n nhóm con tôpô và nhóm con các phần tử compact trong một số lớp nhóm tôpô

mục lục Trang Mở đầu 2 Chơng I. Nhóm tôpô và nhóm Lie 1.1. Một số lớp nhóm tôpô 4 1.1.1 Định nghĩa và thí dụ 4 1.1.2 Nhóm compact và compact địa phơng 5 1.1.3 Nhóm liên thông và hoàn toàn không liên thông 7 1.2.Nhóm Lie và giới hạn xạ ảnh của dãy Lie 8 1.2.1. Nhóm Lie 8 1.2.2. Giới hạn xạ ảnh của nhóm Lie 11 Chơng II: -nhóm con tôpô và nhóm con các phần tử compact trong một số lớp nhóm tôpô. 17 2.1. Nhóm tôpô hữu hạn chiều 18 2.1.1 Chiều của không gian tôpô 18 2.1.2 Nhóm tôpô hữu hạn chiều 21 2.1.3 Nhóm con một tham biến 23 2.1.4 Nhóm compact hữu hạn chiều 26 2.2. -nhóm con tôpô của nhóm compact địa phơng 32 2.2.1. -phần tử tôpô và phần tử compact trong nhóm tôpô 32 2.2.2. Nhóm compact sinh ra 35 2.2.3. -nhóm con của nhóm compact địa phơng 38 2.3. Nhóm con các phần tử compact trong một số lớp nhóm tôpô 41 2.3.1. Định lí Yamabe và định lí Cartan-Maltsev-Iwasawa tổng quát 41 2.3.2.Nhóm con các phần tử compact của nhóm tôpô 44 kếT LUậN 48 tàI LIệU THAM KHảO 49 Mở đầu 1 Trong lý thuyết nhóm trừu tợng, các phần tử có cấp hữu hạn và tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn đóng một vai trò quan trọng.Đặc biệt, việc khảo sát các tính chất của chúng sẽ góp phần làm sáng tỏ cấu trúc của lớp nhóm đã cho. Có thể mở rộng khái niệm phần tử trừu tợng trong lý thuyết nhóm tôpô theo nhiều cách khác nhau .Trên cơ sở đó xét lớp nhóm tôpô mà tập hợp con các phần tử đó tạo thành một nhóm con. Trong luận văn này, chúng tôi xét lớp nhóm tôpô hoặc các phần tử compact hoặc các -phần tử của chúng tạo thành các nhóm con. Luận văn gồm hai chơng. Chơng một: trình bày những kiến thức cơ bản của nhóm tôpô và nhóm Lie để làm cơ sở cho việc trình bày chơng sau. Chơng hai: - nhóm con tôpô và nhóm con các phần tử compact trong một số lớp nhóm tôpô. Đây là nội dung chính của luận văn. Chơng này đợc chia thành 3 tiết: Trong tiết 2.1- Nhóm tôpô hữu hạn chiều, chúng tôi xây dựng chiều của nhóm tôpô dựa trên việc xây dựng chiều của không gian compact và không gian compact địa phơng. Sau đó, dựa trên công cụ nhóm con một tham biến, chúng tôi đã mô tả đợc nhóm compact hữu hạn chiều ( Định lý 2.1.4.1 ), từ đó thu đợc một số tính chất của nhóm compact liên thông hữu hạn chiều ( Hệ quả 2.1.4.2, Mệnh đề 2.1.4.3). Trong tiết 2.2 : - nhóm con tôpô của nhóm compact địa phơng.Trong tiết này, chúng tôi đã nêu lên khái niệm về - phần tử tôpô và phần tử compact, mở rộng các khái niệm - phần tử trừu tợng và phần tử có cấp hữu hạn trong Lý thuyết nhóm trừu tợng và xét tính chất của các phần tử đó. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã thu đợc một số kết quả về - nhóm con của nhóm compact địa phơng (Mệnh đề 2.2.3.2, Định lý 2.2.3.3). Trong tiết 2.3. Nhóm con các phần tử compact trong một số lớp nhóm tôpô.Trong tiết này, sau khi hệ thống lại các kết quả liên quan đến định lý Cartan - Maltsev - Iwasawa tổng quát, chúng tôi đề xuất khảo sát lớp nhóm tôpô đặc biệt mà chúng tôi gọi là nhóm dạng C.M.I và đã thu đợc một đặc trng về chúng (Định 2 lý 2. 3.1.6). Ngoài ra chúng tôi đã dựa trên khái niệm nhóm tôpô thuần tuý để khảo sát nhóm con các phần tử compact của nhóm tôpô (định lý 2.3.2.2, Hệ quả 2.3.2.3, Hệ quả 2.3.2.5, Hệ quả 2.3.2.6). Luận văn đợc hoàn thành tại trờng ĐH Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS.Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy! Tác giả cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các Thầy,Cô trong Tổ Đại số, khoa Toán, trờng ĐH Vinh đã đọc và góp ý kiến cho luận văn! Công trình này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của các Thầy, Cô và các bạn. Tác giả Chơng I nhóm tôpô và nhóm lie 3 Trong chơng này, chúng tôi sẽ trình bày những kiến thức cơ sở của nhóm tôpô và nhóm Lie. Đặc biệt, chúng tôi xây dựng khái niệm giới hạn xạ ảnh của dãy Lie để làm cơ sở cho việc trình bày chơng sau. 1.1 Một số lớp nhóm tôpô 1.1.1 Định nghĩa và thí dụ: 1.1.1.1 Định nghĩa. Nhóm tôpô là một tập hợp G trên đó đã đợc trang bị một cấu trúc nhóm và một cấu trúc tôpô, thoả mãn hai điều kiện sau: i, ánh xạ: (x,y) xy từ G ì G đến G liên tục ii, ánh xạ: x x -1 từ G đến G liên tục. Khi đó ta nói rằng cấu trúc nhóm và cấu trúc tôpô là tơng thích với nhau. Hai điều kiện i, và ii, tơng đơng với điều kiện : ánh xạ (x,y) xy -1 từ G ì G vào G liên tục. 1.1.1.2 Thí dụ: Thí dụ 1. Giả sử G là nhóm cộng các vectơ của không gian Ơclit r-chiều. Ta đa vào G tôpô đợc xét trên quan điểm hội tụ theo điểm. Khi đó G trở thành nhóm tôpô, gọi là nhóm vectơ r - chiều. Thí dụ 2. Giả sử G là nhóm cộng các số nguyên. Ta đa vào các tôpô hoá khác nhau. Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Ký hiệu U k là tập hợp tất cả các số nguyên chia hết cho p k . Họ các tập hợp U k , k = 1,2, . có thể nhận làm hệ đầy đủ của các lân cận của 0.Nếu p và p là hai số nguyên tố khác nhau, thì hai sự tôpô hoá bằng hai phơng pháp đã chỉ ra ở trên cũng khác nhau (vì dãy p, p 2 , ., p k , . có điểm giới hạn là 0 trong tôpô thứ nhất, nhng trong tôpô thứ hai điều đó không xảy ra). 1.1.2 Nhóm compact và compact địa phơng. 1.1.2.1 Định nghĩa. Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm compact (compact địa phơng), nếu không gian G là không gian compact ( compact địa phơng). 4 1.1.2.2 Định lí. Giả sử G là một nhóm tôpô, H là ớc chuẩn của nó. Nếu: i, G là nhóm compact thì H và H G là nhóm compact . ii, G là nhóm compact địa phơng thì H G là nhóm compact địa phơng. Chứng minh: i, Vì G là không gian compact và H là ớc chuẩn của G nên H đóng trong G, do đó H là không gian compact (tập đóng của không gian compact là compact) . Mặt khác, ánh xạ tự nhiên f: G H G liên tục mà G compact nên H G = p(G) compact (ảnh) của một tập compact qua ánh xạ liên tục là compact. ii,Vì H đóng trong G mà G compact địa phơng nên H compact địa phơng. Giả sử f: G H G là ánh xạ tự nhiên, khi đó f liên tục. Giả sử A là một phần tử tuỳ ý của G. Khi đó tồn tại a G sao cho A = Ha= f(a). Vì G compact địa phơng nên tồn tại lân cận U của a sao cho U compact. Thế thì f( U ) compact. Vì H G là nhóm tôpô nên H G là không gian Hausdorff, suy ra f ( U ) đóng trong H G , do đó )(Uf = f( U ). Vì U U nên f(U) f( U ) )(Uf )(Uf = f( U ). Vì )(Uf đóng và f( U ) compact nên )(Uf compact . Ký hiệu U * = {Hx/ x U} thì U * là lân cận của A và f(U) = U * .Vì * U = )(Uf compact nên H G địa phơng. 1.1.2.3 Định lí. Giả sử G là nhóm compact địa phơng và địa phơng hữu hạn tôpô. Thế thì G compact khi và chỉ khi G compact sinh ra. Chứng minh:Nếu G là nhóm compact thì hiển nhiên G là nhóm compact sinh ra. Giả sử G là nhóm compact sinh ra. Khi đó tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e sao cho }{ VG = , nghĩa là } { , .2,1 == nVG n . Vì V compact nên V 2 compact và bị phủ bởi các tập mở gV với Vg . Khi đó tồn tại phủ con hữu hạn VgVgVg n , .,, 21 của V 2 . Ký hiệu }{ n gggA . 21 = . Khi đó, AVV 2 . Bằng quy nạp theo n ta chứng minh đợc AVV n . Thật vậy, vì A là nhóm con của G nên: AVAVAAVVAVVVV nn = 21 . 5 Do đó, AVV n với n=1,2, . suy ra G = AV. Vì A là nhóm hữu hạn sinh và G là địa phơng hữu hạn tôpô, nên A compact và do đó G compact. 1.1.2.4 Định lí. Cho G là một nhóm tôpô, H là ớc chuẩn compact của G sao cho H G là compact. Khi đó G là nhóm compact. Chứng minh: Để chứng minh G là compact ta chứng minh trong G có họ các tập con có tính giao hữu hạn thì giao khác rỗng. Xét hệ tâm có tính giao hữu hạn của nhóm G: n i i E 1 = ; Ta chứng minh: E E . Kí hiệu }{ H G GfEEf = :,)( * (f là đống cấu tự nhiên) thế thì * là hệ trung tâm do H G là compact nên tồn tại A E, * )(: EfE tức là GeU thì )(EfAU (vì AU là lân cận của A) suy ra tập AU là phần tử của G có giao với các tập của khác rỗng, tức là EAU suy ra AEU 1 , lấy }{ = EAEU 1' , A là một lớp ghép nên A đồng phôi với H, H compact suy ra A compact, vậy hệ ' có điểm chung là EAEUa , 1 suy ra mỗi lân cận V của e trong G thì aVEU 1 (vì aV chứa a) suy ra EaVUE , . Lấy W chứa e, do phép nhân liên tục nên tồn tại u,v sao cho uv W suy ra auv aW. Vậy EEaW , . Suy ra G compact. 1.1.2.5 Hệ quả. Giả sử G là một nhóm tôpô, H là ớc chuẩn compact, f là đồng cấu tự nhiên từ G vào H G . Khi đó nếu Q là tập compact trong H G thì f -1 (Q) cũng là tập compact trong G. Chứng minh : Xem [4] 1.1.3 Nhóm liên thông và hoàn toàn không liên thông. 1.1.3.1 Định nghĩa. i, Nhóm tôpô G đợc gọi là liên thông nếu không gian tôpô G là không gian liên thông. 6 ii, Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm hoàn toàn không liên thông nếu không gian G là không gian hoàn toàn không liên thông. Chú ý: Thành phần liên thông của đơn vị của nhóm G thờng đợc kí hiệu là G 0 . Nếu G 0 = G thì G là nhóm liên thông. Nếu G 0 = }{ e thì mọi thành phần liên thông của G chỉ gồm một điểm nên G là nhóm hoàn toàn không liên thông. 1.1.3.2 Định lí . Nhóm liên thông G sinh bởi lân cận bất kì của đơn vị. Chứng minh.Giả sử V là lân cận bất kì của e G và giả sử G }{ V , kí hiệu { } VH = . Khi đó, H là nhóm con mở của G suy ra H đóng, vậy H vừa mở vừa đóng trong G vì G }{ V nên G\H . Vậy G là hợp của hai tập hợp vừa mở vừa đóng khác rỗng, tức G=H G\H , điều này mâu thuẫn với tính liên thông của G chứng tỏ G }{ V là sai. Vậy G = }{ V 1.1.3.3 Định lí. Giả sử G là nhóm tôpô, G 0 là thành phần liên thông của đơn vị trong G. Khi đó 0 G G là nhóm hoàn toàn không liên thông. Chứng minh: Giả sử G: 0 G G là đồng cấu tự nhiên, kí hiệu G * = 0 G G . Khi đó, là đồng cấu mở từ G đến G * . Gọi P * là thành phần liên thông của đơn vị trong G * , P= )( *1 P , khi đó : P P * là ánh xạ mở. Thật vậy, giả sử U là lân cận nào đó của không gian P, khi đó tồn tại lân cận V của không gian G sao cho U=P V, ta có (U)=P * (V), nhng : * GG mở nên (V) mở trong G * , do đó (U) mở trong P *. Giả thiết rằng P * còn chứa phần tử khác đơn vị, khi đó G 0 là một phần trọn vẹn của P nên P không liên thông. Do đó, == BABAP , , A và B mở trong P. Nếu a A thì G 0 a A . Nếu G 0 a B thì G 0 a phân tích đợc thành hợp hai tập hợp đóng không giao nhau nên (A) và (B) không giao nhau. Các tập này mở trong P * , nh vậy P * phân tích đợc thành hai tập mở trong P * , mâu thuẫn với P * liên thông suy ra 0 G G hoàn toàn không liên thông. 7 1.2 Nhóm Lie và giới hạn xạ ảnh của dãy lie. 1.2.1 Nhóm Lie: Có nhiều cách xây dựng nhóm Lie. Cách xây dựng nhóm Lie mà chúng tôi trình bày trong tiết này dựa trên cuốn sách Nhóm liên tục của Pontjagin [11]. 1.2.1.1 Định nghĩa : Không gian tôpô G đợc gọi là nhóm địa phơng nếu đối với cặp phần tử a, b thuộc G xác định tích ab thoả mãn các điều kiện sau: i, Nếu các tích ab, (ab)c, bc, a(bc) xác định thì có đẳng thức (ab)c=a(bc). ii, Nếu tích ab xác định thì đối với mỗi lân cận tuỳ ý W của phần tử ab, tồn tại các lân cận U và V của các phần tử a và b tơng ứng sao cho với mọi x U, y V tích xy xác định và xy W. iii, Trong G có phần tử trung lập e với tính chất: với mọi a G thì tích ea xác định và ea=a. iiii, Đối với cặp phần tử a và b sao cho tích ab xác định và ab=e thì ta nói rằng a là nghịch đảo trái của b và viết a=b -1 . Nếu phần tử b tồn tại nghịch đảo trái b -1 , thì với mỗi lân cận U của b -1 tồn tại lân cận V của b sao cho với mọi phần tử y V tồn tại nghịch đảo trái y -1 V. 1.2.1.2 Nhận xét. Từ định nghĩa nhóm địa phơng suy ra. Giả sử G là nhóm địa ph- ơng. Khi đó tồn tại các lân cận U và V của đơn vị e sao cho U V và các điều kiện sau đợc thoả mãn: i, Với a U, tích ae xác định và ae=a. ii, Với a V, tồn tại phần tử a -1 sao cho các tích aa -1 và a -1 a xác định, hơn nữa aa -1 =a -1 a=e. iii, Nếu a,b V thì phơng trình ax=b và ya=b giải đợc trong lân cận U, và mỗi phơng trình đó có nghiệm duy nhất. 1.2.1.3 Định nghĩa. Ngời ta nói rằng trong nhóm địa phơng G đã đa đợc vào hệ toạ độ, nếu đã cho ánh xạ tôpô từ lân cận U của đơn vị e của nhóm G lên lân cận V của không gian tọa độ Euclide S, sao cho (e)=0. Nh vậy, mỗi điểm x U , tồn tại các số thực x 1 ,x 2 ,,x n (1) 8 là các toạ độ của điểm (x) S. Các số thực x 1 ,x 2 ,, x n đợc gọi là các toạ độ của chính điểm x U. Khi đó, đơn vị e sẽ có toạ độ là không. Hơn nữa, với mỗi hệ các số (1), nếu các số này có trị tuyệt đối đủ bé, tồn tại điểm x U nhận các số đó làm các toạ độ của nó. Số n gọi là chiều của nhóm địa phơng G. 1.2.1.4 Chú ý. Giả sử W là lân cận đủ bé của đơn vị e của nhóm G sao cho với mọi cặp phần tử x, y thuộc W thì tích xy xác định. Khi đó, ta có xy=z=f(x,y) (2) Bởi vì các điểm x,y và z thuộc U, nên chúng có toạ độ và dới dạng toạ độ, hệ thức (2) đợc biểu diễn dới dạng z i = f i (x,y)=f i (x 1 ,,x n ; y 1 ,,y n ) (3) trong đó các hàm f i là đơn trị và liên tục, xác định đối với tất cả các giá trị đủ nhỏ của biến.Bởi vì xe=x,ey=y nên ta có:f i (x 1 ,,x n ;0,0)=x i ,f i (0,0;y 1 ,,y n )=y i (4) Các toạ độ của nhóm địa phơng G đợc gọi là khả vi, nếu các hàm ở (3) ba lần liên tục khả vi, và đợc gọi là là giải tích, nếu các hàm ở (3) giải tích. Từ hệ thức (4) suy ra: i j j i j i y f x f = = nếu x=y=e . (5) Từ (5) suy ra tại lân cận e, phơng trình (3) giải đợc đối với các toạ độ x 1 , ,x n của phần tử x=zy -1 , và bởi vậy toạ độ này cũng là các hàm ba lần liên tục khả vi (giải tích) của các toạ độ của các phần tử y và z. Kết quả đó cũng xảy ra đối với phần tử y=x -1 z. 1.2.1.5 Định nghĩa. Nhóm địa phơng G đợc gọi là nhóm Lie địa phơng, nếu trong G đã đa vào một hệ toạ độ khả vi. Nhóm tôpô G với cơ sở đếm đợc gọi là nhóm Lie, nếu trong G đã đa vào hệ toạ độ khả vi khi xem G nh là nhóm địa phơng. 1.2.1.6 Các ví dụ. Giả sử G là nhóm nhân tất cả các ma trận thực vuông cấp n với định thức khác không. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng G là nhóm Lie. Để thực hiện điều đó, ta đa vào hệ toạ độ nh sau: Với mỗi ma trận x G tuỳ ý, ta biểu diễn x dới dạng e+|| j i x ||,trong đó e là ma trận đơn vị.Khi đó các phần tử của ma trận || j i x || đợc lấy làm toạ độ của x. 9 ánh xạ từ nhóm G lên tập mở S của không gian Euclide n 2 chiều nhận đ- ợc nh vậy chuyển phần tử đơn vị thành gốc toạ độ. Khi đó, hệ thức (3) đối với G d- ới dạng toạ độ đợc chuyển thành k j i k i j i j i j yxyxz . ++= .Vậy,G là nhóm Lie. Tơng tự, nhóm nhân tất cả các ma trận phức vuông cấp n không suy biến là nhóm Lie với chiều bằng 2n 2 .Từ định nghĩa suy ra mọi nhóm Lie địa phơng đều là nhóm compact địa phơng. 1.2.1.7 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm compact và N 1 , N 2 ,,N k là các ớc chuẩn của nó sao cho các nhóm thơng i N G , i=1,2,,k là nhóm Lie. Khi đó N G là nhóm Lie, trong đó k NNNN = . 21 . Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho trờng hợp k = 2. Gọi f i là ánh xạ tự nhiên từ nhóm G lên nhóm Lie i N G . Ký hiệu G * là tích trực tiếp của các nhóm G 1 và G 2 . Khi đó ánh xạ GGf : * xác định bởi f(x)=(f 1 (x),f 2 (x)), với mọi x G là đồng cấu và 21 )( NNfKer = . Vì G * là nhóm Lie và G compact nên f là ánh xạ mở từ G lên nhóm Lie * )( GGf . Bởi vậy, N G là nhóm Lie, vì N G = )Im( )( 21 f fKer G NN G = hay )(Gf N G 1.2.1.8 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm compact. Thế thì mỗi lân cận U của đơn vị của nhóm G, tồn tại một ớc chuẩn N sao cho N G là nhóm Lie. Chứng minh: Vì G là nhóm Lie, nên với mỗi a G , a e tồn tại một biểu diễn tuyến tính f a của nhóm G sao cho f a (a) không phải là ma trận đơn vị (Theo [11]). ánh xạ f a là đồng cấu của nhóm G vào nhóm compact các ma trận tuyến tính tổng quát , và do đó f a là ánh xạ mở từ G lên nhóm Lie a GGf = :)( . Kí hiệu N a =Ker(f a ). Nh vậy, với mỗi phần tử a G, a e tồn tại ớc chuẩn N a của G sao cho a N G là nhóm Lie. Vì a không thuộc tập đóng N a , nên tồn tại lân cận V a của phần 10