Một số lớp nhóm con tựa chuẩn tắc suy rộng trong nhóm hữu hạn

bộ giáo dục và đào tạo trờng đại học vinh ------------------------ lê thị ngọc hà một số lớp nhóm con tựa chuẩn tắc suy rộng trong nhóm hữu hạn chuyên ngành: đại số - lý thuyết số mã số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học ngời hớng dẫn khoa học: pgs.ts lê quốc hán vinh - 2006 2 Mục lục Trang Bảng ký hiệu 3 Lời nói đầu. 5 Chơng I. Một số tính chất của nhóm luỹ linh và nhóm giải đợc hữu hạn 7 1.1. Định lý Sylow về nhóm hữu hạn 7 1.2. Nhóm con Frattini của nhóm luỹ linh 12 1.3. Nhóm con của nhóm giải đợc và siêu giải hữu hạn 19 Chơng II. Nhóm con tựa chuẩn tắc suy rộng. 28 2.1. Nhóm con tựa đạt đợc trong nhóm luỹ linh hữu hạn. . 28 2.2. Nhóm con tựa chuẩn tắc suy rộng trong nhóm giải đợc hữu hạn 36 Kết luận. 44 Tài liệu tham khảo 45 3 Bảng ký hiệu G : Nhóm hữu hạn. G : Cấp của G. H G : H là nhóm con thực sự của G (H G). H G : H là nhóm con của G. E : Nhóm con chỉ chứa phần tử đơn vị của nhóm G. : Số nguyên tố hay tập không rỗng các số nguyên tố nào đó. (G) : Số nguyên tố hay tập không rỗng các số nguyên tố là ớc của G. ' : Phần bù của trong tập hợp các số nguyên tố. Nếu =p ta dùng ký hiệu p' thay cho '. p, q : Các số nguyên tố nào đó. (G) : Số các phần tử của tập hợp (G). (G) : Số tất cả các -ớc nguyên tố khác nhau của G . -nhóm : Nhóm có cấp bằng h thoả mãn điều (h) . p-nhóm : Nhóm có cấp là luỹ thừa của p. -nhóm con : Nhóm con có cấp bằng h thoả mãn điều kiện (h) . p-nhóm con : Nhóm con có cấp là luỹ thừa của p. p-nhóm con Sylow : Nhóm con có cấp là luỹ thừa lớn nhất của p chia hết cấp của G. d-nhóm : Nhóm (nhóm con) có cấp chia hết cho ít nhất một số nguyên tố thuộc . S -nhóm con : Nhóm con có cấp (G) của nhóm G. (G:H) : Chỉ số của nhóm con H trong G. N K (P); P,K G : Tập hợp tất cả các phần tử thuộc K, giao hoán đợc với nhóm con P. 4 N(A) : N G (A). C K (X); K G; X G: Tập hợp tất cả các phần tử thuộc K, giao hoán đợc với nhóm con P. C(X) : C G (X). Z(G) : C G (G) = tâm của nhóm G. Nhóm dạng S : Nhóm không luỹ linh, mà tất cả các nhóm con thực sự của nó đều luỹ linh. Nhóm dạng S 1 : Nhóm không luỹ linh, mà tất cả các nhóm con thực sự của nó đều là nhóm Abel. Nhóm con Hall : Nhóm con H của G, (G:H) và H nguyên tố cùng nhau. Nhóm con -giao : Nhóm con H của G, H giao hoán đợc với mọi p-nhóm con hoán đợc Sylow của G. Nhóm -giải đợc : Nhóm, có dãy chuẩn tắc với các thơng hoặc là -nhóm Abel hoặc là '-nhóm. Nhóm -tách đợc : Nhóm, có dãy chuẩn tắc với cấp của thơng chia hết cho không quá một số nguyên tố thuộc . (G) : Nhóm con Frattini của G. UT(n,K) : Nhóm Unhita. UT m (n,K) : Tập hợp tất cả các ma trận thuộc UT(n,K) với m-1 phần tử trên đờng chéo chính phía trên bằng 0. LF(2;K) : Nhóm phân tuyến tính cấp 2 với hệ số trên trờng K. SL(n;K) : Nhóm nhân các ma trận với hệ số trên trờng K. PSL(n;K) : Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh. i : Tập hợp tất cả các nhóm con tối đại thứ i của G. 1 : Tập hợp tất cả các d-nhóm con tối đại của G. 2 : Tập hợp tất cả các nhóm con tối đại thứ hai của G. : Điều phải chứng minh. 5 Lời nói đầu Nhóm con chuẩn tắc trong nhóm tổng quát và các p-nhóm con Sylow trong các nhóm hữu hạn có một vai trò đặc biệt trong lý thuyết nhóm, vì dựa trên các tính chất của chúng có thể mô tả tờng minh cấu trúc của lớp đã cho. Trong một công trình của mình, O.Ore đã mở rộng khái niệm nhóm con chuẩn tắc bằng cách xét các nhóm con giao hoán đợc với tất cả các nhóm con của nhóm đã cho, mà ông gọi chúng là các nhóm con tựa chuẩn tắc. Dựa trên ý tởng đó, chúng tôi khảo sát một số lớp nhóm con tựa chuẩn tắc đặc biệt cũng nh lớp nhóm con tựa chuẩn tắc suy rộng trong các nhóm hữu hạn. Luận văn gồm hai chơng. Chơng 1. Một số tính chất của nhóm luỹ linh và nhóm giải đợc hữu hạn. Trong chơng này, chúng tôi trình bày những khái niệm và định lí cơ bản liên quan đến hai lớp nhóm luỹ linh và giải đợc hữu hạn để làm cơ sở cho việc trình bày chơng sau. Chơng 2. Nhóm con tựa chuẩn tắc suy rộng. Chơng này là nội dung chính của luận văn, gồm hai tiết. Tiết 1. Nhóm con tựa đạt đợc trong nhóm luỹ linh hữu hạn. Trong tiết này chúng tôi khảo sát một số lớp nhóm con tựa chuẩn tắc trong nhóm luỹ linh hữu hạn nh nhóm con tựa đạt đợc, nhóm con -giao hoán đợc và đa ra một số đặc trng của chúng, từ đó làm sáng tỏ một phần cấu trúc của nhóm luỹ linh hữu hạn (Định lí 2.1.12, Định lí 2.1.13, Định lí 2.1.15, Mệnh đề 2.1.17, Định lí 2.1.20). Tiết 2. Nhóm con tựa chuẩn tắc suy rộng trong nhóm giải đợc hữu hạn. Trong tiết này chúng tôi khảo sát một số lớp nhóm con liên quan đến tập hợp giao hoán yếu trong nhóm giải đợc hữu hạn, và thu đợc một số kết quả liên quan đến lớp nhóm con này đồng thời làm sáng tỏ một phần cấu trúc của các 6 nhóm giải đợc và siêu giải hữu hạn (Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.6, Định lí 2.2.9, Định lí 2.2.11). Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc đến Thầy, ngời đã trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn giúp cho tác giả tự tin hơn trong quá trình sáng tạo, tu dỡng và rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả đã nhận đợc sự dạy bảo tận tình, sự động viên giúp đỡ quý báu của các Thầy giáo - các nhà khoa học: GS.TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS. Nguyễn Quý Dy, PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Mai Văn T. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến các Thầy. Tác giả xin đợc cảm ơn Khoa Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, Sở GD&ĐT Thanh Hoá, Trờng THPT Triệu Sơn I, Tập thể lớp Cao học 12 Đại số đã giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 12 năm 2006 Tác giả. 7 Chơng I. một số tính chất của nhóm luỹ linh và nhóm giải đợc hữu hạn 1.1. Định lý Sylow về nhóm hữu hạn. 1.1.1. Quỹ đạo. Ngời ta nói rằng: nhóm G tác động trên tập hợp M, nếu đối với mỗi cặp phần tử mM, gG, xác định phần tử mgM thoả mãn hai điều kiện: i) (mg 1 )g 2 = m(g 1 g 2 ); ii) me = m; mM; g 1 , g 2 G, trong đó e là phần tử đơn vị của G. Tập hợp mG = {mg gG} đợc gọi là quỹ đạo của phần tử m. Rõ ràng là quỹ đạo của hai phần tử thuộc M hoặc trùng nhau, hoặc không giao nhau nên tập hợp M đợc phân hoạch thành các quỹ đạo không giao nhau. 1.1.2. Nhóm con Sylow. Giả sử p là một số nguyên tố. Ta hiểu p-nhóm hữu hạn là nhóm có cấp là luỹ thừa của p (tức là bằng p n đối với một số nguyên 0n nào đó). Giả sử G là một nhóm hữu hạn và H là một nhóm con của nó. Ta gọi H là p-nhóm con của G, nếu H là p-nhóm. Ta gọi H là p-nhóm con Sylow, nếu cấp của H là p n là luỹ thừa lớn nhất của p chia hết cấp của G. Các kết quả d- ới đây chứng minh rằng các nhóm con nh thế luôn tồn tại. 1.1.2.1. Bổ đề. Giả sử G là một nhóm Abel hữu hạn cấp m và p là một số nguyên tố chia hết m. Khi đó G chứa một nhóm con cấp p. Chứng minh. Trớc hết, ta chứng minh theo qui nạp rằng nếu G có số mũ n, thì cấp của nhóm G chia hết một luỹ thừa nào đó của n. Giả sử Gb , 1b và giả sử H là nhóm con xyclic sinh bởi b. Khi đó cấp của H chia hết n vì rằng 1 n b = . Hơn nữa n là số mũ đối với G H . Do đó cấp của nhóm thơng G H , theo giả 8 thiết qui nạp, chia hết một luỹ thừa nào đó của n, và trong trờng hợp này điều đó cũng đúng cả đối với cấp của G vì rằng: (G:1) = (G:H)(H:1). Giả sử cấp của G chia hết cho p. Do điều vừa chứng minh, trong G tồn tại phần tử x mà chu kỳ của nó chia hết cho p. Giả sử chu kỳ đó bằng ps, trong đó s là một số nguyên nào đó. Khi đó 1 s x , và rõ ràng phần tử x s có chu kỳ p và sinh ra nhóm con cấp p. 1.1.2.2. Định lí. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết cấp của nó. Khi đó trong G tồn tại một p-nhóm con Sylow. Chứng minh. Chứng minh bằng qui nạp theo cấp của nhóm G. Nếu cấp nguyên tố, thì điều khẳng định trên đây là rõ ràng. Bây giờ ta giả thiết rằng định lí đã đ- ợc chứng minh đối với tất cả các nhóm có cấp bé hơn cấp của G. Nếu trong G có một nhóm con thực sự H mà chỉ số nguyên tố với p thì p-nhóm con Sylow của H cũng sẽ là p-nhóm con Sylow của G và mệnh đề của ta đúng theo qui nạp. Vì vậy ta có thể giả thiết rằng mọi nhóm con thực sự đều có chỉ số chia hết cho p. Bây giờ ta giả sử G tác dụng lên chính nó bằng các liên hợp. Từ công thức các lớp ta đợc: (G :1) (Z :1) (G : G ) x = + , trong đó Z là tâm của G và hạng tử (Z:1) tơng ứng với các quĩ đạo gồm một phần tử, tức là các phần tử thuộc Z. Tổng ở vế phải lấy theo tất cả các quĩ đạo khác, vì vậy mỗi chỉ số (G:G x ) >1 và chia hết cho p theo giả thiết. Vì p chia hết cấp của G, nên từ đó suy ra rằng p chia hết cấp của Z. Đặc biệt G có tâm không tầm thờng. Theo bổ đề, trong Z tồn tại một nhóm con xyclic H sinh bởi một phần tử cấp p. Vì nhóm con H chứa trong Z nên nó là chuẩn tắc. Giả sử G : G H f là ánh xạ chính tắc. Nếu p n là luỹ thừa lớn nhất của p chia hết (G:1), thì 1n p chia 9 hết cấp của G H . Giả sử K' là p-nhóm con Sylow của G H (tồn tại theo giả thiết qui nạp) và giả sử 1 K (K )f = . Khi đó K H và f ánh xạ K lên K'. Do đó xảy ra đẳng cấu K K H ; và K có cấp 1n n p p p = . 1.1.2.3. Định lí. Giả sử G là một p-nhóm hữu hạn. Khi đó G giải đợc. Nếu cấp của nó lớn hơn 1 thì G có tâm không tầm thờng. Chứng minh. Mệnh đề thứ nhất suy ra từ mệnh đề thứ hai, vì nếu G có tâm là Z và theo qui nạp ta có tháp Abel đối với G Z , thì ta có thể nâng tháp Abel đó tới G và chứng tỏ rằng G giải đợc. Để chứng minh mệnh đề thứ hai ta dùng công thức về các lớp: (G :1) card(Z) (G:G ) x = + , ở đây tổng chỉ lấy theo những x mà (G:G ) 1 x . Rõ ràng p chia hết (G:1) và cũng chia hết mỗi hạng tử của tổng, nh thế cấp của tâm chia hết cho p. 1.1.2.4. Hệ quả. Giả sử G là một p-nhóm mà cấp khác 1. Khi đó tồn tại một dãy nhóm con 0 1 { } . n e G G G G= = sao cho mỗi nhóm con G i chuẩn tắc trong 1i G + và 1i i G G + là nhóm xyclic cấp p. Chứng minh. Vì tâm của nhóm G không tầm thờng, nên nó có một phần tử a e cấp p. Giả sử H là nhóm xyclic sinh bởi a. Theo qui nạp, nếu G H thì trong nhóm thơng G H ta có thể tìm đợc một dãy nhóm con thoả mãn các yêu cầu trên. Lấy ảnh ngợc của tháp đó trong G, ta đợc dãy phải tìm. 1.1.3. Định lí Sylow. Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố. Khi đó: 10 i) Đối với mỗi luỹ thừa p chia hết cấp của G, tồn tại trong G nhóm con cấp p . ii) Nếu 1+ p chia hết cấp của G, thì mỗi nhóm con cấp p của G đợc chứa trong mỗi nhóm con cấp 1 p + nào đó của G. Nói riêng, p-nhóm con tối đại của G, đó chính là các nhóm con cấp p r , trong đó p r là luỹ thừa cao nhất của p, chia hết cấp của G. iii) Tất cả các p-nhóm con tối đại của G đều liên hợp với nhau trong G. iv) Số các p-nhóm con tối đại của G đồng d với 1 theo môđun p. Chứng minh. i) Giả sử G r p= l , ( ) , 1p =l . Giả sử M là tập hợp tất cả các tập con có lực lợng p của G. Rõ ràng: M = 1 1 .( ) C r r p p r p j p j p j = = l l bởi vậy luỹ thừa lớn nhất của p, chia hết M, sẽ là p r- . Nếu MM, gG thì rõ ràng Mg = {mg mM} M cho nên G tác động trên M bởi các phép dịch chuyển phải. Giả sử {M 1 , . . . ,M s } là quĩ đạo mà lực lợng là s của nó không chia hết cho 1r p . Hơn nữa, giả sử: G i = {g gG, M i g = M i }, (1 i j ). Thử nghiệm trực tiếp rằng G 1 là nhóm con của G, còn G i là các lớp liên hợp của G theo G 1 . Chúng ta chứng tỏ rằng nhóm con G 1 có cấp p phải tìm. Ký hiệu 1 G t= , theo định lí Lagrange, ta có = = lG r st p . Bởi vì luỹ thừa cao nhất của p chia hết s là r p , nên t chia hết cho p , đặc biệt t p . Mặt khác, nếu 1 Ma thì rõ ràng 1 1 G Ma , nên 1 1 G M hay t p . Do đó t p = . 11