TOÁN TỬ CASIMIR C2 CHO NHÓM ĐỐI XỨNG SO(10) CỦA BÀI TOÁN MICZ KEPLER CHÍN CHIỀU PHAN NGỌC HƯNG*, THỚI NGỌC TUẤN QUỐC**, LÊ VĂN HOÀNG*** TÓM TẮT Trên cơ sở nhóm đối xứng SO(10) của bài toán MICZ Kepler[.]
Phan Ngọc Hưng tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ TOÁN TỬ CASIMIR C2 CHO NHÓM ĐỐI XỨNG SO(10) CỦA BÀI TỐN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU PHAN NGỌC HƯNG*, THỚI NGỌC TUẤN QUỐC**, LÊ VĂN HỒNG*** TĨM TẮT Trên sở nhóm đối xứng SO(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều, tốn tử bất biến Casimir �2 xây dựng dạng hệ thức tường minh liên hệ trực tiếp với Hamiltonian hệ Hệ thức cho phép phổ lượng toán xây dựng phương pháp đại số Biểu thức lượng phù hợp với kết giải trực tiếp phương pháp giải tích trước Từ khóa: tốn MICZ-Kepler, đối xứng ẩn, đại số SO(10), tốn tử Casimir, khơng gian chín chiều ABSTRACT Casimir operator C2 for symmetry group SO(10) of the ninedimensional MICZ-Kepler problem Basing on the symmetry group SO(10) of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem the Casimir operator is established in the explicit form relating directly to the Hamiltonian of the system The explicit form allows energy levels of the problem to be constructed by the purely algebraic method The expression of the energy levels is suitable with the results obtained by analytical calculations published before Keywords: MICZ-Kepler problem, hidden symmetry, SO(10) algebra, Casimir operators, ninedimensional space Bài tốn MICZ-Kepler chín chiều Bài toán MICZ-Kepler mở rộng toán Coulomb với bổ sung đơn cực thích hợp Bài tốn lần xây dựng khảo sát từ năm 1970 không gian ba chiều [2, 7] Bài toán mở rộng lên khơng gian có số chiều cao năm chiều [1] chín chiều [3, 5, 6] Đặc biệt, cơng trình [6] cho thấy việc mở rộng lên số chiều cao tùy ý, tốn MICZ-Kepler chín chiều trường hợp cuối có liên hệ trực tiếp với tốn dao động tử điều hịa 16 chiều qua phép biến đổi song tuyến tính Trong tốn MICZ-Kepler chín chiều, đơn cực tác giả đưa cách tường minh đơn cực 𝑆�(8) Cụ thể hơn, phương trình Schrodinger dừng tốn hệ đơn vị nguyên tử � = � = � = ħ = có dạng: * ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: hungpn@hcmup.edu.vn ThS, Trường THPT Năng khiếu, ĐHQG TPHCM *** PGS TSKH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM ** ˆ Qˆ Z H πΨ + ˆ = EΨ, − Ψ = 8r r □ đó, π = πˆ πˆ , ( μ = 1,… ,9 ) với thành phần xung lượng πˆ μ μ minh: πˆ j πˆ ∂ +A = k −i ∂ x (r)Qˆ kj , j ∂ = ∂x −i Các số hạng Ak (r ) Qˆ (1) μ có dạng tường j, k = 1,…,8, đặc trưng cho tương tác hạt có isospin với đơn cực kj SO(8) với vec-tơ có dạng tường minh: Ak (r) = Toán tử xk r(r + x9 ) ˆ ˆ ( j, k = 1,…,8 ) Qˆ = Q kj kj với Q thỏa mãn hệ thức giao hoán: Qˆ vi tử nhóm SO(8) , nghĩa kj Qˆ jk ,Qˆ mn = iδ jmQˆ kn + iδ knQˆ jm − iδ jnQˆ km − iδ kmQˆ jn , đó, δ jk kí hiệu delta Kronecker Trong công thức từ sau, lặp lại số có nghĩa lấy tổng, kí tự Latin ( j) sử dụng cho số biến thiên từ đến 8, kí tự Hi Lạp ( μ ) sử dụng cho số biến thiên từ đến Đối xứng SO(10) toán MICZ-Kepler chín chiều Một tính chất quan tâm tốn MICZ-Kepler tính đối xứng chúng Việc mở rộng từ toán Coulomb nên tốn MICZ-Kepler cho khơng làm tính đối xứng vốn có tốn Coulomb bổ sung đơn cực thích hợp Bài toán Coulomb đối tượng phổ biến học lượng tử chứng tỏ có đối xứng không gian SO(n +1) không gian n chiều Đối xứng bao gồm đối xứng phép quay không gian n chiều đối xứng ẩn, thường thể qua vec-tơ bất biến gọi vec-tơ RungeLenz Trong cơng trình [3], tác giả xây dựng cách tường minh biểu thức vec-tơ Runge-Lenz mở rộng cho trường hợp toán MICZ-Kepler chín chiều, chứng tỏ đối xứng SO(10) tốn Coulomb chín chiều khơng bị phá vỡ bổ sung đơn cực SO(8) Trong phần này, chúng tơi tóm tắt kết mà cơng trình [3] đưa Moment xung lượng hệ biểu diễn qua thành phần dạng tensor: Λˆ μν = x πˆ − x πˆ + ir π , π μ ν ν μ μ ν (2) Các thành phần hình chiếu vec-tơ Runge-Lenz có dạng tường minh: Mˆ = πˆ Λˆ + Λˆ πˆ +Z xν ( ν ) μ μν μν (3) μ r Từ biểu thức tường minh này, mối liên hệ vec-tơ Runge-Lenz, tensor moment xung lượng Hamiltonian xây dựng: Λˆ μν , Hˆ = 0, Mˆ μ , Hˆ = 0, ˆ ˆ Λ μν , Λ σρ = iδ μσ Λˆ νρ + iδνρ Λˆ μσ − iδ μρ Λˆ νσ − iδνσ Λˆ μρ , Λˆ μν , Mˆ ρ = iδ μρ Mˆ ν − iδνρ Mˆ μ , Mˆ μ , Mˆ ν = −2iHˆ Λˆ μν Nhóm đối xứng tốn biểu diễn thơng qua ma trận Dˆ 10×10 với thành phần: Λˆ μν M = μ, N = ν , ˆ ′−M M = μ, N = 10, ,M = 10, N = ν Dˆ MN = μ Mˆ ′ 0 (4) ma trận (5) μ M = N, Mˆ μ′ = (−2Hˆ ) (−1/2) Mˆ μ Ở đây, ta sử dụng kí tự Latin in hoa cho số biến thiên từ đến 10 Các thành phần ma trận thỏa mãn hệ thức giao hoán: Dˆ Dˆ MN , H□ = 0, (6) Dˆ MN , Dˆ PQ = iδ MP Dˆ NQ + iδ NQ Dˆ MP − iδ MQ Dˆ NP − iδ NP Dˆ MQ đại Các hệ thức cho thấy 45 thành phần độc lập ma trận phản xứng Dˆ lượng bảo tồn tạo nên nhóm đối xứng SO(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều Tốn tử Casimir C2 tốn MICZ-Kepler chín chiều Với việc nhóm đối xứng tốn xây dựng cách tường minh cơng trình [6], tốn chúng tơi nhận định có lời giải đại số Một phương pháp để thu lời giải xây dựng mối liên hệ trực tiếp Hamiltonian toán hệ tốn tử bất biến Casimir nhóm đối xứng p = 2,3,…) nhóm định nghĩa [4]: Tốn tử Casimir bậc p (với Cp = Xi i X i i …X i i , 12 đó, 23 p1 Xij phần tử nhóm Trong trường hợp tốn MICZ-Kepler chín chiều, xây dựng từ thành phần nhóm đối xứng SO(10) toán, nên dễ dàng nhận thấy toán tử Casimir giao hốn với Hamiltonian, hay nói cách khác chúng toán tử bất biến Theo lý thuyết chứng minh [4], vô số tốn tử Casimir nhóm đối xứng SO(2n) , có n tốn tử Casimir bất biến độc lập, thường chọn C2 ,C4 ,…,C2n Để tìm phổ lượng toán, tức trị riêng toán tử Hamiltonian, ta cần biểu diễn Hamiltonian theo toán tử bất biến Casimir Với nhận xét toán tử Hamiltonian chứa đạo hàm bậc tọa độ, ta suy toán tử bất biến liên hệ trực tiếp với Hamiltonian toán tử Casimir bậc 2, tức C2 chứa thành phần đạo hàm bậc tọa độ Sử dụng định nghĩa (5) ta dễ dàng có được: C2 = DMN DNM = −(Λ2 + M ′ ), Λ2 = Λˆ μν Λˆ μν M ′ = M / (−2Hˆ ) = Mˆ μ Mˆ μ / (−2Hˆ ) Sử dụng định nghĩa toán tử moment xung lượng (2) toán tử thành phần vec-tơ Runge-Lenz (3), tính trực tiếp sử dụng biến đổi vi phân ta thu kết quả: C2 = − Z2 −Q − 16 ˆ 2H Để tính cơng thức trên, ta cần dùng chương trình Mathematica hỗ trợ cho tính tốn Chú ý −Q2 tốn tử Casimir bậc cho nhóm đối xứng đơn cực SO(8) , mối liên hệ toán tử Hamiltonian toán tử Casimir bậc biểu diễn tường minh: Z2 (7) + Q2 + 16) Hˆ = − 2(C2 Từ đó, phổ lượng tốn MICZ-Kepler chín chiều biểu diễn: E= − Z2 , 2(c2 − c2 + 16) đó, c2 c2 trị riêng toán tử Casimir bậc hai nhóm (8) SO(8) SO(10) Trong cơng trình [4], cơng thức để tính trị riêng tốn tử Casimir cho nhóm SO(2n) đưa Sử dụng cơng thức đó, ta thu được: Phan Ngọc Hưng tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ c = μ (μ + 8) + μ (μ + 6) + μ (μ + 4) + μ (μ + 2) + μ , 2 1 2 3 c = q (q + 6) + q (q + 4) + q (q + 2) + q2 , với μj q số _ _ _ _ _ _ _ _ _ (9) nguyên bán nguyên thỏa mãn j μ1 ≥ μ2 ≥ μ3 ≥ μ4 ≥ μ5 ≥ q1 ≥ q2 ≥ q3 ≥ q4 ≥ Phân tích phổ (8) với số (9) ta thấy phù hợp với kết thu cơng trình [6] Kết luận Thơng qua nhóm đối xứng SO(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều, chúng tơi tính tốn tường minh biểu thức toán tử Casimir bậc xây dựng mối liên hệ trực tiếp với Hamiltonian toán Mối liên hệ cho phép phổ lượng tốn tính phương pháp đại số Công thức thu cho phép phân tích phổ lượng Ghi chú: Đây Đề tài Cơ sở mã số CS.2014.19.66 Trường Đại học Sư phạm TPHCM Mở rộng cơng trình đăng tạp chí ISI TÀI LIỆU THAM KHẢO Mardoyan L.G., Sissakian A.N., and Ter-Antonyan V.M (1999), “Hidden symmertry of the Yang-Coulomb monopole”, Mod Phys Lett A, 14(19), pp 13031307 McIntosh H.V and Cisneros A (1970), “Degeneracy in the Presence of a Magnetic Monopole”, J Math Phys., 11, pp.896-916 Ngoc-Hung Phan, Van-Hoang Le (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and ninedimensional MICZ-Kepler problem”, J Math Phys., 53, pp.082103-7 Perelomov A.M and Popov V.S (1965), “Casimir operators for the orthogonal and symplectic groups”, J Exp Theo Phys Lett., 2, tr 20-22 Van-Hoang Le, Thanh-Son Nguyen (2011), “A non-Abelian SO(8) monopole as generalization of Dirac and Yang monopoles for a nine-dimensional space”, J Math Phys., 52, pp 032105-11 Van-Hoang Le, Thanh-Son Nguyen, Ngoc-Hung Phan (2009), “A Hidden NonAbelian Monopole in a 16-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator”, J Phys A, 42, pp 175204-8 Zwanziger D (1968), “Exactli Soluble Nonrelativistic Model of Particles with Both Electric and Magnetic Charges”, Phys Rev., 176, pp.1480-1488 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 22-01-2016; ngày phản biện đánh giá: 13-3-2016; ngày chấp nhận đăng: 17-3-2016) ... cho thấy 45 thành phần độc lập ma trận phản xứng Dˆ lượng bảo tồn tạo nên nhóm đối xứng SO(10) tốn MICZ-Kepler chín chiều Tốn tử Casimir C2 tốn MICZ-Kepler chín chiều Với việc nhóm đối xứng toán. .. Hamiltonian toán hệ toán tử bất biến Casimir nhóm đối xứng p = 2,3,…) nhóm định nghĩa [4]: Toán tử Casimir bậc p (với Cp = Xi i X i i …X i i , 12 đó, 23 p1 Xij phần tử nhóm Trong trường hợp tốn MICZ-Kepler. .. Hamiltonian toán tử Casimir bậc biểu diễn tường minh: Z2 (7) + Q2 + 16) Hˆ = − 2 (C2 Từ đó, phổ lượng tốn MICZ-Kepler chín chiều biểu diễn: E= − Z2 , 2 (c2 − c2 + 16) đó, c2 c2 trị riêng toán tử Casimir