Sai lầm và sửa chữa sai lầm khi giải toán lớp 9 của học sinh trung học cơ sở

Chúng tôi muốn đưa ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trongquá trình tiếp thu kiến thức ở lớp để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục cácsai lầm mà các em hay mắc phải trong quá

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận

Đất nước ta đã và đang trong giai đoạn đổi mới có nhiều thời cơ cũngnhư thách thức to lớn Kinh tế, xã hội ngày càng phát triển đòi hỏi phải cómột thế hệ những người lao động mới có năng lực, có bản lĩnh, chủ động,sáng tạo, dám nghĩ, dám làm để thích ứng với thực tiễn

Trong các môn khoa học kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan trọng.Môn toán góp phần phát triển nhân cách, cùng với việc tạo điều kiện cho họcsinh sáng tạo những trí thức, rèn luyện những kỹ năng cần thiết Môn toán còn

có tác dụng phát triển những năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp,phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Thực tế công tác giáo dục thời gian qua đã có nhiều cố gắng trong việcnâng cao chất lượng đào tạo, đi sâu cải tiến cách dạy, cách học song vẫn chưađạt hiệu quả cao trong đó có môn toán do học sinh mắc phải những sai lầmtrong giải toán Thể hiện rất rõ ở tỉ lệ thi đỗ Trung học phổ thông, Đại học vàCao đẳng

Toán học là khoa học của những ký hiệu trừu tượng, nó khác với cácngành khoa học thực nghiệm như Lý, Hóa, Sinh ở chỗ không có vật chất cụthể Cho nên phần lớn học sinh đã không hiểu được nguồn gốc và ý nghĩa củacác kiến thức toán học một cách đúng bản chất để có thể áp dụng vào tìnhhuống thực tiễn Hơn nữa kiến thức mà học sinh phải tiếp thu trong chươngtrình phần lớn là những biến đổi đại số mà không hề có một hình ảnh minhhọa nào Do đó các em thường cảm thấy vấn đề rắc rối và phức tạp Điều nàykhiến các em nhìn nhận đối tượng theo một khía cạnh đơn giản và phiến diện,không đầy đủ bản chất nên thường mắc các sai lầm khi đối mặt với một bài toán

Tìm ra những nguyên nhân của sai lầm đó và biện pháp khắc phục, sửachữa chúng là điều cấp thiết

Trên thế giới, nhiều nhà khoa học nổi tiếng đã phát biểu nhiều ý kiến

bổ ích về vấn đề này G.Pôlya đã nói: ”Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” [14].

Chúng tôi chọn đối tượng là học sinh lớp 9 vì bậc học này có nhiệm vụhoàn chỉnh phổ cập giáo dục phổ thông cơ sở, chuẩn bị cho học lên bậc phổthông trung học, học nghề và ra lao động Do vậy, nếu học sinh khối này mắcsai lầm thì sẽ đi đến những hậu quả khá nghiêm trọng

Chúng tôi muốn đưa ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trongquá trình tiếp thu kiến thức ở lớp để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục cácsai lầm mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử

Vì những lý do đó chúng tôi chọn “ Sai lầm và sửa chữa sai lầm khi giải toán lớp 9 của học sinh Trung học cơ sở ” cho khóa luận tốt nghiệp đại

học của mình

2 Mục tiêu khóa luận

Tìm ra nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm của học sinh lớp 9 trườngTrung học cơ sở khi giải toán Qua đó đề xuất một số biện pháp khắc phục,hạn chế, rèn luyện kỹ năng khi giải toán cho học sinh và góp phần nâng caochất lượng học tập môn toán

3 Nhiệm vụ, nội dung nghiên cứu

 Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán

 Điều tra các sai lầm phổ biến của học sinh lớp 9 trường Trung học

cơ sở khi giải toán

 Phân tích các nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán

 Đề xuất các biện pháp sư phạm thích hợp với các tình huống điểnhình để hạn chế và sửa chữa các sai lầm của học sinh lớp 9 trường Trung học

cơ sở khi giải toán

 Thử nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của cácbiện pháp đã đề xuất.

4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Cơ sở lý luận về tâm lý học, giáo

dục học, lý luận dạy học môn toán liên quan đến nhiêm vụ nghiên cứu

 Phương pháp điều tra quan sát: Tiến hành tìm hiểu các sai lầm của

HS thông qua các GV dạy toán, qua dạy và kiểm tra trực tiếp HS

 Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tiến hành thử nghiệm tại khối

9 một số trường Trung học cơ sở để xem xét tính khả thi, tính hiệu quả củacác biện pháp đã đề xuất

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Các sai lầm khi giải toán của học sinh lớp 9

 Phạm vi: Dạy học toán lớp 9 trường trung học cơ sở Hạc Trì, thànhphố Việt Trì, tỉnh Phú Thọ

6 Ý nghĩa khóa luận

- Góp phần làm rõ cơ sở lý luận về dạy học giải bài bài tập toán ở THCS.

- Đưa ra những nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán.

- Đưa ra các biện pháp các biện pháp sửa chữa sai lầm khi giải toán lớp 9

của học sinh

- Làm tài liệu tham khảo có ích cho việc giảng dạy của giáo viên Trung

học cơ sở và sinh viên ngành sư phạm

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chiathành các chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Khắc phục sai lầm của học sinh lớp 9 khi giải toán

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán ở THCS

1.1.1 Quan niệm về bài toán

Bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không cósẵn ở người giải tại thời điểm bài toán được đưa ra

Định nghĩa này bao hàm 3 ý chính:

a Chỉ có bài toán đối với người nào đó, hay nói chính xác hơn đối vớitrạng thái phát triển nào đó của người giải

b Lời giải đáp phải tương thích với tình huống của bài toán

c Lời giải đáp gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tìnhhuống mà người giải đã quen thuộc

1.1.2 Chức năng của bài toán

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khácnhau Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đíchdạy học

Trong môn toán các bài toán mang chức năng sau:

Bài toán nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năngđộc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.

Trong quá trình dạy học toán, các chức năng trên không bộc lộ mộtcách riêng lẻ và tách rời nhau Việc nhấn mạnh chức năng này hay chức năngkhác phụ thuộc vào việc khai thác bài toán, vào năng lực sư phạm và nghệthuật dạy học của giáo viên nhằm phục vụ có hiệu quả cho yêu cầu của tiếtdạy cho từng học sinh cụ thể Chẳng hạn, đối với đối tượng học sinh đại tràcần nhấn mạnh chức năng dạy học, chức năng kiểm tra nhưng đối với đốitượng học sinh khá giỏi cần khai thác bài toán nhấn mạnh chức năng pháttriển

1.1.3 Ý nghĩa của việc giải bài toán

Việc giải bài toán có nhiều ý nghĩa:

- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức

và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

- Đó còn là phương tiện có hiệu quả để dạy học sinh biết suy nghĩ sángtạo và thúc đẩy học sinh tích cực thu nhận kiến thức mới

- Đó là hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào các vấn đề cụthể và thực tế

- Đó là hình thức để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tramình về năng lực về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học

1.1.4 Các yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để phát huy được tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắmvững các yêu cầu của lời giải bài toán Nói một các vắn tắt, lời giải phải đúng

và tốt Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng cô đọng Để thuậntiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học vàđánh giá học sinh có thể cụ thể hoá các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhậnnhững yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết

(i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian.

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức đúng, mộthàm số, một hình vẽ, thoả mãn yêu cầu đề ra Kết quả các bước trung giancũng phải đúng Như vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽhình, biến đổi biểu thức,

(ii) Lập luận chặt chẽ.

Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

- Luận đề phải nhất quán

- Luận cứ phải đúng

- Luận chứng phải hợp lôgic

(iii) Lời giải đầy đủ

Yêu cầu này có ý nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợpnào, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là phương trình không được thiếunghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,

(iv) Ngôn ngữ chính xác.

Đây là một yêu cầu về tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việcdạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếpcác yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, ) trong lời giải

(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất.

Cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bàitoán, phân tích, so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắngọn, hợp lý nhất trong số các lời giải đã tìm ra được

(vii) Ngiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu vềmặt trình bày còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao

1.1.5 Phương pháp chung để giải bài toán

Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giảimọi bài toán Đó là điều ảo tưởng Ngay cả đối với những lớp bài toán riêngbiệt cũng có trường hợp có thuật giải, có trường hợp không có thuật giải Tuynhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiệncách giải bài toán lại có thể và cần thiết.

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaG.Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thựctiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

* Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Đọc kỹ đề toán sao cho thấy được toàn bộ bài toán càng rõ ràng, sángsủa càng tốt, tránh vội vàng đi ngay vào chi tiết

- Phân tích bài toán, tách ra những yếu tố chính của bài toán, xem xétcác yếu tố chính nhiều lần và ở nhiều mặt Nếu là bài toán chứng minh thì yếu

tố chính là giả thiết và kết luận Nếu là bài toán về tìm tòi thì yếu tố chính là

ẩn (cái cần tìm, cái chưa biết), là dữ kiện (những cái đã biết) và điều kiện(mối liên quan giữa cái cần tìm và cái đã cho) của bài toán

- Có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả

đề bài

i) Hình vẽ: Làm hiện lên đồng thời các yếu tố cũng như các chi tiết cùng mối

liên hệ giữa các chi tiết đã cho trong bài Khi vẽ hình cần chú ý:

- Hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ hình trong trườnghợp đặc biệt vì như thế dễ gây ngộ nhận

Ví dụ: Các đoạn thẳng không nên vẽ bằng nhau, tam giác không nên vẽcân, đều…

- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác dễ nhìn thấy những quan hệ, tính chất

mà bài toán đã cho

ii) Kí hiệu: Dùng kí hiệu toán học có thể ghi lại các đối tượng và mối liên

quan giữa chúng trong bài toán một cách ngắn gọn, dễ nhớ, dễ quan sát Cách

kí hiệu thích hợp giúp ta nhanh chóng hiểu được đề toán Khi chọn kí hiệucần chú ý:

- Mỗi kí hiệu phải có nội dung và dễ nhớ, tránh nhầm lẫn hoặc hiểunước đôi

- Thứ tự các kí hiệu và quan hệ giữa chúng phải giúp ta liên tưởng đếnthứ tự và quan hệ đại lượng tương ứng

- Không được dùng một kí hiệu để chỉ hai đối tượng khác nhau

* Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán,biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ bàitoán cần giải với một bài toán tương tự, một trường hợp riêng, một bài toántổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phươngpháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toánhọc, toán dựng hình, toán quỹ tích,

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đặcbiệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số kiến thức có liênquan

Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cáchgiải hợp lý nhất

* Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành cácbước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

* Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngượcvấn đề [15]

Ví dụ (Bài 26, trang 115, Toán 9-tập 1)

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếptuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm).

a Chứng minh rằng OA vuông góc với BC

b Vẽ đường kính CD Chứng minh rằng BD song song với AO

Tiến trình dạy học :

Bước 1 : Tìm hiểu đề

Gọi HS đọc đề, cả lớp theo dõi

Yêu cầu HS nêu giả thiết, kết luận và vẽ hình

GT Đường tròn(O), AB, AC là 2 tiếp tuyến

Đường kính CD

KL a OA BC

b BD // AO

Bước 2 : Xây dựng chương trình giải

Đây là bước rất quan trọng không thể xem nhẹ

Có nhiều cách để chứng minh OA  BC

1 ABC cân có góc Â1 = Â2 => OA  BC

2 OBC cân có góc Ô1 = Ô2 => OA  BC

3 OA là đường trung trực của BC => OA  BC

Cả 2 cách 1 và 2 học sinh phải biết dựa vào giả thiết và vận dụng định

lý về 2 tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm để suy luận, giả thiết còn lại có liênquan đến kết luận Tuy nhiên đối với học sinh kém toán thì không biết suyluận những điều kiện tiềm ẩn bên trong giả thiết không thấy Â1 = Â2 hoặc

 

1 2

O O Vì vậy người giáo viên cần có nghệ thuật trong việc sử dụng phươngpháp trực quan (hình vẽ) để giúp học sinh yếu kém (là những học sinh khôngbiết suy luận, yếu về việc vận dụng kiến thức toán học)

Cách làm : Giáo viên sử dụng phấn màu

+ Hai tiếp tuyến AB, AC giáo viên vẽ cùng một màu (đỏ)

+ Hai bán kính OB, OC giáo viên vẽ cùng một màu (vàng)

Từ những hình ảnh trên sẽ giúp học sinh yếu kém có nhiều thuận lợihơn khi kết luận AB = AC, OB = OC

a Theo giả thiết cho đường tròn (O), AB, AC là 2 tiếp tuyến và kếtluận là OA  BC Vậy để chứng minh OA  BC ta phải chứng minh điều

gì ? OA là đường trung trực của BC không ? Gợi ý học sinh nhìn vào hình vẽ

để chứng minh OA là đường trung trực của BC

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Phân tích: (1) (2) (3) (kết luận đến giả thiết)

Trình bày: (3) (2) (1) (giả thiết đến kết luận)

Giáo viên lưu ý học sinh dựa vào phần phân tích để trình bày bài giải.Dựa vào phần phân tích học sinh dễ dàng thực hiện và bài chứng minh không

BH = CH (OA là đường trung trực của BC)

=> OH là đường trung bình của CBD

=> OH // BD (điều phải chứng minh)

Với cách làm như trên GV đã định hướng khai thác triệt để giả thiết mà

đề bài đã cho

Bước 4 : Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Yêu cầu HS kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm hay thiếu sót gìkhông ? hoặc xem có cách giải nào khác không ?

Chẳng hạn :

a Có ABC (hoặc OBC) cân

Mà AH (hoặc OH) là đường phân giác của  (hoặc Ô)

Vì Â1 = Â2 (hoặc Ô1 = Ô2) nên AH cũng là đường cao

=> AH  BC (hoặc OH  BC) hay OABC

1.1.6 Quan niệm sai lầm trong giải toán

“Sai lầm” là trái với yêu cầu khách quan hoặc lẽ phải, dẫn đến hậu quả

không hay

Đặc điểm của "sai lầm trong khi giải toán" là có sự mất cân đối giữa

hoạt động dạy của giáo viên và hoạt động học của học sinh trong đó:

+ Giáo viên là người truyền đạt, giảng dạy theo tài liệu có sẵn trongsách giáo khoa, sách giáo viên Giáo viên trở thành trung tâm và việc làm nàylặp đi lặp lại một cách máy móc, ít quan tâm đến khả năng sáng tạo của học sinh + Học sinh học tập một cách thụ động, máy móc làm việc theo mẫu cósẵn, không có tư duy dẫn đến nội dung học tập đơn điệu, các năng lực tiềm

ẩn, khả năng sáng tạo không có cơ hội bộc lộ và phát triển

+ Học sinh giải toán vi phạm các yêu cầu của một lời giải

1.2 Các quan điểm về khắc khục sai lầm của học sinh khi giải toán

1.2.1 Quan niệm chung về khắc phục sai lầm của học sinh trong học tập

Các nhà tâm lý học đã khẳng định rằng: “ Mọi trẻ em bình thường đều

có khả năng đạt được học vấn toán học phổ thông cơ bản, dù cho chươngtrình toán học đã hiện đại hoá” [12]

Như vậy có thể thấy các sai lầm của học sinh khi giải toán có thể hạnchế và sửa chữa được với những biện pháp sư phạm thích hợp Các biện phápnày phải dựa trên mối quan hệ hữu cơ của các khoa học: Tâm lý học, giáo dụchọc, triết học duy vật biện chứng, toán học, logic học, phương pháp dạy họcmôn toán Các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh, cũng như phươngpháp dạy học nói chung phải phản ánh: cấu trúc bên ngoài và cấu trúc bêntrong, đặc biệt cấu trúc bên trong phải chỉ ra được các thao tác trí tuệ, cáchthức tổ chức logic của nhận thức, lĩnh hội của học sinh

Để hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh, giáo viên ngoài phươngpháp dạy học truyền thống cũng cần phải lựa chọn phương pháp dạy học phùhợp, giáo viên phải biết kết hợp hài hoà các phương pháp

Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề dựa trên tình huống có vấn đềtrong dạy học Khi học sinh mắc sai lầm ở lời giải là xuất hiện tình huống cóvấn đề, không phải do giáo viên đề ra theo ý mình mà tự nó nảy sinh từ logicbên trong của việc giải bài toán Sai lầm của học sinh tạo ra mâu thuẫn vàmâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quá trình nhận thức của học sinh

Sai lầm của học sinh xuất hiện thì sẽ gợi được hoạt động học tập mà học sinh

sẽ được hướng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng

Tìm ra các sai lầm của chính mình hoặc của bạn mình đều là sự khámphá Từ sự khám phá này học sinh chiếm lĩnh được kiến thức một cách trọnvẹn hơn Tuy nhiên cần gây niềm tin cho học sinh là bản thân mình có thểtìm ra được sai lầm trong một lời giải nào đó Học sinh có thể suy nghĩ hoặctrao đổi để tìm ra các sai lầm

Trong tình trạng phân cực trình độ của học sinh như hiện nay (ngay cảtrong một lớp) thì phương pháp dạy học phân hóa có tác dụng rút bớt dần sựphân cực Giáo viên có thể đối xử cá biệt trong những pha dạy học đồng loạtnhằm hạn chế và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán Sự phânhóa trong thông qua mức độ “bẫy” sai lầm khác nhau cho từng học sinh, thểhiện ngay ở việc giáo viên giao bài tập trên lớp hoặc bài tập về nhà Sự phânhóa ngoài nhờ thông qua các công việc tổ chức học tập theo nhóm, tổ, phụđạo riêng cho những học sinh mắc nhiều sai lầm

1.2.2 Quan điểm chỉ đạo việc hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh

1.2.2.1 Quan điểm 1: Tính kịp thời

Tính kịp thời được thể hiện qua sự nhanh nhạy của giáo viên trước cáctình huống điển hình, nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên nghiên cứu và dự doán được các sai lầmcủa học sinh ở những thời điểm của năm học, từng giờ lên lớp

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên luôn ở tư thế thường trực với mục tiêudạy học nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán Sự sailầm càng muộn bao nhiêu thì sự vất vả của thầy và trò càng vất vả bấy nhiêu

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải tranh thủ giao tiếp với học sinh,không chỉ ở trên lớp mà còn trong nhiều hoàn cảnh khác để tận dụng cơ hộithực hiện các biện pháp dạy học

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên tìm cách hạn chế nguyên nhân sai lầmcủa học sinh kể cả khi sai lầm chưa xuất hiện.

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải củng cố thường xuyên các sai lầmcho học sinh nhằm không để các sai lầm tái diễn

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên đánh giá bài giải học sinh qua điểm sốmột cách công bằng

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải biết hướng dẫn, điều chỉnh, sửachữa một lời giải sai để học sinh tự tìm ra lời giải đúng

1.2.2.2 Quan điểm 2: Tính chính xác

Sự chính xác trong lời giải là một yếu tố cơ bản của nhiệm vụ dạy họctoán Tính chính xác đòi hỏi giáo viên phải diễn đạt chính xác từ ngôn từ tựnhiên tới ngôn ngữ toán học Giáo viên phải là chuẩn mực về tư duy chínhxác, lời giải chính xác

Đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm Đối vớihọc sinh giỏi thì có thể sự sai lầm của bài toán sẽ được học sinh phát hiệnnhưng đối với học sinh yếu hoặc trung bình có thể gây hoang mang mất niềmtin ở giáo viên

Giáo viên cần lựa chọn chính xác các biện pháp tối ưu cho mỗi tìnhhuống dạy học

1.2.2.3 Quan điểm 3: Tính giáo dục

Tính giáo dục đòi hỏi giáo viên phải lấy sự phát triển nhân cách củahọc sinh làm mục tiêu giáo dục

Giúp học sinh xác định được động cơ trong học tập môn toán Đòi hỏigiáo viên phải có phẩm chất, nămg lực xứng đáng là người thầy

Là giáo viên không được xúc phạm về nhân cách khi học sinh mắc mộtlỗi trong lời giải

Giúp học sinh có ý trí trong học toán, giải toán, học sinh không ngạikhó, kiên trì, cẩn thận để đi tới lời giải đúng, giúp học sinh có thói quen tốt

như: tự kiểm tra bài của mình, phủ định sai lầm của mình, giúp bạn nhận rasai lầm.

Giúp học sinh không giấu dốt, dám hỏi khi không hiểu, không gian lận,quay cóp

Giúp học sinh thấy mọi sai lầm có thể sửa chữa nếu tìm ra nguyên nhân

1.3.1 Điều tra từ học sinh

Thông qua điều tra, thăm dò học sinh khối 9 tại trường Trung học cơ sởHạc Trì thuộc thành phố Việt Trì, tỉnh Phú Thọ vào ngày 28/2/2013 Phiếuđiều tra tôi đã trình bày ở phụ lục

Dựa vào kết khảo sát trực tiếp chúng tôi thống kê số học sinh mắc từngsai lầm như sau Các lỗi sai lầm được ký hiệu như sau:

Không hiểu khái niệm, ký hiệu: S1

Tính toán nhầm lẫn: S2.

Thiếu điều kiện, trường hợp: S3.

Suy luận không lôgic: S4

Hiểu sai đề toán: S5

Nhớ sai công thức, tính chất, quy tắc: S6

Diễn đạt kém: S7

Trường Trung học cơ sở Hạc Trì:

Tổng số học sinh lớp 9A: 29 học sinh

Tổng số học sinh lớp 9B: 27 học sinh

1.3.2 Điều tra từ giáo viên

Ý kiến của giáo viên về những sai lầm của học sinh

Bảng 4

STT Nguyên nhân sai lầm của học sinh % giáo viên đồng ý

1 Không hiểu khái niệm, kí hiệu 83%(GV)

6 Nhớ sai công thức, tính chất, quy tắc 78%(GV)

1.4 Nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán

Dựa trên các kết quả điều tra trình bày ở mục 1.3, chúng tôi tổng hợp

và đưa ra những nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm của học sinh khigiải toán

1.4.1 Nguyên nhân 1: Sai lầm do không nắm vững hệ thống khái niệm toán học

Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong những sản phẩm của tư duytoán học Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện Tập hợp các dấu hiệuđặc trưng cho bản chất của các đối tượng có chứa các dấu hiệu là một nội hàmcủa khái niệm, tập hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên chính là ngoạidiện của khái niệm Nếu không nắm rõ nội hàm và ngoại diện khái niệm sẽdẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất của kháiniệm từ đó các sai lầm khi giải toán xuất hiện Mặt khác, nhiều khái niệm toánhọc là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm trước đó, việc học sinh khôngnắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới không hiểu và không có biểu tượng vềkhái niệm khác Mối quan hệ giữa các khái niệm trong toán học có tính liênkết lôgic Có nhiều khái niệm khó trong toán học nếu ta không kịp thời cónhững cố gắng hoàn thiện, đổi mới về phương pháp dạy học các khái niệm thìhọc sinh rất khó khăn trong việc lĩnh hội các khái niệm đó

Ví dụ: Học sinh không hiểu khái niệm điểm nằm giữa hai điểm sẽ dẫn

tới việc không nắm vững được các khái niệm về trung điểm của một đoạnthẳng, một tia nằm giữa hai tia từ đó sử dụng các phép chứng minh rất lúngtúng Nắm không vững khái niệm về nghiệm của hệ phương trình nên nhiềukhi kết luận hệ có hai nghiệm x = ; y =

Như vậy việc nắm không vững các khái niệm của học sinh có thể dẫntới sai lầm trong lời giải Nếu như giáo viên không có biện pháp kịp thời thìchính từ đó sẽ gây ra hậu quả lớn cho học sinh

1.4.2 Nguyên nhân 2: Không nắm vững cấu trúc logic của định lý, quy tắc

Định lý là một mệnh đề được khẳng định đúng Cấu trúc thông thườngcủa định lý có dạng A B Trong cấu trúc của định lý A B thì A là giảthiết của định lý cho chúng ta biết phạm vi sử dụng của định lý Người ta cònnói A là điều kiện đủ để có B Nhưng khá nhiều học sinh không nắm vữnghoặc coi thường giả thiết A của định lý nên dẫn tới sai lầm

Nhiều học sinh nhầm giả thiết của định lý cũng là điều kiện cần để cókết luận nên mắc sai lầm

Không nắm vững giả thiết của định lý nên học sinh áp dụng định lý rangoài phạm vi của giả thiết

Ví dụ: Khi học về bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý đến giả

thiết chỉ áp dụng cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh x 1

1.4.3 Nguyên nhân 3: Học sinh thiếu kiến thức cần thiết về logic

Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán (một trong cáchình thức tư duy) Hoạt động suy luận giải toán dựa trên cơ sở của logic học.Học sinh thiếu các kiến thức về logic sẽ mắc sai lầm trong suy luận từ đó dẫnđến các sai lầm khi giải toán.

Học sinh chưa nắm vững các phép toán logic: giao, hợp, các quan hệbao hàm “ lớn hơn hoặc bằng ”, quan hệ tương đương, chưa quen với cáclượng từ “ với mọi ”, “ tồn tại ”, “ và ”, “ hoặc ”, “ nếu…thì ” dẫn đến việctrình bày bài giải không hợp logic như vậy sẽ đi đến kết quả sai

Học sinh thiếu những hiểu biết về các quy tắc suy luận nên dẫn tớinhiều sai lầm khi thực hiện các phép tính chứng minh Phân tích các suy luậntrong chứng minh toán học ta thấy mỗi chứng minh bao gồm các bước cơ bản,

mà mỗi bước cơ bản được thực hiện theo những quy tắc nhất định gọi là quytắc suy luận

Học sinh nhiều khi nhầm phép suy ngược tiến là phép chứng minh

Ví dụ: Chứng minh với mọi a, b, c ta có bất đẳng thức:

Lời giải đúng ở đây phải là:

Với mọi a, b, c ta luôn có

Ví dụ: Khái niệm phương trình và hàm số có nhiều mối liên hệ với

nhau Ta thấy phương trình là một hàm mệnh đề nói đến sự bằng nhau của haigiá trị hai hàm số đã cho Giải phương trình là đi tìm biến số đó để hai hàm sốcho bởi công thức ở mỗi vế của phương trình có giá tri bằng nhau Bài toángiải phương trình f(x) = 0 có thể phát biểu là tìm giá trị của x để hàm số

y = f(x) có giá trị bằng 0

Nếu học sinh nắm được những mối liên hệ đó thì việc giải bài toán đãcho có thể chuyển về việc giải bài toán phát biểu tương đương Hoặc nếukhông nắm vững mối liên hệ việc vận dụng dẫn đến sai lầm Chẳng hạn: học

sinh không hiểu nghiệm của hệ phương trình  1 1

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

f x g x



 là giao hai tậphợp nghiệm của từng phương trình trong hệ thì quá trình giải hệ phương trìnhdẫn đến sai lầm

Kết luận:

Trong chương 1, chúng tôi đã giải quyết được một số vấn đề:

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về dạy học giải bài tập toán ở THCS

- Nghiên cứu các quan điểm về khắc phục sai lầm của học sinh khigiải toán

- Thông qua kết quả điều tra giáo viên và học sinh trường THCS HạcTrì tìm ra các nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán

Qua việc tìm hiểu chúng tôi nhận thấy nhiều khi học sinh khá giỏi cũngmắc sai lầm trong giải toán, những sai lầm này sẽ là nguyên nhân dẫn đến tâm

lý chán nản, hạn chế năng lực giải toán của học sinh Dựa trên các nguyênnhân đã trình bày ở trên, chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số biện pháp nhằmhạn chế và sửa chữa các sai lầm này góp phần nâng cao năng lực giải toán chohọc sinh

CHƯƠNG 2 KHẮC PHỤC SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 9 KHI GIẢI TOÁN 2.1 Chương trình toán 9

Dưới đây là tóm tắt chương trình sách giáo khoa toán 9:

Phần đại số

Chương I: Căn bậc hai, căn bậc ba

1 Căn bậc hai

2 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A

3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

5 Bảng căn bậc hai

6 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (tiếp theo)

8 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

5 Giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình.

6 Giải bài toán bằng phương pháp lập hệ phương trình (tiếp theo).

Chương IV: Hàm số y ax a 2( 0)- Phương trình bậc hai một ẩn

1 Hàm số y ax a 2( 0)

2 Đồ thị hàm số y ax a 2( 0)

3 Phương trình bậc hai một ẩn

4 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

5 Công thức nghiệm thu gọn

6 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

7 Phương trình quy về phương trình bậc hai

8 Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Phần hình học

Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuôg

2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn

3 Bảng lượng giác

4 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác

5 Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chương II: Đường tròn

1 Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn

2 Đường kính và dây của đường tròn

3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

4 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

6 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

7 Vị trí tương đối của hai đường tròn

8 Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)

Chương III: Góc với đường tròn

1 Góc ở tâm Số đo cung

2 Liên hệ giữa cung và dây

3 Góc nội tiếp

4 Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

5 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

6 Cung chứa góc

7 Tứ giác nội tiếp

8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp

9 Độ dài đường tròn Cung tròn

10 Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Chương IV: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu

1 Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích hình trụ

2 Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

3 Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

2.2 Một số ví dụ về sai lầm của học sinh khi giải toán

Qua thực tế hướng dẫn học sinh lớp 9 khi giải toán, chúng tôi nhận thấymột số biểu hiện sai lầm của học sinh thể hiện qua các ví dụ sau:

2.2.1 Sai lầm khi giải các bài toán về căn bậc hai, căn bậc ba

Nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai, căn bậc ba vàtrong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểusai đầu bài, thực hiện sai mục đích…Những sai lầm thường gặp khi học vềcăn thức là: thiếu điều kiện để căn thức có nghĩa, nhầm lẫn trong các phépbiến đổi biểu thức chứa căn thức, đưa thừa số vào dấu căn và ra khỏi dấu căn,

áp dụng sai hằng đẳng thức, sai lầm về thuật ngữ…

Ví dụ 1: So sánh A  ( 2 1) 2

B  (1 3)2

Lời giải sai

2( 2 1)

A   = 2 1

2(1 3)

A   = 2 1 = 2 1

2(1 3)

Học sinh sai lầm do nguyên nhân 4 không nắm vững phương pháp giảidạng bài toán khai căn vì ta có chú ý: một cách tổng quát, với A là một biểuthức ta có A2 = | A|, có nghĩa là :

2

A = A nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm );

2

A = -A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm )

Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm

Lời giải đúng

3 2

Q x x   x  x

2 2 2( )

Q x x   x x  x x x

Do đó: Q = 0 nếu x 0

Q = 2x x 2 nếu 2 x 0

2.2.2 Sai lầm khi giải các bài toán về hàm số

Những sai lầm học sinh thường gặp khi giải bài toán về hàm số bậc nhất đó là: thiếu điều kiện, không hiểu định nghĩa, khái niệm

Tìm m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau

Lời giải sai

b Tính góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox (làm tròn đến phút)

Lời giải sai

a Khi cho x = 0 thì y = 3, ta được điểm A (0;3).

Khi y = 0 thì x = 1, ta được điểm B (1;0)

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A, B ta được đồ thị của hàm số đã cho.

b Gọi  là góc tạo bởi đường

b Tìm tọa độ các giao điểm của các hàm số yx và y x 1

Lời giải sai

a Vẽ đồ thị yx

chúng song song Vậy đồ thị hai hàm

số trên không giao nhau

Phân tích sai lầm

Sai lầm do nguyên nhân 1 và 4 Học sinh sai khi vẽ đồ thị hai hàm số

giá trị tuyệt đối, xét hàm số yx khi y = 1 thì x nhận hai giá trị là 1 và -1tương tự với hàm số y  x 1 khi y = 1 thì x nhận hai giá trị là 0 và -2 Ởphần b học sinh sai khi áp dụng kiến thức về quan hệ song song của haiđường thẳng

2.2.3 Sai lầm khi giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình

Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải phương trình, hệphương trình đó là vi phạm quy tắc biến đổi Đặt thừa hay thiếu các điều kiệndẫn đến những sai lầm, thậm chí đến mức không giải tiếp được nữa Một sốsai lầm còn do hậu quả của việc biến đổi biểu thức không đúng

Ví dụ 8: Giải phương trình

Sai lầm do các nguyên nhân 1, 2, 4 Học sinh mắc các sai lầm:

- Chưa đặt điều kiện để căn thức có nghĩa

- Chưa đặt điều kiện để phân thức có nghĩa và bình phương

- Ở phương trình (2) khi đặt t x 2 chưa có điều kiện của t

- Chưa tìm ra kết quả của x

Lời giải đúng

Bổ xung hai điều kiện:

2

23

231

2

x x

x

x x

Ví dụ 9: Cho phương trình m2 –m– 2x2 2m1x 1 0 * 

a Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình chỉ có 1 phần tử

Lời giải sai

a Để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Sai lầm do nguyên nhân 1, 4, 5

a Phương trình đã cho ở bài toán này có hệ số a m 2 –m– 2 khi giải họcsinh thường bỏ qua điều kiện để a 0 mà chỉ chú ý đến điều kiện ∆ > 0

b Sai lầm học sinh ở đây cho rằng

Phương trình m2 –m– 2x2 2m1x 1 0 đã là phương trình bậc hai.Tập nghiệm của phương trình đó chỉ có 1 phần tử khi và chỉ khi ∆ = 0 màkhông xét trường hợp phương trình m2  m 2x2 2m1x 1 0 có thể

là phương trình bậc nhất Như vậy học sinh sẽ bỏ sót các trường hợp

Lời giải đúng

a Phương trình m2 –m– 2x2 2m1x 1 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

khi và chỉ khi 1

2

m m

là phương trình bậc 2 có biệt số ∆ = 0

- Với m 1 phương trình có dạng 0x  1 0 phương trình vô nghiệm

- Với m 2 phương trình có dạng 6x  1 0 phương trình có 1 nghiệm

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là – 8

Phân tích sai lầm

Sai lầm do nguyên nhân 3 và 4

Sai lầm ở chỗ là không tồn tại x x để biểu thức đạt GTNN là - 81, 2

TH2: Với   1 m 0 ta có A   4 1 2 2  8 8 Dấu bằng xảy ra khi

Vậy nghiệm của phương trình: x y ,  5,3

2.2.4 Sai lầm khi giải các bài toán hình học

Những sai lầm khi giải các bài toán hình học: học sinh thường mắc phải

do không nắm vững khái niệm, chưa có kỹ năng phân tích giả thiết, kết luậncủa bài toán, do vẽ sai hình, lập luận không chặt chẽ, luận cứ chưa chính xác,suy luận không hợp logic, xét thiếu trường hợp hoặc giải các bài toán trongtrường hợp đặc biệt mà không xét đến trường hợp tổng quát đều dẫn đến sai lầm

Ví dụ 12: (Bài 26, trang 115, Toán 9 – tập 1)

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếptuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a Chứng minh rằng OA vuông goc với BC

b Vẽ đường kính CD Chứng minh rằng BD song song với AO

c Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2 cm, OA = 4 cm

Lời giải sai

GT Đường tròn (O), AB, AC là 2 tiếp tuyến

Sai lầm do nguyên nhân 2, 3, 5

a HS kết luận điều phải chứng minh một cách không căn cứ, không biết vậndụng các định lý về đường trung trực hoặc định lý trong tam giác cân

b mâu thuẫn với giả thiết, HS đã ngộ nhận kiến thức và đồng thời kếtluận OA // BD,

Thậm chí có HS không biết bắt đầu từ đâu? Làm như thế nào? Đến đâu

là kết thúc… Vì thế không giải quyết tốt các bài toán đã học