Xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VINH Hà Nội – 2014 LỜI CẢM ƠN Nhân dịp này, em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Anh Vinh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt trình thực luận văn Đồng thời, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014 Học viên Lê Thị Thu Hường Mục lục Mở đầu Chương Đồ thị n-e.c 1.1 Khái niệm đồ thị n-e.c 1.2 Một số tính chất đồ thị n-e.c 1.3 Các đồ thị Paley biến thể 13 Chương Xây dựng phân loại số đồ thị n-e.c 18 2.1 Đồ thị n-e.c 18 2.2 Đồ thị 2-e.c 23 2.3 Đồ thị 3-e.c 25 2.4 Các đồ thị n-e.c với n ≥ 28 Chương Xây dựng đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh 31 3.1 Xây dựng 32 3.2 Xây dựng 34 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Lý thuyết đồ thị ngành khoa học nghiên cứu tính chất đồ thị, chiếm vị trí quan trọng lý thuyết lẫn ứng dụng Một cách không thức, đồ thị tập đối tượng gọi đỉnh nối với cạnh Cạnh có hướng vô hướng Đồ thị thường vẽ dạng tập điểm điểm nối với đoạn thẳng(các cạnh) Luận văn đề cập tới việc xây dựng phân loại số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt Cụ thể đồ thị có tính chất n-e.c Tính chất phát nghiên cứu hai nhà khoa học Erd˝s Re’nyi [16] ngày nhận o quan tâm ý nhà nghiên cứu lĩnh vực khác Nội dung luận văn tập trung làm rõ tính chất đồ thị n-e.c, sau xây dựng phân loại đồ thị n-e.c, cuối nêu số cách xây dựng cụ thể cho đồ thị n-e.c Luận văn bao gồm ba chương Chương : Giới thiệu đồ thị n-e.c, tính chất đồ thị n-e.c vài dạng đồ thị n-e.c biết Chương : Xây dựng đồ thị n-e.c tổng quát với điều kiện định sau cụ thể cho lớp đồ thị 2-e.c, 3-e.c đồ thị n-e.c với n ≥ Chương : Nêu hai cách xây dựng đồ thị ngẫu nhiên quy mạnh, sau chứng minh đồ thị sinh thỏa mãn tính chất kề n-e.c Mặc dù cố gắng thời gian thực luận văn không nhiều nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót trình bày Em mong nhận góp ý ý kiến xây dựng thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Chương Đồ thị n-e.c 1.1 Khái niệm đồ thị n-e.c Trước vào khái niệm đồ thị n − e.c, nhắc lại vài kiến thức đồ thị Với ký hiệu đồ thị G = (V, E), V (hay V (G)) tập đỉnh đồ thị G E (hay E(G)) tập cạnh đồ thị Tập đỉnh phải khác rỗng, tập cạnh tập rỗng Số đỉnh đồ thị gọi cấp đồ thị ký hiệu |V | Số cạnh đồ thị gọi cỡ đồ thị ký hiệu |E| Với x, y ∈ V , ta có {x, y} ∈ E hay xy cạnh x nối với y ta nói x kề với y Đồ thị G đồ thị đồ thị G nếu: V (G ) ⊆ V (G) {x, y} ∈ E(G ) {x, y} ∈ E(G) Một đồ thị ngẫu nhiên tạo tập n đỉnh cho trước thêm dần cạnh cách ngẫu nhiên Trong nghiên cứu đồ thị ngẫu nhiên, Erd˝s Re’nyi [16] phát tính chất kề nghiên cứu o Tính chất kề tính chất tổng quát đồ thị phát biểu cho tập S đỉnh loại đồ thị cố định đó, có đỉnh nối vào tập đỉnh S theo cách định Tính chất kề mà gọi n-e.c nhận nhiều quan tâm ý nhiều nhà nghiên cứu lĩnh vực khác lý thuyết đồ thị, logic học, xác suất hình học Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị n-e.c với cặp tập U, W tập đỉnh V cho U ∩ W = ∅ |U | + |W | = n (một hai tập U W tập rỗng), có đỉnh v ∈ V − (U ∪ W ) cho v kề với tất đỉnh U không kề với đỉnh W Ví dụ 1: Đồ thị 1-e.c đồ thị đỉnh cô lập (tức đỉnh không kề với đỉnh nào) đỉnh phổ quát (tức đỉnh nối với tất đỉnh lại) (xem Hình 1.1) Ví dụ 2: Một đồ thị 2-e.c với cặp đỉnh riêng biệt u w, có đỉnh khác với u w nối với chúng theo tất cách (xem Hình 1.2) Định nghĩa tính chất kề n-e.c rõ ràng từ định nghĩa lại không dễ để đồ thị tồn tính chất Tuy nhiên, theo chứng minh [16], hầu hết tất đồ thị hữu hạn n-e.c Với số nguyên m, không gian xác suất G(m, ) bao gồm đồ thị với tập đỉnh{0, , m − 1} cho hai đỉnh riêng biệt nối với cách độc lập với xác suất Định lý 1.1.1 ([3]) Cố định số nguyên n > Với xác suất m → ∞, G(m, ) thỏa mãn tính chất n-e.c Chứng minh Cố định tập S chứa n phần tử tập đỉnh V , cố định hai tập A B rời S với A ∪ B = S Cho z ∈ S , xác / suất để z kề với hai tập A B ( )n Như xác suất để z không thỏa mãn tính chất kề với hai tập A B 1 − ( )n Do đó, xác suất để đỉnh thuộc G − (A ∪ B) không thỏa mãn tính chất kề với hai tập A B (1 − ( )n )m−n Do có m cách chọn S 2n cách chọn A B S nên xác suất n để G(m, ) không n-e.c m −→ 2n (1 − ( )n )m−n − − m→∞ n Định lý 1.1.1 cho thấy có nhiều ví dụ đồ thị n-e.c Ta dễ dàng tổng quát hóa cách thay số thực p ∈ (0, 1) cố định Điều cho thấy đồ thị n-e.c phổ biến Nhưng thực tế năm gần có họ đồ thị n-e.c biết đến, đồ thị Paley Nếu đồ thị n-e.c với ∀n đồ thị gọi e.c (chú ý đồ thị e.c vô hạn) Bất hai đồ thị e.c đếm đẳng cấu với nhau, dạng đẳng cấu có tên đồ thị ngẫu nhiên vô hạn đồ thị Rado viết R Đồ thị R trở thành tiêu điểm nhiều hoạt động nghiên cứu gần Một ví dụ đáng ý R, đồ thị hữu hạn G n-e.c xem phiên hữu hạn R Do đó, tính chất n-e.c độ đo tất định tính ngẫu nhiên đồ thị Hai khái niệm khác tính ngẫu nhiên đồ thị đưa nghiên cứu cách toàn diện tính ngẫu nhiên chuẩn [12] tính tựa ngẫu nhiên [6] (nhưng không thảo luận đây) Nhiều đồ thị số đồ thị luận văn thỏa mãn tính chất này, ví dụ đồ thị Paley Tuy nhiên, tính chất ngẫu nhiên không thiết biểu thị tính n-e.c Ví dụ cho [14] ngẫu nhiên chuẩn 4-e.c 1.2 Một số tính chất đồ thị n-e.c Đầu tiên ta nhắc lại số khái niệm đồ thị sau ¯ Định nghĩa 1.2.1 Phần bù đồ thị G ký hiệu G Đó đồ thị với tập đỉnh tập đỉnh đồ thị G đồng thời đỉnh kề G ¯ không kề G ngược lại Định nghĩa 1.2.2 Sắc số đồ thị G số màu tối thiểu cần dùng để tô màu đỉnh đồ thị cho hai đỉnh kề phải có màu khác Sắc số đồ thị G kí hiệu χ(G) Với x ∈ V (G) ta ký hiệu G − x đồ thị G thu cách xóa điểm x Đặt N (x) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ E(G)} N c (x) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ E(G)} Với S ⊆ V (G) ta ký hiệu / G S đồ thị cảm sinh G S, tức với x, y ∈ S {x, y} ∈ E(S) {x, y} ∈ E(G) Với N (S) = {y ∈ V (G), y = x : {x, y} ∈ E(G), x ∈ S}, N (S) = ∪x∈S N (x) Định nghĩa 1.2.3 Chỉ số clique đồ thị G số đỉnh lớn tập U ( U tập tập đỉnh V ) thỏa mãn tính chất: Với cặp đỉnh thuộc U tồn cạnh G nối chúng Chỉ số clique đồ thị G ký hiệu ω(G) Nếu đồ thị G có tính chất n-e.c, G chứa tính chất cấu trúc khác tổng hợp hai định lý Định lý 1.2.1 Cố định số nguyên dương n, cho G đồ thị n-e.c (1) (2) (3) (4) (5) Đồ thị G m-e.c, với ∀m, ≤ m ≤ n − Đồ thị G có cấp n + 2n , có n.2n−1 cạnh ¯ Đồ thị G n-e.c χ(G) ≥ n + 1, ω(G) ≥ n + Nếu S ⊆ V (G) |N (S)| ≥ |S| Chứng minh (1) Với ∀m, ≤ m ≤ n − 1, xét cặp tập U, W tập đỉnh V đồ thị G cho U ∩ W = ∅ |U | + |W | = m Lấy tập A ⊃ U B ⊃ W cho A ∩ B = ∅ |A| + |B| = n Do G n-e.c nên có đỉnh v ∈ V − (A ∪ B) cho v kề với tất đỉnh A không kề với đỉnh B Khi hiển nhiên v ∈ V − (U ∪ W ) v kề với tất đỉnh U không kề với đỉnh W Theo định nghĩa G m-e.c với ∀m, ≤ m ≤ n − (2) Giả sử G có m cạnh (m ≥ n) Theo chứng minh Định lý 1.1.1, ta có xác suất để G không n-e.c Tài liệu tham khảo [1] A Blass and B Rossman, "Explicit graphs with extension properties", Bul Eur Assoc Theor Comput Sci 86 (2005), 166-175 [2] A Bonato, and K Cameron (2001), "On an adjecency property of almost all graphs", Contributions to Discrete Mathematics, (231), pp.103-119 [3] A.Bonato (2009), "The search for n-e.c graphs", Contributions to Discrete Mathematics, (4) [4] A Bonato, W H Holzmann, and H Kharaghani (2001), " Hadamard matrices ang strongly regular graphs with the 3-e.c adjacency property", Journal of Combin, (8), pp.1-9 [5] A.D Forbes, M.J Grannell and T.S Griggs (2005), "Steiner triple systems and existentially closed graphs", The electronic journal of combinatorics, (12) [6] A G Thomason (1987), "Pseudo-random graphs", North- Holland Mathematics Studies, (144), pp.307-331 [7] A Kisielewicz, Andrzej and W Peisert (2004), "Pseudo-random properties of self-complementary symmetric graphs", Journal of Graph Theory , (47), pp.310-316 [8] Barbour, A D, Holst, L and Janson (1992), Poisson Approximation, Oxford University Press, Oxford 42 [9] C A Baker, A Bonato, J M N Brown, and T Szonyi (2008), "Graphs with the n-e.c adjacency property constructed from affine planes", Discrete Mathematics, (208), 901-912 [10] F Hausdorff (1936), "Uber zwei Satze von G Fichtenholz und L Kantorovitch", Studia Math, (6), pp.18-19 [11] Fon-Der-Flaass (2002), " New prolific constructions of strongly regular grapgs", Advances in Geometry, (2), pp 301-306 [12] F R K Chung, R L Graham and R W Wilson (1989), "Quasirandom graphs", Combinatorica, (9), pp.345-362 [13] L A Vinh (2009), "A construction of 3-e.c graphs using quadrances", arXiv preprint arXiv:0903.2509 [14] L Caccetta, P Erd˝s, and K Vijayan (1985), "A property of random o graphs", Ars Combin, (19), pp.287-294 [15] Neil A McKay and David A Pike (2007), " Existentially Closed BIBD Block-Intersection Graphs", The electronic journal of combinatorics, (14) [16] P Erd˝s and A Re’nyi (1963), "Asymetric graphs", Acta Mathematica o Hungarica, (14), pp.295-315 [17] P J Cameron and D Stark(2002), "A prolific construction of strongly regular graphs with the n-e.c property", The electronic journal of combinatorics, (9) [18] P Gordinowicz and P.Pralat(2010), "The search for smallest 3-e.c graphs", Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, (74) [19] R Lidl and H Niederreiter (1983), Finite Fields, Addison-Wesley, London 43 [20] W Ananchuen (2001), "On the adjacency properties of generalized paley graphs", Australasian Journal of Combinatoricsn, (24), pp.129148 [21] Wolfgang.M Schmidt (1976), Equations over Finite Fields: An Elementary Approach, Springer-Verlag, Berlin [22] Wallis, Walter D (1971), "Construction of strongly regular graphs using affine designs", Bulletin of the Australian Mathematical Society, (4), pp.41–49 44