Phần tử tôpô và phần tử compact trong nhóm tôpô

1. 2.Nhóm Lie và giới hạn xạ ảnh của dãy Lie

2.2.1. phần tử tôpô và phần tử compact trong nhóm tôpô

2.2.1.1 Định nghĩa và kí hiệu. i, Giả sử G là nhóm trừu tợng. Ký hiệu π (G) là tập hợp tất cả các ớc nguyên tố của cấp các phần tử của G.

Nếu g∈G, thì π(g) là kí hiệu tập hợp tất cả các ớc nguyên tố của cấp của phần tử g, tức là cấp của nhóm con sinh bởi g.

ii, Nếu π là tập hợp các số nguyên tố nào đó và π (g)⊆ π, thì g đợc gọi là

π- phần tử trừu tợng, còn nếu π (G) ⊆ π thì G đợc gọi là π - nhóm trừu tợng.

2.2.1.2 Định nghĩa . i, Giả sử G là nhóm tôpô với đơn vị là e. Phần tử g∈G đợc gọi là π - phần tử tôpô nếu với mọi lân cận U của e, tìm đợc các số nguyên tố p1,

…,pk∈π và các số nguyên α1,α2,...,αk sao cho g k tt U k k k p p p p p + ∈ + γ γ γ γ γ. ... . 1... 1 2 2 1 1 với mọi số

nguyên γ ≥i αi, i=1,2,…,k và mọi số nguyên γk+1,…,γt và với mọi số nguyên tố

1

+

k

p ,…, pt∈π.

ii, Nếuπ ={p}, thì phần tử g đợc gọi là p - phần tử tôpô nếu với mọi lân cận U của e , tìm đợc số nguyên m sao cho gpk ∈U với mọi số nguyên k > m.

Rõ ràng, trong nhóm tôpô G, π - phần tử tôpô là π -phần tử trừu tợng. Nếu tôpô trong nhóm tôpô G là tôpô rời rạc thì π -phần tử trừu tợng cũng là π-phần tử tôpô .

2.2.1.3 Mệnh đề. ảnh đồng cấu của π -phần tử tôpô là π-phần tử tôpô .

Chứng minh : Giả sử f:G→G'là đồng cấu nhóm tôpô và g là π-phần tử tôpô của G; g’=f(g). Khi đó, với lân cận tuỳ ý U' của đơn vị e’ của nhóm G’, ta có U=f-1(

'

U ) là lân cận đơn vị của nhóm G vì ánh xạ f liên tục.

Vì g là phần tử tôpô của G nên tìm đợc các số nguyên tố p1,p2,…,pk∈π và các số nguyên α1,...,αk sao cho t

t k k k k p p p p g 1γ1... γ . γ1+1... γ + ∈U (1)

với mọi số nguyên γi ≥αi,i=1,2,…,k; mọi số nguyên γj, j=k+1,…t và mọi số nguyên tố p1,…, pt∈π .

Vì f là đồng cấu nhóm và g’=f(g) nên từ (1) suy ra t t k k k k p p p p g' 1γ1... γ . γ 1+1... γ + ∈f(U)=U’. Do đó, g’ là π- phần tử tôpô.

2.2.1.4 Hệ quả.ảnh đồng cấu của π -phần tử trừu tợng là π-phần tử trừu tợng.

Chứng minh: áp dụng mệnh đề 2.2.1.3, lấy tôpô trong G và G’ là các tôpô rời rạc.

2.2.1.5 Mệnh đề. Trong nhóm Lie liên thông G, π - phần tử tôpô g là π -phần tử trừu tợng.

Chứng minh: Từ định nghĩa π- phần tử tôpô suy ra, với lân cận Ui bất kì của đơn vị tồn tại số nguyên mi sao cho π(mi)⊆ π và gmik ∈U bắt đầu với số nguyên k=d nào đó.

Trớc hết, giả thiết rằng G là nhóm liên thông tuyến tính Lie. Không mất tính tổng quát, có thể giả thiết lân cận Ui có dạng Euclide. Bởi vì phần tử liên hợp với π- phần tử tôpô là π - phần tử tôpô, nên có thể giả thiết g có dạng Jordan.

Nếu λ là một nghiệm đặc trng của ma trận g, thì do Ui đợc chọn một cách tuỳ ý, nên tồn tại dãy λα1,λα2,...,λαk,...→1. Từ đó suy ra ||λ||=1. Nếu λ không phải là căn của đơn vị thì tập hợp {λmik |k >d} tạo thành một tập trù mật trong xuyến tối đại một chiều T và do đó không thể thuộc vào lân cận Uλ, cảm sinh bởi U với các phần tử trên đờng chéo chính của g, nếu chọn U đủ nhỏ. Do đó λt=1. Nếu

n

λ λ

λ1, 2,..., là các nghiệm đặc trng của g, thì đối với số nguyên α đủ nhỏ, ta có

1

=

α

λi với i=1,2,…,n. Khi đó, ma trận g có thể đợc xem nh ma trận tựa luỹ linh với thành phần nguyên, và do tính rời rạc của nhóm { }gα ⊂G, suy ra gα =1.

Vì nhóm Lie liên thông tuỳ ý đẳng cấu địa phơng với nhóm Lie tuyến tính, nên từ mệnh đề 2.2.1.3 suy ra sự đúng đắn của mệnh đề 2.2.1.4.

Cuối cùng, nếu nhóm Lie không liên thông, thì do tính rời rạc của nhóm th- ơng

0

G

về trờng hợp G là nhóm Lie liên thông đã xét ở trên. Mệnh đề 2.2.1.4 đợc chứng minh.

2.2.1.6 Định nghĩa. Cho G là nhóm tôpô . Nhóm con P của G đợc gọi là π- nhóm con tôpô nếu P gồm và chỉ gồm các π- phần tử tôpô . Nhóm con P của G đợc gọi là nhóm con xoắn theo nghĩa tôpô nếu với mọi h∈P là πh- phần tử tôpô với πh nào đó.

2.2.1.7 Chú ý. Sự tồn tại của các p-nhóm con của các nhóm hữu hạn đợc Sylow chỉ ra năm 1872 và sự tồn tại các π - nhóm con của nhóm giải đợc hữu hạn đợc Ph.Hall chỉ ra năm 1928. Sau đó, nhiều tác giả đã nghiên cứu các p- nhóm và π- nhóm của các nhóm bất kỳ không nhất thiết hữu hạn (Xem [7]).

Sau này, nhiều nhà toán học nổi tiếng nh Cartan, Dantzig, Platonov… đã xây dựng khái niệm π - nhóm tôpô của nhóm tôpô và đã đa ra nhiều kết quả liên quan đến các khái niệm đó.

Từ mệnh đề 2.2.1.3 dễ dàng suy ra hệ quả sau.

2.2.1.8 Hệ quả. i, ảnh đồng cấu của một π- nhóm con tôpô là một π- nhóm

con tôpô .

ii, ảnh đồng cấu của một nhóm con xoắn tôpô là một nhóm con xoắn tôpô .

2.2.1.9 Định nghĩa. Phần tử g của nhóm tôpô G đợc gọi là phần tử compact, nếu nhóm con { }g là nhóm compact .

Rõ ràng khái niệm phần tử compact là sự tổng quát hoá khái niệm phần tử cấp hữu hạn.

Mệnh đề sau đây cho thấy khái niệm phần tử compact của nhóm tôpô tổng quát hơn khái niệm phần tử cấp hữu hạn, và trong một số lớp nhóm đặc biệt thì hai khái niệm đó trùng nhau.

2.2.1.10 Mệnh đề. i, Mọi π - phần tử tôpô của nhóm tôpô G là phần tử compact. ii, Nếu dimG = 0 thì mọi phần tử compact của G cũng là π- phần tử tôpô.

Chứng minh.

i, Theo [11], hoặc{ }g là compact hoặc { }g là nhóm xiclic rời rạc cấp vô hạn. Trờng hợp thứ hai không xảy ra, vì mọi π- phần tử rời rạc có cấp hữu hạn.

ii, Giả sử dimG=0. Khi đó { }g = ( ,ϕβ,α β ω)

α

α < <

G

Lim , trong đó Gα là các nhóm hữu hạn(Xem ví dụ 1.2.2.3 chơng I). Do đó, { }g là π - nhóm tôpô với π

chọn thích hợp. Suy ra g là π- phần tử tôpô.