Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)

Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)Nguyên lý IĐêan nguyên tố trong đại số giao hoán (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoanrằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn vàcác thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, ngày 14 tháng 06 năm 2016

Người viết luận văn

Trần Thị Cẩm Vân

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại họcThái Nguyên Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xingửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Đoàn Trung Cường (Viện Toánhọc Việt Nam), thầy là người trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp

đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luậnvăn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quýthầy cô trong khoa Toán, các bạn học viên lớp cao học Toán k21b và k22

đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu tại trường

Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân trong giađình, bạn bè đã luôn động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình hoànthành khóa học

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 14 tháng 06 năm 2016

Người viết luận văn

Trần Thị Cẩm Vân

Mục lục

1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại 3

1.1.1 Mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và iđêan cực đại 3 1.1.2 Sự tồn tại iđêan nguyên tố 5

1.2 Phạm trù 6

2 Nguyên lý iđêan nguyên tố 8 2.1 Họ iđêan và nguyên lý iđêan nguyên tố 8

2.2 Ứng dụng của nguyên lý iđêan nguyên tố 17

2.2.1 Iđêan linh hóa tử điểm 20

2.2.2 Iđêan cốt yếu 21

2.2.3 Iđêan khả nghịch 22

2.3 Phạm trù của môđun xyclic 30

Mở đầu

Trong đại số giao hoán, về sự tồn tại iđêan nguyên tố có một số kếtquả cơ bản thường gặp trong quá trình học đại số giáo hoán Ví dụ.Định lý Cohen: Tồn tại iđêan nguyên tố trong vành giao hoán

Định lý [Ka2, p.1].Cho S là tập đóng nhân trong vành giao hoán R,

I là tập các iđêan không giao với S Khi đó iđêan cực đại trong I luôn lànguyên tố

Ngoài ra có các kết quả khác của Herstein, Isaacs

Mặc dù rất quan trọng nhưng các kết quả này xuất hiện một cách rờirạc không hệ thống Đó là lí do các tác giả Lam và Reyes tiến hành nghiêncứu một cách hệ thống các nguyên lý iđêan nguyên tố trong bài báo " Aprime ideal in commutative algebra ", J.Algebra 319, (2008), 3006-3027.Mục đích của luận văn này là trình bày lại bài báo

Luận văn gồm 2 chương

Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức cho Chương 2 Cụthể hơn, chúng tôi trình bày các đặc trưng của iđêan nguyên tố, các kếtquả liên quan đến sự tồn tại iđêan nguyên tố của Cohen, Herstein, Isaacs.Phần cuối của chương được dành để nhắc lại một vài kiến thức cơ sở vềphạm trù

Nội dung chính của luận văn này trong Chương 2, nguyên lý iđêannguyên tố Cụ thể, đầu tiên chúng tôi trình bày họ iđêan và nguyên lýiđêan nguyên tố Tiếp theo dựa và đó chúng tôi nêu ứng dụng nguyên lýiđêan nguyên tố trong iđêan linh hóa tử điểm, iđêan cốt yếu và iđêan khảnghịch Cuối chương là phạm trù môđun xyclic

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong toàn bộ luận văn, ta luôn xét R là vành giao hoán có đơn vị

Ở chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về iđêan nguyên tốtrong vành giao hoán

Trong tiết này chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa và một số đặc trưngcủa iđêan nguyên tố và iđêan cực đại

1.1.1 Mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và iđêan cực đại

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành giao hoán và I là iđêan, I ⊆ Rvà

I 6= R Khi đó I là iđêan nguyên tố nếu xy ∈ I thì x ∈ I hoặc y ∈ I vớimọi x, y ∈ R.Tập các iđêan nguyên tố được kí hiệu là Spec(R) được gọi

là phổ iđêan nguyên tố của vành R

Ví dụ 1.1.2 1 Trong Z, nZ là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi n = 0

hoặc n là số nguyên tố

2 0 là i đêan nguyên tố của vành Z

Định lý 1.1.3 (Định lý đặc trưng) Cho I là một iđêan của vành R

Khi đó I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi R/I là miền nguyên

Chứng minh (⇒) Giả sử I là iđêan nguyên tố của R Khi đó, R/I ={x + I | x ∈ R} là vành thương của R trên I Vì I là iđêan nguyên tố

nên I 6= R và R/I có nhiều hơn một phần tử Phần tử đơn vị của R/I

là 1 + I Do R/I là vành giao hoán nên R/I là vành giao hoán Giả sử

x + I, y + I ∈ R/I mà (x + I)(y + I) = 0 + I, do đó xy + I = 0 + I, khi

đó xy ∈ I Do I nguyên tố nên x ∈ I hoặc y ∈ I Suy ra x + I = I hoặc

y + I = I Vì vậy R/I là vành giao hoán không có ước của 0 hay R/I làmiền nguyên

(⇐) Giả sử R/I là miền nguyên, khi đó R/I có nhiều hơn một phần

tử suy ra R 6= I Giả sử x, y ∈ R và xy ∈ I suy ra xy + I = I hay

(x + I)(y + I) = I = 0 + I Vì R/I không có ước của 0 nên x + I = I

hoặc y + I = I, do đó x ∈ I hoặc y ∈ I Vậy I là iđêan nguyên tố

Định nghĩa 1.1.4 Cho R là một vành giao hoán, I là iđêan, I ⊆ R, I 6=

R Khi đó, I là iđêan cực đại của vành R nếu tồn tại iđêan J và I $ J thì

J = R

Ví dụ 1.1.5 Vành Z6 có hai iđêan cực đại là 2Z6 = {0, 2, 4} và 3Z6 ={0, 3}

Định lý 1.1.6 (Định lý đặc trưng) Cho I là một iđêan của vành R

Khi đó, I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là một trường

Chứng minh (⇒) Giả sử R/I là một trường, do đó R/I có nhiều hơn mộtphần tử vì vậy R 6= I Giả sử, J là một iđêan của R và J % I, khi đó tồntại x0 ∈ J/I Xét x0+ I ∈ R/I, vì x0 ∈ I/ nên x0+ I khả nghịch tức là tồntại x00 + I sao cho (x00 + I)(x0 + I) = x00x0 + I = 1 + I hay 1 = x00x0 + y

với y ∈ I mà x0 ∈ I nên 1 ∈ I ⊆ J Do đó, 1 ∈ J, suy ra J = R Vậy I

là iđêan cực đại

(⇐) Giả sử I là iđêan cực đại của R suy ra R 6= I Do đó, R/I 6= 0

Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R/I cũng là vành giao hoán và cóđơn vị là 1 + I

Giả sử, x + I ∈ R/I và x + I 6= I suy ra x /∈ I Xét iđêan J của R mà

J = I + xR suy ra I ⊆ J và x ∈ J Do I là cực đại nên 1R = y + xx1 ∈ J

suy ra 1 + I = (y + xx1) + I = xx1 + y + I = (x + I)(x1 + I) Suy ra

x + I khả nghịch Vậy R/I là một trường

Định lý 1.1.7 Trong một vành giao hoán R, mọi iđêan cực đại đều làiđêan nguyên tố

Chứng minh Giả sử I là iđêan cực đại của R Với mọi a, b ∈ R, giả sử

ab ∈ I và a /∈ I Khi đó I + (a) cũng là một iđêan của R và I ( I + (a)

Vì I là cực đại nên I + (a) = R Khi đó, tồn tai các phần tử u ∈ I, v ∈ R

sao cho 1 = u + va suy rb = bu + v(ba) ∈ I Vậy I là iđêan nguyên tố.Điều ngược lại không đúng

Ví dụ 1.1.8 Trong vành Z, iđêan {0} là iđêan nguyên tố nhưng khôngphải iđêan cực đại vì 2Z là iđêan của Z và {0} ⊆ 2Z 6= Z

Định nghĩa 1.1.9 Cho F là họ các iđêan của R với R ∈ F Khi đó:i) F0 là phần bù của F ( gồm tất cả các iđêan của R /∈ F ) và Max(F0)

là tập các phần tử cực đại của F0

ii) F0 là họ M P (cực đại nên nguyên tố) nếu Max(F0) ⊆ Spec(R)

1.1.2 Sự tồn tại iđêan nguyên tố

Các kết quả về sự tồn tại iđêan nguyên tố trong vành giao hoán đều

là kết quả quan trọng và cơ bản trong Đại số giao hoán Trong phần nàychúng tôi trình bày lại một số kết quả quan trọng trong số đó

Định lý 1.1.10 Trong một vành giao hoán iđêan nguyên tố luôn tồn tại.Định lý 1.1.11 (Định lý Cohen.) Cho S là tập đóng nhân Luôn tồntại iđêan nguyên tố sao cho P ∩ S 6= ∅

Định lý 1.1.12 (Định lý Herstein.) Cho R− môđun M khác 0 Giả

sử I là iđêan tối đại trong các iđêan có dạng Ann(x) với x 6= 0 ∈ M Khi

đó I là nguyên tố

Định lý 1.1.13 (Định lý Isaacs.) Giả sử I là iđêan cực đại trong cáciđêan không chính của vành R Khi đó I là nguyên tố

1.2 Phạm trù

Lý thuyết phạm trù ra đời vào khoảng năm 1945 Có rất nhiều cách

để định nghĩa một phạm trù Định nghĩa mà ta đưa ra sau đây nhằm thíchhợp cho những loại phạm trù quen biết như phạm trù các nhóm, các nhómAbel và đặc biệt là các phạm trù môđun, loại phạm trù sau cùng này chính

là động lực cho sự phát triển của lý thuyết phạm trù

Định nghĩa 1.2.1 Một phạm trù K được cho bởi:

(K1) Một lớp các vật Ob(K) mà mỗi phần tử của Ob(K) được gọi là mộtvật của phạm trù K.)

(K2)Hai vậtA, B tùy ý củaOb(K)luôn xác định một tập hợpM orK(A, B)

gọi là tập hợp các cấu xạ từ vật A đến vật B sao cho với hai cặp khácnhau của các vật (A, B) 6= (C, D) thì:

M orK(A, B) ∩ M orK(C, D) = (K3) Với mỗi bộ ba (A, B, C) tùy ý các vật của Ob(K) luôn có một ánhxạ

M orK(B, C) × M orK(A, B) 3 (a, b) → ba ∈ M orK(A, C)

gọi là phép nhân , sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

• Tính chất kết hợp: Với mọi a ∈ M orK(A, B), b ∈ M orK(B, C), c ∈

M orK(C, D) thì (ab)c = a(bc)

• Có đồng nhất: Với mỗi vật A ∈ Ob(K) tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ

1A ∈ M orK(A, A) gọi là phần tử đồng nhất sao cho a1A = 1Ba = a,

với mọi a ∈ M orK(A, B)

Khi phạm trù K đã xác định trước thì để cho tiện ta viết M or(A, B)thaychoM orK(A, B)và kí hiệu M or(K) = ∪A, B ∈ Ob(K)M or(A, B).Ngoài

ra ta cũng viết A ∈ K thay cho A ∈ Ob(K),

Định nghĩa 1.2.2 Cho K là một phạm trù và G ⊆ K, G được gọi làphạm trù con của phạm trù K nếu G là phạm trù

Ví dụ 1.2.3 1) Phạm trù các nhóm Abel với Ob(A) là lớp tất cả cácnhóm Abel và M or(A, B) = Hom(A, B) là tập hợp tất cả các đồng cấunhóm từ nhóm Abel A vào nhóm Abel B Tích các cấu xạ bằng ánh xạhợp thành.

2) Phạm trù cácR- môđun vớiOb(M)là lớp cácR-môđun vàM or(M, N ) =Hom(M, N ) là tập các R- đồng cấu môđun Tích các cấu xạ là hợp thànhcác R-đồng cấu Ký hiệu là M(R)

3) Phạm trù các R-môđun xyclic với Ob(M) Là lớp các R-môđunxyclic vàM or(M, N ) = Hom(M, N )là tập cácR- đồng cấu môđun xyclic.Tích các cấu xạ là hợp thành các R-đồng cấu môđun xyclix Ký hiệu là

Mc(R)

Chương 2

Nguyên lý iđêan nguyên tố

Chúng ta sẽ bắt đầu với hai định ngĩa rất quan trọng cần thiết choluận văn này

Trong suốt các phần tiếp theo, chúng ta sử dụng các kí hiệu I
R đểchỉ ra I là iđêan của vành (giao hoán) R Với các tập con I, J, · · · ⊆ R,iđêan sinh bởi hợp của I, J, · · · được kí hiệu bởi (I, J, · · · ) Ví dụ, nếu

a ∈ R và I, J
R , chúng ta có (I, J ) = I + J và (I, a) = I + (a) Với

I
R và A ⊆ R, chúng ta định nghĩa (I : A) là iđêan {r ∈ R : rA ⊆ I}

Kí hiệu Spec(R) và Max(R) kí hiệu cho tập các iđêan nguyên tố và tậpcác iđêan tối đại của vành R

Cho R là một vành giao hoán và F là một họ iđêan trong R, nghĩa là

Bổ đề 2.1.3 Cho F là họ iđêan của R Khi đó các phát biểu sau là đúng:

1 Nếu F là Oka mạnh thì F là Oka

2 Nếu R là vành chính và F là Oka thì F là Oka mạnh

Chứng minh 1 Giả sử F là họ iđêan Oka mạnh Khi đó, theo định nghĩa2.1.2 thì R ∈ F Vậy để chứng minh F là Oka, ta cần chứng minh với mỗiiđêan I ⊆ R, nếu tồn tại a ∈ R sao cho (I, a), (I : a) ∈ F thì I ∈ F Điềunày là dễ dàng vì ta chỉ cần chọn A = (a) là iđêan chính

2 Vì F là Oka nên R ∈ F Theo giả thiết R là vành chính nênvới mỗi iđêan A tồn tại phần tử a ∈ R sao cho aR = A Do đó, nếu

(I, a) = (I, A) ∈ F và (I : a) = (I : A) ∈ F thì do tính Oka của F nên

I ∈ F Vậy F là Oka mạnh

Từ Bổ đề trên ta suy ra trong trường hợp tổng quát thì điều ngượclại trong phát biểu 1 là không đúng Tiếp theo ta trình bày các khái niệmsau

Định nghĩa 2.1.4 Một họ iđêan F trong vành R chứaR được gọi là Akonếu với mỗi iđêan I ⊆ R và các phần tử a, b ∈ R sao cho (I, a), (I, b) ∈ F

thì (I, ab) ∈ F

Định nghĩa 2.1.5 Một họ iđêan F trong vành R chứaR được gọi là Akomạnh nếu với các iđêanI, B ⊆ R và phần tử a ∈ R sao cho(I, a), (I, B) ∈

F thì (I, aB) ∈ F

Bổ đề sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa họ Ako và Ako mạnh

Bổ đề 2.1.6 Cho F là họ iđêan của R Khi đó các phát biểu sau là đúng:

1 Nếu F là Ako mạnh thì F là Ako

2 Nếu R là vành chính và F là Ako thì F là Ako mạnh

Chứng minh 1 VìF là một họ Ako mạnh nênR ∈ F Để chứng minhF làAko, ta cần chứng minh: với I ⊆ R, nếu a, b ∈ R thỏa mãn (I, a), (I, b) ∈

F thì (I, ab) ∈ F Điều này là hiển nhiên từ định nghĩa họ Ako mạnh vàchọn B = bR

2 Vì F là Ako nên R ∈ F Ta cần chứng minh với mỗi iđêan I ⊆ R,

nếu tồn tại a ∈ R và iđêan B ⊆ R sao cho(I, a), (I, B) ∈ F thì (I, aB) ∈

F Thật vậy vì R là vành chính nên tồn tại b ∈ R sao cho B = bR Do

đó, từ định nghĩa họ Ako ta suy ra F là Ako mạnh

Tiếp theo, từ định nghĩa họ Oka và họ Ako ta có thể xây dựng một

họ các iđêan nguyên tố trong vành R thông qua Định lý sau:

Định lý 2.1.7 (Nguyên lý iđêan nguyên tố.) Cho một họ iđêan F ,

giả sử F là Oka hoặc Ako Khi đó, mọi phần tử cực đại củaF0 đều là iđêannguyên tố tức là Max(F0) ⊆ Spec(R) Trong đó F0 = {J ⊆ R là iđêan |

J /∈ F }

Chứng minh Giả sử F là Oka hoặc Ako và I ∈ Max F0 Ta cần chứngminh I là iđêan nguyên tố Giả sử ngược lại I không là iđêan nguyên tố.Khi đó tồn tại a, b ∈ R sao cho ab ∈ I và a, b /∈ I Từ đó suy ra

Do tính tối đại của I trongF0 nên(I, a), (I : a), (I, b) ∈ F Theo giả thiết

F là Oka hoặc Ako nên I ∈ F (mâu thuẫn với I ∈ M axF0) Vậy I làiđêan nguyên tố

Ký hiệu P.I.P là họ thỏa mãn nguyên lý iđêan nguyên tố

Tiếp theo là các định nghĩa về bán lọc, lọc và monoid

Định nghĩa 2.1.8 Cho F là họ các iđêan của R với R ∈ F Ta nóii) F là bán lọc nếu với mọi I, J
R, I ⊇ J ∈ F thì I ∈ F

ii) F là một lọc nếu F là bán lọc và I, J ∈ F thì I ∩ J ∈ F

iii) F là monoid nếu với mọi I, J ∈ F thì IJ ∈ F

Định lý 2.1.9 Cho F là họ Oka hoặc Ako Giả sử mọi dãy lồng nhautrong F0 đều có chặn trên trong F0 Khi đó các phát biểu sau là đúng:1) Giả sử F0 là một bán lọc của iđêan trong R sao choF0∩Spec(R) ⊆

F thì F0 ⊆ F

2) Giả sử J ⊆ R là iđêan sao cho nếu P % J với P là iđêan nguyên

tố thì P ∈ F Khi đó, mọi iđêan chứa thực sự J đều nằm trong F

3) Nếu Spec(R) ⊆ F thì mọi iđêan của R đều nằm trong F

Chứng minh 1) Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử, F0 * F Khi

3) Ta áp dụng phần chứng minh 2) trong trường hợp J = 0

Khi đó ta có Định lý quan trọng sau

Định lý 2.1.10 Cho một họ các iđêan F của R với R ∈ F và A, B, I, J

là các iđêan tùy ý của vành R Xét các phát biểu sau:

(P1) F là một lọc monoid

(P2) F là monoid và thỏa mãn với J ⊆ F và I ⊇ J ⊇ I2 thì I ∈ F

(O5) Với I ⊆ J và nếu J, (I : J ) ∈ F và J/I là xyclic thì I ∈ F

Khi đó ta có biểu đồ sau đây

Chứng minh 1) Trước tiên ta chứng minh Q1 ⇒ Q2 ⇒ Q3 ⇒ Q4 ⇒ Q5

• Q1 ⇒ Q2 : Giả sử F là bán lọc monoid khi đó F là monoid Xét

J ∈ F và I là iđêan của R sao cho I ⊇ J ⊇ In với n > 0 Vì F làbán lọc nên từ J ∈ F và I ⊇ J ta có I ∈ F

• Q2 ⇒ Q3 : Xét A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊆ I ⊆

A ∩ B Vì F là monoid nên AB ∈ F Đặt J = AB ∈ F , khi đó

I ⊇ J Ta có, I2 ⊆ (A ∩ B)(A ∩ B.) Mà A ∩ B ⊆ A và A ∩ B ⊆ B do

đó I2 ⊆ AB = J Vì vậy, I2 ⊆ J ⊆ I Theo giả thiết Q2 ta có I ∈ F

• Q3 ⇒ Q4 :XétA, B ∈ F vàI là iđêan củaRsao choAB ⊆ I ⊆ A∩B

và A/I là xyclic Vì có AB ⊆ B ⊆ A ∩ B nên I ∈ F

• Q4 ⇒ Q5 :XétA, B ∈ F vàI là iđêan củaRsao choAB ⊆ I ⊆ A∩B

và A/I, B/I là xyclic Vì AB ⊆ I ⊆ AB và A/I là xyclic nên theo

Q4 ta có I ∈ F

2) Ta chứng minh P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ Ako mạnh ⇒ Ako ⇒ P.I.P

• P1 ⇒ P2 : Giả sử F là một lọc monoid Xét J ∈ F và I là iđêan của

R thỏa mãn I ⊇ J ⊇ I2 Do F là lọc và J ⊆ I, J ∈ F nên I ∈ F

• P2 ⇒ P3 : Xét A, B, I là các iđêan của R sao cho I + A, I + B ∈ F

Do F là monoid nên (I + A)(I + B) ∈ F Đặt (I + A)(I + B) = J,

khi đó J ∈ F và I + AB ⊆ J = (I + A)(I + B) ⊇ (I + AB)(I + AB)

Từ giả thiết của P2 nên suy ra I + AB ∈ F

• P3 ⇒ Ako mạnh : Xét I, B là các iđêan của R và a ∈ R Giả sử

A = aR thì I + A, I + B ∈ F Tù P3 ta có I + AB ∈ F do đó

I + aB ∈ F

• Ako mạnh ⇒ Ako ⇒ P.I.P theo Định lý 2.1.7 và Bổ đề 2.1.6

• O4 ⇒ O5: Xét I, J là các iđêan của R sao cho I ⊆ J và nếu J, (I :

J ) ∈ F và I/J là xyclic thì cần chứng minh I ∈ F Theo O4 ta có

J, (I : J ) ∈ F và J = I + aR nên J/I là xyclic Do vậy, I ∈ F

3) Tiếp theo ta đi chứng minh hàng 1 ⇔ hàng 2 :

• P1 ⇔ Q1: Vì F là một lọc monoid nên F là một bán lọc monoid.Ngược lại, giả sử F là bán lọc monoid Ta cần chứng minh F là lọc.Cho A, B ∈ F Do F là monoid nên AB ∈ F Vì AB ⊆ A ∩ B và F

là bán lọc nên A ∩ B ∈ F

• Q2 ⇔ P2: Cho F là monoid thỏa mãn J ∈ F và I là iđêan của R saocho I ⊇ J ⊇ I2 Cần chứng minh I ∈ F Thật vậy, theo Q ta có

I ⊇ J ⊇ In Chon = 2 thìI ∈ F Ngược lại, xétJ ∈ F , vàI là iđêancủa R thỏa mãn I ⊇ J ⊇ In Giả sử I /∈ F Vì J + I = I /∈ F và

J +In = J ∈ F nên tồn tạik lớn nhất đểJ +Ik ∈ F/ vàJ +Ik+1 ∈ F

Mặt khác, J + Ik ⊇ J + Ik+1 ⊇ (J + Ik)2 Từ P2, ta có J + Ik ∈ F

mâu thuẫn với J + Ik ∈ F / Vậy I ∈ F

• Q3 ⇔ P3: Giả sử A, B ∈ F và I là iđêan của R sao cho AB ⊂

I ⊂ A ∩ B Từ P3 ta có A = 0 + A ∈ F , B = 0 + B ∈ F Do đó,

AB = 0 + AB ∈ F Hơn nữa, I + A = A ∈ F vàI + B = B ∈ F

Do đóI + AB ∈ F Ngược lại, xét I, A, B là các iđêan của R sao cho

I + A, I +B ∈ F Ta có(I + A)(I + B) ⊆ I +AB ⊆ (I +A) ∩ (I + B.)

Theo giả thiết Q3 nên I + AB ∈ F

• Q4 ⇔ Ako mạnh : Xét I, B là các iđêan của R, a ∈ R thỏa mãn

I + aR, B0 = I + B và A/I là xyclic Ta có A, B0 ∈ F Mà AB0 ⊂

I + aB ⊂ A ∩ B0.Từ giả thiết Q4 ta có I + aB ∈ F Do đó Ako mạnh.Ngược lại, xétA, B ∈ F , I là iđêan của R thỏa mãnAB ⊆ I ⊆ A ∩ B

và A/I là xyclic Khi đóA = I + aR Ta có AB = IB + aB ⊆ I do

đóAB ⊆ I Từ I + aR = A ∈ F và I + B = B ∈ F, vì Ako mạnhnên I + aB ∈ F Vậy I ∈ F

• Q5 ⇔ Ako: Xét a, b ∈ R và I là iđêan của R thỏa mãn I + aR, I +

bR ∈ F ĐặtA = I + aR và B = I + bR thìA/I, B/I là xyclic.Ta có

A, B ∈ F màAB = (I +aR)(I +bR) ⊆ I +abR ⊆ (I +aR)∩(I +bR)

Theo Q5 suy ra I + abR ∈ F Ngược lại, xét A, B ∈ F và I làiđêan của R thỏa mãn A = aR + I và B = bR + I Khi đó, AB =(I + aR)(I + bR) ⊆ I + abR ⊆ (I + aR) ∩ (I + bR) Theo định nghĩa

họ Ako suy ra (I, ab) ∈ F

4) Tiếp theo ta chứng minh dòng 2 ⇒ 3

• P3 ⇒ Oka mạnh : XétI, Alà các iđêan của Rthỏa mãnI +A ∈ F và

I : A ∈ F ĐặtB = I : AthìB ⊃ I.Do vậy,I +B = B = I : A ∈ F

Ta có I + A ∈ F và I + B ∈ F nên I + AB ∈ F Mặt khác,

I + AB = I + A(I : A) = I nên I ∈ F

• Ako ⇒ O4: Xét a ∈ R và I là iđêan của R sao cho I + aR ∈ F và

I : a ∈ F Đặt B = I : a thì B ⊃ I và aB = a(I : a) ⊆ I Mặtkhác I + aR ∈ F và I + B = B = I : a ∈ F Vì Ako mạnh nên

I + aB ∈ F Vậy I ∈ F

5) Chứng minh dòng 3 ⇔ 4

• Oka mạnh ⇔ O4 : Xét I, J là iđêan của R, I ⊆ J thỏa mãn J, (I :

J ) ∈ F Đặt J = (I, A) khi đó ta có (I, A) ∈ F Mà (I : J ) = (I :(I, A)) ∈ F Do đó I ∈ F Ngược lại, xét I, A là iđêan của R thỏamãn (I, A) và (I : A) ∈ F Đặt J = (I : A) khi đó ta có J ∈ F Mà

(I, A) = (I : (I, A)) = (I : J ) ∈ F , do đó I ∈ F

• Oka ⇔ O5: Xét I, J là iđêan của R sao cho I ⊆ J thỏa mãn J, (I :

J ) ∈ F và J = I + aR là xyclic Đặt J = I + aR khi đó I + aR ∈ F

Mà I : J = I : (I + aR) = I : aR = (I : a) ∈ F Do đó I ∈ F

Ngược lại, xéta ∈ R và I là iđêan của R thỏa mãn (I, a), (I : a) ∈ F

Đặt J = aR thì J/I là xyclic và J ∈ F Mặt khác, (I : aR) = I :(I + aR) = (I : J ) ∈ F Vì vậy, I ∈ F

F = λ∈ΛFλ nên J/I là xyclic và I, I : J ∈ Fλ với mọi λ Mặt khác, Fλ

thỏa mãn O5 nên ta có I ∈ Fλ với mọi λ Do vậy, I ∈ T

λ∈ΛFλ = F

Hệ quả 2.1.12 Mọi họ iđêan trong R đều nằm trong một họ nhỏ nhất cótính chất P

Chứng minh Xét một họ X = { họ các iđêan chứa F và có tính chất P}

Khi đó, các iđêan của R đều nằm trong X

Gọi F = T

G∈X G

Do G có tính chất P nên theo mệnh đề trên ta có F có tính chất P

Ngoài ra ta còn có X ⊇ F và là họ nhỏ nhất có tính chất P

Mệnh đề 2.1.13 Cho tập X ⊂ Spec(R) Đặt F = {I là iđêan của R |

I * P, với mọi P ∈ X } Khi đó, F thỏa mãn P1 Nói riêng, F là lọc Okamạnh và lọc Ako mạnh

Chứng minh Ta cần chứng minh F là bán lọc, tức là với I ⊂ J là cáciđêan của R Nếu I ∈ F thì J ∈ F Thật vậy, I ∈ F khi và chỉ khi I * P

với mọi P ∈ X Do đó, J * P với mọi P ∈ X Vì vậy, J ∈ F

Tiếp theo, ta cần chứng minh F là monoid, tức là nếu I, J ∈ F thì

IJ ∈ F Giả sử, IJ /∈ F , khi đó tồn tại P ∈ X sao cho IJ ⊆ P Theođịnh lý tránh nguyên tố ta có, I ⊆ P hoặc I ∈ P Khi đó, I /∈ F hoặc

J /∈ F Điều này mâu thuẫn vì I, J ∈ F Vậy F là monoid

Nhận xét 2.1.14 Cho F = {I là iđêan của R | I * P, với mọi P ∈

X }.Do đó F0 = {I là iđêan của R với một P nào đó trong X } Khi đó,

X ⊂ F0 Ngoài ra, Max X = Max F0

Mệnh đề 2.1.15 Cho Y ⊂ Max(R) Đặt F = {I là iđêan của R | I /∈

Y } Khi đó, F có tính chất (P3.) Đặc biệt, F là Ako và Oka mạnh

Chứng minh Ta cần chứng minh nếu I + A, I + B ∈ F thì I + AB ∈ F

Giả sử,I +AB /∈ F thì I +AB = m với m∈ Y nào đó MàI +AB ⊆ I +A

nên I + A = m, điều này trái với giả thiết I + A ∈ F Vậy I + AB ∈ F

hay F thỏa mãn tính chất (P3.)

Hệ quả 2.1.16 Giả sử R là một trường khi đó với F trong 2.1.15 ta có

F0 = {I | I ∈ Y } = Y 6= 0 Ngoài ra 0 ∈ F nên F không là bán lọc.Mệnh đề 2.1.17 Cho S, T là các iđêan của R thỏa mãn S đóng với phépnhân (tức là với mọi I, J ∈ F thì IJ ∈ S) và T đóng với phép giao (tức

là với mọi I, J ∈ T thì I ∩ J ∈ T ) Đặt F = {R} ∩ {J là iđêan của R :

∃H ∈ S, K ∈ T | H ⊆ J ⊆ K} Khi đó, F thỏa mãn tính chất P3 Đặcbiệt, F là Ako và Oka mạnh

Chứng minh Vì P3 ⇔ Q3 nên ta chỉ cần chứng minh F thỏa mãn Q3, tức

là với A, B ∈ F và AB ⊂ I ⊂ A ∩ B thì I ∈ F Do A, B ∈ F nên tồn tại

H1, H2 ∈ S và K1, K2 ∈ T sao cho H1 ⊆ A ⊆ K1, H2 ⊆ B ⊆ K2 Do đó,

H1H2 ⊆ AB và A ∩ B ⊆ K1 ∩ K2 Suy ra H1H2 ⊆ I ⊆ K1 ∩ K2 Vì S

là đóng nhân nên H1H2 ∈ S và vì T là đóng giao nên K1 ∩ K2 ∈ T Vậy

I ∈ F hay F thỏa mãn Q3

Chúng ta bắt đầu phần này với một số ứng dụng của nguyên lý iđêannguyên tố trong trường hợp họ iđêan có tính chất mạnh nhất (P1) Mộttrong những kết luận chúng ta rút ra ở đây là những trường hợp quenthuộc trong đại số giao hoán Mặc dù một số những kết luận này đã đượcbiết đến, nhưng không được công nhận trước đây như là kết quả chung

Ở đây, tất cả các kết quả đều có nguồn gốc đơn giản và thống nhất Côngviệc này khá dễ dàng vì chỉ kiểm tra các tính chất Oka của họ các iđêanphù hợp

Đầu tiên chúng ta áp dụng Nguyên lý iđêan nguyên tố (P.I.P ) trongtrường hợp F = R thỏa mãn tính chất (P1) Khi đó ta có Max(R) ⊆Spec(R)