2 Nguyên lý iđêan nguyên tố
2.2.2Iđêan cốt yếu
Định nghĩa 2.2.10. i) Ta gọi iđêan I ⊂ R là cốt yếu nếu với mọi iđêan J khác không thì I ∩J 6= 0.
ii) Ta gọi R là rút gọn nếu căn lũy linh
nil(R) ={a ∈ R sao cho tồn tại an = 0} = 0.
Nhận xét 2.2.11. I ⊂ R là cốt yếu khi và chỉ khi với mọi iđêan chính J 6= 0 thì I ∩J 6= 0.
Chứng minh. Từ định nghĩa ta suy ra hiển nhiên. Ngược lại xét J 6= 0 bất kì. Lấy x ∈ J và x 6= 0. Đặt J0 = xR.Ta có J0 ⊆ J là iđêan chính khác 0. Suy ra J0 ∩J 6= 0. Vì vậy J ∩I 6= 0.
Sau đây là một đặc trưng của iđêan cốt yếu trong vành rút gọn.
Bổ đề 2.2.12. Trong một vành rút gọn, tích hai iđêan cốt yếu là cốt yếu. Chứng minh. Xét I1, I2 là hai iđêan cốt yếu trong R. Giả sử J = xR 6= 0 là một iđêan chính. Ta có J ∩ I1 6= 0. Do đó tồn tại phần tử mx ∈ I1
sao cho mx 6= 0. Đặt J0 = mxR 6= 0 là một iđêan chính. Vì R là rút gọn nên (m0mx)2 6= 0. Mà
Ví dụ 2.2.13. Xét vành
R 6= K[x]/x2,
không là vành rút gọn. Đặt I1 = I2 = (x). Vì R là vành địa phương với iđêan cực đại x nên I1, I2 là cốt yếu. Tuy nhiên I1I2 = (0) không là cốt yếu.
Mệnh đề 2.2.14. Trong một vành rút gọn R, họ F các iđêan cốt yếu có tính chất (P1). Nói riêng những iđêan lớn nhất trong các iđêan không là cốt yếu là nguyên tố.
Chứng minh. Ta suy ra trực tiếp từ định nghĩa, tính chất (P1) và Bổ đề 2.2.12.
Từ các tính chất trên ta suy ra một Hệ quả quan trọng sau.
Hệ quả 2.2.15. Cho R là một vành Noether rút gọn. Khi đó R là miền nguyên khi và chỉ khi mọi iđêan nguyên tố khác 0 đều là cốt yếu.
Chứng minh. Vì trong miền nguyên mọi iđêan khác không đều là cốt yếu. Ngược lại theo mệnh đề 2.2.14 ta có họ F các iđêan cốt yếu có tính chất (P1). Hơn nữa, vì R là Noether nên F thỏa mãn các yêu cầu trong 2.1.9. Từ 2.1.9 ta có mọi iđêan I 6= 0. Vì mọi iđêan nguyên tố chứa I đều là cốt yếu (∈ F) nên I là cốt yếu. Suy ra
F = {I ∈ Iđêan(R)|I 6= 0}.
Theo P.I.P ta có
Max(F0) = 0 ⊆Spec(R). Vì vậy R là miền nguyên.