BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Việt Nhân NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Việt Nhân NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh-2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình Họ người lo lắng cho động viên suốt trình làm luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS.MỵVinh Quang Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy: lựa chọn đề tài mà học nhiều kiến thức khác ngành khác hoàn thành nó; quan tâm hướng dẫn thầy trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS.Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải quý thầy cô khoa Toán giảng dạy cho kiến thức Đại số Giải tích để từ tự đọc thêm kiến thức hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo chuyênviên Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại Học Trường tạo điều kiện thuận lợicho hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Nhân dịp này, xin bày tỏ quý mến đến bạn bè tôi, họ sát cánh bên để vượt qua khó khăn sống ngày động viên, giúp đỡ học hành để tiến tới Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 09 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Việt Nhân MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNGKÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các nhóm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa .7 1.1.2 Định lí 1.1.3 Nhóm Frattini 1.1.4 Nhóm Fitting 1.1.5 Mệnh đề 1.1.6 Nhóm dẫn xuất 1.1.7 Định lí 1.2 Cái chuẩn hóa,tâm hóa tử 1.2.1 Cái chuẩn hóa 1.2.2 Tâm hóa tử .9 1.2.3 Mệnh đề 1.2.2 1.2.4 Định lí 1.3 Định lí Sylow 10 1.3.1 Định nghĩa nhóm Sylow 10 1.3.2 Định lí 1.3.1 [6, Định lí Sylow, trang 39-40] .10 1.3.3 Hệ ( định lí Cauchy) .10 1.3.4 Hệ 10 1.3.5 Định lí 11 1.4 Nhóm giải 11 1.4.1 Định nghĩa .11 1.4.2 Định lí 12 1.4.3 Hệ 12 1.4.4 Định lí (Tính chất nhóm giải được) 12 1.4.5 Bổ đề 13 1.4.6 Định lí 14 1.4.7 Định lí ( định lí Burnside)[6] .14 1.4.8 Định lí[4, định lí 15.3, trang 53] 15 1.5 Nhóm lũy linh 15 1.5.1 Định nghĩa .15 1.5.2 Định lí 15 1.5.3 Định lí(Tính chất nhóm lũy linh) 16 1.5.4 Định lí 18 1.5.5 Hệ 18 1.5.6 Định lí [3, định lí 5.4.10, trang 66] .19 1.6 Nhóm Hall 19 1.6.1 Định nghĩa .19 1.6.2 Định lí[3, Định lí 4.1.4, trang 37-38] 19 1.6.3 Hệ 19 1.6.4 Định lí 20 1.6.5 Định lí(Định lí P.Hall) 20 1.6.6 Bổ đề 21 1.6.7 Định lí 22 1.6.8 Định lí [3, định lí 4.4.1, trang 47] 22 1.7 Nhóm p-lũy linh 22 1.7.1 Định nghĩa .22 1.7.2 Định lí [3, bổ đề 8, trang 265-266] 22 1.7.3 Định lí [7, định lí 10.1.8, trang 289] .23 CHƯƠNG : NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN 24 2.1 Nhóm siêu giải 24 2.1.1 Định nghĩa .24 2.1.2 Định lí 24 2.1.3 Định lí (Tính chất nhóm siêu giải được) .25 2.1.4 Hệ 28 2.1.5 Hệ 28 2.1.6 Bổ đề 29 2.1.7 Định lí 29 2.1.8 Hệ (định lí Huppert) .31 2.2 Nhóm tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn 31 2.2.1 Định nghĩa .31 2.2.2 Ví dụ 32 2.2.3 Định lí 33 2.2.4 Hệ 34 2.3 Một tiêu chuẩn nhóm siêu giải 34 2.3.1 Định líSrinivasan 34 2.3.2 Định lí 35 2.3.3 Ví dụ 39 2.3.4 Định nghĩa .40 2.3.5 Mệnh đề 40 2.3.6 Định lí 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 BẢNGKÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa H ⊆G H nhóm G H ⊂G H nhóm thực G h H ⊆G H nhóm Hall G H G H nhóm chuẩn tắc G N G ( A) Cái chuẩn hóa A CG ( A) Tâm hóa tử A Z(G) Tâm G Φ (G ) Nhóm Fratini F (G ) Nhóm Fitting |G| Cấp nhóm G σ (G ) Tập ước nguyên tố |G| A× B Tích trực tiếp A B [A]B Tích nửa trực tiếp A B Aut(G) Nhóm tự đẳng cấu G [G:M] Chỉ số M G [a,b] [A,B] Hoán tử a b Nhóm hoán tửcủa A B Mx Nhóm liên hợp với M G′ Nhóm dẫn xuất G p′ , π ′ Phần bù p, π P MỞ ĐẦU Theo O.H.KEGEL, nhóm H nhóm G S-tựa chuẩn tắc G H giao hoán với nhóm Sylow G S.Srinisavan chứng minh rằng: “nếu nhóm tối đại nhóm Sylow G S-tựa chuẩn tắc G G nhóm siêu giải được” Hiện tại, vấn đề nghiên cứu Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết báo: “ On permutable subgroups of finite groups” M Asaad A.A Heliel, nghiên cứu số tính chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn, từ mở rộng cải tiến kết đề cập trên, điều kiện S-tựa chuẩn tắc thay điều kiệnZ -tựa chuẩn tắc Trong toàn viết này, ta giả thiết G nhóm hữu hạn Mục tiêu luận nghiên cứu số tính chất nhóm Z-tựa chuẩn tắc nhóm G từ đưa tiêu chuẩn tính siêu giải G Nội dung luận văn gồm chương Trong chương 1, ta định nghĩa khái niệm nhóm đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh,…và chứng minh số kết quan trọng sử dụng việc chứng minh định lí chương Trong chương 2, ta tìm hiểu lớp nhóm siêu giải nhóm Z-tựa chuẩn tắc G bao gồm vài tính chất để thấy tác dụng hữu ích nhóm việc phân loại nhóm hữu hạn Mặt dù thân có nhiều cố gắng với thời gian kiến thức có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong ý kiến đóng góp, phê bình quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các nhóm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm, H ⊆ G , H gọi nhóm đặc trưng G α ( H ) ⊆ H với α ∈ Aut (G ) Hiển nhiên nhóm đặc trưng G chuẩn tắc G 1.1.2 Định lí Nếu H đặc trưng K K G H G Chứng minh −1 → K thỏa α ( x) = gxg Mà Với g ∈ G , K G nên tồn đồng cấu α g : K H đặc trưng K nên phải có α ( H ) = H Do đó, H nhóm chuẩn tắc G 1.1.3 Nhóm Frattini Nhóm Frattini G định nghĩa giao tất nhóm tối đại G kí hiệu Φ (G ) Nếu G nhóm nhóm tối đại ta quy ước Φ (G ) = G 1.1.4 Nhóm Fitting Nhóm sinh tất nhóm chuẩn tắc lũy linh G gọi nhóm Fitting G đượckí hiệu F(G) Nhận xét: F (G ) nhóm lũy linh G, nhóm chuẩn tắc lũy linh lớn (i) G (ii) F (G ) nhóm tầm thường G 1.1.5 Mệnh đề Cho G nhóm Khi F(G) Φ (G ) nhóm đặc trưng G 1.1.6 Nhóm dẫn xuất Cho G nhóm phần tử x1 , x2 , , xn G, phần tử [ x1 , x2 ] = x1−1 x2 −1 x1 x2 gọi hoán tử x y Tổng quát hơn, hoán tử có chiều dài n ≥ định nghĩa sau [ x1 , x2 , , xn ] = [ x1 , x2 , , xn−1 ] , xn với quy ước [ x1 ] = x1 Nhóm sinh tập hoán tử G gọi nhóm dẫn xuất G kí hiệu G′ = , cụ thể G′ [ x, y ] | x, y ∈ G 1.1.7 Định lí (i) G′ nhóm chuẩn tắc G (ii) G′ nhóm nhỏ cho nhóm G ′ nhóm Abel G (iii) G′ nhóm đặc trưng G Chứng minh Lấy a ∈ G′, g ∈ G ta có a −1 g −1ag ∈ G′ , g −1ag a ( a −1 g −1ag ) ∈ G′ = (i) (ii) Vậy G′ G (iii) Với x, y ∈ G ta có x −1 y −1 xy ∈ G′ , suy xyG′ = yxG′ (iv) Do G ′ nhóm Abel Giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho G H G nhóm Abel, với x, y ∈ G ta có : xyH = yxH , suy x −1 y −1 xy ∈ H Vậy G′ ⊆ H (v) Giả sử α : G → G tự đẳng cấu G Khi đó, ∀x, y ∈ G ta có (vi) α ([ x, y ]) = α ( x −1 y −1 xy ) = (α ( x) ) (α ( y ) ) α ( x).α ( y ) ∈ [α ( x), α ( y ) ] ∈ G′ Do −1 −1 α (G′) ⊆ G′ , G′ nhóm đặc trưng G 1.2 Cái chuẩn hóa,tâm hóa tử Cho G nhóm, A nhóm G