Nhóm con fratxinhi trong một số lớp nhóm

Trờng đại học vinh khoa toán ----------- Trơng Sỹ Thông Nhóm con fratxinhi trong một số lớp nhóm khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Lớp: E 5 - Khoá: K40 - Toán cán bộ hớng dẫn khoa học pgs -ts. Lê Quốc Hán Vinh 2004 1 Mục lục Trang Chỉ dẫn ký hiệu 3 Lời nói đầu 4 Đ1. Nhóm con Fratxinhi 5 Nhóm (P ) . 8 Nhóm Unhita 10 Đ 2. Nhóm luỹ linh 12 Đ 3. Nhóm con Fratxinhi trong nhóm luỹ linh 18 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 2 Chỉ dẫn ký hiệu Ký hiệu ý nghĩa A B A là tập con của B < S > Nhóm sinh bởi tập hợp S = 1i A i Hợp của các tập hợp A i với i = 1,2 = 1i A i Giao của các tập hợp A i với i = 1,2 M n G Nhóm M là nhóm con của nhóm G (G) Nhóm con Fratxinhi của nhóm G [ ] ba, Hoán tử của a và b [ ] BA, Nhóm con sinh bởi các hoán tử dạng [ ] ba, với a A, b B [ ] GG, Hoán tập hay đạo nhóm của G A B Tổng trực tiếp của A với B A Lực lợng của tập hợp A Kết thúc chứng minh 3 Lời nói đầu: Trong lý thuyết nhóm các nhóm con và nhóm con tối đại luôn đợc quan tâm nghiên cứu. Thông qua việc nghiên cứu chúng, cấu trúc của các lớp nhóm đợc mô tả khá tờng minh. Hơn nữa những kết quả về nhóm con tối đại có nhiều ứng dụng không chỉ trong lý thuyết nhóm mà trong nhiều lĩnh vực khác của toán học, có thể tìm thấy những ứng dụng trong lý thuyết Brauơ. Trong phạm vi luận văn này chúng tôi nghiên cứu về nhóm Fratxinhi của một số lớp nhóm quen thuộc. Nhóm con Fratxinhi của một nhóm là giao của các nhóm con tối đại của nhóm đã cho. Luận văn gồm 3 tiết. Tiết 1: Nghiên cứu về nhóm con Fratxinhi của một nhóm tổng quát với kết quả chính nói rằng nhóm con Fratxinhi của nhóm G trùng với tập hợp các phần tử không cốt yếu (các phần tử vô sinh) của G (Định lý 1.5) Từ đó mô tả đ- ợc nhóm con Fratxinhi của các nhóm quen thuộc nh 9 ; Q, (p ); S n ; A n , và UT (n; 9) (Mệnh đề 1.6, mệnh đề 1.8, mệnh đề 1.9; mệnh đề 1.11). Tiết 2: Hệ thống hoá lại các kiến thức liên quan đến nhóm luỹ linh để làm cơ sở cho việc nghiên cứu ở tiết 3. Trong tiết 3 chúng tôi tập trung nghiên cứu nhóm con Fratxinhi của các nhóm luỹ linh với kết quả chủ yếu ở định lý 3.4 và định lý 3.5. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS -TS. Lê Quốc Hán, nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về những sự giúp đỡ tận tình chu đáo và những góp ý thiết thực. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, các cô trong tổ đại số và các bạn học cùng lớp đã động viên giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng mong đợc sự góp ý của các bạn. Tác giả: Trơng Sỹ Thông K40E 5 - Toán 4 Đ1. Nhóm con fratxinhi Trong tiết này chúng tôi sẽ đa ra khái niệm nhóm con Fratxinhi, mô tả nhóm con Fratxinhi trong một nhóm tổng quát và các lớp nhóm cụ thể. 1.1. Định nghĩa : i, Giả sử là một họ các nhóm con nào đó của nhóm G . Khi đó nhóm con H đợc gọi là nhóm con tối đại của họ nếu H là nhóm con thực sự của G có tính chất và không tồn tại nhóm con thực sự H nào của G chứa thực sự H cũng có tính chất . ii , Nếu là họ tất cả các nhóm con của G và H là nhóm con tối đại của họ thì H đợc gọi là nhóm con tối đại của nhóm G . 1.2. Mệnh đề: Giả sử H là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên 9. Khi đó H là nhóm con tối đại của 9 khi và chỉ khi H có dạng p9 trong đó p là số nguyên tố . Chứng minh: Giả sử H là nhóm con tối đại của 9, khi đó H 9 và H là nhóm con xyclic. Do đó H có dạng m9 ( m 2 ; m 9 vì nếu m = 1 H = 9 và m = 0 ' 0 9 29 ) . Giả sử m là hợp số các số nguyên dơng p, q sao cho m = p . q (p, q 1). Khi đó H = m9 chứa thực sự trong nhóm con K = p9 9 ( vì p 1) mâu thuẫn với tính tối đại của m9 m nguyên tố . Đảo lại nếu H = p9, p- nguyên tố (1) và H K = m9 9 thì m 1 (2) và p H m9 n 9. p = m.n Suy ra m là ớc của số nguyên tố p (3) Từ (1), (2), (3) suy ra m = p p 9 = m9 hay H = K. Vậy H tối đại trong 9 . 1.3. Định nghĩa: 5 Cho G là một nhóm tuỳ ý. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G ( nếu tồn tại ) là một nhóm con của G gọi là nhóm con Fratxinhi của G. Kí hiệu : (G) . Nếu giao đó không tồn tại thì ta quy ớc (G) = G . 1.4. Định nghĩa: Cho G là một nhóm . Phần tử x G đợc gọi là phần tử không cốt yếu nếu với mọi tập con S thoả mãn điều kiện < x, S > = G suy ra < S > = G. 1.5. Định lý. Tập hợp tất cả các phần tử không cốt yếu của G trùng với nhóm con Fratxinhi (G) . Chứng minh . Giả sử M là tập hợp tất cả các phần tử không cốt yếu của nhóm G. Ta chứng minh. i) M (G): Thật vậy nếu G không có nhóm con tối đại thì điều chứng minh là điều hiển nhiên. Giả sử x M và H là nhóm con tối đại bất kỳ của G nếu xH thì <x,H>=G <H> G điều này mâu thuẫn với x M. Do đó xH nên x (G). Đảo lại, (G) M: giả sử ngợc lại tồn tại phần tử x (G) nhng xM. Khi đó tồn tại tập con S của G sao cho <x,S>=G nhng <S> G. Khi đó x<S>.Xét họ F các nhóm con thực sự của G chứa S nhng không chứa x. Khi đó <S> F nên F Sắp thứ tự F theo quan hệ bao hàm và giả sử là một xích con của F Gọi H là hợp của các phần tử của thì H sẽ là cận trên của . Theo bổ đề Zoóc tối đại tồn tại nhóm con T tối đại trong hệ F . Ta hãy chứng minh T là nhóm con của G. Thật vậy, giả sử K là nhóm con thực sự của G sao cho T K. vì S T nên S K. Mặt khác x K, vì nếu x Kthì do <x,S> = G suy ra K = G mâu thuẫn với K là nhóm con thực sự của G. Vậy (G) T. Mà x M. (G) M. 6 Định lý đợc chứng minh. 1.6. Mệnh đề: Giả sử Z là nhóm cộng các số nguyên và Q là nhóm cộng các số hữu tỷ. Khi đó i, (Z) = {0}. ii, (Q) = Q. Chứng minh: i, Theo mệnh đề 1.2, ta có (9) = p Pp 9, trong đó P là tập hợp tất cả các số nguyên tố. Nếu x (9) thì x p9 p P x chia hết cho mọi số nguyên tố suy ra x= 0. Do đó (Z) = {0} ii, Để chứng minh (Q) = Q ta cần chứng minh mọi phần tử của Q đều không phải là phần tử cốt yếu. Thật vậy, giả sử X là một tập hợp sinh của Q và x 0 X ta chứng minh Y = X\{x 0 } cũng là tập sinh của Q. Muốn vậy ta cần chứng minh x 0 biểu thị tuyến tính đợc qua Y. Thật vậy, từ X là tập sinh của nhóm Q 1/2x 0 Q có thể biểu diễn dới dạng 1/2x 0 = z 0 x 0 + 0 xx i z i x i trong đó x i X và z i 9 từ đó suy ra x 0 = 2z 0 x 0 + 0 xx i 2z i x i nx 0 = 0 xx i (2z i )x i trong đó n = 1-2z 0 9 và n 0 vì z 0 9 Giả sử 1/n x 0 = z 0 , x 0 + 0 xx j z j x j với x j X, z j 9 7 thì x 0 = nz 0 x 0 + 0 xx j nz j x j = 0 xx j 2z i z 0 x i + 0 xx i (nz j )x j = 0 xx k z k x k . Trong đó x k X\ {x 0 }=Y và z k 9 x 0 biểu thị tuyến tính đợc qua Y.Vì <X>=G nên <Y>=G. Suy ra (Q)=Q 1.7. Nhóm (p ) Giả sử (n) là nhóm nhân căn bậc n của đơn vị trong trờng số phức. Khi đó: (n)= {cos k2/n + isin k2/n / k=0,1,,n-1}. là nhóm xyclic cấp n sinh bởi phần tử n = cos 2/n + i sin2/n Giả sử p là một số nguyên tố cho trớc. Khi đó tập hợp tất cả các số phức thoả mãn phơng trình n p x =1 với n=1,2, cùng với phép nhân các số phức là một nhóm Aben vô hạn. Nó đợc gọi là nhóm tựa xyclic dạng p . Và đợc ký hiệu: (p ) . Rõ ràng (p )= = 1n (p n ). Do đó, )p( thừa nhận tập sinh S= { } .2,1m/ m p = Trong đó m p =cos mm p 2 sini p 2 + . Hơn nữa, ta có: (p) n (p 2 ) n . ( p ). Thật vậy nếu x(p m ) thì m p x =1 11)( 1 == + mm ppp xx x (p m+1 ) vậy (p m ) n (p m+1 ) 1.8. Mệnh đề. (( p )) = ( p ) Chứng minh: Để chứng minh (( p )) = ( p ) ta chứng minh nhóm con tối đại của (p ) không tồn tại. Thật vậy. Gọi S ={các nhóm con thực sự của (p ). Với A bất kỳ S. 8 + Nếu A=(p n ) mọi n=1,2, thì A n (p n+1 ) A không là tối đại + Nếu A (p n ) mọi n=1,2, mà vì (p )= = 1n n )p(C A n (p ) các phần tử của A sẽ thuộc các (p i ) với iI nào đó. Đặt m = Ii max {i} C(p i ) n C(p m ) Ii các phần tử của A thuộc các (p i ) với i I các nhân tử của A (p m ) A n (p m ) A không phải là tối đại (p ) không có nhóm con tối đại. Do đó giao của các nhóm con tối đại của (P ) là (p ) ((p )) = (p ) (theo định nghĩa). ! 1.9. Mệnh đề. Giả sử S n là nhóm phép thế bậc n và A n là nhóm các phép thế chẵn bậc n khi đó. i, (S n ) = { } e ii, (A n ) = { } e Chứng minh: i, Cho S n là nhóm phép thế bậc n, gọi H i là nhóm con tất cả các phép thế không xuất hiện ký hiệu i. Dễ dàng chứng minh đợc rằng H i là các nhóm con tối đại của S n Và { } eH i n i = = 1 { } eS n = )( ii, A(n) là nhóm các phép thế chẵn bậc n. Gọi K i là nhóm con tất cả các phép thế chẵn không xuất hiện ký hiệu i K i là các nhóm con tối đại của A n . Và { } eK i n 1i = = { } eA n = )( . 1.10. Mệnh đề. Nhóm con Fratxinhi của một nhóm G bất biến qua tự đẳng cấu của G. Chứng minh: 9 Giả sử )G( là nhóm con Fratxinhi và GG: là tự đẳng cấu của G. Ta cần chứng minh )G())G(( . Thật vậy nếu G không có nhóm con tối đại thì )G( = G mà )G(G)G())G((nên)G(Aut === . Giả sử G có nhóm con tối đại và H là một nhóm con tối đại của G. Khi đó )H( cũng là nhóm con tối đại của G. Thật vậy, giả sử tồn tại nhóm con thực sự K của G sao cho )H( K. Đặt K 1 = )K( 1 . Do là tự đẳng cấu và K G )H( K nên H K 1 G mâu thuẫn với H là nhóm con tối đại của G. Giả sử F { } Ii:A i = là tập hợp các nhóm con tối đại của G thì (G) = Ai Ii )G(A)A()A())G(( j Ii i Ii i Ii === (vì = ji A)A( F Ii ). 1.11. Nhóm UNHITA. Giả sử K là một vành giao hoán với đơn vị 1 và n là số dơng cho trớc. Khi đó tập tất cả các ma trận tam giác (vuông cấp n) với các phần tử đơn vị trên đờng chéo chính cùng với phép nhân ma trận là một nhóm. Nhóm này đợc gọi là nhóm Unhita và đợc ký hiệu UT (n,K). Ký hiệu UT m (n,K) là tập hợp tất cả các ma trận thuộc UT (n,K) với m - 1 phần tử trên đờng chéo chính phía trên bằng không. Từ đó suy ra UT (n,K) = UT 1 (n,K) n UT 2 (n,K) n n Ký hiệu e là ma trận đơn vị; e ij là ma trận mà phần tử ở hàng i cột j bằng 1 (a ij = 1) còn các phần tử khác bằng không. t ij ( ) = e + ij e ; d ( )1(e)( += ) e n.n trong đó: ,, K 0 và i j . Khi đó { ij t ( ) K ; j i } m là một tập sinh của UT m (n,K), còn { ij t ( ), d( ) } ji,K, là một tập sinh của nhóm nhân các ma trận vuông cấp n không suy biến trên trờng K. 1.12. Mệnh đề: ,n(UT( 9))= UT 2 (n, 9). Chứng minh: Tách trong nhóm UT (n, 9) các nhóm con Hip; gồm các ma trận 10 . Đ1. Nhóm con fratxinhi Trong tiết này chúng tôi sẽ đa ra khái niệm nhóm con Fratxinhi, mô tả nhóm con Fratxinhi trong một nhóm tổng quát và các lớp nhóm. dụng trong lý thuyết Brauơ. Trong phạm vi luận văn này chúng tôi nghiên cứu về nhóm Fratxinhi của một số lớp nhóm quen thuộc. Nhóm con Fratxinhi của một nhóm