sinh tài trợ Tập đồn Vingroup - Cơng ly CP hỗ trợ Chương trình học bóng đào tạo thạc sĩ, tiến sĩ nước cùa Quỹ Dổi sáng tạo Vmgroup (VIN1F), Viện Nghiên cứu Dữ liệu lớn (VINBIGDATA), mã số VINIF.2020.TS.03 Cuối cùng, tơi xin dành tặng cơng trình cho gia đình tơi, người mà lời động viên thúc giục kiên trì ln văng vẳng bên tai tơi Xin gửi lời biết ơn đến bố Phong mẹ Sương tôi, người mang đến với sống này, nuôi nấng ngày mong muốn tơi thành người có ích cho xã hội Xin gữi tặng Việt - em trai - hy vọng, ước mơ, hồi bão mà tơi gửi gắm vào luận án Đặc biệt cả, xin gửi tặng người bạn đời - Dặng Thị Xuân Diễm (Nghiên cứu sinh Dại học Nam Florida - University of South Florida, bang Florida, Hoa Kỳ) - bên cạnh, tin tưởng, ủng hộ động viên LÊ ĐẠI NAM iii Muc luc Tài liệu tham khảo Danh mục bảng Danh mục hình vẽ Danh mục chữ viết tắt Lời mở đầu Tổng quan 1.1 1.2 12 Dại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf phép biến đổi Hurwitz 13 1.1.1 Các đại số chia chuẩn hóa 13 1.1.2 Các phân thớ Hopf 16 1.1.3 Các phép biến đổi Hurwitz 17 Vật lý đơn cực từ góc nhìn cácđại số chia chuẩn hóa 20 1.2.1 Dơn cực từ Dirac, Yang, £0(8)và đại số chia chuẩnhóa 21 1.2.2 Dại số chia chuẩn hóa đơn cực từ hiệu ứng Hall lượng tử phân số 1.3 Sự đối ngẫu tốn dao động tử diều hịa tốn Kepler Coulomb đại số chia chuẩn hóa 1.4 27 Phép biến đổi ngược từ toán dao động tử điều hịa đẳng hướng đến tốn Kepler Coulomb 1.6 24 Bài toán MICZ-Kepler 1.4.1 1.5 23 28 1.4.2 Bài toán MICZ-Kepler ba chiều 30 1.4.3 Bài toán MICZ-Kepler năm chiều 31 Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều 32 1.5.1 Dối xứng ẩn tốn MICZ-Kepler chín chiều 33 1.5.2 Tính siêu khả tích da tách biến tốn MlCZ-Kepler chín chiều Kết luận chương 34 35 Các hàm sóng sở tốn MICZ-Kcplcr chín chiều 2.1 2.2 Các hàm sỗ toán 9H-MICZ KP tọa độ cầu, parabolic cầu dài 2.1.1 Bộ hàm sởtrong tọa độ cầu 2.1.2 Bộ hàm sởtrong tọa độ parabolic 38 38 44 2.1.3 Bộ hàm sởtrong tọa độ cầu dài 48 2.1.4 Bậc suy biến mức lượng 53 Phép biến đổi sở toán 9D-MICZ KP 54 2.2.1 Phép biến đổi sở parabolic sở cầu toán 9D-MICZ KP Mối liên hệ sở tọa độ cầu dài sở tọa độ cầu parabolic 54 2.2.3 Các thảo luận khác Kết luận chương 59 60 2.2.2 2.3 37 55 Các đối xứng ẩn sau hàm sóng sở tốn MICZ-Kcplcr chín chiều 61 Dối xứng tính siêu khả tích củabài tốn MICZ-Kepler chín chiều 62 3.2 Các tọa độ tách biến cấu trúcđại số 64 3.1 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 Tọa độ cầu Tọa độ parabolic Tọa độ cầu dài 66 67 68 Mối liên hệ đại số sở 70 3.3.1 Phép chuyển sở sỏ tọa độ cầu parabolic 70 3.3.2 Các phần tử ma trận Â2 Mỹ 74 3.3.3 3.3.4 Phép biến đổi sở cầu dài sở cầu 76 Bộ sở cầu parabolic giới hạn sở cầu dài 78 3.4 Kết luận chương 79 Kết luận 81 Hướng phát triển 83 Danh mục cơng trình tác giả 84 Tài liệu tham khảo 86 Danh sách bảng 1.1 1.2 Các hệ đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf phép biến đổi Hurwitz tương ứng 21 Liên hệ đại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf, nhóm Lie, đơn cực từ hiệu ứng Hall lượng tử 24 1.3 Sự đối ngẫu toán dao động tủ' điều hịa jV chiều vá tốn MICZ 1.4 KP n chiều theo đại số cilia chuẩn hóa, phân thớ Hopf vật lý 2T 30 Các kết nghiên cứu tiêu biểu toán MICZ KP chiều 32 Danh sách hình vẽ 1.1 Mơ hình cổ điển cùa tốn 3D-MICZ KP electron tương tác với điện trường từ trường xuyên tâm dyon 2.1 27 Phổ lượng toán 9D-MICZ KP theo số lượng tử n Q = 0,1,2 43 Danh mục chữ viết tắt HO - hệ dao động tử điều hòa (Harmonic Oscillator) 2VD-HO - hệ dao động tử điều hòa N chiều KC - hệ Kepler Coulomb (Kepler-Coulomb problem) nD-KC - hệ Kepler Coulomb n chiều MICZ KP - hệ MICZ-Kcplcr (MICZ-Kcplcr problem) nD-MICZ KP - hệ MICZ-Kepler n chiều QHE - hiệu ứng Hall lượng từ (Quantum Hall effect) nD-QHE - hiệu ứng Hall lượng tử n chiều tích phân chuyên động liên hệ chúng vái khả tách biến toán 9D-MICZ KP Chúng tơi chứng cách chặt chẽ toán tử xung lượng mở rộng Ã2, hình chiếu ciìa vector Laplacc-Runge-Lcnz Mg, hay tổ hợp hai lựa chọn Ả2/ — Ả2 + ay/—2H Mg Tương ứng với sở tọa độ cầu, parabolic cầu dài Dặc biệt là, chúng tơi tách biến phương trình Schrodinger tọa độ cầu, parabolic phóng cầu dài chứng minh hàng số tách biến trị riêng tích phân chuyển động dược chọn Một kết khác Chương mối liên hệ sở cầu dài sở tọa độ cầu Chúng đưa tường minh phép chuyển sỏ hai hàm sở bàng cách sử dụng cấu trúc đại số ẩn dưói hàm sở Hơn nữa, dược cách đại số nhằm tính tích phân lớp phức tạp hàm Hcun hợp lưu, đa thức Laguerre liên kết đa thức Jacobi mở rộng cách sử dụng kết Kết Chương Các đối xứng ẩn sau hàm sóng sơ tốn MICZKepler chín chiều báo cáo Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 44' năm 2019 [44], cơng bố trẽn tạp chí Journal of Mathematical Physics vào năm 2022 [45] De di đến kết Chương này, sử dụng kĩ thuật giải vector riêng - trị riêng ma trận đường chéo dùng cơng trình tìm nghiệm giải tích xác phương trình Schrodinger cho tốn hố đơi bậc hai chiều [43] dược cơng bố tạp chí Journal of Mathematical Physics năm 2018 80 Kết luận Với kết chúng tơi trình bày trên, chúng tơi đạt mục tiêu đề luận án với kết cụ thể sau: Đưa tranh tổng quan mồi liên hệ Bài toán MICZ-Kepler với khía cạnh khác như: dại số chia chuẩn hóa, phân thớ Hopf, phép biến đổi Hurwitz, đơn cục từ, đối ngẫu toán dao động tử điều hịa tốn Kepler Coulomb, Vật lý hai thời gian, v.v.v Việc dặt toán MICZ-Kepler nhiều chiều vào tranh chung đối tượng toán học vật lý nói giúp có dược nhìn sâu sắc tương tác điện tích dơn cực từ tốn MICZ-Kepler nhiền chiều Đồng thời, chúng tói trình bày sơ lược kết nghiên cứu tốn này, cụ thể tính dối xứng tính siêu khố tích tốn Xây dựng lời giải giải tích tường minh tốn MICZ-Kcplcr chín chiều tọa độ parabolic tọa độ cầu dài • Tách biến phương trình Schrodinger cho tốn MICZ-Kcplcr chín chiều tọa dộ parabolic cầu dài • Đưa lời giải cho hàm sóng tốn MICZ-Kcpler chín chiều tọa độ parabolic cầu dài thông qua da thức cổ điển đa thức Laguerre liên kết đa thức Heun hợp lưu • Mối quan hệ hàm sóng sỏ tọa độ cầu dài vói hàm sóng sở parabolic cầu thông qua hệ thức giới hạn đa thức Heun hợp lưu • Xác định phép biến đổi hàm sóng sở tọa độ parabolic tọa độ cầu cách tính trực tiếp tích phân hàm sóng sỏ hai hệ tọa độ Phóp chuyển sở cầu-parabolic dược đưa dạng tổng phức tạp chưa thể dưa dạng kín Xây drfng tích phân chuyển động bảo tồn tương ứng với hàm sóng sở • Xây dựng tường minh tích phân chuyển động hàm sóng sỏ cầu, parabolic cầu dài Ba tích phân chuyển động khác đại lượng bảo toàn thứ 9, kí hiệu Dg Chúng tơi chứng minh cách chặt chẽ ba khả tốn tử xung lượng mở rộng A2, 81 hình chiếu vector Laplacc-Runge-Lcnz Mg, hay tổ hợp hai lựa chọn Ây = Â2 4- ay/—2HMg tương ứng với ba khả sử tọa độ cầu, parabolic cầu dài • Phép chuyển sở cầu - parabolic dược biển diễn dèỊng hộ số ClebschGordan sư(2) nhằm biểu diễn tốn tử bảo tồn Mg hàm sở parabolic hàm sở cầu • Đưa dược tường minh phép chuyển sở hai hàm sở tọa dộ cầu tọa độ cầu dài cách sử dụng cấu trúc đại số ẳn hàm sỏ • Chỉ dược cách dại số nhằm tính tích phân lớp phức tạp hàm Heun hợp lưu đa thức Laguerre liên kết đa thức Jacobi mở rộng cách sử dụng kết 82 Hướng phát triên Bên cạnh kết đạt luận án này, số khía cạnh khác tốn MICZ-Kepler chín chiều mà chúng tói muốn tiếp tục phát triển để khảo sát đầy đủ tốn nhiều góc nhìn khác như: Ngồi tính đối xứng tính siêu khả tích, tính chất khác tốn quan tâm tính chất siêu đối xứng tốn Bài tốn MICZ-Kcplcr chín chiều có lời giải giải tích biểu diễn qua đa thức cổ điển nên ẩn sau tính chất siêu đối xứng quan trọng Tính siêu đối xứng giúp mỏ rộng tốn MICZ-Kepler chín chiều toán tỏng quát Hàm Green tốn MICZ-Kepler chín chiều chưa xây dựng Hàm Green, hay xác tích phân (lường Feynman, tốn có liên hệ chặt chẽ vối Lagrangian cổ điển Việc tìm hàm Green tốn MICZ-Kepler chín chiều mối liên hệ hàm Green tốn dao dộng tử điều hịa 16 chiều kì vọng giúp có nhìn chi tiết phân thớ Hopf đại số chia chuẩn hóa Lời giải (lại số cách sử dụng đối xứng động lực 50(10,2) đưa gián tiếp thông qua tốn dao động tử điều hịa Đối xứng dộng lực tốn dao động tử điều hịa bao gồm đối xứng động lực 5'0(10,2) toán MICZ-Kepler chín chiều vi tử dơi dư khác Dư đốn Vật lý '2T vi tử dơi dit nhóm 5'0(8) mà tin đơn cực từ 50(8) Chứng minh chặt chẽ điều giúp liên kết tốn MICZ-Kcplcr chín chiều với đối tượng Vật lý thú vị Lời giải đại số cách sử dụng toán tử bất biến Casimir nhóm 50(10) chưa dưa hồn chỉnh Biểu diễn octonion cho tốn MICZ-Kepler chín chiều đề xuất báo cáo [70] chưa dược đưa hồn chỉnh Và ngồi ra, cịn nhiều khía cạnh khác mà liệt kê hết khn khổ luận án 83 Danh mục cơng trình tác giả Dưới cơng trình cùa tác giả luận án có liên quan đến luận án Các cơng trình khác tác giả tìm Google scholar: https://scholar.google.com/citations?user=Ks6ŨTpEAAAAJ&sortby=pubdate Các cơng trình luận án Dai-Nam Le and Van-Hoang Le * (2022) Algebraic structure underlying spherical, parabolic and prolate spheroidal bases of the nine-dimensional MICZ-Kepler prob­ lem, Journal of Mathematical Physics, 63 (3), p 052103 SCI/Scopus, IF = 1.488, Q-Scimagojr = Q2, H-index = 112 at 2021 Dai-Nam Le, and Van-Hoang Lo * (2021) Normed division algebras application to the monopole physics, Communications in Physics, 31 (3), pp 235-257 Tạp chí Quốc gia uy tin, ASEAN Citation Index Dai-Nam Le, Ngoc-Hung Phan, Tuan-Quoc N Thoi and Van-Hoang Le * (2019) Parabolic, prolate spheroidal bases and relation between bases of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem, Journal of Mathematical Physics, 60 (6), p 062102 SCI/Scopus, IF = 1.355, Q-Scimagojr = Q2, H-index = 96 at 2018 Dai-Nam Le *, Ngoc-Tram Hoang D and Van-Hoang Le (2018) Exact analytical solutions of the Schrodinger equation for a two dimensional purely sextic double-well potential, Journal of Mathematical Physics, 59 (3), p 032101 SCI/Scopus, IF = 1.165, Q-Scimagojr = Q2, H-index = 91 at 2017 Các cơng trình khác có nội dung liên quan Ngoc-Hung Phan, Dai-Nam Le *, Tuan-Quoc N Thoi and Van-Hoang Le (2018) Variables separation and superintegrability of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem, Journal of Mathematical Physics, 59 (3) , p 032102 SCI/Scopus, IF = 1.165, Q-Scimagojr = Q2, H-index = 91 at 2017 'Đáu * tác giả liên hệ (corresponding author) 84 Thanh-Son Nguyen, Dai-Nam Le, Tuan-Quoc N Thoi and Van-Hoang Le *(2015) Exact analytical solutions of the Schrodinger equation for the nine-dimensional MICZ-Keplcr problem, Journal of Mathematical Physics, 56 (5), p 052103 SCl/Scopus, IF = 1.234, Q-Scimagojr= Q2, H-index = 89 at 2015 85 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt 1] Phan Ngọc Hưng (2019), Khảo sát đối xứng tốn MICZ-Kepler chín chiều, Luận án Tiến sĩ Vật lý lý thuyết Vật lý toán, Trường Dại học Khoa học tự nhiên, Dại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [2] Phan Ngọc Hưng, Thới Ngọc Tuấn Quốc, Lê Văn Hoàng (2016), “Tốn tử Casimir C-2 cho nhóm dối xứng 5'0(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều”, HCMC University of Education Journal, of Science: Natural Sciences and Technology, 81, pp 57 61 [3] Nguyễn Thành Sơn (2015), Mở rộng đơn cực Dirac Yang cho khơng gian chín chiều, Luận án Tiến sĩ Vật lý lý thuyết Vật lý toán, Trường Dại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh [4] Al-.Jabcr S.M (1998), “Hydrogen atom in 11 dimensions”, International Journal of Theoretical Physics 37 (4), pp 1289-1298 [5] Alisauskas s (2002), “Coupling coefficients of so(n) and integrals involving jacobi and gegenbauer polynomials”, Journal of Physics A: Mathematical and General 35 (34), p 7323 [6] Aquilanti V., Cavalli s., and Coletti c (1997), “The d-dimcnsional hydrogen atom: hyperspherical harmonics as momentum space orbitals and alternative sturmian basis sets”, Chemical Physics 214 (1), pp 1-13 [7] ATLAS Collaboration (2019), “Search for magnetic monopoles and stable high- electric-charge objects in 13 TeV proton-proton collisions with the ATLAS detector”, Physical Reivew Letters pp 1-28 [8] Baez J (2002), “The octonions”, Bulletin of the American Mathematical Society 39 (2), pp 145 205 86 [9] Bars I and Rosner J.L (2020), ‘ Duality between hydrogen atom and oscillator sys­ tems via hidden SO( d ,2) symmetry and 2T-physics”, Journal of Physics A: Mathe­ matical and Theoretical 53 (23), p 234001 [10] Barut A.o and Bornzin G.L (1971), “SO (4, 2)-Formulation of the Symmetry Break­ ing in Relativistic Kepler Problems with or without Magnetic Charges’, Journal of Mathematical Physics 12 (5), pp 841-846 [11] Barut A.O., Schneider C.K.E., and Wilson R (1979), “Quantum theory of infinite component fields”, Journal of Mathematical Physics 20 (11), pp 2244-2256 [12] Bellucci s., Krivonos S-, and Ohanyan V (2007), “N — supersymmetric MclntoshCisneros-Zwanziger-Kepler systems on S'3”, Physical Review D 76 (10), p 105023 [13] Bergmann D and Frishman Y (1965), “A Relation between the Hydrogen Atom and Multidimensional Harmonic Oscillators”, Journal of Mathematical Physics (12), pp 1855 1856 [14] Bernevig B.A., Hu J., Toumbas N., and Zhang s.c (2003), “Eight-dimensional quan­ tum hall effect and “octonions””, Physical Review Letters 91 (23), p 236803 [15] Boiteux M (1973), “The three-dimensional hydrogen atom as a restricted fourdimensional harmonic oscillator”, Physica 65 (2), pp 381-395 [16] Boiteux M (1982), “Theory of nonbijective canonical transformations in mechanics: Application to the coulomb problem”, Journal of Mathematical Physics 23 (7) pp 1311-1314 [17] Boyle L and Farnsworth s (2020), “The standard model, the pati-salam model, and ‘jordan geometry’”, New Journal of Physics 22 (7), p 073023 [18] Cisneros A and McIntosh H.v (1969), “Symmetry of the two-dimensional hydrogen atom”, Journal of Mathematical Physics 10 (2), pp 277-286 [19] Cooper F., Khare A., and Sukhatmc u.p (2001), Supersymmetry in quantum me­ chanics, World Scientific [20] Coulson C.A and Joseph A (1967), “Spheroidal wave functions for the hydrogen atom”, Proceedings of the Physical Society 90 (4), p 887 [21] Davtyan L.S., Mardoyan L.G., Pogosyan G.S., Sissakian A.N., and Ter-Antonyan V.M (1987), “Generalized KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional isotropic oscillator”, Journal of Physics A: Mathematical and General 20 (17) pp 6121 6125 87 [22] Dirac P.A.M (1931), “Quantised Singularities in the Electromagnetic Field”, Pro­ ceedings of the Royal Society A: Mathematical Physical and Engineering Sciences 133 (821), pp 60-72 [23] Downing C.A (2013), “On a solution of the Schrodinger equation with a hyperbolic double-well potential”, Journal of Mathematical Physics 54 (7), p 072101 [24] Dusad R Kirschner F.K.K., Hoke J.C., Roberts B.R., Eyal A., Flicker F., Luke G.M., Blundell S.J., and Davis J.c.s (2019), “Magnetic monopole noise”, Nature 571 (7764), pp 234-239 [25] Farhan A., Saccone M., Petersen C.F., Dhuey s., Chopdekar R.V., Huang Y.L., Kent N Chen z., Alava M.J., Lippert T., Scholl A., and van Dijken s (2019), “Emergent magnetic monopole dynamics in macroscopically degenerate artificial spin ice”, Science Advances (2), p eaav6380 [26] Fiziev p.p (2009), “Novel relations and new properties of confluent heun’s functions and their derivatives of arbitrary order”, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 43 (3), p 035203 27] Furey c (2018), “Three generations, two unbroken gauge symmetries, and one eight- dimensional algebra”, Physics Letters B 785 pp 84 - 89 [28] Gradshteyn Ĩ.S and Ryzhik I.M (2014), Table of integrals, series, and products, Academic press [29] Grossman B., Kephart T.W., and Stasheff J.D (1984), “Solutions to yang-mills field equations in eight dimensions and the last hopf map”, Communications in Mathe­ matical Physics 96 (4), pp 431-437 [30] Hasebe K (2010), “Hopf Maps, Lowest Landau Level, and Fuzzy Spheres”, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications p 071 [31] Higuchi A (1987), “Symmetric tensor spherical harmonics on the N -sphere and their application to the de Sitter group SO( N ,1)”, Journal of Mathematical Physics 28 (7), pp 1553-1566 32] lloque M.F., Marquette L, and Zhang Y.z (2017), “Quadratic algebra structure in the 5D Kepler system with non-central potentials and Yang-Coulomb monopole interaction”, Annals of Physics 380, pp 121-134 [33] Iwai T and Uwano Y (1986), “The four-dimensional conformal kepler problem re­ duces to the three-dimensional kepler problem with a centrifugal potential and dirac’s monopole field, classical theory”, Journal of Mathematical Physics 27 (6); pp 15231529 88 [34] Jakubský V., Kuru c., Negro J., and Tristao s (2013), “Supersymmetry in spherical molecules and fullerenes under perpendicular magnetic fields”, Journal of Physics: Condensed Matter 25 (16), p 165301 [35] Kereselidze T., Chkadua G., and Ogilvie J.F (2016), “Application of Heun’s confluent equation for the solution of the hydrogen atom problem in spheroidal coordinates”, GESJ: Physics (2), pp 44-56 36] Kibler M., Ronveaux A., and Négadi T (1986), “On the hydrogen-oscillator connec­ tion: Passage formulas between wave functions”, Journal of Mathematical Physics 27 (6), pp 1541 1548 [37] Kleinert H (1968), Group dynamics of the hydrogen atom, Gordon and Breach, New York 38] Kustaanheimo p and Stiefel E (1965), “Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization”, Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 218, pp 204 219 [39] Lambert D and Kibler M (1988), “An algebraic and geometric approach to non- bijective quadratic transformations”, Journal of Physics A: Mathematical and Gen­ eral 21 (2), pp 307-343 [40] Laughlin R.B (1981), “Quantized hall conductivity in two dimensions” Phys Rev B 23 pp 5632-5633 [41] Laughlin R.B (1983), “Anomalous quantum hall effect: An incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations”, Physical Review Letters 50 pp 13951398 [42] Le D.N., Hoang N.T.D., and Le V.H (2017), “Exact analytical solutions of a twodimensional hydrogen atom in a constant magnetic field”, Journal of Mathematical Physics 58 (4), p 042102 [43] Le D.N., Hoang N.T.D and Le V.II (2018), “Exact analytical solutions of the Schrodinger equation for a two dimensional purely sextic double-well potential”, Jour­ nal of Mathematical Physics 59 (3), p 032101 [44] Le D.N and Le V.H (2019), “Algebraic relation between bases of the nine- dimensional MICZ-Kcplcr problem ”, in “The 44th Vietnam National Conference on Theoretical Physics”, p p 13 45] Le D.N and Le V.H (2022), “Algebraic structure underlying spherical, parabolic and prolate spheroidal bases of the nine-dimensional micz-kepler problem”, Journal of Mathematical Physics 63 (5), p 052103 89 [46] Le D.N and Le V.IL (2021), “Normed Division Algebras Application to the Monopole Physics”, Communications in Physics 31 (3), pp 235 257 [47] Le D.N., Phan A.L., Le V.H., and Roy p (2019), “Relativistic coulomb problem in curved spaces”, EPL (Europhysics Letters) 127 (1), p 10005 [48] Le D.N., Phan N.H., Thoi T.Q.N., and Le V.H (2019), “Parabolic, prolate spheroidal bases and relation between bases of the nine-dimensional micz-kepler problem”, Jour­ nal of Mathematical Physics 60 (6), p 062102 [49] Lc V.H and Komarov L.I (1993), “Theory of the generalized Kustaanhcimo-Sticfcl transformation”, Physics Letters A 177 (2), pp 121-124 [50] Le V.H and Nguyen T.s (2011), “A non-abelian so (8) monopole as generalization of dirac-yang monopoles for a 9-dimensional space”, Journal of Mathematical Physics 52 (3), p 032105 [51] Le V.H., Nguyen T.S., and Phan N.H (2009), “A hidden non-abelian monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, Journal of Physics Mathematical and Theoretical 42 (17), p 175204 [52] Le V.H., Phan T.T., and Truong C.T (2011), “On the so (10, 2) dynamical sym­ metry group of the micz-kcpler problem in a nine-dimensional space”, Journal of Mathematical Physics 52 (7), p 072101 [53] Le V.H., Viloria T.J., and Le A.T (1991), “On the hydrogen-like atom in fivedimensional space”, Journal of Physics /1 Mathematical and General 24 (13), pp 3021-3030 [54] Lyons DAV (2003), “An Elementary Introduction to the Hopf Fibration”, Mathemat­ ics Magazine 76 (2), pp 87-98 55] Mardoyan L (2003), “The generalized MIC-Kepler system”, Journal of Mathematical Physics 44 (11), pp 4981-4987 [56] Mardoyan L., Nersessian A., and Yeranyan A (2007), “Relationship between quantum-mechanical systems with and without monopoles”, Physics Letters A 366 (1-2), pp 30 35 [57] Mardoyan L.G (2005), “Spheroidal analysis of the generalized MIC-Kepler system”, Physics of Atomic Nuclei 68 (10), pp 1746-1755 58] Mardoyan L.G., Sisakyan A.N., and Ter-Antonyan V.M (2000), “Bases and interba­ sis transformations for the SU(2) monopole”, Theoretical and Mathematical Physics 123 (1), pp 451-462 90 [59] Mardoyan L.G., Sissakian A.N., and Ter-Antonyan V.M (1998), “8D oscillator as a hidden su(2) - monopole”, Physics of Atomic Nuclei 61 (10), pp 1746-1750 [60] Mardoyan L.G., Sissakian A.N., and Tcr-Antonyan V.M (1999), “Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole”, Modern Physics Letters A 14 (19), pp 1303 1307 [61] Marquette I (2010), “Generalized MICZ-Keplcr system, duality, polynomial, and deformed oscillator algebras”, Journal of Mathematical Physics 51 (10), p 102105 [62] Marquette I (2012), “Generalized five-dimensional Kepler system, Yang-Coulomb monopole, and Hurwitz transformation”, Journal of Mathematical Physics 53 (2), p 022103 [63] McIntosh H.v and Cisneros A (1970), “Degeneracy in the presence of a magnetic monopole”, Journal of Mathematical Physics 11 (3), pp 896-916 [64] Meng G (2007), “MICZ-Kepler problems in all dimensions”, Journal of Mathematical Physics 48 (3), p 032105 [65] Meng G (2008), “A generalization of the Kepler problem”, Physics of Atomic Nuclei 71 (5), pp 946 950 [66] Meng G (2010), “Generalized MICZ-Kepler problems and unitary highest weight modules, II”, Journal of the London Mathematical Society 81 (3), pp 663-678 [67] Meng G and Zhang R (2011), “Generalized MICZ-Kepler problems and unitary highest weight modules”, Journal of Mathematical Physics 52 (4) p 042106 [68] Mladenov I.M and Tsanov v.v (1985), “Geometric quantization of the multidimen­ sional kcpler problem”, Journal of Geometry and Physics (1), pp 17 - 24 [69] Moser J (1970), “Regularization of kepler’s problem and the averaging method on a manifold”, Communications on Pure and Applied Mathematics 23 (4), pp 609 636 70] Nam L.D and Hoang L.v (2016), “Octonionic representation of the nine-dimensional Micz-Kepler problem”, in “The 41st Vietnam National Conference on Theoretical Physics”, p o 16 [71] Nam L.D., Luan P.A., Su L.P., and Hung P.N (2019), “A family of analytically solvable Schrodinger equations related by Levi-Civita transformation”, HCMC Uni­ versity of Education Journal of Science: Natural Sciences and Technology 16 (3), pp 103-120 72] Nguyen T.S., Le D.N., Thoi T.Q.N., and Le V.H (2015), “Exact analytical solutions of the Schrodinger equation for the nine-dimensional micz-kepler problem”, Journal of Mathematical Physics 56 (5), p 052103 91 [73] Nieto J.A and Alejo-Armenta L.N (2001) "Hurwitz theorem and parallelizable spheres from tensor analysis”, International Journal of Modern Physics A 16 (25), pp 4207-4222 74] Nieto M.M (1979), “Hydrogen atom and relativistic pi-mesic atom in n-space dimen­ sions”, American Journal of Physics 47 (12), pp 1067-1072 75] Okubo s (1995), Introduction to octonion and other non-associative algebras in physics, volume 2, Cambridge University Press [76] Olver F.w (2010), NIST handbook of mathematical functions hardback and CD- ROM, Cambridge university press 77] Pcddcr c., Sonncr J., and Tong D (2008), “The berry phase of d0-branes”, Journal of High Energy Physics 2008 (03), p 065 78] Phan A.L., Le D.N., Le V.H., and Roy p (2020), “Electronic spectrum of spherical fullerene molecules in the presence of generalized magnetic fields”, The European Physical Journal Plus 135 (1), p [79] Phan N.H., Le D.N., Thoi T.Q.N., and Le V.H (2018), “Variables separation and superintegrability of the nine-dimensional micz-kepler problem”, Journal of Mathe­ matical Physics 59 (3), p 032102 [80] Phan N.H and Le V.H (2012), “Generalized runge-lenz vector and a hidden symme­ try of the nine-dimensional micz-kepler problem”, Journal of Mathematical Physics 53 (8), p 082103 [81] Pletyukhov M.v and Tolkachev E.A (1999), “8D oscillator and 5D Kepler problem: The case of nontrivial constraints”, Journal of Mathematical Physics 40 (1), pp 93-100 [82] Pletyukhov M.v and Tolkachcv E.A (1999), “SO (6,2) dynamical symmetry of the SU (2) MIC-Kepler problem”, Journal of Physics A: Mathematical and General 32 (23), pp L249-L253 [83] Pletyukhov M.v and Tolkachev E.A (2000), “Green’s function for the fivedimensional SU(2) MIC-Kepler problem”, Journal of Mathematical Physics 41 (1), pp 187-194 [84] Qi X.L., Li R., Zang J., and Zhang s.c (2009), “Inducing a Magnetic Monopole with Topological Surface States”, Science 323 (5918), pp 1184-1187 92 [85] Rainville E.D (1945), “The contiguous function relations for pFq with application to Batemean’s JỊf' and Rice’s Hn(£,p,v)”, Bulletin of the American Mathematical Society 51 (10), pp 714-724 [86] Ryder L.H (1980), “Dirac monopoles and the Hopf map s to s 2”, Journal of Physics A: Mathematical and General 13 (2), pp 437-447 [87] Tarter C.B (1970), “Coefficients Connecting the Stark and Field-Free Wavefunctions for Hydrogen”, Journal of Mathematical Physics 11 (11), pp 3192 3195 [88] Trautman A (1977), “Solutions of the Maxwell and Yang-Mills equations associated with Hopf fibrings”, International Journal of Theoretical Physics 16 (8), pp 561-565 [89] Varshalovich D.A., Moskalev A.N., and Khersonskii V.K (1988), Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific [90] Vozmediano M.A., Katsnelson M.I., and Guinea F (2010), “Gauge fields in graphene”, Physics Reports 496 (4-5), pp 109-148 [91] Wilkinson 1.11 (1965), Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford University Presss, New York [92] Wu T.T and Yang C.N (1975), “Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”, Phys Rev I) 12 pp 3845 3857 [93] Yang C.N (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU'2 gauge fields”, Journal of Mathematical Physics 19 (1), pp 320-328 [94] Yang C.N (2014), “The conceptual origins of maxwell’s equations and gauge theory”, Physics Today 67 (11), p 45 [95] Zhang s.c and Hu J (2001), “A four-dimensional generalization of the quantum hall effect”, Science 294 (5543), pp 823-828 [96] Zwanziger D (1968), “Exactly soluble nonrelativistic model of particles with both electric and magnetic charges”, Physical Review 176, pp 1480-1488 Tiếng Đức [97] Hopf H (1931), “Uber die abbildungen der dreidimensionalen spliare auf die kugelflache”, Mathematische Annalen 104 (1), pp 637-665 [98] Hopf H (1935), “Uber die abbildungen von spharen auf sphâre niedrigerer dimension”, Fundamenta Mathematicae 25 (1), pp 427 440 93 [99] Hurwitz A (1898), “Ueber die Composition dcr quadratischen Formcn von bclibig vielen Variablen”, Nachrichten von der Gesellschaft del' Wissenschaften zu Gottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse pp 309-316 Tiếng Pháp 100] Levi-Civita T (1906), “Sur la resolution qualitative du problème restraint des trois corps”, Acta Mathematica 30, pp 305-327 94