1. 2.Nhóm Lie và giới hạn xạ ảnh của dãy Lie
2.2.3. nhóm con của nhóm compact địa phơng
2.2.3.1 Bổ đề. Nhóm con xoắn của nhóm Lie liên thông G có ớc chuẩn Abel với chỉ số hữu hạn.
Chứng minh: Nếu G là nhóm tuyến tính, thì bổ đề 2.2.3.1 đợc suy ra trực tiếp từ định lý Schur.
Đối với nhóm Lie liên thông G tuỳ ý, theo lý thuyết Lie và định lý Ado, ta có Ad(G)≅GZ.
Nếu P là nhóm con xoắn của G, thì P*=PZZ ≅ PP∩Z. Khi đó, P1=P∩Z
compact, đồng thời P* có ớc chuẩn Abel H* sao cho bao đóng H* của nó compact. Do đó, bao đóng H của H- tạo ảnh toàn phần của H* qua toàn cấu chính tắc- là nhóm compact giải đợc. Hơn nữa H ∩P có chỉ số hữu hạn trong P. Nhng mọi nhóm compact liên thông giải đợc Abel, nên P∩ H0là ớc chuẩn Abel có chỉ số hữu hạn của P.
2.2.3.2 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm Lie với hữu hạn thầnh phần liên thông và H
là nhóm con xoắn của G. Khi đó, bao đóng H là nhóm compact.
Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử H⊂G0. Trớc hết, ta xét trờng hợp H là nhóm con Abel. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo dimG0.
Nhóm con bất kì hữu hạn sinh Hi của H là nhóm hữu hạn và do đó thuộc vào nhóm con compact tối đại Bi nào đó. Theo [10], Hi ⊂ NBi(Ti), trong đó Ti là xuyến tối đại của Bi. Do tính tối đại của các Bi trong G0, nhóm Weyl Wi= ( )
i i B T T N i đẳng
cấu với tất cả các nhóm con compact tối đại B. Nếu nhóm con H thuộc vào tâm của G0 thì H⊂ Bi, nên H compact.
Giả sử H không thuộc tâm của G0, thế thì tồn tại h∈H sao cho h∉Z(G0), trong đó Z(G0) là tâm của G0. Chúng ta xét nhóm 0 ( )
0 h
ZG - thầnh phần liên thông của đơn vị của ZG0(h)và chứng minh chỉ số [H:H∩ 0 ( )
0 h
ZG ] hữu hạn. Thật vậy, trong trờng hợp ngợc lại, ta có đẳng cấu của các nhóm trừu tợng
H*= ( ) 0 ( ) 0 0 0 h Z h HZ G G ≅ HZ h H G0 ( )∩ 0
Đối với r >ω (Wi), trong đó O(Wi) là cấp của nhóm Wi, chúng ta chọn các phần tử g1,…,gr từ các lớp ghép khác nhau của nhóm H*.Nhóm T=
{g1,...,gr} ⊂NB( )T , trong đó B là nhóm con compact tối đại nào đó của 0 ( )
0 h
ZG ,
còn T là xuyến tối đại của nó. Nhng khi đó O(NB T
T) (
)>O(Wi) đó là điều không thể xẩy ra. Bởi vậy H0= 0 ( )
0 h
ZG ∩ H có chỉ số hữu hạn trong H. Bởi vì 0 ( )
0 h
ZG ≠ G0, nên theo giả thiết quy nạp có H0 là nhóm compact và từ đó H là nhóm compact.
Bây giờ, ta xét trờng hợp H không phải là nhóm Abel. Vẫn giả thiết rằng H ⊂ G0. Khi đó G0 là nhóm Lie liên thông nên H là nhóm con xoắn của G0 nên theo bổ đề 2.2.3.1, H có một ớc chuẩn Abel với chỉ số hữu hạn. Áp dụng trờng hợp trên, ta có H compact. Mệnh đề 2.2.3.2 đợc chứng minh
2.2.3.3 Định lí. Giả sử G là nhóm compact địa phơng với thơng
0
G
G compact và
H là π-nhóm tôpô của G. Khi đó, bao đóng H compact.
Chứng minh. Vì G là nhóm compact địa phơng với nhóm thơng
0
G
G , nên theo
định lí Yamabe, tồn tại nhóm con chuẩn tắc N của G sao cho GN là nhóm Lie. Theo mệnh đề 2.2.3.2, ta có H*=HNN là nhóm compact, và do đó H compact.
Định lí 2.2.3.3 đợc chứng minh.
2.2.3.4 Hệ quả. Giả sử G là nhóm compact địa phơng với thơng
0
G
G và H là p-
nhóm con tôpô của G. Khi đó, bao đóng H compact .
Chứng minh: Suy ra trực tiếp từ định lý 2.2.3.3 với π = p