MỞ ĐẦU Các vấn đề của lý thuyết đồ thị đã có từ vài trăm năm trước (năm 1736 với bài toán 7 cây cầu ở thành phố Konigsber) nhưng phải tới vài chục năm gần đây, theo cùng sự phát triển của công nghệ thông tin, thì lý thuyết đồ thị mới thực sự phát triển mạnh mẽ không ngừng cả về chiều sâu cũng như chiều rộng. Sự phát triển của lý thuyết đồ thị gắn liền với những tên tuổi các nhà toán học lớn như Euler, Gauss, Hamilton, Erdos... Một trong những lý do khiến lý thuyết đồ thị phát triển mạnh mẽ như vậy là vì lý thuyết đồ thị khá gần gũi với thực tế và có những ứng dụng sâu rộng trong công nghệ thông tin và nhiều ngành khoa học khác. Vấn đề chu trình là một vấn đề trung tâm của lý thuyết đồ thị và đã có rất nhiều công trình nghiên cứu tới vấn đề này, đặc biệt là chu trình Hamilton với khoảng 400 bài báo khoa học được đăng tải trên các tạp chí khoa học quốc tế có uy tín hàng đầu trong vòng 20 năm gần đây [25], [26], [27]. Hiện nay, các nghiên cứu về chu trình nói chung và chu trình Hamilton rộng trên nhiều khía cạnh, trong đó tập trung chủ yếu tới bậc của đỉnh; ngoài ra còn nghiên cứu trên các đồ thị 1-tough, đồ thị path-tough, đồ thị có tập láng giềng lớn, đồ thị phẳng, đồ thị ngẫu nhiên, đồ thị lưỡng phân và chu trình dài nhất, chu trình Dominating... Tại Việt Nam, một số tác giả cũng đã tập trung nghiên cứu về chu trình Hamilton trên các lớp đồ thị khác nhau, chẳng hạn như Ngô Đắc Tân nghiên cứu trên lớp đồ thị split và cubic, Vũ Đình Hòa nghiên cứu trên lớp đồ thị 1-tough có tổng bậc lớn… Chu trình Hamilton có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong bài toán người bán hàng, lập kế hoạch, hay trong thiết kế vi mạch, thiết kế đường truyền trong mạng… Bài toán (xác định sự tồn tại của chu trình Hamilton trong đồ thị) được biết là bài toán [23] nên trong trường hợp tổng quát sẽ không có thuật toán tốt (thời gian đa thức) để giải nó. Do đó, việc tìm ra được các trường hợp thuộc lớp của bài toán cũng như việc thiết kế được thuật toán thời gian đa thức để xác định được chu trình Hamilton có ý nghĩa hết sức quan trọng. Các nghiên cứu hiện nay hầu hết là dựa trên những lớp đồ thị đặc biệt và tập trung vào việc chỉ ra sự tồn tại của chu trình Hamilton trong những lớp đồ thị đó. Có rất nhiều lớp đồ thị được xét tới, trong đó phần lớn các lớp đồ thị này được xác định theo điều kiện tổng bậc (của đỉnh) đủ lớn [15], [17], [18], [20], [22], [29], [30], [31], [36]... Một số tác giả nghiên cứu độ phức tạp của bài toán [3], [15], nghiên cứu đến việc thiết kế các thuật toán để xác định chu trình Hamilton, trong đó có các thuật toán Backtrack, Heuristic và các thuật toán thời gian đa thức áp dụng cho những lớp đồ thị đặc biệt [5], [12], [22], [28], [38], [44]… Trong [15] (Định lý 16), các tác giả đã đánh giá độ phức tạp của bài toán với lớp đồ thị thỏa mãn vẫn còn là bài toán với mọi . Có thể nói rằng kết quả này là tiền đề cho nghiên cứu về chu trình Hamilton của tác giả trong luận án. Thêm vào đó, một số kết quả trong [11], [17], [32], [36] đã khẳng định sự tồn tại của chu trình Hamilton trong các lớp đồ thị được xác định theo điều kiện của tổng bậc và đủ lớn, tuy nhiên các lớp đồ thị được xác định theo điều kiện và là chưa có thuật toán xác định chu trình Hamilton. Cùng với chu trình Hamilton, chu trình dài nhất trong đồ thị cũng được tập trung nghiên cứu tới và có nhiều kết quả đối với chu trình dài được áp dụng cho việc chứng minh sự tồn tại cũng như thiết kế thuật toán để xác định chu trình Hamilton. Trong bài báo [8], các tác giả D. Bauer, G. Fan, H. J. Veldman đã đưa ra một Giả thuyết đánh giá độ dài chu trình dài nhất theo giá trị mà cho tới nay vẫn chưa có chứng minh thỏa đáng nào cho Giả thuyết này. Mục tiêu nghiên cứu của luận án là: Nghiên cứu bài toán trên các lớp đồ thị có tổng bậc và lớn, trong đó tập trung vào trường hợp . Đánh giá độ phức tạp của bài toán theo một tham số . Xác định để bài toán chuyển từ lớp sang lớp . Xây dựng thuật toán thời gian đa thức để xác định chu trình Hamilton trong một số lớp đồ thị đã khảo sát. Đánh giá tính hiệu quả và khả thi của các thuật toán bằng chương trình thực nghiệm trên các đồ thị lớn. Đánh giá độ dài của chu trình dài nhất trong lớp đồ thị 1-tough với . Kết cấu của luận án gồm: phần mở đầu, 4 chương và phần kết luận.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ Nguyễn Hữu Xn Trƣờng CHU TRÌNH HAMILTON VÀ CHU TRÌNH DÀI NHẤT TRONG MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CĨ TỔNG BẬC LỚN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI – 2016 iii Mục Lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu .v Danh mục hình vẽ vii Danh mục bảng ix MỞ ĐẦU CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ CHU TRÌNH TRONG ĐỒ THỊ .4 1.1 Một số khái niệm quy ước 1.1.1 Các khái niệm lý thuyết đồ thị 1.1.2 Một số ký hiệu quy ước 1.2 Chu trình đồ thị 2-liên thông 1.3 Chu trình Hamilton 1.3.1 Độ phức tạp toán 10 1.3.2 Một số điều kiện cần 11 1.3.3 Một số điều kiện đủ bậc đỉnh 12 1.3.4 Một số thuật tốn xác định chu trình Hamilton 14 1.4 Bao đóng đồ thị .15 1.5 Chu trình Dominating .18 1.6 Chu trình đồ thị có tập láng giềng lớn 20 1.7 Kết luận Chương 21 CHƢƠNG MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC CỦA BÀI TỐN 2.1 Giới thiệu tốn 22 .22 2.2 Độ phức tạp toán 2.3 Độ phức tạp toán .24 22 2.3.1 Một số kết với 24 2.3.2 Chứng minh cho Định lý 2.3 27 2.3.3 Thuật toán đa thức nhận biết ba dạng đồ thị đặc biệt thỏa mãn 2.4 Bài toán 48 50 iv 2.5 Kết luận Chương 51 CHƢƠNG THUẬT TOÁN ĐA THỨC XÁC ĐỊNH CHU TRÌNH HAMILTON TRONG ĐỒ THỊ VÀ 53 3.1 Thuật toán cho lớp đồ thị 53 3.2 Thuật toán cho lớp đồ thị 57 3.3 Sử dụng bao đóng cho lớp đồ thị có tổng bậc lớn 59 3.4 Chương trình thực nghiệm 61 3.4.1 Giới thiệu chương trình 62 3.4.2 Bộ liệu đầu vào 63 3.4.3 Đánh giá hiệu 64 3.5 Kết luận Chương 69 CHƢƠNG ĐÁNH GIÁ ĐỘ DÀI CHU TRÌNH DÀI NHẤT TRONG ĐỒ THỊ 1-TOUGH VỚI .70 4.1 Giới thiệu Giả thuyết Bauer 70 4.2 Các Tính chất Bổ đề 70 4.3 Chứng minh cho trường hợp 79 4.4 Kết luận Chương 91 KẾT LUẬN 92 Những cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 94 v Danh sách ký hiệu Đồ thị | | với tập đỉnh tập cạnh Bậc (hay số đỉnh) đồ thị Cạnh nối đỉnh đỉnh Bậc đỉnh đồ thị Bậc tối tiểu Đồ thị đầy đủ với đỉnh Chỉ số ổn định đồ thị Số thành phần liên thông đồ thị Chỉ số liên thông đồ thị Tập láng giềng đỉnh Đồ thị đồ thị đồ thị đồ thị , với ⋃ ̅ , với Đồ thị bù Đồ thị thu từ cách loại bỏ tất đỉnh , Đồ thị thu từ cách loại bỏ cạnh , Đồ thị thu từ cách bổ sung cạnh nối [ ] Đồ thị sinh tập đỉnh Toughness đồ thị Khoảng cách hai đỉnh Phép kết nối đồ thị đồ thị Đồ thị lũy thừa Bao đóng đồ thị [ ] [ ] Nhãn cạnh nhãn cạnh Tổng bậc nhỏ đỉnh độc lập Tổng bậc nhỏ cặp đỉnh có khoảng cách ⃗⃗⃗ Chu trình theo chiều quay định hướng ⃖⃗⃗⃗ Chu trình với chiều quay ngược với chiều ⃗⃗⃗ theo chiều ⃗⃗⃗ Đỉnh liền trước đỉnh liền sau , với vi , ⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗ Đoạn đường Đường | || | với từ theo chiều quay ⃗⃗⃗ tới với đỉnh cuối Số đỉnh đường , chu trình Độ dài (số cạnh) đường , chu trình Chu vi , hay độ dài chu trình dài Bài tốn đường Hamilton (Hamiltonian Path) Bài tốn chu trình Hamilton (Hamiltonian Cycle) Bài toán lớp đồ thị thỏa mãn Bài toán lớp đồ thị thỏa mãn | | | | , với với chu trình dài chu trình dài vii Danh mục hình vẽ Hình 1.1 Đồ thị Hình 1.2 Đường sau mở rộng đến đỉnh Hình 1.3 Đồ thị Petersen 12 Hình 1.4 Đồ thị 13 Hình 1.5 Quá trình tạo bao đóng đồ thị 16 Hình 1.6 Biến đổi chu trình 18 Hình 1.7 Chu trình Dominating 19 Hình 1.8 Đồ thị Hình 2.1 Đồ thị 20 ̅ 23 ̅ Hình 2.2 Đồ thị 24 Hình 2.3 Đồ thị Dạng 1, Định lý 2.3 25 Hình 2.4 Đồ thị Dạng 2, Định lý 2.3 26 Hình 2.5 Đồ thị Dạng 3, Định lý 2.3 26 Hình 2.6 Minh họa cho chứng minh phần c) Mệnh đề 2.3 30 Hình 2.7 Minh họa cho chứng minh Mệnh đề 2.4 31 Hình 2.8 Đồ thị phần chứng minh I, Định lý 2.3 33 Hình 2.9 Minh họa cho Trường hợp 1, phần chứng minh II, Định lý 2.3 34 Hình 2.10 Minh họa cho Trường hợp 2, phần chứng minh II, Định lý 2.3 35 Hình 2.11 Minh họa cho Trường hợp 2.1, phần chứng minh II, Định lý 2.3 36 Hình 2.12 Minh họa đỉnh kề với , Trường hợp 2.1 36 Hình 2.13 Đồ thị phần chứng minh Trường hợp 2.1, Định lý 2.3 37 Hình 2.14 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.9 37 Hình 2.15 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.10 38 Hình 2.16 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.12 39 Hình 2.17 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.13 40 Hình 2.18 Đồ thị phần chứng minh Trường hợp 2.2, Định lý 2.3 41 Hình 2.19 Minh họa cho Trường hợp 2.3, phần chứng minh II, Định lý 2.3 41 Hình 2.20 Minh họa cho Trường hợp 3, phần chứng minh II, Định lý 2.3 42 Hình 2.21 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.16 43 Hình 2.22 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.18 43 Hình 2.23 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.20 44 Hình 2.24 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.21 45 Hình 2.25 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 2.24 46 Hình 2.26 Đồ thị phần chứng minh Trường hợp 3.2, Định lý 2.3 47 viii Hình 2.27 Minh họa cho Trường hợp 3.3, phần chứng minh II, Định lý 2.3 48 Hình 3.1 Mở rộng chu trình theo trường hợp thứ Thuật toán 3.2 58 Hình 3.2 Một số chương trình tìm chu trình Hamilton khác (nguồn [44]) 60 Hình 3.3 Sơ đồ thuật tốn xác định chu trình Hamilton sử dụng bao đóng đồ thị 61 Hình 3.4 Sơ đồ khối thực chương trình 62 Hình 3.5 Biểu đồ thời gian chạy Chương trình Chương trình theo số đỉnh 64 Hình 3.6 Chu trình ban đầu vịng lặp mở rộng 65 Hình 3.7 Biểu đồ thời gian chạy Chương trình đồ thị S3-2000 theo độ dài chu trình khởi tạo ban đầu 68 Hình 4.1 Minh họa việc thiết lập đỉnh 72 Hình 4.2 Minh họa Trường hợp 1, Bổ đề 4.2 74 Hình 4.3 Minh họa cho chứng minh Bổ đề 4.3 74 Hình 4.4 Minh họa cho chứng minh Bổ đề 4.4 75 Hình 4.5 Minh họa cho chứng minh Bổ đề 4.5 75 Hình 4.6 Minh họa cho chứng minh Bổ đề 4.6 76 Hình 4.7 Minh họa cho chứng minh Bổ đề 4.7 76 Hình 4.8 Minh họa cho chứng minh Bổ đề 4.9 77 Hình 4.9 Minh họa cho chứng minh Bổ đề 4.10 78 Hình 4.10 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.1 79 Hình 4.11 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.2 79 Hình 4.12 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.5 81 Hình 4.13 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.7 81 Hình 4.14 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.8 82 Hình 4.15 Minh họa cho Trường hợp 2.1 84 Hình 4.16 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.11 85 Hình 4.17 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.12 85 Hình 4.18 Minh họa cho chứng minh Mệnh đề 4.3 87 Hình 4.19 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.19 88 Hình 4.20 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.21 89 Hình 4.21 Minh họa cho chứng minh Mệnh đề 4.4 90 ix Danh mục bảng Bảng 1.1 Một số thuật toán Backtrack Heuristic xác định chu trình Hamilton 14 Bảng 3.1 Các chương trình thực nghiệm xác định chu trình Hamilton 62 Bảng 3.2 Danh sách đồ thị tiến hành thực nghiệm 63 Bảng 3.3 Thống kê thời gian chạy chương trình sử dụng Thuật tốn 1.1 64 Bảng 3.4 Tổng hợp thời gian chạy Chương trình trước sau cải tiến 67 Bảng 3.5 Tổng hợp thời gian chạy Chương trình trước sau cải tiến 67 Bảng 3.6 Thống kê thời gian chạy Chương trình đồ thị S3-2000 theo độ dài chu trình khởi tạo ban đầu 68 MỞ ĐẦU Các vấn đề lý thuyết đồ thị có từ vài trăm năm trước (năm 1736 với toán cầu thành phố Konigsber) phải tới vài chục năm gần đây, theo phát triển cơng nghệ thơng tin, lý thuyết đồ thị thực phát triển mạnh mẽ không ngừng chiều sâu chiều rộng Sự phát triển lý thuyết đồ thị gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Euler, Gauss, Hamilton, Erdos Một lý khiến lý thuyết đồ thị phát triển mạnh mẽ lý thuyết đồ thị gần gũi với thực tế có ứng dụng sâu rộng công nghệ thông tin nhiều ngành khoa học khác Vấn đề chu trình vấn đề trung tâm lý thuyết đồ thị có nhiều cơng trình nghiên cứu tới vấn đề này, đặc biệt chu trình Hamilton với khoảng 400 báo khoa học đăng tải tạp chí khoa học quốc tế có uy tín hàng đầu vịng 20 năm gần [25], [26], [27] Hiện nay, nghiên cứu chu trình nói chung chu trình Hamilton rộng nhiều khía cạnh, tập trung chủ yếu tới bậc đỉnh; ngồi cịn nghiên cứu đồ thị 1-tough, đồ thị path-tough, đồ thị có tập láng giềng lớn, đồ thị phẳng, đồ thị ngẫu nhiên, đồ thị lưỡng phân chu trình dài nhất, chu trình Dominating Tại Việt Nam, số tác giả tập trung nghiên cứu chu trình Hamilton lớp đồ thị khác nhau, chẳng hạn Ngô Đắc Tân nghiên cứu lớp đồ thị split cubic, Vũ Đình Hịa nghiên cứu lớp đồ thị 1-tough có tổng bậc lớn… Chu trình Hamilton có nhiều ứng dụng thực tế, ví dụ toán người bán hàng, lập kế hoạch, hay thiết kế vi mạch, thiết kế đường truyền mạng… Bài toán (xác định tồn chu trình Hamilton đồ thị) biết tốn [23] nên trường hợp tổng qt khơng có thuật tốn tốt (thời gian đa thức) để giải Do đó, việc tìm trường hợp thuộc lớp toán việc thiết kế thuật toán thời gian đa thức để xác định chu trình Hamilton có ý nghĩa quan trọng Các nghiên cứu hầu hết dựa lớp đồ thị đặc biệt tập trung vào việc tồn chu trình Hamilton lớp đồ thị Có nhiều lớp đồ thị xét tới, phần lớn lớp đồ thị xác định theo điều kiện tổng bậc (của đỉnh) đủ lớn [15], [17], [18], [20], [22], [29], [30], [31], [36] Một số tác giả nghiên cứu độ phức tạp toán [3], [15], [23], [34], [37], đánh giá số lượng chu trình Hamilton [14]… Một số khác nghiên cứu đến việc thiết kế thuật toán để xác định chu trình Hamilton, có thuật tốn Backtrack, Heuristic thuật toán thời gian đa thức áp dụng cho lớp đồ thị đặc biệt [5], [12], [22], [28], [38], [44]… Trong [15] (Định lý 16), tác giả đánh giá độ phức tạp toán với lớp đồ thị thỏa mãn tốn với Có thể nói kết tiền đề cho nghiên cứu chu trình Hamilton tác giả luận án Thêm vào đó, số kết [11], [17], [32], [36] khẳng định tồn chu trình Hamilton lớp đồ thị xác định theo điều kiện tổng bậc đủ lớn, nhiên lớp đồ thị xác định theo điều kiện chưa có thuật tốn xác định chu trình Hamilton Cùng với chu trình Hamilton, chu trình dài đồ thị tập trung nghiên cứu tới có nhiều kết chu trình dài áp dụng cho việc chứng minh tồn thiết kế thuật tốn để xác định chu trình Hamilton Trong báo [8], tác giả D Bauer, G Fan, H J Veldman đưa Giả thuyết đánh giá độ dài chu trình dài theo giá trị mà chưa có chứng minh thỏa đáng cho Giả thuyết Mục tiêu nghiên cứu luận án là: Nghiên cứu toán lớp đồ thị có tổng bậc tập trung vào trường hợp lớn, Đánh giá độ phức tạp toán theo tham số Xác định toán chuyển từ lớp sang lớp để Xây dựng thuật toán thời gian đa thức để xác định chu trình Hamilton số lớp đồ thị khảo sát Đánh giá tính hiệu khả thi thuật tốn chương trình thực nghiệm đồ thị lớn Đánh giá độ dài chu trình dài lớp đồ thị 1-tough với Kết cấu luận án gồm: phần mở đầu, chương phần kết luận Chƣơng 1: Tổng quan chu trình đồ thị Giới thiệu số vấn đề lý thuyết đồ thị, khái niệm, quy ước ký hiệu sử dụng luận án Tiếp đến, giới thiệu tổng quan vấn đề chu trình đồ thị, trọng tâm chu trình Hamilton Ngồi ra, tác giả đưa số 83 , trường hợp Chứng minh Ta chứng minh minh hoàn toàn tương tự Nếu theo Khẳng định 4.7 Ta quan tâm hiển nhiên tới trường hợp Giả sử Nhận thấy { } dẫn tới Khẳng định 4.10 (Đpcm) Chứng minh Giả sử ngược lại ( ) { | | , điều dẫn tới (Đpcm) Theo Khẳng định 4.7 } { } Do đó, | | cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 , | | Nếu , nên cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 Do đó, Theo Bổ đề 4.6 ta có 4.9 chứng (theo Khẳng định 4.6) nên ⃗⃗⃗ có ba 1-arc thuộc ⃗⃗⃗ Lập luận tương tự cho chứng minh Khẳng định 4.8, ta có với { } từ nên Do đó, cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 Vậy chứng minh tương tự ta có Khẳng định 4.10 Mệnh đề 4.1 chứng minh Mệnh đề 4.2 , theo Bổ đề 4.8 Chứng minh Nếu Mệnh đề 4.1 Tính chất 4.8 , mâu thuẫn Vậy 4.8 Mệnh đề 4.1 ta có 1-tough (Đpcm) ( , mâu thuẫn với Nếu ) | | theo Theo Bổ đề 4.10 ta có theo Tính chất , mâu thuẫn với giả thiết Từ Tính chất 4.8 Mệnh đề 4.1, 4.2 ta có đề 4.15 (Hình 4.15) Theo Bổ đề 4.5 Mệnh đề 4.2 , theo Mệnh 84 Hình 4.15 Minh họa cho Trường hợp 2.1 Lập luận tương tự chứng minh Khẳng định 4.8 4.9, ta có Do đó, ( ) | | nên chất 4.4 { } { } Điều dẫn tới | | Vì | | , mâu thuẫn với Tính Như vậy, Trường hợp 2.1 khơng xảy Trƣờng hợp 2.2 bao gồm ba 2-arc lại 1-arc Giả sử ba hai 2-arc với Ta chứng minh ba 2-arc đôi không kề (bao gồm Mệnh đề 4.3 Mệnh đề 4.4) Mệnh đề 4.3 không kề Ta chứng minh Mệnh đề 4.3 phản chứng, giả sử ngược lại kề Khi đó, ta có khẳng định sau (từ Khẳng định 4.11 đến Khẳng định 4.16): Khẳng định 4.11 , theo Tính chất 4.8 giả thiết Chứng minh Giả sử Nếu , theo Tính chất 4.8 có 4.10 cho hai 2-arc Tương tự, ta có Áp dụng Bổ đề 4.4 cho , ta có có: kề Áp dụng Bổ đề , mâu thuẫn Như vậy, 85 Áp dụng Bổ đề 4.3 có: Lấy cho Hình 4.16 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.11 Nếu Vì cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 Như vậy, tự ta có Vì | | ⃗⃗⃗ nên tổng quát, giả sử ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ có hai 1-arc Khơng tính có hai 1-arc, nên theo Bổ đề 4.5 có nên cặp bad-pair, theo Bổ đề 4.8 Khẳng định 4.12 Vì , { } Dễ thấy mâu thuẫn với Tính chất 4.9 Vậy, nên Tương (Đpcm) Hình 4.17 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.12 86 Chứng minh Theo Khẳng định 4.11 có ⃖⃗⃗⃗ đường bad-path ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ đường bad-path Ta có điều phải chứng minh Khẳng định 4.13 Chứng minh Giả sử Nếu ⃖⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗ ta có , ⃗⃗⃗ ta có (Hình 4.17), mâu thuẫn với Bổ đề 4.2 , Áp dụng Bổ đề 4.5 cho ta có Theo Tính chất 4.8, Khẳng định 4.11 4.12 , cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 Vậy , tương tự ta có (Đpcm) Từ Khẳng định 4.12, 4.13 theo Bổ đề 4.5 ta dễ dàng suy ra: Khẳng định 4.14 Khẳng định 4.15 , trường hợp Chứng minh Ta chứng minh minh hoàn toàn tương tự Nếu Ta xét trường hợp theo lập luận hiển nhiên , theo Bổ đề 4.7 Nếu Nếu Lấy Nếu cho Dễ thấy dẫn tới cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 Do đó, có chứng , theo Bổ đề 4.6 ta (Đpcm) Khẳng định 4.16 Chứng minh Giả sử ngược lại 4.15 theo Tính chất 4.8 ta có | | | | Tính chất 4.9 (Đpcm) dẫn tới { Từ Khẳng định 4.14, } , cặp bad-pair, mâu thuẫn với Từ Khẳng định 4.16, khơng tính tổng qt ta giả sử ⃗⃗⃗ Vì | | | | nên có ba 1-arc thuộc Vì 87 | ( )| | { } | | |, nên Ta , ta xét hai trường hợp: Thật vậy, giả sử ⃖⃗⃗⃗ Nếu mâu thuẫn với Bổ đề 4.2 ⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗ Nếu path, mâu thuẫn với Bổ đề 4.2 Dễ thấy | chứng minh ⃖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ | | đường bad-path, ⃗⃗⃗ | với | | đường bad- , điều dẫn tới | | , mâu thuẫn Mệnh đề 4.3 Hình 4.18 Minh họa cho chứng minh Mệnh đề 4.3 Mệnh đề 4.4 Ta chứng minh không kề với , trường hợp khơng kề với khơng kề với chứng minh hồn toàn tương tự Giả sử ngược lại kề với Khẳng định 4.17 đến Khẳng định 4.21): Khẳng định 4.17 Chứng minh Giả sử Khi ta có khẳng định sau (từ Hơn nữa, , theo giả thiết Từ Tính chất 4.8 Mệnh đề 4.3 có Lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 4.10, ta có: | | nên với có ba 1-arc thuộc , khơng kề với ⃗⃗⃗ Vì Khi đó, ⃗⃗⃗ đường bad- 88 { }, suy path, mâu thuẫn với Bổ đề 4.2 Do đó, | | | | Vì pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 nên cặp bad- , theo Bổ đề 4.8 Vậy, Từ Mệnh đề 4.3 Theo Bổ đề 4.9 ta có Tính chất 4.8 ta suy (Đpcm) Khẳng định 4.18 Chứng minh Theo Khẳng định 4.17 Theo Bổ đề 4.5 ta có (Đpcm) Khẳng định 4.19 Chứng minh Giả sử ngược lại Theo Bổ đề 4.7 ta có Theo Tính chất 4.8, Mệnh đề 4.3 Khẳng định 4.17, 4.18 ( ) nên { } { } Vì | ( )| | | Theo Bổ đề 4.8 , từ Tính chất 4.8, Mệnh đề 4.3 ta có Áp dụng Bổ đề 4.9 với ta có Hình 4.19 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.19 Vì | | | ( nên )| với giả sử có ba 1-arc thuộc | { } Hơn nữa, , ta xét hai trường hợp sau: | | |, ⃗⃗⃗ Từ | | nên Thật vậy, 89 ⃖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Nếu path, mâu thuẫn với Bổ đề 4.2 (Hình 4.19) ⃖⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Nếu path, mâu thuẫn với Bổ đề 4.2 (Hình 4.19) ⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗ Do đó, Vì cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 (Đpcm) Từ Khẳng định 4.19, lấy đỉnh nên | Khẳng định 4.20 Nếu đường badlà đường badnên cho | || Dễ thấy | | Tương tự, thì , Chứng minh Giả sử { }, Nếu cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 Vậy, theo Bổ đề 4.6 Tương tự, (Đpcm) Khẳng định 4.21 Chứng minh Giả sử Khẳng định 4.17, 4.18, 4.20 ta có suy | | 4.9 Do đó, ( ) | | { } ( Theo Tính chất 4.8, Mệnh đề 4.3 ) { } { }, cặp bad-pair, mâu thuẫn Tính chất Nếu { , } Hình 4.20 Minh họa cho chứng minh Khẳng định 4.21 90 Vì | | | |, nên Mệnh đề 4.3 ( ) { } { } theo Từ Bổ đề 4.8 ta có theo Tính chất Theo Bổ đề 4.9 ta có 4.8 suy ⃗⃗⃗ Vì | | nên có ba 1-arc thuộc với Hơn nữa, Nhận thấy Thật vậy, giả , xét hai trường hợp sau: sử ⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗ Nếu mâu thuẫn với Bổ đề 4.2 (Hình 4.20) đường bad-path, ⃗⃗⃗ ⃖⃗⃗⃗ Nếu mâu thuẫn với Bổ đề 4.2 (Hình 4.20) đường bad-path, Do đó, Vì cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 nên Chứng minh tương tự, ta có (Đpcm) Vậy Theo Khẳng định 4.17, 4.21 từ | | 1-arc thuộc ⃗⃗⃗ Nếu { } { có ba , theo Bổ đề 4.8 có Tính chất 4.8, Mệnh đề 4.3 ta có nên , mâu thuẫn Vậy, , theo Áp dụng Bổ đề 4.9 cho } Hình 4.21 Minh họa cho chứng minh Mệnh đề 4.4 Lập luận tương tự chứng minh Khẳng định 4.19, ta có với , suy là cặp bad-pair, mâu thuẫn với Tính chất 4.9 Mệnh đề 4.4 chứng minh 91 Như vậy, ta có ba 2-arc đơi khơng kề Từ Tính chất | | 4.8 ta suy , mâu thuẫn với giả thiết đó, Trường hợp 2.2 không xảy 1-tough Do Từ việc chứng minh Trường hợp 1, Trường hợp (bao gồm Trường hợp 2.1 2.2) không xảy Do đó, Giả thuyết 1.3 chứng minh 4.4 Kết luận Chƣơng Chương đánh giá độ dài chu trình dài theo Giả thuyết tác giả Bauer, Fan, Veldman rằng: Nếu đồ thị 1-tough Có thể mơ tả tóm tắt bước chứng minh tác sau: Giả thiết đồ thị 1-tough thỏa mãn không Hamilton Từ Bổ đề Hopping xây dựng tập hai Chứng minh | | | | Nếu | | suy Nếu | | , chứng minh: Kết luận: | | | | Nhận thấy lớp đồ thị (với đồ thị 1-tough thỏa mãn giá trị tốt , lẻ) xây dựng phần 1.5 Do đó, 92 KẾT LUẬN Luận án đưa kết việc nghiên cứu tốn chu trình Hamilton đặc biệt hoàn thành chứng minh Giả thuyết nhà toán học lớn Bauer, Fan, Veldman cho việc đánh giá độ dài chu trình dài đồ thị Vấn đề chu trình Hamilton nghiên cứu luận án theo hai toán , kết đạt luận án sau: Với tốn Với tốn tốn thuộc lớp cịn tốn (trường hợp Xây dựng thuật toán đa thức đồ thị ) để xác định chu trình Hamilton Thực nghiệm cho thuật tốn xác định chu trình Hamilton đề xuất đồ thị lớn (từ 1000 đến 10000 đỉnh) Kết thực nghiệm cho thấy tính hiệu khả thi thuật tốn Hồn thành việc chứng minh cho Giả thuyết Bauer, Fan, Veldman rằng: Nếu đồ thị 1-tough Với việc đánh giá độ phức tạp tốn thuộc lớp tác giả khẳng định cho Giả thuyết 2.1 với Trường hợp độ phức tạp tốn cịn vấn đề mở Một số vấn đề nghiên cứu tiếp: Tiếp tục giải Giả thuyết 2.1 Giả thuyết 2.2 cho trường hợp Chu trình Hamilton đồ thị: , , ,… Thiết kế thuật toán thời gian đa thức xác định chu trình Hamilton cho lớp đồ thị 2-liên thông thỏa mãn Thiết kế thuật tốn thời gian đa thức tìm chu trình có độ dài khơng nhỏ đồ thị 1-tough khơng Hamilton thỏa mãn 93 Những cơng trình công bố liên quan đến luận án [A1] Vũ Đình Hịa, Nguyễn Hữu Xn Trường, Chu trình Hamilton đồ thị , Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.28, S.2, 153-160, 2012 [A2] Vũ Đình Hịa, Nguyễn Hữu Xuân Trường, Thuật toán đa thức xác định chu trình Hamilton lớp đồ thị , Tạp chí Khoa học Công nghệ - Viện Hàn Lâm Khoa Học Công Nghệ Việt Nam, T.51, S.5, 533-541, 2013 [A3] Vũ Đình Hịa, Nguyễn Hữu Xn Trường, Chu trình Hamilton đồ thị , Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Công nghệ quốc gia lần thứ VI (FAIR), 91-96, 2013 [A4] Vũ Đình Hịa, Nguyễn Hữu Xn Trường, Chu trình Hamilton đồ thị , Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Công nghệ quốc gia lần thứ VII (FAIR), 60-67, 2014 [A5] Nguyen Huu Xuan Truong, Vu Dinh Hoa, Hamiltonian cycle in graphs , International Journal of Computer Science and Business Informatics, Vol.15, No.2, 38-60, 2015 [A6] Nguyen Huu Xuan Truong, Vu Dinh Hoa, A new lower bound for the circumference of tough graphs, International Journal of Advanced Research in Computer Science and Software Engineering, Volume 5, Issue 9, 643-649, 2015 94 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành (2001), Tốn rời rạc, nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Vũ Đình Hịa, Đỗ Như An, Nguyễn Hữu Xn Trường (2005), Tính bao đóng đồ thị, Kỷ yếu hội thảo quốc gia lần thứ VII - Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin (Đà Nẵng, 18-20 tháng năm 2004), tr 129-142 Tiếng Anh: [3] Akiyama T., Nishizeki T., Saito N (1980), "NP-Complete of the Hamiltonian Cycle Problem for Bipatite Graphs", Jounal of Information Processing, (2), pp 73-76 [4] Albertson M.O (1987), Finding Hamiltonian cycles in Ore graphs, Eighteenth Southeastern International Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Boca Raton, Fla, 1987), Congr Numer 58, pp 25-27 [5] Baniasadi P., Ejov V., Filar J.A., Haythorpe M., Rossomakhine S (2014), "Deterministic “Snakes and Ladders” Heuristic for the Hamiltonian cycle problem", Math Prog Comp., 6, pp 55-75 [6] Bauer D., Schmeichel E., Hakimi S.L (1990), "Recognizing tough is NP-hard", Discrete Applied Mathematics, 28, pp 101-105 [7] Bauer D., Broersma H.J., Veldman H.J (2000), "Not every 2-tough graph is hamiltonian", Discrete Appl Math, 99, pp 317-321 [8] Bauer D., Fan G., Veldman H.J (1991), "Hamiltonian properties of graphs with large neighborhood unions", Discrete Mathematics, 96, pp 33-49 [9] Bauer D., Morgana A (1989/1990), Schmeichel E., Veldman H.J., "Long cycles in graphs with large degree sums", Discrete Math, 79, pp 59-70 [10] Bondy J.A., Chvátal V (1976), "A Method in Graph Theory", Discrete Math, 15, pp 111-135 [11] Bondy, J A (1980), Longest paths and cycles in graphs of high degree, Res Rep CORR 80-16, Univ Waterloo, Waterloo, Ontario [12] Chalaturnyk A (2008), A fast algorithm for finding Hamilton cycles, Master’s Thesis, University of Manitoba, Canada 95 [13] Chvátal V (1973), "Tough graphs and Hamiltonian circuits", Discrete Math, 5, pp 215–228 [14] Cuckler B., Kahn J (2009), "Hamiltonian cycles in Dirac graphs", Combinatorica, 29, pp 299-326 [15] Dankelmann P., Niessen T., Schiermeyer I (1994), "On Path-tough Graphs", SIAM J DISC MATH, (4), pp 571-584 [16] Diestel R (2005), Graph Theory, Third Edition, Springer [17] Dirac G.A (1952), "Some theorems on abtract graphs", Proc London Math Soc, 2, pp 69-81 [18] Faßbender B (1992), "A sufficient condition on degree sums of independent triples for hamiltonian cycles in 1-tough graphs", Ars Combinatoria, 33, pp 300–304 [19] Faudree R.J., Gould R.J., Jacobson M.S., Schelp R.H (1989), "Neighborhood Unions and Hamiltonian Properties in Graphs", Journal of Combinatorial Theory, 47, pp 1-9 [20] Ferrara M., Jacobson M S., Harris A (2010), "Cycle lengths in a Hamiltonian Graphs with a pair of vertices having large degree sum", Graphs and Combinatorics, 26, pp 215-223 [21] Fleischner H (1974), "The square of every two-connected graph is Hamiltonian", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 16 (1), pp 29-34 [22] Frieze A (2014), "On a Greedy 2-matching Algorithm and Hamilton Cycles in Random Graphs with Minimum Degree at Least Three", Random Structure & Algorithm, 45 (3), pp 443-497 [23] Garey M., Johnson D (1979), Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W H Freeman, San Francisco [24] Gould R.J., Lindquester T.E (1989), "Some extremal problems involving adjacency conditions for vertices at distance two", Vishwa, Gulbarga, India, pp 140-148 [25] Gould R.J (1991), "Updating the Hamiltonian problem – a survey", J Graph Theory, 15, pp 121-157 [26] Gould R.J (2003), "Advances on the Hamiltonian problem – a survey", Graphs Combin, 19, pp 7-52 [27] Gould R.J (2014), "Recent Advances on the Hamiltonian problem: Survey III", Graphs and Combinatorics, 30, pp 1-46 96 [28] Hung R.W., Chang M.S., Laio C.H (2009), The Hamiltonian Cycle Problem on Circular-Arc Graphs, Proceedings of the International MultiConference of Engineers and Computer Scientists 2009 Vol I, March 18-20, Hong Kong [29] Jung H A (1978), "On maximal circuits in finite graphs", Ann Discrete Math., 3, pp 129-144 [30] Krivelevich M., Lee C., Sudakov B (2015), "Long paths and cycle in random subgraphs of graphs with large minimum degree", Random Structure & Algorithm, 46 (2), pp 320–345 [31] Li R (2006), "A new sufficient condition for Hamiltonicity of graphs", Information Processing Letters, 98, pp 159-161 [32] Li S., Li R., Feng J (2007), "An efficient condition for a graph to be Hamiltonian", Discrete Applied Mathematics, vol 155, No 14, pp 1842-1845 [33] Lindquester T.E (1989), "The effects of distance and neighborhood union conditions on hamiltonian properties in graphs", J Graph Theory, 13, pp 335-352 [34] Nishiyama H., Kobayashi Y., Yamauchi Y., Kijima S., Yamashita, M (2015), "The Parity Hamiltonian Cycle Problem", arXiv preprint arXiv:1501.06323 [35] Nash-Williams C.S.J.A (1971), Edge-disjoint hamiltonian circuits in graphs with vertices of large valency, in: L Mirsky, ed., Studies in Pure Mathematics (Academic Press, London), pp 157-183 [36] Ore O (1960), "Note on Hamilton circuits", American Mathematical Monthly, 67 (1): 55 [37] Plesnik J (1979), "The NP-Completeness of the Hamiltonian Cycle Problem in planar digraphs with degree bound two", Information Processing Letters, (4), pp 199-201 [38] Vandergriend B (1998), Finding Hamiltonian Cycles: Algorithms, Graphs and Performance, Master’s Thesis, University of Alberta, Edmonton, Alberta Spring [39] Vu Dinh Hoa, Do Nhu An (2002), "Recognizing dominating cycles is NP-Hard", Journal of Computer Science and Cybernetics, 18 (3), pp 223-237 [40] Vu Dinh Hoa (1993), "On the length of longest dominating cycles in graphs", Discrete Mathematics, North-Holland, 121, pp 211-222 [41] Vu Dinh Hoa (1998), "Long cycles and Neighborhood Union in 1-tough graphs with large degree sums", Discussiones Math, Graph Theory, 18, 5-13 97 [42] Woodall D.R (1973), "The binding number of a graph and its Anderson number", Journal of Combinat, Theory B, 15, pp 225-255 [43] http://arxiv.org/pdf/1309.5379.pdf [44] http://wwwinfo.deis.unical.it/npdatalog/experiments/hamiltoniancycle.htm