1. 2.Nhóm Lie và giới hạn xạ ảnh của dãy Lie
2.2.2. Nhóm compact sinh ra
2.2.2.1 Định nghĩa. Nhóm G đợc gọi là nhóm compact sinh ra nếu trong G tồn tại một tập con compact P sinh ra G.
Rõ ràng khái niệm nhóm compact sinh ra là sự khái quát hoá của nhóm con hữu hạn sinh.
2.2.2.2 Bổ đề. Giả sử G là nhóm compact địa phơng và compact sinh ra. Khi đó, trong G tồn tại lân cận đối xứng compact của đơn vị sinh ra toàn bộ G.
Chứng minh. Vì G là nhóm compact sinh ra nên tồn tại tập con H của G sao cho G=<{H}>. Khi đó, tồn tại lân cận đối xứng V của đơn vị e của G (vì G là nhóm compact địa phơng, nên tồn tại lân cận U của e sao cho U compact. Lấy
1 −
∩
=U U
V thì V là lân cận cần tìm). Đặt D=HV∪ V. Khi đó, D và D-1 compact và do đó K=D∪ K-1 là tập compact đối xứng của e sinh ra G.
2.2.2.3 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm compact địa phơng và bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh bất kỳ H của G compact . Khi đó G compact nếu và chỉ nếu G compact sinh ra.
Chứng minh: Nếu G là nhóm compact thì hiển nhiên G là nhóm compact sinh ra. Giả sử G compact sinh ra. Khi đó, theo bổ đề 2.2.2.2 tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e sao cho G=<V>, nghĩa là G= {Vn |n=1,2,...}. Vì V compact nên V2 compact và bị phủ bởi các tập mở gV với g∈V. Khi đó tồn tại phủ con hữu hạn {g1V,g2V,...,gnV} của V2. Kí hiệu A= {g1,g2,...,gn} . Khi đó,
AV
nhóm con của G nên Vn =Vn−1V ⊆AV.V ⊆ AV2 ⊆ A.AV ⊆AV . Do đó, Vn ⊆AV với n=1,2,…Suy ra G=A.V. Vì A là nhóm con hữu hạn sinh của G và A đóng nên theo giả thiết A compact, hơn nữa V compact nên AìV compact. Suy ra AV compact (vì ánh xạ f: AìV→A.V
(a,v) av
liên tục do G là nhóm tôpô và ảnh của một tập con compact qua ánh xạ liên tục là compact). Do đó G- compact.
Mệnh đề 2.2.2.3 đợc chứng minh.
Từ mệnh đề 2.2.2.3 gợi ý cho ta đa ra định nghĩa .
2.2.2.4 Định nghĩa. Nhóm compact địa phơng G đợc gọi là hữu hạn địa phơng tôpô, nếu bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh bất kì H của G là compact.
2.2.2.5 Mệnh đề. Giả sử H là nhóm con compact sinh ra của nhóm compact địa
phơng G. Nếu H địa phơng hữu hạn tôpô thì H là nhóm compact.
Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta giả thiết H =G. Ta chứng minh G là nhóm địa phơng hữu hạn tôpô.
Thật vậy, vì G là nhóm compact địa phơng nên
0
G
G là nhóm compact hoàn
toàn không liên thông. Vì vậy, với lân cận U* của e*- đơn vị của
0 G G - tồn tại nhóm con compact mở 0 G
K ⊂ U*. Vì K là nhóm con mở của G, nên trong G tồn tại lân cận compact U của e sao cho U⊂ K. Nhóm Q=<U> là nhóm compact sinh ra và
0
G
Q compact.
Giả sử g1,g2,…,gn∈G. Khi đó nhóm con T= g1,g2,...,gn,Q cũng là nhóm compact sinh ra chứa Q. Vì H =G nên T ∩H =T. Vậy L= T∩ H là nhóm con compact địa phơng hữu hạn tôpô, trù mật trong T .
Theo chứng minh trên, T compact sinh ra nên tồn tại lân cận đối xứng V của e-đơn vị của T sao cho T=<V>. Ta có T=LV. Thật vậy, với t∈T thì tV là lân cận
của t sao cho tV∩ L≠ φ (vì L trù mật trong T). Khi đó, tồn tại v∈L,t∈L sao cho tv=l. Suy ra t=lv-1∈LV. Vậy T⊆LV và hiển nhiên LV⊆T nên T=LV.
Vì V compact nên V2 compact và có phủ hữu hạn {d1V,d2V,…,dmV}, trong đó dj∈V với j=1,2,…,m. Kí hiệu A=< d1,d2,...,dm > là bao đóng của nhóm con sinh bởi các phần tử d1,d2,…,dm. Khi đó, A⊆H và A compact, hơn nữa V2⊆AV.
Bằng quy nạp theo n, ta chứng minh đợc Vn⊆AV, n=1,2,…( xem lập luận trong
chứng minh mệnh đề 2.2.2.3). Khi đó T=AV compact. Từ đó suy ra
⊆
n
g g
g1, 2,..., T compact, và do G là nhóm địa phơng hữu hạn tôpô nên theo
mệnh đề 2.2.2.3, ta có G compact. Mệnh đề 2.2.2.5 đợc chứng minh.
2.2.2.6 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm compact và H là π- nhóm hữu hạn sinh của G. Khi đó, bao đóng H là π - nhóm với chiều bằng không.
Chứng minh : Giả sử H đợc sinh bởi các phần tử g1,g2,…,gn của G. Khi đó, vì G là nhóm compact nên G=lim(Gα, β
α
ϕ ,α<β) trong đó Gαlà nhóm Lie. Giả sử ϕβ: G→Gβ là phép chiếu tự nhiên và ϕβ(H)= Hβ. Khi đó H = lim(Hα, β
α
ϕ ,α<β)
Chú ý rằng trong mỗi nhóm Lie, mỗi π -phần tử compact là một π- phần tử trừu tợng nên theo định lý Schur suy ra Hα là π- nhóm hữu hạn, và do đó H là
π- nhóm với chiều bằng không (xem ví dụ 1.2.2.3 chơng I). Mệnh đề 2.2.1.6 đợc chứng minh .
2.2.2.7 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm compact địa phơng với thơng
0
G
G compact
và P là π-nhóm con của G. Khi đó bao đóng P là nhóm compact.
Chứng minh: Phép chứng minh mệnh đề 2.2.2.7 tơng tự nh chứng minh mệnh đề 2.2.2.6, nhng phải sử dụng định lý Yamabe (xem tiết 2.3 chơng II và [8]).