1. 2.Nhóm Lie và giới hạn xạ ảnh của dãy Lie
2.3. Nhóm con các phần tử compact trong một số lớp nhóm tôpô
một số lớp nhóm tôpô
Trongtiết 2.2, chúng tôi đã nêu khái niệm phần tử compact trong nhóm tôpô. Cũng nh tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn trong nhóm trừu tợng nói chung không lập thành một nhóm con, tập các phần tử compact trong một nhóm tôpô nói chung cũng không lập thành một nhóm con.Tuy nhiên, khi tập hợp đó lập thành một nhóm con thì nhóm con này sẽ có nhiều tính chất tốt mà chúng tôi sẽ trình bày ở phần cuối cùng của tiết này.
Để chứng minh các kết quả ấy, chúng tôi sẽ sử dụng công cụ giới hạn xạ ảnh để đa bài toán cần xét về bài toán tơng ứng trên nhóm Lie; mà các bài toán ấy trên nhóm Lie đã đợc giải quyết. Sơ đồ chứng minh các mệnh đề trong tiết này là: Nhóm tôpô→ Nhóm Lie→ Nhóm Lie tuyến tính→ Nhóm Lie compact.
Trong đó cơ sở lập luận của bớc một là định lý Yamabe, của bớc 2 là định lý Ado và Lý thuyết Lie, của bớc 3 là định lý Cartan-Maltsev-Iwasawa tổng quát.
2.3.1 Định lý Yamabe và định lý Cartan - Maltsev - Iwasawa tổng quát.
2.3.1.1 Định lí Yamabe [15]. Giả sử G là nhóm compact địa phơng với thơng
0
G G
compact . Khi đó G=Lim(Gα, β α
ϕ ,α <β) , trong đó Gα là các nhóm Lie.
Định lí Yamabe là mở rộng kết quả của tiết 2 ,chơng 1, mục 1.2.2.
2.3.1.2 Định lí Iwasawa[5]. Nếu trong nhóm tôpô G có nhóm con Lie bất biến giải đợc đơn liên H với thơng GH compact thì G=B.H, trong đó B là nhóm con compact và tất cả các phần bù H của B trong G là liên hợp với nhau.
2.3.1.3 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm Lie với hữu hạn thành phần liên thông. Khi đó nhóm con compact bất kỳ của G đợc chứa trong một nhóm con compact tối đại. Tất cả các nhóm con tối đại trong G liên hợp với nhau. Nếu B là một nhóm con tối đại nào đó của G thì G=B.H1…Hm, trong đó Hi ,i=1,…,m là nhóm véc tơ một chiều, hơn nữa ánh xạ tự nhiên f: BìH1ì…ìHm →B.H1…Hm là một phép đồng phôi
Chứng minh: (Dựa trên kết quả đã biết về nhóm Lie liên thông trong công trình của Iwasawa, xem [5] )
Trớc hết, giả thiết rằng G0 nửa đơn. Khi đó, nhóm con đặc trng bất kỳ S của nó trùng với cái chuẩn hoá của S trong G. Từ định lý 2.3.1.2 suy ra: G=NG(S).G0 , hơn nữa chỉ số [NG(S):S]=[G:G0], do tính liên hợp của các nhóm con đặc trng trong G0. Nhóm S=B0 ìA, trong đó B0 là nhóm con compact tối đại của G0 còn A là nhóm véc tơ. Khi đó nhóm thơng N*=
0 ) ( B S NG là mở rộng hữu hạn của nhóm véc tơ, và do đó theo định lý 2.3.1.2 có N*=D*.A*, trong đó D* là nhóm hữu hạn còn A*
là nhóm véc tơ. Rõ ràng B=ϕ−1(D*), trong đó ϕ :NG(S)→ N* là ánh xạ chính tắc, sẽ là nhóm con compact tối đại của G, và do đó theo cách xây dựng, ta có G=BG0. Hơn nữa G0=B0.H1…Hm, nghĩa là G=B.B0.H1…Hm, và ánh xạ f là phép đồng phôi vì điều đó đúng với G0. Tính liên hợp của các nhóm con compact tối đại đợc suy ra từ định lí Cartan về sự tồn tại của điểm bất động, vì các không gian GB
và
0 0
B
G đồng phôi.
Trong trờng hợp tổng quát, ta chứng minh bằng qui nạp theo dimG0. Nếu R0 là căn liên thông của G0 thì có thể xem rằng R0 ≠ (e). Khi đó G có ớc chuẩn Abel liên thông mở A=TìV, trong đó T compact và V là nhóm véc tơ. Khi T≠ (e) thì theo giả thiết qui nạp ta có G*=GT =B*. *
1 H … * m H .Nếu ϕ:G→G* là ánh xạ chính tắc thì 1( *) B −
ϕ là nhóm con compact tối đại của G, còn ϕ−1(Hi*) =T.Hi, điều này
chứng minh mệnh đề. Nếu T= (e) thì ϕ−1(B*) =B.V , hơn nữa tất cả các B liên hợp trong ϕ−1(B*) theo định lý 2.3.1.2. Tơng tự có ϕ−1(Hi*) =Hi.V , từ đó suy ra mệnh đề đợc chứng minh.
2.3.1.4 Định lí. (Cartan-Maltsev-Iwasawa tổng quát). Giả sử G là nhóm tôpô với thơng
0
G
G compact. Khi đó, mọi nhóm con compact của G đợc chứa trong một
nhóm con compact tối đại. Tất cả các nhóm con compact tối đại của G liên hợp với nhau. Nếu L là một nhóm con compact tối đại nào đó của G thì G=LH1…Hm
trong đó Hi là nhóm véc tơ một chiều và ánh xạ tự nhiên f:LìH1ì...ìHm m
H LH1...
→ là một phép đồng phôi.
Chứng minh: Theo định lí Yamabe thứ nhất (Xem[15]), nhóm G có ớc chuẩn B sao cho G*=GB là nhóm Lie. Rõ ràng rằng G* có hữu hạn thành phần liên thông nên theo mệnh đề 2.3.1.3 có G*= * * 1 *.H ...Hm L , các L* liên hợp trong G* và các * i H
là các nhóm véc tơ một chiều. Nếuϕ:G→G* là ánh xạ tự nhiên thì theo [5], có , . ) ( * 1 Hi =Hi B −
ϕ trong đó Hi là nhóm véc tơ một chiều. Do tính tối đại của L* trong G* ta có L=ϕ−1(L*) là nhóm con tối đại của G và G=L.H1…Hm. Nếu F là nhóm con compact tuỳ ý của G, thì với phần tử tuỳ ý g∈G, ta có ϕ(gFg−1)⊆F, mà điều đó suy ra gFg-1⊆L. Tính đồng phôi của ánh xạ f đợc suy ra từ tính đồng phôi của
các ánh xạ f*: * * 1 * * * 1 * H ... Hm L .H ...Hm L ì ì ì → và fi:HiìB→Hi.B, i=1,2,…,m . Định lý 2.3.1.4 đợc chứng minh.
2.3.1.5 Định nghĩa. Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm dạng C.M.I nếu mọi nhóm con compact của G đợc chứa trong một nhóm con compact tối đại nào đó của G và các nhóm con compact tối đại của G liên hợp với nhau.
2.3.1.6 Định lí. Nhóm tôpô G có dạng C.M.I nếu và chỉ nếu
0
G
G là nhóm có
dạng C.M.I.
Chứng minh: Giả sử G là nhóm dạng C.M.I . Khi đó đối với nhóm con compact tối đại B của G và với ánh xạ chính tắc
0 *
:B→ G =GG
ϕ ta có ϕ(B) là nhóm con
compact tối đại của G*. Giả thiết rằng ϕ(B) không tối đại trong G* và đợc chứa trong nhóm con compact tối đại B* nào đó của G* thì theo định lí Cartan-Maltsev- Iwasawa, ta có ϕ−1(B*)=BG0 và ϕ(B)=B*. Nếu K* là nhóm con compact tuỳ ý của G* thì lại theo định lí Cartan-Maltsev-Iwasawa, chúng ta nhận đợc
) ( )
( * 1 * 1 K g B
gϕ− − ⊆ϕ với g∈G nào đó. Nghĩa là ϕ(g).K*.ϕ−1(g)⊆B*.
Bây giờ, giả sử G* là nhóm dạng C.M.I. Đối với nhóm con compact R⊆G,
nhóm con HG0 compact sinh ra, và do đó
0 0 0 G R R G RG ∩ ≅ là nhóm compact. Theo
điều kiện của định lí, tồn tại nhóm con H của G sao cho
0
G
H là nhóm con
compact tối đại của G*. Theo định lí Cartan-Maltsev-Iwasawa có H=B.G0, trong đó B là nhóm con compact tối đại của H. Đối với g∈G thích hợp, có gRg-1⊆H , nghĩa
là đối với h∈H nào đó, có hgh-1∈B. Điều này chứng minh tính C.M.I của G. Định lí 2.3.1.6 đợc chứng minh.
2.3.2 Nhóm con các phần tử compact của nhóm tôpô.
2.3.2.1 Định nghĩa. Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm tôpô thuần tuý, nếu mọi phần tử khác đơn vị của G đều không phải là phần tử compact.
Nhóm tôpô thuần tuý còn đợc gọi là nhóm phi xoắn tôpô.
2.3.2.2 Định lí. Giả sử trong nhóm tôpô G, tập hợp H tất cả các phần tử compact của G tạo thành một nhóm con theo nghĩa trừu tợng của G. Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng:
i, H là nhóm con đóng bất biến. ii, GH là nhóm tôpô thuần tuý.
iii, Nếu G0 là thành phần liên thông của đơn vị của nhóm G và N=H.G0 thì
N
G là nhóm rời rạc phi xoắn, hơn nữa N là ớc chuẩn nhỏ nhất của G có tính
chất đó.
Chứng minh: i, Trớc hết giả sử G là nhóm Lie liên thông. Từ định lý Cartan- Maltsev-Iwasawa tổng quát suy ra B là nhóm liên thông, do mọi phần tử của B đ- ợc chứa trong một nhóm compact tối đại nào đó của G. Sử dụng qui nạp theo dim
B. Nếu B nửa đơn, thì B compact theo mệnh đề 2.3.1.3. Nếu A là nhóm con Abel liên thông bất biến không tầm thờng của L thì A=DìV trong đó D là xuyến và V là nhóm véc tơ. Với D≠ {e}, BD là nhóm compact và theo giả thiết quy nạp suy ra tính compact của B. Trong trờng hơp D=(e), chúng ta xét B*=BV . Giả sử b* là phần tử compact của B*, ϕ:B →B* là ánh xạ tự nhiên. Khi đó, ( )
V b* 1
−
ϕ
compact, và do đó theo mệnh đề 2.1.1.2 ta có ϕ−1(b*) ={ }b .V, trong đó b là phần tử nào đó thuộc B. Do đó, ϕ(B)là tập hợp tất cả các phần tử compact của B*. Nh-
ng dimB*<dimB nên theo giả thiết quy nạp B* là nhóm compact và lại theo mệnh đề 2.3.1.2 có B=L.V trong đó L là nhóm compact. Nếu b∈B thì b=l.v,
V v L
l∈ , ∈ . Từ đó l-1b=v, nghĩa là B=L, B=B. Đối với nhóm Lie tuỳ ý G, B0 là nhóm con mở của B, nên B0 compact. Bởi vậy, B0 ⊂B, suy ra B =B.
Bây giờ giả sử G là nhóm compact địa phơng, ∆ là nhóm con mở của G sao cho nhóm thơng
0
G
∆ compact. Theo định lý Yamabe [15], nhóm ∆ là xạ ảnh
trái, nghĩa là ϕα α β β, , ( lim ~ = ∆
∆ <β), trong đó ∆~β là nhóm Lie, còn đối với đồng cấu chính tắc ϕβ:∆~→∆~β, hạt nhân Kerϕβ compact. Theo chứng minh trên, ∆~β là nhóm compact, suy ra tính compact của ∆~. Hơn nữa B0= B∩ G0 là nhóm compact. Chúng ta xét G*= 0 B G , rõ ràng rằng * 0 0 0 B : G
G = là nhóm thuần tuý. Khi đó theo
định ois Cartan-Maltsev-Iwasawa, 0 * 0 * ~ := ∆B = ∆ ìG ∆ , trong đó 0 * ~ ~ B ∆ = ∆ . Giả sử 0 ˆ G G
G = . Nếu gG0=gˆ là phần tử compact của Gˆ , thì { }
0 0 . G G g là compact và
theo định lí Cartan-Maltsev-Iwasawa, có {g}.G0 ={h}.G0, trong đó {h} là nhóm compact. Do đó trong Gˆ , tập hợp các phần tử compact là
0 0 ˆ G BG B= . Nhng 0 G ∆
là nhóm con compact mở trong Gˆ , bởi vậy G Bˆ
0 ⊂
∆ , Bˆ đóng trong Gˆ . Nếu Fˆ
là tạo ảnh của Bˆ trong G thì B⊂F và nhóm
0 G F gồm tất cả các phần tử compact. Khi đó F*:= 0* * 0 P G B
F = ì , trong đó P* là nhóm con các phần tử compact. Do tính mở của nhóm con ∆*, P* =P*, vì ∆*∩P*=∆~* . Nhng khi đó tạo ảnh P của nhóm P* trong G bao gồm các phần tử compact và P⊇B, nghĩa là P=B=B.
ii, Nhóm con N=BG0 mở trong G, vì ∆⊆N . Giả sử gB=g* là phần tử compact của G* = GB
. Khi đó N* = NB
vào đó N*≅ G0G0∩B=G0 B0, trong đó đẳng cấu ở đây là đẳng cấu tôpô vì tính compact của * { *}
0.H g
G = là compact trong G*, mà nh vậy * * * * * * N H H N N H ∩ ≅ , nghĩa là * * * N N
H là nhóm hữu hạn, do tính mở H*∩N* ⊂H*. Từ đây suy ra ( )g* h∈N*, nghĩa là gh∈N với h là số nguyên nào đó. Hiển nhiên (g*)h là phần tử compact. Trong khi đó chính *
0
0G NB N
G ≅ = là nhóm thuần tuý, do tính compact của B0 suy ra sự tự xấp xỷ G0 bởi các nhóm Lie liên thông. Nhng khi đó (g*)h=e*, nghĩa là gh∈B. Hệ thức cuối cùng chứng tỏ g compact và do đó g∈B. Tính thuần tuý của GB đợc chứng minh.
iii, Chúng ta chứng tỏ rằng G~= GN là nhóm rời rạc phi xoắn. Giả sử h~=hN
là phần tử compact trong G~. Do tính mở của N, h~m =e~ nghĩa là hm ∈N. Từ đó (h*)m=(hb)m∈N*, trong đó 0*
0 0
* G B G
N ≅ = . Nghĩa là nhóm Φ* ={h*,N*} là mở rộng hữu hạn của nhóm compact liên thông N*. Do đó, theo định lí Cartan-Maltsev- Iwasawa, Φ* =D*.N*, trong đó D* là nhóm hữu hạn. Từ tính thuần tuý của nhóm
B
G suy ra D*=(e)*, nghĩa là h~=e~.
Tính nhỏ nhất của N là hiển nhiên, do mọi ớc chuẩn của F khác, với tính thuần tuý của GF thì F phải chứa G0 và B, nghĩa là F phải chứa N. Định lí 2.3.2.2 đợc chứng minh.
2.3.2.3 Hệ quả. Giả sử G là nhóm tôpô Abel với nhóm thơng
0
G
G compact. Khi
đó tập B gồm các phần tử compact của G là nhóm con bất biến của G và nhóm thơng GB là nhóm tôpô thuần tuý.
Chứng minh: Theo định lí 2.3.2.2 ta chỉ cần chứng minh B là nhóm con trừu tợng của G. Giả sử g1,g2∈B. Vì G là nhóm Abel nên g1.g2∈{g1}.{g2} . Hơn nữa
0
G G
compact nên {g1}.{g2} là nhóm compact, suy ra g1g2 là phần tử compact. Mặt khác, với mọi g∈B, ta có { −1} { }−1
= g
g nên g-1∈B. Do đó B là nhóm con trừu tợng của G.
2.3.2.4 Định nghĩa. i, Nhóm G đợc gọi là nhóm luỹ linh địa phơng tôpô nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của G đều là nhóm luỹ linh.
ii, Nhóm tôpô G đợc gọi là luỹ linh xạ ảnh địa phơng tôpô, nếu với mọi lân cận U của đơn vị của G, tồn tại ớc chuẩn N sao cho GN là nhóm luỹ linh địa ph- ơng tôpô.
2.3.2.5 Hệ quả.Giả sử G là nhóm compact địa phơng, luỹ linh địa phơng tôpô và B là tập hợp tất cả các phần tử compact của G. Khi đó B là nhóm con đóng bất biến của G và nhóm thơng GB là nhóm tôpô thuần tuý.
Chứng minh: Theo định lí 2.3.2.2, ta chỉ cần chứng minh B là nhóm con trừu t- ợng của G. Giả sử b1,b2∈B. Ký hiệu C= g1,g2 . Vì G là nhóm luỹ linh địa ph- ơng tôpô nên C là nhóm luỹ linh và bao đóng của nhóm luỹ linh hữu hạn sinh là compact. Do đó g1g2∈C là phần tử compact vì C compact. Do đó g1g2 ∈B. Giả sử
B
g∈ , nghĩa là g là phần tử compact, suy ra {g} compact, mà g −1 =g−1 nên 1
−
g compact. Suy ra g-1 compact nên g−1∈B. Vậy B là nhóm con trừu tợng của G. Áp dụng định lí 2.3.2.2 ta có hệ quả 2.3.2.5.
2.3.2.6 Hệ quả.Giả sử G là nhóm luỹ linh xạ ảnh địa phơng tôpô và B là tập hợp tất cả các phần tử compact của G. Khi đó B là nhóm con bất biến đóng của G và nhóm thơng GB là nhóm tôpô thuần tuý.
Chứng minh:
Hệ quả 2.3.2.6 suy ra từ định lí 2.3.2.2 và kết quả nói rằng trong trờng hợp này, B cũng lập thành một nhóm trừu tợng (xem[10]).
kết luận
Luận văn đã đạt đợc một số kết quả sau:
Thứ nhất: Trình bày khái niệm chiều của của nhóm tôpô.Dựa trên nhóm con một tham biến để mô tả cấu trúc nhóm compact hữu hạn chiều.
Thứ hai: Trình bày khái niệm π-nhóm con tôpô của nhóm tôpô và đa ra một số tính chất của π-nhóm con tôpô của nhóm compact địa phơng.
Thứ ba: Trình bày khái niệm nhóm con các phần tử compact của nhóm tô và đa ra tính chất của nhóm con các phần tử compact trong nhóm tôpô.
Một lần nữa, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hớng dẫn, các Thầy cô giáo trong Khoa toán, Khoa Sau đại học và tất cả các bạn đã động viên