Iđêan nguyên sơ trong một số lớp vành số học

1 MỞ ðẦU 1. Lý do ch ọn ñề tài khóa luận Nhằm mục ñích chứng minh cho ñịnh lí lớn Fermat, Ernst Kummer (1810 - 1893) ñã xem xét vấn ñề Fermat trong một lớp vành thực sự chứa vành số nguyên ℤ . Trên lớp vành này, ông ñã gặp phải hiện tượng không duy nhất trong phân tích thành các nhân tử bất khả quy. ðến khoảng giữa thế kỉ XIX Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) và Dirichlet (1805 - 1859) ñã chỉ ra sự phân tích không duy nhất thành các nhân tử bất khả quy, ñối với phần tử không khả nghịch trong vành ℤ [w] (w là một căn nguyên thủy bậc 2 n ≥ của ñơn vị). Như vậy, ðịnh lí cơ bản của Số học không còn ñúng trong nhiều lớp vành các số ñại số. ðể khắc phục khó khăn ñó, năm 1879 Richard Dedekind (1831 - 1936) ñã ñưa ra khái niệm iñêan. Ý tưởng của Richard Dedekind là thay vì nghiên cứu một phần tử a ông chú ý ñến tập tất cả các bội số của a, ñược gọi là iñêan sinh bởi a, kí hiệu (a). Ông còn chứng minh ñược loại vành ñang xét thì mọi iñêan ñều có thể phân tích duy nhất thành các iñêan nguyên tố. Vành có tính chất này gọi là vành Dedekind. Lý thuyết vành ña thức ñược ñưa ra bởi Kronecker (1823 - 1891) vào năm 1888, lý thuyết ñó ñược xây dựng tương ñương với lý thuyết về iñêan của Dedekind. Tuy nhiên sự tương tự của tính phân tích duy nhất thành các iñêan nguyên tố không còn ñúng cho các iñêan của vành ña thức và nó ñã ñược thay thế bởi một kết quả Lasker (1868 - 1941) rằng mọi iñêan ñều ñược phân tích thành giao của các iñêan nguyên sơ. Noether (1882 - 1935) ñã tổng quát hóa kết quả của Lasker cho các vành giao hoán trừu tượng, và chứng minh sự tồn tại của phân tích nguyên sơ trong lớp vành thỏa mãn ñiều kiện dừng của các dây chuyền các iñêan (chính là vành Noether). Hai ñịnh lí này ñược biết ñến với cái tên gọi ðịnh lí Lasker – Noether, là tổng quát hóa ðịnh lí cơ bản của Số học là kết quả quan trọng của ðại số giao hoán. 2 Chính Dedekind và H. Weber (1842 - 1913) ñã dùng khái niệm iñêan trong vành ña thức ñể nghiên cứu các ñường cong ñại số mở ñầu cho Hình học ñại số hiện ñại, một lĩnh vực mà ñối tượng của nó chính là các không ñiểm của các iñêan trong một vành ña thức. Iñêan nguyên sơ là một trong những ñối tượng quan trọng của ñại số giao hoán hiện ñại và việc phân tích một Iñêan thành giao của một họ hữu hạn các Iñêan nguyên sơ là một bước quan trọng ñể xác ñịnh ñược các yếu tố liên quan ñến cấu trúc vành: Iñêan nguyên tố liên kết, chiều Krull (chiều không gian topo), tập các ước của 0… Ngoài ra, sự phân tích nguyên sơ còn mang hai ý nghĩa: về mặt số học nó là sự khái quát việc phân tích một số tự nhiên thành tích các thừa số nguyên tố, về mặt hình học nó cho ta biết mỗi ña tạp ñại số luôn là hợp của hữu hạn ña tạp ñại số bất khả quy. Trong nhiều giáo trình cơ sở thuộc lĩnh vực ñại số giao hoán, người ta ñã trình bày khá ñầy ñủ về Iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ. Tuy nhiên, ñối với các lớp vành cụ thể thường gặp như vành chính, vành Gauss và miền Dedekind, các vấn ñề này mới chỉ ñược trình bày dưới dạng những ví dụ riêng lẻ. Do ý nghĩa khoa học của iñêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ một iñêan và với mong muốn tìm hiểu ñặc ñiểm của các iñêan nguyên sơ, ñặc biệt là iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong một số lớp vành số học thường gặp nên tôi chọn ñề tài “Iñêan nguyên sơ trong một số lớp vành số học” cho khóa luận tốt nghiệp ñại học của mình. 2. Mục tiêu khóa luận • Trình bày chi tiết, hệ thống các tính chất của iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether. • Cụ thể hóa các tính chất của iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether vào một số lớp vành số học: vành chính, vành Gauss và vành Dedekind. 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu khái niệm iñêan, các phép toán về iñêan và một số khái niệm liên quan. • Nghiên cứu iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether. • Nghiên cứu iñêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ một iñêan trong một vài lớp vành số học: vành chính, vành Gauss và vành Dedekind. 4. Phương pháp nghiên cứu Trước hết nghiên cứu và hệ thống lại những kiến thức cơ bản ban ñầu về khái niệm iñêan, các phép toán giữa các iñêan. Tiếp ñó, nghiên cứu về khái niệm iñêan nguyên sơ, tính chất của iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether (xem [5], [6], [7], [8]). Chúng tôi thấy rằng trong vành Noether, mỗi iñêan bất khả quy là nguyên sơ và mỗi một iñêan thực sự là giao của hữu hạn các iñêan nguyên sơ (bất khả quy) (xem Mệnh ñề 2.2.16, Mệnh ñề 2.2.17, ðịnh lí 2.2.18). Và chúng ta cũng biết khái niệm iñêan là tổng quát hóa của khái niệm phần tử nguyên tố. Khái niệm iñêan nguyên sơ là tổng quát hóa của lũy thừa một phần tử nguyên tố. Vành Noether là tổng quát hóa của vành Gauss. Vành chính là vành Gauss, nghĩa là có sự phân tích thành tích những phần tử bất khả quy và sự phân tích ñó là duy nhất. Tuy nhiên trong vành Dedekind sự phân tích không còn duy nhất nữa (xem [2], [3], [7], [8]). Một vấn ñề ñặt ra là trong một vài lớp vành số học như vành chính, vành Gauss và vành Dedekind thì iñêan nguyên sơ là gì, ñặc ñiểm của chúng trong từng lớp vành số học ra sao, và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trên từng lớp vành số học ñó có những ñặc trưng gì? Iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trên từng lớp vành ñó có những ñiểm giống và khác gì so với iñêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether? ðể giải quyết ñược một phần vấn ñề trên, cuối cùng, chúng tôi ñã cụ thể hóa và áp dụng 4 những vấn ñề liên quan ñến iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether vào một vài lớp vành số học như vành chính, vành Gauss và vành Dedekind. 5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu • ðối tượng: Iñêan nguyên sơ. • Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ giới hạn nghiên cứu về một số tính chất cơ bản ban ñầu của iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether và cụ thể vào một số lớp vành số học như: vành chính, vành Gauss và vành Dedekind. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Kết quả nghiên cứu của khóa luận một mặt góp phần làm rõ hơn khái niệm iñêan nguyên sơ, sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether và ñặc biệt là chúng tôi ñã làm cụ thể hơn về iñêan nguyên sơ, sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong một vài lớp vành số học. Qua nội dung khóa luận, chúng ta bước ñầu thấy ñược vai trò quan trọng của iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ trong ñại số khi nghiên cứu về cấu trúc vành giao hoán và trong hình học khi nghiên cứu về các ña tạp ñại số. Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích ñối với các sinh viên ngành toán khi học tập và nghiên cứu về ðại số giao hoán. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài các phần: Mục lục; Mở ñầu; Kết luận; Tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận ñược chia thành ba chương. Chương 1. ðại cương về iñêan trong vành giao hoán. Chương 2. Iñêan nguyên sơ trong vành Noether. Chương 3. Iñêan nguyên sơ trong một số lớp vành số học. 5 CHƯƠNG 1. ðẠI CƯƠNG VỀ IðÊAN TRONG VÀNH GIAO HOÁN Những người có công lớn trong việc phát triển lý thuyết vành và iñêan là các nhà toán học ðức mà ñại diện là E. Kummer (1810 - 1893); R. Dedekind (1831 - 1936) và hơn hết là nhà toán học nữ E. Noether (1882 - 1935). Trong chương này sẽ trình bày những vấn ñề cơ bản nhất về iñêan và vành ñể làm cơ sở lý thuyết cho hai chương sau. 1.1. Khái niệm vành, iñêan ðịnh nghĩa 1.1.1 [2]. Ta gọi là một vành một tập R cùng hai phép toán hai ngôi ñã cho trong R kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu (+) và (.), ñược gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các ñiều kiện sau thỏa mãn: (i) R là một nhóm aben với phép cộng. (ii) R là nửa nhóm với phép nhân. (iii) Phép nhân phân phối với phép cộng, nghĩa là: ( ) ( ) ; x y z xz yz z x y zx zy + = + + = + với mọi , , . x y z R ∈ • Phần tử trung lập của phép cộng kí hiệu là: 0 và gọi là phần tử không. Phần tử ñối xứng (với phép cộng) của phần tử x R ∈ , kí hiệu là : ( - x ) và gọi là ph ầ n t ử ñố i c ủ a x. • Vành R ñược gọi là vành giao hoán nếu phép nhân trong R giao hoán. Vành R ñược gọi là có ñơ n v ị nếu phép nhân trong R có phần tử trung lập và thường kí hiệu là 1 . Nghĩa là: có 1 sao cho: 1 1 , R x x x ∈ = = với mọi x R ∈ . Ví dụ 1.1.2. (i) Các tập , , , ℤ ℚ ℝ ℂ là các vành giao hoán và có ñơn vị ñối với hai phép toán cộng và nhân thông thường. 6 (ii) Tập các ña thức n biến 1 2 , , , : n x x x … [ ] 1 2 , , , , n x x x … ℤ [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , n n n x x x x x x x x x … … … ℚ ℝ ℂ với hai phép toán cộng và nhân ña thức thông thường lập thành một vành. (iii) Tập các ma trận vuông cấp n, n >1 ( với các phần tử thực chẳng hạn) cùng với hai phép toán cộng và nhân các ma trận là một vành có ñơn vị và vành này không giao hoán. (iv) Tập các ma trận vuông cấp n > 1 có dạng: 1 2 0 0 0 0 0 0 n a a a             , , 1, i a i n ∈ = ℝ Cùng với hai phép toán cộng và nhân các ma trận là một vành không giao hoán, không có ñơn vị. ðịnh nghĩa 1.1.3 [2]. Giả sử R là một vành cho trước, A là một bộ phận của R ổn ñịnh với hai phép toán trong R nghĩa là , x y A xy A + ∈ ∈ với mọi , x y A ∈ . A là một vành con của vành R nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A lập thành một vành. Ví dụ 1.1.4. (i) Bộ phận {0}, và bộ phận R là hai vành con của vành R. (ii) Bộ phận m ℤ các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một vành con của vành các số nguyên . ℤ Mệnh ñề 1.1.5 [2]. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R. Các ñiều kiện sau là tương ñương: (i) A là một vành con của vành R. (ii) Với mọi , , , , . x y A x y A xy A x A ∈ + ∈ ∈ − ∈ (iii) Với mọi , , , . x y A x y A xy A ∈ − ∈ ∈ Chứng minh. ðược suy ra từ ñịnh nghĩa. 7 ðịnh nghĩa 1.1.6 [2]. Ta gọi là ước của 0 mọi phần tử 0 a ≠ sao cho có 0 b ≠ thỏ a mãn quan h ệ : ab = 0. ðịnh nghĩa 1.1.7 [2]. Ta gọi là miền nguyên một vành có nhiều hơn một phần tử giao hoán, có ñơn vị và không có ước của không. Ví dụ 1.1.8. Vành các số nguyên ℤ là một miền nguyên. Tuy vậy vành ℤ × ℤ không phải là một miền nguyên vì chẳng hạn ta có (2; 0) . (0; 7) = (0; 0). ðịnh nghĩa 1.1.9 [2]. Ta gọi là iñêan trái (iñêan phải) của một vành R, một vành con I thỏa mãn ñiều kiện xa I ∈ ( ax I ∈ ) với mọi a I ∈ và mọi x R ∈ . Một vành con I của một vành R gọi là một iñêan của R nếu và chỉ nếu I vừa là iñêan trái vừa là iñêan phải của R. Ví dụ 1.1.10. (i) Vành R luôn có hai iñêan tầm thường là iñêan không {0} và iñêan R. (ii) { } n nx x= ∈ ℤ ℤ là một iñêan của ℤ . (iii) 3 S ⊂ ℝ là một tập các ñiểm trong không gian. ( ) [ ] ( ) { } , , 0 I S x y z S ϕ ϕ = ∈ = ℝ là một iñêan của vành [ ] , , x y z ℝ . (iv) Trong vành ( ) n M ℝ lấy ra một tập H gồm các ma trận mà các hàng từ thứ hai ñến hàng thứ n ñều là hàng 0. Khi ñó H là một vành con của ( ) n M ℝ , tuy nhiên H chỉ là một iñêan phải mà không phải là một iñêan trái. Nhận xét 1.1.11. (i) Trong vành giao hoán: Khái iñêan, iñêan phải và iñêan là một. (ii) Nếu R là một vành có ñơn vị và I là một iñêan của R, thì IR = RI = I. Nếu R không có ñơn vị thì ñẳng thức vừa nêu nói chung sẽ không ñúng. Ví dụ. I = 4 ℤ là iñêan của vành R = 2 ℤ , tuy nhiên IR = 8 ℤ khác I. 8 Mệnh ñề 1.1.12 [2]. Một bộ phận I khác rỗng của vành R là một iñêan của R khi và chỉ khi các ñiều kiện sau ñược thỏa mãn: (i) ; a b I − ∈ với mọi , . a b I ∈ (ii) , ; ax I xa I ∈ ∈ với mọi a I ∈ , với mọi x R ∈ . Chứng minh. (ðược suy ra từ ñịnh nghĩa). Mệnh ñề 1.1.13 [6]. R là một vành cho trước, ta có các khẳng ñịnh sau: (i) Nếu { } S A α α ∈ là một họ lồng nhau các vành con của R thì S B A α α ∈ = ∪ cũng là một vành con của R. (ii) Nếu { } S A α α ∈ là một họ tùy ý các vành con của R thì S C A α α ∈ = ∩ c ũ ng là m ộ t vành con c ủ a R. (iii) N ế u { } S I α α ∈ là m ộ t h ọ l ồ ng nhau các i ñ êan c ủ a R thì S I I α α ∈ = ∪ c ũ ng là m ộ t i ñ êan c ủ a R. (iv) N ế u { } S I α α ∈ là m ộ t h ọ tùy ý các i ñ êan c ủ a R thì S J I α α ∈ = ∩ c ũ ng là m ộ t i ñ êan c ủ a R. (v) Cho I 1, I 2 là hai i ñ êan c ủ a vành R. Khi ñ ó t ậ p { } 1 2 1 2 1 1 2 2 , I I a a a I a I + = + ∈ ∈ là m ộ t i ñ êan c ủ a R. (vi) Cho I, J là hai i ñ êan c ủ a vành R. Khi ñ ó: { } 1 , , 1,2, , , 1 n i i i i i IJ a b a I b J i n n = = ∈ ∈ = ≥ ∑ là m ộ t i ñ êan c ủ a R. (vii) N ế u I, J là hai i ñ êan c ủ a vành R th ỏ a mãn I +J = R ( I và J ñượ c g ọ i là ñố i c ự c ñạ i ) thì IJ I J = ∩ Chứng minh. (i) Vì A α là một vành con của R nên , A α ≠ ∅ với mọi S α ∈ , do ñó . S B A α α ∈ = ≠ ∅ ∪ Với , x y B ∈ thì tồn tại : , . x y A α α ∈ Vì A α là một vành con của R nên , x y A x y A α α + ∈ ∈ và ñối của x là ( ) . x A α − ∈ 9 Vậy B là một vành con của R. (ii) Vì 0 A α ∈ , với mọi S α ∈ nên 0 C ∈ suy ra . C ≠ ∅ Vớ i , x y C ∈ thì , , x y A α ∈ S α ∀ ∈ . Suy ra: ( ) , , . x y C x y C x C + ∈ ∈ − ∈ và ñố i c ủ a x là ( ) . x A α − ∈ V ậ y C là m ộ t vành con c ủ a R . (iii) I là m ộ t vành con c ủ a R (theo (i)). V ớ i m ọ i a I ∈ và m ọ i vì : . x R a I S a I α α ∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ B ở i I α là i ñ êan c ủ a vành R nên , , ax xa I ax xa I α ∈ ⇒ ∈ do ñ ó I là m ộ t i ñ êan c ủ a R . (iv) Theo (ii) ta có J là m ộ t vành con c ủ a R . V ớ i , x R ∈ a J ∈ . Vì a J ∈ nên a I α ∈ , . S α ∀ ∈ Mà I α là i ñ êan c ủ a vành R nên , ax xa I α ∈ suy ra , ax xa J ∈ . V ậ y J là m ộ t i ñ êan c ủ a vành R. (v) ðặ t 1 2 I I I = + . Khi ñ ó 0 0 0 I = + ∈ . Gi ả s ử 1 2 a a a I = + ∈ , 1 2 b b b I = + ∈ v ớ i 1 1 1 2 2 2 , ; , . a b I a b I ∈ ∈ Ta có: ( ) ( ) 1 1 2 2 . a b a b a b I − = − + − ∈ Gi ả s ử 1 2 a a a I = + ∈ , x R ∈ ta có: ( ) 1 2 1 2 xa x a a xa xa I = + = + ∈ . ( ) 1 2 1 2 ax a a x a x a x I = + = + ∈ . V ậ y 1 2 I I I = + là m ộ t i ñ êan c ủ a R. (vi) Tr ướ c h ế t ta có 0 0.0 . IJ = ∈ Gi ả sử: 1 1 , ' ' m n i i j j i j a a b b a b = = = = ∑ ∑ là những phần tử thuộc IJ. Khi ñó tổng 1 1 ' ' m n i i j j i j a b a b a b = = + = + ∑ ∑ c ũ ng là m ộ t ph ầ n t ử thu ộ c IJ. Bây gi ờ v ớ i 1 , m i i i a a b IJ x R = = ∈ ∈ ∑ , ta có: ( ) 1 1 , m m i i i i i i xa x a b xa b IJ = = = = ∈ ∑ ∑ ( ) 1 1 . m m i i i i i i a x a b x a xb IJ = =   = = ∈     ∑ ∑ V ậ y IJ là m ộ t i ñ êan c ủ a R. 10 (vii) Rõ ràng: IJ I J ⊂ ∩ . Ta c ầ n ch ứ ng minh: I J IJ ∩ ⊂ . Th ậ t v ậ y: v ớ i m ọ i x I J ∈ ∩ suy ra , . x I x J ∈ ∈ Mà I J R + = suy ra t ồ n t ạ i , a I b J ∈ ∈ ñể 1. a b + = Ta có th ể m ở r ộ ng thành x x a xb = + suy ra 1. a b + = V ậ y IJ I J = ∩ . ðịnh nghĩa 1.1.14 [6]. (i) Iñêan 1 2 I I + ñược gọi là tổng của hai iñêan I 1, I 2 . (ii) Iñêan IJ nói trong Mệnh ñề 1.1.13 ñược gọi là tích của hai iñêan I, J. (iii) Giao của tất cả các vành con của R chứa tập A ñược gọi là vành con của R sinh bởi tập A. (iv) Giao của tất cả các iñêan của vành R chứa I là một iñêan bé nhất của R, chứa I ñược gọi là iñêan sinh bởi I và viết (I). • Nếu I là một tập hữu hạn thì iñêan sinh bởi I ñược gọi là iñêan hữu hạn sinh. • Nếu I = 1 2 { , , , } n a a a thì iñêan sinh bởi I ñược viết là 1 2 ( , , , ) n a a a . • Nếu I = {a} thì iñêan sinh bởi I ñược gọi là iñêan chính sinh bởi phần tử a và ký hiệu ñơn giản là ( ) a . • ðặc biệt khi I = ∅ thì iñêan sinh bởi tập rỗng là không, viết là 0. • Nếu I ≠ ∅ : iñêan sinh bởi I là tập các phần tử có dạng: 1 , , n i i i i i x a x R a I = ∈ ∈ ∑ , n là số tự nhiên không cố ñịnh. • Từ ñịnh nghĩa tổng các iñêan ta có: ( ) ( ) ( ) 1 1 , , n n a a a a = + + . Nghĩa là iñêan với cơ sở gồm n phần tử là tổng của n iñêan chính. Ví dụ 1.1.15. Trong vành các số nguyên ℤ tổng m n + ℤ ℤ là iñêan chính d ℤ , với d là ước chung lớn nhất của m và n. [...]... iñêan c a R thì vành thương R I là vành Noether Ch ng minh T M nh ñ 2.1.8 ta có ñi u ph i ch ng minh 2.2 Iñêan nguyên sơ trong vành Noether, phân tích nguyên sơ m t iñêan trong vành Noether Chú ý: Ta g i iñêan I c a R là m t iñêan nguyên sơ n u I là m t R module con nguyên sơ c a R D th y r ng I là m t iñêan nguyên sơ n u và ch n u I khác R và n u ab∈ I thì ho c a ∈ I ho c b n ∈ I v i n nguyên dương nào... có I = P là m t iñêan nguyên t , ngư i ta g i I là m t iñêan P – nguyên sơ Ta th y ngay r ng m i iñêan nguyên t ñ u là m t iñêan nguyên sơ ð c bi t trong m t vành chính thì 30 I là m t iñêan nguyên t khi và ch khi I nguyên sơ, và th m chí tương ñương v i I là lũy th a c a m t iñêan nguyên t Tuy tuy nhiên, các ví d dư i ñây s ch ra s b t thư ng c a các iñêan nguyên sơ trong l p vành Noether M t iñêan... nhân v a ñ nh nghĩa là m t vành ð nh nghĩa 1.2.2 [2] Vành R nói trong ñ nh lý 1.2.1 ñư c g i là vành thương c a vành R theo iñêan I Hai phép toán trong vành thương R ñư c ký hi u b i: x+ y=x+ y x y = x y Nh n xét 1.2.3 N u R là m t vành giao hoán thì vành thương R cũng là vành giao hoán N u vành R có ñơn v thì R là vành có ñơn v e = e + I Ví d 1.2.4 ð i v i iñêan mℤ c a vành s nguyên ta có: { } ℤ m =... ñ i trong ℚ nhưng không c c ñ i trong ℤ M nh ñ 1.4.2 [2] Cho vành giao hoán có ñơn v 1 khác 0, R và J là m t iñêan c a R Khi ñó: (i) J là m t iñêan nguyên t trong vành R khi và ch khi vành thương R / J là m t mi n nguyên (ii) J là m t iñêan c c ñ i trong vành R khi và ch khi vành thương R / J là m t trư ng Ch ng minh (i) { } Gi s J là m t iñêan nguyên t c a vành R, R / J = x = x + J x ∈ R là vành. .. Iñêan nguyên sơ Trong ph n này vành R ñư c gi thi t là vành giao hoán, có ñơn v 1 khác 0 M là m t iñêan c a R ð nh nghĩa 1.6.1 [6] Cho R là vành và I là iñêan trong R, I khác R Khi ñó, I ñư c g i là iñêan nguyên sơ c a R n u v i m i a, b ∈ R, ab ∈ I thì ho c a ∈ I ho c t n t i n ∈ ℕ* sao cho b n ∈ I ð nh lí 1.6.2 [6] Gi s I là m t iñêan c a vành R Khi ñó : N u I là iñêan nguyên sơ thì P = I là iñêan nguyên. .. như là giao c a m t s h u n h n các iñêan nguyên sơ c a R, nghĩa là I = ∩ Ai , trong ñó Ai là các iñêan i =1 nguyên sơ c a R n S phân tích nguyên sơ I = ∩ Ai c a iñêan I trong vành R ñư c g i là i =1 n t i ti u (hay chu n t c) n u v i m i i , ∩ Aj ⊄ Ai j =1 j ≠i Nh n xét 2.2.6 [4] (i) T m t s phân tích nguyên sơ b t kỳ, ta luôn có ñư c m t s phân tích nguyên sơ t i ti u và s phân tích t i ti u là duy... ñó I ñư c g i là iñêan P – nguyên sơ c a R Ch ng minh Gi s I là m t iñêan c a vành R Rõ ràng 1∉ I , do ñó s I ≠ R Gi ab ∈ I v i a, b ∈ R; a ∉ I Khi ñó t n t i s nguyên dương n sao n cho ( ab ) = a nb n ∈ I Vì a n ∉ I và I là nguyên sơ nên t n t i s nguyên m dương m sao cho ( b n ) = b mn ∈ I Như th b ∈ I V y P = I là iñêan nguyên t 25 CHƯƠNG 2 IðÊAN NGUYÊN SƠ TRONG VÀNH NOETHER Ta b t ñ u t m... iñêan trong vành ña th c nhi u bi n trên K ðó chính là ngu n g c ra ñ i c a lý thuy t v các vành Noether, m t lo i vành mà m i iñêan c a nó ñ u h u h n sinh Vành Noether ñư c phát hi n b i nhà n Toán h c ngư i ð c E Noether, có ngu n g c t Hình h c ñ i s Ngày nay nó tr thành m t trong nh ng lý thuy t trung tâm c a ð i s hi n ñ i Trong chương này s nghiên c u v vành Noether, iñêan nguyên sơ trên vành. .. phân tích nguyên sơ trong R n M nh ñ 2.2.7 [4] Cho I là iñêan phân tích ñư c c a vành R và I = ∩ Ai i =1 là phân tích nguyên sơ t i ti u c a I Khi ñó v i m i i, ñ t I i = Ai Khi ñó các I i không ph thu c vào s phân tích nguyên sơ c a I B ñ 2.2.8 [7] M i ph n t c c ñ i c a t p S = {(0 : y ) y ∈ M , y ≠ 0} là m t iñêan nguyên t và do ñó nó là m t iñêan nguyên t liên k t c a M ð c bi t, n u R là vành Noether,... ] [7] V i ( XY − Z ) 2 K là m t trư ng ta xét vành , và g i X , Y , Z l n lư t là nh c a X, Y, Z trong A Xét iñêan P = ( X , Z ) c a A Ta có vành thương A P ñ ng c u v i vành ña th c K[Y] là m t mi n nguyên nên P là m t iñêan nguyên t Tuy nhiên P 2 không nguyên sơ 2 Th t v y, ta có: XY ∈ Z ∈ P 2 , nhưng X ∉ P 2 , và y ∉ P 2 = P Do ñó P 2 không nguyên sơ ð nh nghĩa 2.2.3 [6] Iñêan Q khác R là b t kh . iñêan nguyên sơ, ñặc biệt là iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong một số lớp vành số học thường gặp nên tôi chọn ñề tài “Iñêan nguyên sơ trong một số lớp vành số học cho. cương về iñêan trong vành giao hoán. Chương 2. Iñêan nguyên sơ trong vành Noether. Chương 3. Iñêan nguyên sơ trong một số lớp vành số học. 5 CHƯƠNG 1. ðẠI CƯƠNG VỀ IðÊAN TRONG VÀNH GIAO HOÁN. và một số khái niệm liên quan. • Nghiên cứu iñêan nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ một iñêan trong vành Noether. • Nghiên cứu iñêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ một iñêan trong một