2 Nguyên lý iđêan nguyên tố
2.3 Phạm trù của môđun xyclic
Với một vành giao hoán R, chúng ta viết M(R) cho phạm trù của R - môđun và Mc(R) với phạm trù con đầy đủ R - môđun xyclic. Có một phép tương ứng tự nhiên 1−1 giữa các iđêan của R và lớp đẳng cấu của các phần tử của Mc(R). Với một iđêan I ⊆ R chúng ta kết hợp lớp đẳng cấu của R - môđun R/I. Với một môđun xyclic M trong Mc(R), chúng ta kết hợp iđêan Ann(M) ⊆ R chỉ phụ thuộc vào lớp đẳng cấu của M. Sử dụng tương ứng 1−1, về cơ bản chúng ta có thể xác định họ các iđêan của R với họ các lớp đẳng cấu của M với họ của các lớp đẳng cấu của các phần tử của phạm trù Mc(R).
Trong phần nay, chúng ta thấy rằng quan điểm này sẽ dẫn đến sự giải thích của họ các iđêan Oka và Ako trong vành R về phạm trù con của
Mc(R). Sử dụng trường hợp Oka đầu tiên, chúng ta thấy rằng phạm trù con C của Mc(R), là đóng với phép mở rộng nếu C chứa môđun không và dãy khớp bất kì 0 →L →M →N → 0 của Mc(R) với L, N trong C kéo theo M trong C. Từ điều kiện này, ta thấy bất cứ khi nào L0 ∼= L, L ∈ C thì L0 ∈ C (vì tồn tại dãy khớp 0 →L →L0 → 0→ 0).
Định nghĩa 2.3.1. Ta nói phạm trù C của Mc(R) là đóng dưới phép mở rộng nếu nó chứa môđun 0 và với mọi dãy khớp 0 → L → M → N → 0
trong Mc(R), sao cho L, N ∈ C thì M ∈ C.
Định lý 2.3.2. Cho C là phạm trù con của Mc(R) là đóng với phép mở rộng. Khi đó
Fc = {I ⊂R :R/I ∈ C},
Ngược lại, cho F là họ Oka của các iđêan trong R, khi đó CF = {M ∈ Mc(R) : M ∼= R/I với I ∈ F },
là phạm trù con của Mc(R) đóng với phép mở rộng.
Chứng minh. Vì C đóng với phép mở rộng nên 0 ∈ C, do đó R ∈ Fc. Ta đi chứng minh Fc là Oka bằng cách kiểm tra tính chất (O5). Cho I, J ⊂ R thỏa mãn J = (I, a), với a ∈ R và J,(I : J) ∈ Fc. Nghĩa là R/J, R/(I : J) ∈ C. Xét dãy khớp
0→ J/I →R/I → R/J →0,
trongM. Ta có(I : J) = (I : a).Mặt khác ta có đẳng cấuR/(I :J) ∼= J/I cho bởi f(1) = a. Do đó J/I ∈ C. Vì Mc đóng dưới phép mở rộng nên theo định nghĩa ta có R/J ∈ C. Vì vậy I ∈ Fc.
Ngược lại nếu F là Oka cần chứng minh
CF = {M ∈ Mc(R) : M ∼= R/I, I ∈ F },
là phạm trù con của Mc đóng với phép mở rộng. Thật vậy, vì F là Oka nên R ∈ F. Do đó 0 = R/R ∈ CF. Xét dãy khớp ngắn
0→ L → M → N →0,
trong đó Mc(R) trong đó L, N ∈ CF. Ta cần chỉ ra M ∈ CF, nghĩa là M ∼= R/I với I ⊆ F. Chọn L = J/I, trong đó J = (I, a), với a nào đó thuộc R. Khi đó R/I ∼= N ∈ C
F. Suy ra J ∈ F. Khi đó ta có
R/(I : J) ∼= J/I = L ∈ C F.
Suy ra (I : J) ∈ F. Do F là Oka và J ∈ F, (I : J) ∈ F nên I ∈ F. Vì vậy ta có
M ∼= R/I ∈ C F.
Định nghĩa 2.3.3. Cho phạm trù con C của Mc(R) chứa môđun 0 với hai dãy khớp
0→ L1 → M → N1 → 0, và
0→ L2 → M → N2 → 0,
trong Mc(R) thỏa mãn tồn tại các toàn cấu N2 → L1 và N1 → L2, C được gọi là Ako nếu N1, N2 ∈ C thì M ∈ C.
Định lý 2.3.4. Nếu C là Ako thì Fc là họ Ako. Ngược lại, nếu họ các iđêan F trong R là Ako thì phạm trù con liên kết
CF = {M ∈ Mc(R) : M ∼= R/I, I ∈ F } ⊆ Mc(R),
cũng là Ako.
Chứng minh. Giả sử C là Ako ta cần chỉ ra Fc là Ako bằng cách kiểm tra tính chất (Q5). Thật vậy cho A, B ∈ Fc, I ⊆ R, thỏa mãn AB ⊆ I ⊆ A∩ N, và A/I, B/I ∈ Mc(R). Khi đó xét hai dãy khớp
0→ A/I → R/I → R/A → 0,
và
0→ B/I → R/I →R/B →0.
Vì A/I là xyclic nên tồn tại a sao cho A/I = (a). Khi đó ta có toàn cấu R/B −→f A/I, xác định bởi f(1) = a. Tương tự có toàn cấu R/A −→g B/I, xác định bởif(1) = b,trong đó(b) = B/I.VìA, B ∈ Fc nênR/A, R/B ∈ C. Do tính chất Ako của C nên R/I ∈ C. Vì vậy I ∈ Fc.
Ngược lại cho F là họ Ako ta cần chứng minh C = CF ⊆ Mc(R). Ta kiểm tra C = CF có tính chất Ako. Thật vậy, xét hai dãy khớp
0→ L1 → M → N1 → 0, và
với các toàn cấu từ L2 → N1 và N2 → L1. Trong đó N1, N2 ∈ C. Cần chứng minh M ∈ C. Vì M ∈ Mc(R), nếu M ∼= R/I. I là iđêan nào đó của R thì tồn tại các iđêan A, B ⊇I sao cho các dãy khớp.
0→ A/I → R/I → R/A → 0,
và
0→ B/I → R/I →R/B →0.
Vì N1, N2 ∈ C nên A, B ∈ F. Khi đó toàn ánh N2 → L1 là toàn cấu R/B → A/I. Suy ra A/I là xyclic và AB ⊆ I. Tương tự ta có B/I là xyclic. Theo tính chất Q5 ta có I ∈ F. Vì vậy
M ∼= R/I ∈ C
F = C.
Từ giả thiết của Định lý 2.3.4 nhưng sử dụng các chứng minh giống nhau, chúng ta có thể xây dựng các đặc trưng tương tự của phạm trù với tính chất Ako mạnh đối với họ các iđêan. Tuy nhiên, chúng ta không thể dành quá nhiều thời gian cho các phạm trù Mc(R), mà phải làm việc với các môđun đầy đủ phạm trù M(R). Điều này là do trong điều kiện (Q4) của (2.1.7) đặc trưng cho tính chất Ako mạnh, môđun B/I không có giả thiết là xyclic. Tuy nhiên cần chú ý rằng, trong phần thứ hai trong chứng minh Định lý 2.3.4, sự tồn tại của một toàn ánh R/B →A/I là đủ để có A/I là xyclic và AB ⊆ I. Do đó, viết lại chứng minh của 2.3.4 dẫn đến các đặc trưng của họ các iđêa Ako mạnh của R, song song với Định lý 2.3.4.
Định nghĩa 2.3.5. Cho phạm trù con C chứa (0) và nằm trong Mc(R)
với hai dãy khớp
0→ L1 → M → N1 → 0, và
trong đó L2 là xyclic và tồn tại toàn cấu N2 → L1, C được gọi là Ako mạnh nếu N1, N2 ∈ C thì M ∈ C.
Định lý 2.3.6. Tính chất Ako mạnh của họ iđêan F tương ứng với tính chất Ako mạnh của phạm trù C ⊆Mc(R).
Chứng minh. Tương tự giống chứng minh Định lý 2.3.4.
Từ Định lý 2.3.6 suy ra hệ quả.
Hệ quả 2.3.7. Cho F là bán lọc các iđêan trong R. Khi đó F là Oka khi và chỉ khi F là Ako mạnh.
Chứng minh. Cho F là bán lọc thì C = CF cũng là bán lọc Oka. Ta đi kiểm tra tính chất Ako của C. Xét hai dãy khớp
0→ L1 → M → N1 → 0, và
0 →L2 →M → N2 → 0,
trong đó L2 là xyclic và tồn tại toàn cấu N2 →L1. Giả sử N1, N2 ∈ C. Vì F là Ako mạnh nên L1 ∈ C. Từ dãy khớp đầu và theo Đinh lý 2.3.2 ta có F là Oka nếu C đóng dưới phép mở rộng trong Mc(R). Từ đó có M ∈ C. Vì vậy F là Ako mạnh.
Tất nhiên, chúng ta cũng có thể chứng minh Hệ quả 2.3.7 một cách trực tiếp từ các định nghĩa của Oka và Ako mạnh. Tuy nhiên, các phạm trù đặc trưng của các tính chất này để chứng minh Hệ quả 2.3.7 là một kết quả rất tự nhiên.
Trường hợp họ các iđêan với tính chât Q3 (hoặc tương đương P3 đã cho một phạm trù đặc trưng tốt. Tuy nhiên, trong các đặc trưng này sẽ không có toàn ánh N2 → L1 hoặc N1 → L2. Vì thế chúng ta phải chứng minh điều kiện AB ⊆ I của Q3 một cách cẩn thận hơn. Tuy nhiên, cùng một lý lẽ như vậy để chứng minh Định lý 2.3.4 có thể đưa ra các kết quả đặc
trưng sau với Ann(N) được kí hiệu cho các R - linh hóa tử của một R - môđun N.
Định nghĩa 2.3.8. Cho phạm trù C chứa môđun (O) và nằm trongMc(R)
với toàn cấu M →Ni(i = 1,2) trong Mc(R). Khi đó C được gọi thỏa mãn tính chất (Q3), nếu
Ann(N1) Ann(N2) ⊆ Ann(M), và N1, N2 ∈ C, thì M ∈ C.
Định lý 2.3.9. Tính chất Q3 của họ iđêan F tương ứng với tính chất Q3 của phạm trù CF.
Chứng minh. Tương tự giống Định lý 3.1.4.
Cuối cùng, chúng ta có thể kết thúc với đặc trưng phạm trù của họ các iđêan Oka mạnh.
Định nghĩa 2.3.10. Cho phạm trù C chứa môđun (0) và nằm trong
Mc(R) với dãy khớp 0→ L → M →N → 0, trong đó, M ∈ Mc(R). Khi đó, C được gọi là Oka mạnh nếu N ∈ C và Ann(L) ∈ FC thì M ∈ C.
Định lý 2.3.11. Họ các iđêan F là Oka mạnh nếu và chỉ nếu phạm trù C ⊆ Mc(R) là Oka mạnh.
Chứng minh. Ta có I ⊆ J là các iđêan của R). Khi đó, Ann(J/I) = (I :
J). Thật vậy, lấy a ∈ (I :J). Từ đây suy ra a.J ∈ I hay a(J/I) = 0, nên a ∈ Ann(J/I).
Ngược lại, lấy a ∈ Ann(J/I). Do đó, aJ ⊆I. Vì vậy, a ∈ (I : J).
Hệ quả 2.3.12. Cho F là bán lọc của R. Khi đó, F là Oka mạnh nếu nó thỏa mãn tính chất (Q3).
Chứng minh. Theo Định lý 3.3.11 cần chứng minh CF thỏa mãn tính chất
Xét môđun xyclic M = R/I và các toàn cấu là
M → R/A và M →R/B.
Khi đó suy ra A, B ⊇ I và A, B ∈ I. Giả sử R/A, R/B ∈ C. Suy ra A, B ∈ F. Đặt R/I −→f R/B. Suy ra L = kerf = B/I. Do đó, Ann(L) ∈ F. Thế nên M ∈ C.
Kết luận
Như vậy trong đề tài chúng tôi thu được các kết quả chính sau:
• Trình bày lại một số kiên thức cơ sở về vành giao hoán, iđêan nguyên tố, iêan cực đại và mối quan hệ giữa iđêan nguyên tố và iêan cực đại.
• Trình bày các khái niệm và tính chất của họ Oka, Oka mạnh và mối liên hệ giữa chúng.
• Trình bày các khái niệm và tính chất của họ Ako, Ako mạnh và mối liện hệ giữa chúng.
• Trình bày lại chi tiết nguyên lý iđêan nguyên tố và áp dụng nguyên lý trong họ các iđêan linh hóa tử điểm, iđêan cốt yếu, iđêan khả nghịch.
• Trình bày chi tiết áp dụng nguyên lý iđêan nguyên tố trọng phạm trù các môđun xyclic.
Tài liệu tham khảo
[1] N. T. Cuong, Đại số hiện đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2003).
[2] I. Kaplansky, Elementary divisors and modules, Trans. Amer. Math. Soc, 66 (1949), 464-491.
[3] I. Kaplansky, Commutative Rings, University of Chicago Press, (1974).
[4] T. Y. Lam, M. L. Reyes, A prime ideal principal in commutative algebra, J. Algebra, 319 (2008), 3006-30027.
[5] H. Matsumura,Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986.