một số kiến thức cơ bản trong đại số giao hoán

trình bày về một số kiến thức cơ bản trong đại số giao hoán

CHuaNG 1

GlAD HOAN

1.1 Vanh Noether

Cac ke't qua trong ph~n nay dlja theo [8], [9]

1.1.1 Dinh nglzia Cho vanh R Khi d6, R ld vil1lh iYoetlzernlu R thoa dieu

ki?n day chuyen tiln (Ascending Chain Condition) d6l' l'oi ale ideal, nghia ld m9i day chuyen tiln

h ~ 12~

1.1.2 Dinh ly Cho R ld vanh Khi d6 cdc dieu sau tu:o'ngdU:o"ng

(i) R ld vanh Noether.

(ii) M9i ideal ala R dell hall h(ln sinh.

(iii)M9i h9 khdc rang cdc ideal Clla R dell c6 phan tJ t61 d(li.

1.1.3 Dtnlz ly (co S0 Hilbert) Nlu R ld vanh Noether thi R[x] la vanh Noether.

1.1.4 Dinh ly Cho R ld vanh glaDhodn c6 d(jn vi, !vI la h? nhan Clla R Nlu

R ld vanh Noether thi R.\I ld vanh Noether.

1.2 Vanh dia phzidng

1.2.1 Dinh nghfa M(Jtvanh giao hoan c6 dan vi dl1Vc99i lil VilllJzdia pl11tdllg nlu n6 chi c6 dug nhat m(Jt ideal t61 drfi.

Vi d~ Cho R 13vanh giao hmln e6 don vi va P la ideal nguyen to eua R Khi

(16Rp 13v~mhdia phuong c6 ideal t6i d~i 13 Pp.

Ke't qua sau dtja rhea [8]

1.2.2 Dinh if rho R lil vanh dla phl/ang Khi d6 t{ip tat cd cae phan tz1khong

khd nghlch ala R lil ideal tozO drfi cua R.

1.3 Miln nguyen Dedekind

Cae ke't qua trang ph1n nay d\ta rhea [9]

1.3.1 Dinh nghia M(Jtvanh D dl/~c g9i lil mi~n nguyen Dedekind nlu D ld

mi~n nguyen va m9i ideal trong D la tich hau hrfn cae ideal nguyen to.

1.3.2 Dinh nghia rho D lil mi~n nguyen va J( lil trl/eJ'ngphan thuc cua D,

m(JtD.module con I cua J( du:~cg9i lil ideal phan thuc cua D nlu ton tfli d T I) trong D sao cho Ie (l/d)D.

1.3.3 Dinh If rho D la mi~n nguyen Dedekind Khi d6 m9i ideal phan th:Jc

cua D d~u khd nghfch va dl/~cphan tich dug nhat thanh tich cae ideal nguyen t6:

1.3.4 Dinh If rho D la mi~n nguyen Khi d6 D lil mi~n nguyen Dedekind ne'u

va chi khz D thod cae di~u sau:

1) D Noether;

2) M9i ideal nguyen t6' khae kh6ng Clla D deu t6l dfJY(

3) D d6ng nguyen.

1.3.5 Dinh Iy Mien nguyen Dedeldnd D v6i hiiu hfJn ideal nguyen t6'khae kh6ng fa P/D.

1.3.6 H4 qua Cho D fa mien nguyen Dedekind, I fa ideal khaekh6ng ala D.

Khi d6, vimh thZlO'rlgD/I fa vimh eae ideal ehfnh.

1.3.7 H4 qua Cho D fa mien nguyen Dedekind, I fa ideal ala D Khi d6, I fa

ideal ehfnh hoife dZl(Jesinh brJihai phan td.

1.3.8 H4 qua Cho D 10 mien nguyen Dedeldnd Khi d6, dimD = 1 va

dirnD[x] = 2.

1.4 Ideal trong Vi111h giao hoan co ddn vi

Cae ket qua trong phan nay d\ta thee [8]va [9] M~nh a~ sau tom tat mQt

so ket qua can dlmg trong v~mhgiao hoan co adn vl.

1.4.1 M4nh di Cho R fa vanh giao hoan e6 do'rl vi.

(i) V6i I, J,I{ va h, h, n n In 10.eae ideal ala R, ta e6

1) (n Ii) : 1= n(Ii : 1)

i=l

2) I : (L Ii) = n(I : IJ

i=l i=l

3) (I : J) : K = I : J K.

(ii) Nfu 11.12 In fa eae ideal d6i m(J!nguyen to dIng nhau trong R, nghia10.

i=l

It -I-II = R v6i I i= j. Khi d6

Rud(I) = {:r E Rlx" E R v6'in > a}.

Khi d6 Rad(I) liI ideal cua R.

V6'iA, B liI cac ideal cua R ta c6

1) Rad(A)= R ne'u va chi ne'u A = R.

2) Rad(A + B) = Rwl(Rad(A) + Rad(B)).

3) Rad(AB) = Rad(A n B) = Rad(A) n Rad(B).

4) A, B nguyen t6/cung nhau nlu va chi neu Rad(A) Rad(B) nguyen t6/rung

nhau.

1.4.2 fJtnh nglz'ia Cho R liI vanh glaD hoan c6 d(jn vi va I la ideal cua R

(i)I liI ideal ngllyen sd neu v6'i m9i a, bE R, ab E I va a rt I, t'on tr;tin nguyen duo'ng saD cho bl!E I.

(ii)I liI ideal kh6ng thi rut g(Jnneu tit dcfng thuc I = It n h, v6i it, h liI cac ideal ala R, ta lu6n c6 I = it ho(fc I = h Trang truo'ngh9'Pngu9'c lr;ti,ta n6i

I co thi rut g(Jn.

1.4.3 M~nh de' Cho R liI vanh glaD hoan c6 da'n vi, 1 J fa ideal cua R l'a

I c J Khi d6

(i) J nguyen t6/trang R ne'u va chi ne'u JII nguyen t6/trang RII.

(in J t6l delitrang R neu va chi neu JII t61 dr;titrang RI I.

(iii) J nguyen so'trang R nlu va chi ne'u JI I nguyen so'trang RI I.

(iii) J kh6ng the' rut g9n trang R ne'u va chi ne'u J/ I kh6ng the' nit g9n trang RI I.

Tiep thea, u se kh~lOS;!t cae ideal nguyen sci V:1khtmg thE rllt gQn Tntcfc lien, ta co me)t so c1jnh nghia

1.4.4 Dinh Ii rho R la vanh giao hoan co don vi va Q ngllyen so.trong R, Khi

do Rad( Q) ngllyen to:

Dinh ly sau eha phep nh?n bier tinh nguyen so eua mQt ideal thong qua ean(radieal) eua no

1.4.5 M~nh di rho Q la ideal trong vanh Noether giao hoan co dan vi thoa

Rad( Q) tal dc;li.Khi do Q ngllyen so',

1.4.6 M~nh de' Trong vanh giao hoan co dan vi, giao cua hall h(}n cae ideal

PJ1gllyen sa la m(Jtideal PJ1gllyen sa Nlll P to?d(}ithi klt qlla la wong 11! cho t6ng va tfch hall h(}n.

vl: ideal khong th~ nit gQn, ta co lllQt 56 m~nh dl: \"3 dint ly sau

1.4.7 M~nh de' rho R la vanh Noether giao hoan co don vi va Q la ideal

PJ1gllyen sa, co the' rUtg9n ala R Khi do co Ql, Q2la CCle ideal PJ1gllyen sa,

Ql =f Q /: Q2 saD cho

Q = Ql nQ2.

1.4.8 M~nh de' Cho R fa vanh glaDhoan co don vi, Q fa ideal ngllyen sa cua

ngllyen sa trong R va Rad( Q : 1) = P.

Dinh ly sau thiet l%lpm6i quan h~ gifta ck ideal eua v~lnh R va cae ideal clla vanh dia phltong Rp (P ngllyen t6 trang R) Tnto\ khi phat bi~ll dint ly,

ta co m~nh c1esau

1.4.9 M~nh de Cho R ld v(lnh glaDhoan c6 don vi va Rp la vanh dia phuong

tuo'ngling v6'iideal nguyen t6/P trang R Vai I J la cde ideal cua R ta c6

1) (J + J) p =Ip + J p.

2) (I nJ)p =Ip n Jp.

3) N{u I hzlu hc;msinh thi (J: J)p =Ip : Ip.

1.4.10 Dinh /i Cho R la vanh Noether glaD hoan c6 do'n vi va p la ideal nguyen t6/cua R Khi d6 tuong ling A f ' Ap la1 - 1gizla t(tp cae ideal nguyen t6/(t/.tongling, nguyen su, kh6ng the' rUtg9n) chlia trang P cua R vai t(tp cae ideal nguyen t6/(tu:ungling, nguyen su, kh6ng the' rUtg9n) cua Rp.

1.5 S~(phiin tich nguyen sd chuii?n hod

Cae ket qua trong phan nay dlja rhea [8], [9]

1.5.1 M~nh de Trong vanh Noether glaD hoan c6 dun l'f, m9i ideal deu la glaD

hllu h9n cua cae ideal kh6ng the' rUt 99n.

1.5.2 M~nh de Trang vanh Noether glaDhoan c6 don l'f, m9i ideal kh6ng the'

rut g9n deu nguyen so'.

Tlt hai b6 c1~tren , l11Qiideal trong vanh Noether giao hoan co c1o'nvi c1~u

la giao h-Ctuh::ln Cl'1ack ideal nguyen so Tntac khi phat bi~u c1tnh ly v~ S\t phan tlch ngllyen so, ta co c1tnhnghTasau

n

1.5.3 Dinh nghla S1/ bie'udi~n 1= nIi vai h, 12, , Ie.ld cae ideal nguyen so'

i=l

dU9'Cg9i li1 biilu diJn nguyen sa chutln hod Clla [ neu n6 thoa ale dieu ki~n

sau

1)nIj Clh

Ni

2) Rad(Id Rad(h) "" Rad(In) phdn bi~t.

Trang bi~u di~n nguyen so chuj'n hoa tren, neu Rad(Ij) g; Rad(Ii) v6'i mQi

j =I'i thi Rad(Ii) du'Q'cgQi la ideal nguyen ti/ co lqp cua I,

1.5.4 Dtnh Iy M9i ideal trang vanh Noether giao hoan c6 don vi deu co biiu dz-ennguyen so'chudn hod.

MOtCall h6i d;)t ra la d6i v6'i m6i ideal trang \'zmh ~oether giao hoan c6

dan \'j, s~t bi~u di~n nguyen so chuj'n hoa cLla n6 c6 duy nhat hay kh6ng,

Dinh ly sau d~ C?P t6'i \'an d~ nay

1.5.5 Dtnh Iy Cho R la vanh Noether, I li1ideal Clla R Ne'u I c6 hai 51/phdn

tich nguyen so' chudn hod li1

I / I

II n h n , nIk =I = II n12 n." nIl,

trang d6 Ii (1 ::; i ::; k) li1 ideal PiJlguyen so~ I: (1 ::; i ::; l) li1 ideal P;Jlguyen

so' Khi d6 k = l va Pi = P: (1 ::; 'i ::; k) (sau khi sap xe'p lfli ne'u can) Han

thi Ii=I:

1.5.6 Dtnh Iy Trang vanh Noether giao hoan c6 don ei, m9i ideal nguyen sa deu ld giao huu hfln Cllacae ideal khong thi rut g9n c6 cung din.

1.6 Q-Vi111h

Cae ket qU~ltrong ph1n nay d\ta rhea [9].

1.6.1 Dinh nghia M(J!q-vimh ld v(lnh glaD hoan c6 do'n vi thod m9i idealld

tEchcac ideal nguyen scf.

1.6.2 Dinh nghia Vimh Lasker ld vanh glaDhoan c6 don vi thod m9i ideal deu c6 s1/phdn tfch nguyen Sd.

1.6.3 Dinh nghia Cho R la vanh glaDhoan c6 don vi Ideal! ala R dU9'C g9i

1.6.4 Dinh nghia Cho R ld vanh glaDhoan c6 dCfnvi Ideal A ala R dur;Jcg9i

1.6.5 Tinh chat cua ideal nhan Cho R la vanh glaD hodn c6 don vi,

1) !V19iideal nhdn ala R deu chfnh dia phuO'ng.

2) M9t ideal hllu hCJnsinh cua R ld ideal nhdn nlu va chi nlu n6 chfnh dia

phuCfng.

1.6.6 Dinh ly Trang Q-vanh m9i ideal nguyen to khong tal' dCJi la ideal nhdn.

r".'-""""-"'-""-'-"-""~~-""

\ t) , " ,.I , '" , j ;

! >::Jn i-",t! 1\ ~.,i t (', i

{ i

i \1~ f

t "",

\' -, 0011811 '

1.6.8 Dinh ly Vanh R ld Q-vanh neu va chi neu RIa vanh Lasker va m9i ideal

nguyento khong taldCJicua R la ideal nhdn.

1.6.7 IJinh ly Q-vanh la vanh Lasker.

1.6.9 IJinh ly Vanh R ld Q-vanh nlu va chi neu R lO.vanh Lasker va m9i ideal

nguyen to'khong tal d9i ala R deu htlu h9n sinh va chinh dia phuong.