Một số lớp nhóm con của nhóm đối xứng

Trường Đại Học Vinh Khoa sư phạm toán học Phạm Thị Thương Mộtsốlớpnhómcon củanhómđốixứng Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành: Sư phạm toán học Chuyên ngành: Đại số Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Quốc Thơ Nghệ An, 05/2014 Mục lục Mở đầu 2 Nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thủy, ước chuẩn tâm tập nhóm đối xứng 1.1 Nhóm bắc cầu 1.2 Nhóm nguyên thủy 11 1.3 Ước chuẩn tâm tập nhóm bắc cầu 14 Nhãm c¸c phÐp thỏa mÃn điều kiện chuẩn nhóm lũy linh 18 2.1 Nhóm phép thỏa mÃn điều kiện chuÈn 18 2.2 Nhãm lòy linh 21 KÕt luËn cña khóa luận 22 Tài liệu tham khảo 23  Mở đầu Lý thuyết nhóm đời đà lâu nã cã nhiỊu øng dơng c¸c lÜnh vùc kh¸c Toán học Vật lý Mặc dầu đà trải qua trình phát triển lâu dài việc nghiên cứu, khảo sát lớp nhóm cụ thể đông đảo nhà Toán học nước quan tâm nghiên cứu, lớp nhóm có lớp nhóm đối xứng lớp nhóm Theo Định lý Lagrăng: Mọi nhóm hữu hạn đẳng cấu với nhóm đối xứng, để nghiên cứu nhóm ta nghiên cứu nhóm nhóm đối xứng Nội dung Khóa luận này, nghiên cøu mét sè líp nhãm cđa nhãm ®èi xøng nh­: Nhóm bắc cầu Nhóm nguyên thủy Ước chuẩn tâm tập nhóm bắc cầu Nhóm tháa m·n ®iỊu kiƯn chn Nhãm lịy linh CÊu tróc cđa Khãa ln gåm ch­¬ng: Ch­¬ng 1: Nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thủy, ước chuẩn tâm tập nhóm đối xứng Nội dung chương trình bày lại số kết theo hiểu biết nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thủy, nhóm quy , kết làm sở để nghiên cứu chương Chương 2: Nhóm phép thỏa mÃn điều kiện chuẩn nhóm lũy linh Đây nội dung Khóa luận, với mục đích sâu nghiên cứu nhóm phép thỏa mÃn điều kiện chuẩn, tính chÊt, mèi quan hƯ gi÷a nhãm phÐp thÕ tháa m·n điều kiện chuẩn nhóm nguyên thủy, nhóm bắc cầu, nhóm con, nhóm thương nhóm phép thỏa mÃn điều kiện chuẩn, nhóm lũy linh Khóa luận hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn Thầy giáo, TS Nguyễn Quốc Thơ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Thầy (Cô) Bộ Môn Đại số Thầy (Cô) Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh đà tận tình dạy bảo em suốt trình em học tập rèn luyện mái trường Đại học Vinh Vì nhiều lý nên Khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận giúp đỡ, bảo Thầy (Cô) đồng nghiệp Nghệ An, ngày 28 tháng năm 2014 Tác giả ! Chương Nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thủy, ước chuẩn tâm tập nhóm đối xứng Trong chương này, trình bày lại số kết nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thủy, ước chuẩn tâm tập nhóm đối xứng, kiến thức làm sở cho việc nghiên cứu Chương 1.1 Nhóm bắc cầu 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X = {x1 , x2 , · · · , xn } Nhãm phÐp thÕ G X gọi nhóm bắc cầu tập i) Với ii) Với X thỏa mÃn hai ®iỊu kiƯn sau: xi ∈ X, g ∈ G tån t¹i xj ∈ X xi , x j ∈ X tồn để cho g(xi ) = xj , g ∈ G ®Ĩ cho g(xi ) = xj NÕu Ýt nhÊt mét hai ®iỊu kiƯn không thỏa mÃn G gọi nhóm không bắc cầu 1.1.2 Ví dụ Ví dụ Trong S3 xÐt nhãm G = {e, g1 = (123), g2 = (132)} Khi G " nhóm bắc cầu, vì: - Ta dễ nhận thấy, với xi X = {123}; g G tồn xj - Với Chẳng hạn xi , xj {123} tồn g G để cho g(xi ) = xj ®Ĩ cho g(xi ) = xj xi = 1; g = g1 ⇒ xj = 2, xi = 1; g = g2 ⇒ xj = S3 Trong Ví dụ bắc cầu víi xÐt nhãm G =< (12) >= {e, (12)} xi = 1; xj = không tồn g ∈ G ®Ĩ cho g(xi ) = xj Trong nhóm đối xứng Ví dụ bắc cầu nhóm 1.1.3 Nhận xét hệ hai nhóm S(X) nhóm G = {e} nhóm không G = S(X) nhóm bắc cầu X Giả sử G nhóm phép tập X , ta trang bị tập X R nh­ sau: x, y ∈ X; xRy vµ chØ quan G tồn phép g để g(x) = y Khi R quan hệ tương đương ta có chia lớp X = X I G bắc cầu tập X gọi quỹ đạo nhóm G Đặc biệt Khi ta có X = X A X, g G G(A) = A G|A Nếu phần tử quỹ đạo thì G nhóm bắc cầu Từ nhận xét vừa nêu ta có kết sau: G|X S(A) Như vËy, nÕu G|Xα −→ S(Xα ) X = ∪Xα (α I) S(A) g A coi phân tÝch Tõ ®ã ta cịng dƠ thÊy r»ng nÕu Xα X thành quỹ đạo nhóm bắc cầu 1.1.4 Định nghĩa Giả sử G1 , G2 nhóm phép thÕ trªn tËp X Ta nãi chóng cã mét quỹ đạo tồn song ánh đạo lµ nhãm cđa φ : X −→ X chun quỹ đạo G1 lên quỹ G2 1.1.5 Ví dơ G1 ∗) Gi¶ sư G1 =< (12) >= {e, (12)} S3 Khi đó: không bắc cầu có quỹ đạo X1 = {1, 2}; X2 = {3} ∗) G2 =< (2, 3) >= {e, (2, 3)} S3 Khi đó: G2 không bắc cầu có quỹ đạo Từ ta thấy song ánh G2 , v×: s = (13) ∈ S3 Y1 = {2, 3}; Y2 = {1} chuyển quỹ đạo s(X1 ) = s({1, 2}) = {2, 3} = Y1 s(X2 ) = s({3}) = {1} = Y2 # G1 thµnh quỹ đạo 1.1.6 Định nghĩa Giả sử G nhãm phÐp thÕ cđa tËp X vµ Uk (x1 , x2 , · · · , xk ) ∈ X k = X × X × · · · × X, xi = xj Uk ta định nghĩa quan hệ tập hợp điểm với i = j Trên tập R: aRb g G để g(ai ) = bi , i = 1, k, ∀a = (a1 , · · · , ak ); b = (b1 , · · · , bk ) ∈ Uk Khi R quan hệ tương đương a, b Uk G gọi bắc cầu bội k X aRb 1.1.7 Ví dụ Nhóm Nhóm phép chẵn An nhóm bắc cÇu béi n − ThËt vËy: ∀(x1 , x2 , · · · xn−2( ); (y1 , y2 , · · · yn−2 ) ∈ Un−2 ) x1 x2 xn−2 xn−1 xn u= ( y1 y2 yn−2 yn−1 yn) x1 x2 xn−2 xn−1 xn v= y1 y2 yn−2 yn−1 yn Khi ®ã v = u(yn−1 yn ) Vì (yn1 yn ) phép lẻ, suy u lẻ v tồn Vậy An u v An 1.1.8 Mệnh đề Gi¶ sư G (x1 , x2 , · · · xn−2 ) −→ (y1 , y2 , · · · yn2 ) để nhóm bắc cầu bội n nhóm bắc cầu bội cấu với nhóm phép tập Chứng minh Xét ánh xạ xác ®Þnh bëi: +) g ®ã ∃ai ̸= bi +) g đơn ánh, với cho toàn ánh, +) g tập hợp X Khi G đẳng : G S(Uk ) xác định φ(g) = g, ®ã g g g(a) = (g(a1 ), g(a2 ), · · · , g(ak )) th× song ánh a = (a1 , a2 , à · · , ak ), b = (b1 , b2 , · · · , bk ) ∈ Uk , a ̸= b Khi g(ai ) ̸= g(bi ) ⇒ g(a) ̸= g(b) ∀b = (b1 , b2 , · · · , bk ) ∈ Uk , a = (a1 , a2 , · · · , ak ) Uk ánh Tóm lại k Uk a = (a1 , a2 , · · · , ak ) Uk Trước hết ta chứng minh chẵn ngược lại Do để G bắc cầu bội k nên tồn g(ai ) = bi , với i = 1, k ⇒ g(a) = b VËy g song ánh toàn Uk g S(Uk ) đồng cấu: Thật vậy, giả sử (g) = g, φ(g1 ) = g1 , φ(gg1 ) = gg1 ∀a = (a1 , a2 , · · · , ak ) ∈ Uk , ta cã: gg1 (a) = (gg1 (a1 ), · · · , gg1 (ak )) $ Khi ®ã = Do ®ã +) g(g1 (a1 ), · · · , g1 (ak )) = (g)(g1 )(a1 , · · · , ak ) = (g)(g1 )(a) φ(gg1 ) = φ(g).φ(g1 ) ⇒ φ lµ đồng cấu đơn ánh Ta có: ker() = {g ∈ G|φ(g) = e} = {g ∈ G|g = e} = {g ∈ G|g(a) = a, ∀a ∈ Uk } = Do ®ã VËy {g ∈ G|g(a1 , · · · , ak ) = (a1 , · · à , ak )} = {eG } đơn cÊu ′ G = im(φ) = G ⊂ S(Uk ) Ta có điều phải chứng minh 1.1.9 Định nghĩa Cho G nhóm phép tập X, a X cố định Ký hiệu Ga =< g G|g(a) = a > nhóm G gọi nhóm bất động a 1.1.10 Định lý Giả sử X quỹ đạo a Đối với điểm x X G = gx Ga , x ∈ X G, a ∈ Xα ta chọn phân tích nhóm G phần tử gx Ga nhóm bất động để gx (a) = x Khi G thành lớp ghép trái theo Ga Chøng minh +) Tr­íc hÕt ta chøng minh hai lớp ghép khác Thật vËy gx Ga (a) = gx (a) = x gy Ga (a) = gy (a) = y V× x ̸= y +) Víi g cho nªn bÊt kú thc ThËt vËy: V× cã gx Ga ̸= gy Ga G ta chứng minh tồn gx Ga G bắc cầu X nên với để cho g gx Ga a ∈ Xα ⇒ x = g(a) X Mặt khác ta gx (a) = x Suy g(a) = gx (a), ®ã gx−1 g(a) = a ⇒ gx−1 g ∈ Ga VËy g gx Ga Do ta có điều phải chứng minh Từ kết Định lý trên, ta cã hƯ qu¶ sau 1.1.11 HƯ qu¶ CÊp cđa nhãm phép tập hữu hạn chia hết cho lực lượng quỹ đạo Đặc biệt cấp nhóm bắc cầu chia hết cho bậc Chứng minh Theo Định lý Lagrăng: Nếu Bây áp dụng vào ta cã: H ⊂ G th× ord(G) = ord(H).[G : H] ord(G) = [G : Ga ].ord(Ga ) % MỈt khác Do G = gx Ga [G : Ga ] = |Xx |, ∀x ∈ Xα ord(G) = |X|.ord(Ga ) VËy ord(G) |Xα | Trong trường hợp đặc biệt hay cấp G nhóm bắc cầu |X| = |X | ⇒ ord(G) |X| G chi hÕt cho bËc cña nã 1.1.12 Hệ chia hết cho Cho G nhóm phép bậc n bắc cầu bội k Khi cÊp cña G n(n − 1) · · · (n − k + 1) Chøng minh Theo MƯnh ®Ị 1.1.8 ta có Mặt khác theo Hệ 1.1.11 ta có nên G bắc cầu |Uk | Mà G = G ⊂ S(Uk ) ⇒ ord(G) = ord(G ) ′ ′ x ∈ Xα vµ ord(G ) |Uk |( G bắc cầu bội k n(n 1) à · · (n − k + 1), = ′ ′ suy ord(G ) n(n − 1) · · · (n − k + 1) VËy ord(G) n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1.1.13 Định lý Giả sử X quỹ đạo nhãm G, a ∈ Xα vµ Rα lµ tËp tÊt nhóm bất động Chứng minh Giả sử Thật vậy, a Khi R nhãm Ga , Gb ∈ Xα , ta chøng minh Ga a, b ∈ Xα ∃g ∈ G nªn Ga liên hợp với liên hợp với để cho Gb g(a) = b Khi ®ã ta cã gGa g −1 (b) = gGa (a) = g(a) = b Do gGa g Gb Mặt khác v× g(a) = b, = g −1 (b) = a Vậy Ga Gb Suy g (b) = a, g −1 Gb g(a) = g −1 Gb (b) tõ ®ã ta cã g −1 Gb g ⊂ Ga ⇒ Gb ⊂ gGa g −1 , liªn hợp với Như R chứa Ga Gb = gGa g nhóm có dạng gGa g Ta có điều phải chứng minh Từ Định lý ta có Hệ sau 1.1.14 Hệ 1.1.15 Giả sử X Giả sử G R hệ nhóm bất động G Khi nhóm phép mà tất nhóm ước quỹ ®¹o cđa Chøng minh Víi G Khi ®ã nÕu a, b ∈ Xα ∀a, b ∈ Xα , ®ã với Khi tồn thiết bắc cầu R nhóm liên hợp với Hệ chuẩn G gG G a = Gb theo Định lý 1.1.13 ta có cho Gb = gGa g −1 Ga △G Suy gGa g −1 = Ga VËy Ga = Gb & Do Ga Ga G, Gb liên hợp mà theo giả 1.1.16 Định nghĩa G gọi nhóm quy G nhóm Nhóm phép bắc cầu nhóm ổn định Giả sử 1.1.17 Hệ chuẩn G {e} thuộc G nhóm bắc cầu mà nhóm G ước G Khi G nhóm quy Chứng minh Vì G nhóm bắc cầu nên với a X Mặt khác G Ga liên hỵp víi Gb , ∀b ∈ X mäi nhãm ước chuẩn nên theo Hệ 1.1.15, ta cã Ga = Gb , ∀b ∈ X, nªn Ga (b) = Gb (b) = b, ∀b ∈ X ⇒ Ga = e, ∀a ∈ X G lµ nhãm chÝnh quy VËy Gi¶ sư 1.1.18 HƯ qu¶ chn cđa G nhóm bắc cầu mà nhóm G ước G Khi G không chứa nhóm phép khác tập hợp mà tất nhóm ước chuẩn Đặc biệt nhóm Abel bắc cầu S(X) nhóm Abel cực đại nhóm Abel S(X) Chứng minh Giả sử ngược lại nhóm cđa víi vµ G x i , xj ∈ X ′ g ∈G ′ ′ ∃g ∈ G ⊂ G ′ ′ Ga = {e}, ∀a ∈ X vµ G G ′ vµ G ′ ′ ′ ′ ′ mµ tất g(xi ) = xj Mặt khác với xj X nhóm bắc cầu nhãm chÝnh quy Ga = {e}, ∀a ∈ X, ′ G phải nhóm bắc cầu Thật vậy, để cho xj = g (xi ) ∈ X VËy G Theo Hệ 1.1.17 chứa nhóm phép ước chuẩn Khi ta có G suy Mặt khác ord(G) = |X| = ord(Ga ) ′ ord(G ) = |X| = ord(Ga ), ord(G) = ord(G ) mà theo giả thiết G G Vậy G G Đặc biệt nhóm Abel bắc cầu S(X) nhóm Abel cực đại S(X), nhóm Abel có nhóm ước chuẩn, áp dụng Hệ 1.1.17 ta có điều phải chứng minh 1.1.19 Định nghĩa cầu Giả sử Si , i I miền khác để nhóm không bắc G bắc cầu miền Nếu ta xem G nhóm phép Si ta ký hiệu nhóm Gi (ở Gi = G|Si phần tử gi = g|Si phần tử cảm sinh G Si ) ' Ta gäi G∗ = ΠGi lµ tÝch trùc tiÕp nhóm bắc cầu Gi , i I vµ ký hiƯu g := (g1 , g2 , · à à ) G = Gi 1.1.20 Định nghĩa +) nÕu: G lµ nhãm cđa G∗ +) Đối với phần thứ G gọi tích trực tiÕp cña tÝch trùc tiÕp G∗ g ∈ Gi (i I) tồn phần tử i gi , tức phần tử Gi g G để thành tham gia vào phần tử sinh  G 1.2 Nhóm nguyên thủy Trong tiết nghiên cứu loại nhóm phép mới, không bắc cầu theo nghĩa ta đà biết mà bắc cầu phần tử tập khác phần tử 1.2.1 Định nghĩa tập X X, nhóm nguyên thủy ta chia tập mÃn điều kiện g(X ) = X G bắc cầu gọi nhóm không nguyên thủy Một nhóm X = X (α ∈ I) Xα ∩ Xβ = ∅; ∀α ̸= β hc Víi cho g |I| > 1; |Xα | > thỏa G thuộc vào nhóm g(X ) = X Ngược lại G gọi nhóm nguyên thủy 1.2.2 Ví dô Trong nhãm VÝ dô S4 ta xÐt nhãm G =< (1234) >= {e, g1 = (1234), g2 = (13)(24), g3 = (1432)} Khi ta phân chia X nh­ sau: X = {1, 3} ∪ {2, 4}; X1 = {1, 3}; X2 = {2, 4} Ta nhËn thÊy e(X1 ) = X1 ; g1 (X1 ) = X2 ; g2 (X1 ) = X1 ; g3 (X1 ) = X2 e(X2 ) = X2 ; g1 (X2 ) = X1 ; g2 (X2 ) = X2 ; g3 (X2 ) = X1 Do ®ã G nhóm không nguyên thủy Ví dụ tích Trong X = ∪Xα S3 nhãm G =< (123) > lµ nhóm nguyên thủy phân thỏa mÃn ®iỊu kiƯn cđa ®Þnh nghÜa 1.2.3 NhËn xÐt NÕu sù phân chia tập phép song ánh nên tất X X = X thực được, mặt khác có lực lượng Từ nhận xét ta thu số hệ sau 1.2.4 Hệ Cho G nhóm bắc cầu có bậc p số nguyên tố Khi G nhóm nguyên thủy Chứng minh Giả sử ngược lại khác G không nguyên thủy, X = ∪Xα (α ∈ I), Xα cã cïng lùc l­ỵng, suy |X| |Xα | mµ |Xα | ̸= VËy |Xα | lµ ­íc cđa |X| = p, điều mâu thuẫn, theo giả thiết p số nguyên tố Vậy G nhóm nguyên thủy  Cho 1.2.5 Hệ G nhóm bắc cầu bội Khi G nhóm nguyên thủy Chứng minh Giả sử ngược lại phân chia Khi giả sử nên tồn X G không nguyên thủy, ®ã ta cã X = ∪Xα (α ∈ I), thành tập X thỏa mÃn định nghĩa a, a1 ∈ Xα ; b ∈ Xβ ; a ̸= a1 = Vì G nhóm bắc cầu bội g ∈ G cho: g(a) = a1 ⇒ g(Xα ) = Xα vµ g(a1 ) = b1 ⇒ g(X ) = X X = X , điều mâu thuẫn với định nghĩa X X = Từ ta thấy Vậy G nhóm nguyên thủy 1.2.6 Mệnh đề Sự phân chia X = X , ( I) thành miền nguyên thủy xác ®Þnh cho ta mét ®ång cÊu φ :G −→ S(I) g −→ g ®ã nÕu g(Xα ) = Xβ Chứng minh Giả sử g() = (g) = g; φ(g1 ) = g1 ; φ(gg1 ) = gg1 vµ g1 (Xα ) = Xβ ; g(Xβ ) = Xγ ⇒ g1 (α) = β; g(β) = γ Suy gg1 (Xα ) = g(Xβ ) = Xγ Do ®ã gg1 (α) = γ ⇒ gg1 (α) = g(β) = γ ⇒ gg1 = g.g1 VËy φ đồng cấu 1.2.7 Mệnh đề Giả sử G G Khi chia tập X chuẩn không bắc cầu phép chia phép chia Chứng minh Giả sử Ta có X để cho g(X ) = Xβ ThËt vËy, a, b ∈ Xα Vì H HG nên bắc cầu ghg −1 ∈ H vµ LÊy g H, G H |Hα | > v× H ̸= {e} bÊt kú thuéc G, ta cÇn chøng a1 , b1 ∈ g(Xα ) a1 = g(a); b1 = g(b) X nên tồn hH để cho ghg (a1 ) = gh(a) = g(b) = b1 , thuéc mét quü đạo Do ước thành quỹ đạo nhóm nguyên thủy) |X | > {e} = H thành quỹ đạo cđa X = ∪Xα , (α ∈ I) lµ phÐp chia X I X thành miền nguyên thđy cđa |I| > (v× nÕu |I| = H tồn minh nhóm bắc cầu tập hợp h(a) = b Do suy a1 , b1 a1 , b1 ∈ Xβ , (β ∈ I) VËy g(Xα ) = Xβ  cïng 1.2.8 Định lý Nhóm G nhóm cực đại Chứng minh Giả sử G, U = Ga ; U = G lớp ghép trái Đặt G nhóm phép bắc cầu tập X, a ∈ X a ë G Gi¶ sư Ga ổn định của G bắc cầu nguyên thủy nhóm ổn định Ga nhóm không cực đại, tức tồn nhóm ®Ĩ cho: Ga ⊂ U ⊂ G Ta chia G U theo c¸c U, cã nghÜa G = ∪gα U = Uα , (α ∈ I) víi Uα = g U X = U (a) Vì X bắc cầu nên X = U X Ta chứng minh (1) lµ sù chia líp, thËt vËy u(a) = v(a) ®ã u ∈ Uα , v ∈ Uβ vµ (1) = X X = , giả sử u1 v(a) = a ®ã u−1 v ∈ Ga suy v ∈ uGa ⊂ U , điều trái với giả thiết Vậy (1) lµ sù chia líp Ta chøng minh (1) lµ sù chia lớp không nguyên thủy Thật vậy, giả sử X (2) suy Mặt khác X = U X Ngược lại, giả sử thủy Vì g(X ) = gUα (a) = ggα U (a) = Uβ (a) = X U = Ga , nên |X| > U = G nên tức |I| > g(X ) = Vậy từ (2) chia lớp không nguyên thủy G không nguyên thủy, X tập hệ không nguyên G a X Ký hiệu U tập hợp phép thÕ h ®Ĩ cho h(Xα ) = Xα G nhóm bắc cầu; X = {a} X = X nên Ga U G Định lý xem dấu hiệu để nhận biết nhóm nguyên thủy 1.2.9 Hệ Nhóm quy nhóm không nguyên thủy trừ trường hợp cấp số nguyên tố Chứng minh Giả sử G nhóm quy suy nhóm ổn định G {e} +) Nếu G có cấp số nguyên tố p nhóm G có phần tử có p phần tử Suy phần tử ổn định G nhóm cực đại Vì G nhóm nguyên thủy +) Nếu G có cấp không số nguyên tố nhóm khác G chứa nhóm ổn định Suy 1.2.10 Hệ G nhóm không nguyên thủy Nhóm ổn định Sn ! nhóm cực đại 1.3 Ước chuẩn tâm tập nhóm bắc cầu Trong tiết nghiên cứu số tính chất nhóm bắc cầu liên quan đến ước chuẩn tâm tập 1.3.1 Định lý Giả sử G nhóm bắc cầu nhóm phép tập X {e} = H ước chuẩn không bắc cầu ước chuẩn H G Khi phân lớp X phân lớp không nguyên thủy nhóm theo quỹ đạo G Từ Định lý 1.3.1 ta có hệ sau 1.3.2 Hệ G Khi H 1.3.3 Hệ G Khi H G nhóm phép nguyên thủy {e} = H Giả sử bắc cầu Giả sử G nhóm phép nguyên thủy H ước chuẩn Abel cđa kh«ng cã nhãm bÊt biÕn víi mäi tù đẳng cấu Giả sử 1.3.4 Hệ ước chn G lµ mét thĨ vµ A H lµ nhãm cộng không tầm thường G Khi nhóm đặc trưng tầm thường Chứng minh Giả sử G thể A nhóm cộng không tÇm th­êng cđa G Ta chøng minh A = G Thật vậy, A không tầm thường, nên tồn a A, a = 0, mặt khác G thể nên phần tử khác không cho a.a−1 = e Khi ®ã ta cã G = e.G A.G A Vậy A = G 1.3.5 Định lý G G khả nghịch, tồn đơn vị e G Giả sử G nhóm bắc cầu có tâm khác đơn vị e Khi không nguyên thủy trừ trường hợp bậc phép cấp G số nguyên tố Nếu G có có cấp p p phần tử số nguyên tố nhóm Suy nhóm ổn định G có phần tử G nhóm cực đại Vậy G nhóm nguyên thủy Nếu G có cấp số nguyên tố nhóm khác nhóm ổn định, G G nhóm không nguyên thủy Từ Định lý 1.3.5 ta có hệ sau 1.3.6 Hệ Nhóm đối xứng S(X), với |X| nhóm không tâm " chứa Chứng minh Do nhóm nhóm đối xứng S(X) phép có bậc |X| Mặt khác, phép có bậc |X| phân tích dược thành tích (ij), mà (ij) = (1i).(ij).(1i) nên S(X) sinh chuyển chuyển trí trí dạng (12); (13); à à à ; (1n) Ta lại có phép bậc |X| phân tích thành tích các vòng xích độc lập, nên giao hoán với chuyển trÝ |X| ≥ Do ®ã S(X) víi |X| nhóm không tâm Bất kỳ nhóm quy 1.3.7 Định lý S(X) ảnh biểu diễn trái quy 1.3.8 Định lý Giả sử hai phép toán X φ : (X, ∗) −→ (X.⋆) lµ hai nhãm vµ ánh xạ để cho (X, ), (X.) ánh xạ đẳng cấu ánh xạ : (X, ) −→ S(X); λ1 : (X, ⋆) −→ S(X) t­¬ng øng hai biễu diễn trái (X, ) (X.) Ký hiƯu G = imλ vµ G = imλ1 Khi hai nhóm quy G G đẳng cấu với chúng liên hợp với 1.3.9 Mệnh đề Cho G S(X) nhóm bắc cầu nhóm ước chuẩn Khi G nhóm quy Chứng minh Vì G nhóm bắc cầu, nên khác nhóm suy a, b X Ga liên hợp với Gb Mặt G ước chuẩn, nên theo Hệ 1.1.15, ta có Ga = Gb , Ga (b) = Gb (b) = b, ∀b ∈ X Do ®ã ta cã Ga = e, ∀a ∈ X Vậy G nhóm quy 1.3.10 Định lý Giả sử B nhóm bắc cầu nhóm S(X) C tâm tập B S(X) Khi i) Nếu C nhóm bắc cầu biĨu diƠn chÝnh quy tr¸i cđa ii) NÕu C B∼ =C (X, ) C không bắc cầu và X có phép toán () để nhóm B biĨu diƠn chÝnh quy ph¶i cđa (X, ∗) X = X phân lớp theo quỹ đạo C I # với I, ta cã biĨu diƠn rα :C −→ S(Xα ) f −→ f |Xα = f (α) lµ biĨu diƠn chÝnh quy thực Chứng minh i) Nếu Thật vËy, gi¶ sư nghÜa C f a ∈ X cho r , r bắc cầu, trước hết ta chøng minh ta ký hiÖu Ba = {b ∈ B|b(a) = a} phÇn tư α, β ∈ I Ba B liên hợp nhóm quy nhóm ổn định Mặt khác C a bắc cầu, nên với xX B, có tồn f (a) = x g Ba f g = gf, mặt khác Ba B nên ta cã f g(a) = gf (a) = g(x) = f (a) = x suy g(x) = x, ®ã g = e hay Ba = e VËy B lµ nhóm quy Mặt khác theo Định lý 1.3,7 bất kú mét nhãm chÝnh quy cđa (∗) trªn X diƠn trái quy, nên tồn phép toán quy trái Khi (X, ) C (X, ) ¶nh biĨu diƠn chÝnh quy ph¶i cđa C lµ nhãm không bắc cầu - Nếu C = {e} Định lý chứng minh - Nếu C = {e} theo Định lý quy tắc nguyên thủy nhóm G = BC phải nhóm nguyên thủy (vì lớp không nguyên thủy C không bắc cầu) Khi ta phân tÝch f ∈C ®ã γα : Xε −→ Xα thành I I ta chọn phÐp thÕ gα (Xε ) = Xα , víi gε = e B Giả sử X không X = X Giả sử ký hiệu cố định I Vì B nhóm bắc cầu, nên với B ảnh biểu diễn B = C ii) Giả sử cho để S(X) ảnh biểu g B để gε (Xε ) = Xε f (Xα ) = X Đặt f = f |X = r (f ). = g |X , song ánh cho x X x = g(x ) = γα vµ rα (f ).γα (xε ) = fα gα (xε ) = f gα (xε ) = γα rε(f )xε = rε (f ) = γα (rα (f ))γα−1 Tõ ®ã suy rε = γα r chúng tương đương với nhau, với cặp tương đương với Hơn nữa, đồng Ta cã α ∈ I, f ∈ C th× α∈I rα (f ) = fα eα ∈ S(Xα ) vµ eβ (fβ ) = eβ VËy f = e vµ r $ r phép biểu diễn thực 1.3.11 Định lý tập C Giả sử lực lượng tập nhóm nguyên thủy Chứng minh Giả sử X số nguyên tố Khi tâm B S(X) đơn vị e C = {e} C ước chuẩn nhóm nguyên thủy G = BC, theo Hệ 1.3.8, A nhóm trừu tượng có ord(A) = |X| th× S(X) cã nhÊt mét nhãm quy đẳng cấu với bắc cầu Kết hợp với Định lý 1.3.9, ta có B A nhóm (X, ), nên C nhóm nhóm quy Vậy cấp B phải số nguyên tố 1.3.12 Hệ Giả sử nhóm i) Nếu H ii) Nếu H C C tâm tập nhóm bắc cầu thì: bắc cầu H = C nhóm không bắc cầu theo quỹ đạo cđa H B ⊂ S(X), ®ã víi H C X = X I phân tích th× biĨu diƠn rα :H −→ S(Xα ) h −→ h|X biểu diễn thực cặp r , r ; , I Chứng minh Theo Định lý 1.3.9, bắc cầu Vì ta có H nhóm bắc cầu H = B = C phân tích theo quỹ đạo H đương tương với Nếu H C, suy C không bắc cầu X = X I theo Định lý 1.3.9, kết ii) chứng minh % Chương Nhóm phép thỏa mÃn điều kiện chuẩn nhóm lũy linh Trong Chương này, trình bày lại số kết theo hiểu biết nhóm phép thỏa mÃn điều kiện chuẩn nhóm lũy linh 2.1 2.1.1 Nhóm phép thỏa mÃn điều kiện chuẩn Định nghĩa Một nhóm phép chuẩn, nhóm 2.1.2 Định nghĩa Cho gọi nhóm 2.1.3 Bổ đề K = NG (P ) Cho G gọi nhóm thỏa mÃn điều kiện G khác với chuẩn tập G nhóm hữu hạn có cấp n = pα1 pα2 pαnn Nhãm Pi pi − Silop cña G nÕu nh­ ord(Pi ) = pαi i , i = 1, n G nhóm hữu hạn, Khi H G P nhóm tháa m·n ®iỊu kiƯn p − Silop cđa G vµ G ⊇ H ⊇ K ⊇ P NG (H) = H Chøng minh Gi¶ sư Ta cã x ∈ NG (H) ®ã x−1 Hx = H ⊃ x−1 Kx ⊃ x−1 P x = P1 P1 ⊂ H; P H; P Theo Định lý Silop cho u−1 = P u = P vµ P1 P1 , P Suy lµ nhãm Silop cđa H liên hợp với nhau, suy tồn u1 x1 P xu = P, & ®ã ta cã u ∈ H ®Ĩ (xu)−1 P (xu) = P ⇒ xu ∈ NG (P ) = K ⊂ H, VËy Cho minh nhón p Silop Điều kiện cần: Giả sử G nhóm thỏa mÃn ®iỊu kiƯn chn, ta chøng G = Sp1 × Sp2 × × Spi ThËt vËy: Tr­íc hÕt ta chøng minh Spi △ G, ∀i = 1, n NG (NG (Spi )) = NG (Spi ), suy MỈt khác Từ suy Vậy SPi G, i = 1, n SP1 ì SP2 ì ì SPn ⊆ ord(SP1 × SP2 × × SPn ) = pα1 pα2 pαnn = m = ord(G) G = SP1 ì SP2 ì SPn Điều kiện đủ Giả sử G = SP1 ìSP2 ìSPn , H H ThËt vËy, theo Bỉ ®Ị 2,1.3 ta NG (Pi ) = G SPi ∩ SPj = {e}, ∀j = 1, n, j ̸= i VËy NG (H) ⊂ H G = Sp1 × Sp2 × × Spi tích trực tiếp nhóm p Silop, Spi Chứng minh G suy G nhóm hữu hạn cấp m Khi G nhóm thỏa mÃn điều kiện chuẩn có x ∈ Hu−1 = H, NG (H) = H 2.1.4 Định lý G H = {e} Ta chøng minh NG (H) ThËt vËy, tr­íc hÕt ta chứng minh H phân tích thành tích trực tiếp nhóm pSilop H Lấy bÊt kú h ∈ H, ®ã o(h) = pα1 pα2 pαnn , ∃ni = (pi , pj ) = 1, ∀i ̸= j th× n h = h1 h2 hs víi hi = hpi i , i = 1, n Vì n h H, nên hi = hpi i ∈ H, ∀i = 1, s Do ®ã H = H1 × H2 × × Hr Víi Hi = Spi ∪ H, v× H pni i , Hi Spi , Do G, H = {e}, nên tồn Hi = {e} mà ord(Hi ) = theo §Þnh lý Silop ta suy ′ Hi ⊂ Hi víi ′ ord(Hi ) = hpi ni ′ Hi △ Hi ′ ′ H = H1 × H2 × × Hi−1 × Hi × Hi+1 × × Hs ⊃ H V× Hi △ Hi Hi △ Hj , i = j 2.1.5 Định lý kiện chuẩn Nếu nên Giả sử H H , ®ã H ⊂ NG (H) VËy ta cã H G nhóm phép bắc cầu nhóm SX NG (H) thỏa mÃn điều |X| > số nguyên tố G nhóm nguyên thủy Chứng minh Giả sử phần tử U |X| > 1, G nhóm nguyên thủy Ga nhóm bất động a X Vì G nhóm thỏa mÃn điều kiện chuẩn, nên G cã nhãm lµ chn tËp cđa Ga vµ Ga ⊆ U ' Ga ⊆ U ⊂ G Theo quy tắc nguyên thủy ta có chuẩn nguyên thủy, thủy, nên suy U = G, nên Ga ước Ga nhóm bắc cầu Nhưng Ga nhóm nguyên Ga = {e} Vậy, G nhóm nguyên thủy Ga = {e}, suy G nhóm quy Mặt khác nhóm quy không nguyên thủy, có cấp nguyên tố, nên |X| số nguyên tố Điều mâu thuẫn với giả thiết Khi với Giả sử aX chứng minh |X| > G tồn phần tử Chứng minh Giả sử G nhóm không nguyên thủy không nguyên tố Vậy 2.1.6 Định lý |X| > U nhóm bắc cầu thỏa mÃn điều kiện chuÈn b ∈ X, b ̸= a dÓ cho Ga = Gb lµ chn tËp cđa Ga vµ h ∈ U/Ga ta cã: h(a) = b ̸= a Ta Gb = h.Ga h−1 = Ga ThËt vËy, gi¶ sư ϕa ∈ Ga , ta xÐt h.φa h−1 (b) = h.φa (a) = h(a) = b VËy Ga h1 = Gb Ngược lại, giả sử Ga = G b h(a) = b ta có h.Ga h−1 ⊂ Gb , nh­ng v× Ga = Gb , nªn suy Ga h−1 = Gb h−1 ⇒ h ⊂ U VËy Ga = Gb 2.1.6 HƯ qu¶ Nhóm bắc cầu bội nhóm S(X) nhóm thỏa mÃn điều kiện chuẩn  2.2 Nhóm lũy linh Trong tiết ta nghiên cứu tính chất nhóm lũy linh bắc cầu cực đại nhóm S(X) 2.2.1 Định lý nhóm đối xứng 2.2.2 Định lý nhóm Cho n số tự nhiên Giả sử G nhóm lũy linh bắc cầu cực đại nhóm đối xứng Sn , Thì G phân tích thành tích trực tiếp Cp1 ì Cp2 ì ì Cpr , ®ã Cpr Spi αi vµ Sn ord(G) = m = q1r1 q2r2 qsrs , pi = qi , i = 1, r thành tích trực tiếp Silop có cấp là nhóm lũy linh bắc cầu cực đại chúng liên hợp với Chứng minh Giả sử s = r nhóm lũy linh bắc cầu Sn Khi ước nguyên tố cđa n b»ng ­íc nguyªn tè cÊp cđa G n = pα1 pα2 pαr r cña nhãm G G nhóm bắc cầu hữu hạn nên Cp1 × Cp2 × × Cpi , pri i , i = 1, r theo Định lý 2.1.1 ta có Cpi nhóm pi Cpi G phân tích nhóm Silop cđa nhãm SXi , víi X1 × X2 ì ì Xr = Xn Theo Định lý 2.2.1 đối xứng n = p1 p2 pαr r Xi = Piαi víi vµ tËp Xi có nhóm Si Khi theo định lý nhóm p Silop, ta xây dựng nhóm pi − Silop cđa nhãm ®èi xøng Spi αi ′ G = Cp11 ì Cp22 ì ì Cprr nhóm liên hợp với Ta G nhóm bắc cầu cực đại Sn nên nhãm ′ i G Cp cịng lµ nhãm cực đại đẳng cấu với Cpi Vậy G = i có Vì nhóm nhóm Spi i nhóm Cpi liên hợp với nhau, nên Sn Gi liên hợp với Nếu G nhóm lũy linh cực đại không bắc cÇu cđa nhãm Sn , ta lÊy Sn = S(α), víi X = I1 ∪ I2 ∪ ∪ Iα đạo nhóm phân lớp tập G Khi ®ã G = G1 × G2 × Gα , ®ã Gi lịy linh cùc ®¹i cđa nhãm X quỹ nhóm bắc cầu Spi Nên theo Định lý G nhóm lũy linh không bắc cầu cực đại chúng liên hợp với trªn  SX KÕt ln cđa khãa ln Khãa luận đà hoàn thành nội dung sau đây: Mô tả số tính chất nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thủy Mô tả cấu trúc nhóm phép thỏa mÃn điều kiện chuẩn Xác định mối liên hệ nhóm Silop nhóm lũy linh bắc cầu cực đại Tài liệu tham khảo [1] N H V Hưng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất ĐHQG, Hà Nội [2] N V Trung (2002), Đại số tuyến tính, Nhà xuất §HQG, Hµ Néi [3].N Q Thi (2002), Mét sè líp nhóm Giáo trình sau đại học ĐH Vinh [4] L Q Hán (2004), {Lý thuyết nhóm} Giáo trình sau đại học Trường ĐH Vinh [5] L T Đạo (2006), Nhóm đối xứng , Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh ! ... sát lớp nhóm cụ thể đông đảo nhà Toán học nước quan tâm nghiên cứu, lớp nhóm có lớp nhóm đối xứng lớp nhóm Theo Định lý Lagrăng: Mọi nhóm hữu hạn đẳng cấu với nhóm đối xứng, để nghiên cứu nhóm. .. Thương Mộtsốlớpnhómcon củanhómđốixứng Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành: Sư phạm toán học Chuyên ngành: Đại số Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Quốc Thơ Nghệ An, 05/2014 Mục lục Mở đầu 2 Nhóm phép... Chương Nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thủy, ước chuẩn tâm tập nhóm đối xứng Trong chương này, trình bày lại số kết nhóm phép bắc cầu, nhóm phép nguyên thủy, ước chuẩn tâm tập nhóm đối xứng,