Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm

Trong luận văn chúng tôi sẽ khảo sát một số tính chất của các nhóm con tựa chuẩn tắc và nhóm con  -tựa chuẩn tắc, tìm hiểu mối liên hệ giữa các nhóm con tựa chuẩn tắc với các nhóm con c

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là kết quả công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số

liệu và kết quả trình bày trong luận văn này là trung thực Tất cả các tài liệu

tham khảo trong luận văn này đều có nguồn gốc rõ ràng và được trích dẫn hợp

pháp

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm cho lời cam đoan của mình

TP Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 09 năm 2016

Tác giả luận văn

Nguyễn Hoàng Sơn

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang Người đã trực tiếp hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô tổ bộ môn đại số của trường Đại học

Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi những kiến thức quý báo làm nền tảng cho quá trình viết luận văn này

Cuối cùng tôi xin cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn

hỗ trợ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN iv

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Các khái niệm mở đầu 3

1.2 Các định lý đẳng cấu 5

1.3 Nhóm con đặc trưng 6

1.4 Định lý Sylow 7

1.5 Nhóm lũy linh 8

CHƯƠNG 2: NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM 11

2.1 Nhóm con tựa chuẩn tắc 11

2.2 Nhóm con -tựa chuẩn tắc 13

2.3 Nhóm có cấp là lũy thừa của số nguyên tố 22

2.4 QPL-nhóm 27

2.5 Một số ví dụ 29

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Kí hiệu Ý nghĩa

H G H là nhóm con của G

H G H là nhóm con thực sự của G

H G H là nhóm con chuẩn tắc của G

H G H là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G

pG Nhóm con của G sinh bởi tất cả các G trong p G.

về các nhóm con tựa chuẩn tắc chưa có nhiều

Chính vì vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm ” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

Nội dung của luận văn dựa trên kết quả của bài báo [6] của W.E Deskins Trong luận văn chúng tôi sẽ khảo sát một số tính chất của các nhóm con tựa chuẩn tắc và nhóm con  -tựa chuẩn tắc, tìm hiểu mối liên hệ giữa các nhóm con tựa chuẩn tắc với các nhóm con chuẩn tắc và các nhóm con á chuẩn tắc, tìm hiểu một số tính chất sâu hơn của các nhóm con tựa chuẩn tắc

Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung chính của chương này là giới thiệu một số các khái niệm và các kiến thức cơ bản cần cho chương tiếp theo Chẳng hạn như: Định lý Sylow, các

p-nhóm, nhóm con chuẩn tắc, nhóm con á chuẩn tắc, nhóm con đặc trưng, nhóm lũy linh và các khái niệm cơ bản khác của lý thuyết nhóm

CHƯƠNG 2: NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM

Chương này là chương chính của luận văn

Nội dung chính của chương này là: Định nghĩa và các tính chất cơ bản của nhóm con tựa chuẩn tắc và nhóm con -tựa chuẩn tắc, mối quan hệ giữa nhóm

con tựa chuẩn tắc với nhóm con chuẩn tắc và nhóm con á chuẩn tắc, một số các kết quả sâu hơn về các nhóm con tựa chuẩn tắc

Nhóm được đề cập đến trong luận văn này đều là nhóm hữu hạn

Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng trong quá trình nghiên cứu và làm luận văn nhưng sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các khái niệm mở đầu

Cho G là một nhóm và H là nhóm con của G Khi đó, H được gọi là

nhóm con chuẩn tắc của G nếu gHg1H, g G Ký hiệu là H G Trong

trường hợp H là nhóm con chuẩn tắc thực sự của , G ta ký hiệu là H G

1.1.3 Định nghĩa

Cho G là một nhóm, X là một tập con khác rỗng của G Ta định nghĩa nhóm con sinh bởi tập X là giao của tất cả các nhóm con của G chứa X ký ,hiệu là  X

C H  gG ghhg  h H được gọi là tâm hóa tử của H trong G

Tâm hóa tử của G trong G được gọi là tâm của G thường ký hiệu là ,

( )

Z G Như vậy, Z G( )gG gxxg, x G

1.1.5 Định nghĩa

Cho G là một nhóm, X là một tập con khác rỗng của G Ta định nghĩa bao

đóng chuẩn tắc của X trong G là giao của tất cả các nhóm con chuẩn tắc của

Ký hiệu là X Nếu không có nhóm con nào như thế thì ta quy ước G X G {1}

Nhận xét: Cho H là một nhóm con của G Khi đó, H G là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G chứa trong H và H G  g G gHg1

1.1.7 Định nghĩa

Cho dãy các nhóm con của G:1G0 G1  G n G Nếu G i G i1, với mọi i0,1, ,n1 thì dãy trên được gọi là dãy chuẩn tắc của G và được viết lại

là 1G0 G1 G n G, trong đó n được gọi là độ dài của dãy, G được gọi i

là số hạng của dãy và G i1 G i là nhân tử của dãy

1.1.8 Định nghĩa

Dãy chuẩn tắc của G được gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G nếu mọi số hạng của dãy là nhóm con chuẩn tắc của G

1.1.9 Định nghĩa

Nhóm con H được gọi là nhóm con á chuẩn tắc (subnormal) của nhóm G

nếu tồn tại dãy các nhóm con H H0 H1 H n G

1.1.13 Mệnh đề (Luật Modular Dedekind)

Cho H K L, , là các nhóm con của G và K L. Khi đó

1.4.1 Định nghĩa nhóm con Sylow

Cho G là một nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố Khi đó:

iii Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là

một phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm

Độ dài dãy tâm ngắn nhất của G gọi là lớp lũy linh của G.

Do G là một p-nhóm nên theo định lý 1.5.3, G là nhóm lũy linh Lại do

1H G nên theo mệnh đề 1.5.4, H Z G( ) 1. Suy ra  x H Z G x( ), 1

CHƯƠNG 2: NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM

2.1 Nhóm con tựa chuẩn tắc

Trong mục này chúng tôi đưa ra định nghĩa nhóm con tựa chuẩn tắc và khảo sát một số tính chất của các nhóm con tựa chuẩn tắc

2.1.1 Định nghĩa

Cho H là nhóm con của G Khi đó, H được gọi là nhóm con tựa chuẩn tắc

của G nếu H giao hoán với mọi nhóm con của , G nghĩa là HK KH, với mọi nhóm con K của G

kK và hH Theo giả thiết, tồn tại h'H và một số nguyên n sao cho

' n

khh k Khi đó, HK KH Vậy H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G □

Lấy h*H*, xM thì h*H x, G Do H là nhóm con tựa chuẩn tắc của

G nên  h' H và một số nguyên n sao cho xh*h x' n Do x h x, *, nM nên

Do H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G nên  h'' H và một số nguyên n sao

cho ghh''g n Do f là đồng cấu nên g h' ' f h( '')( ') g n Vậy f H( ) là nhóm

Nhận xét: Nhóm thương của nhóm tựa chuẩn tắc cũng là nhóm tựa chuẩn tắc

2.1.6 Mệnh đề

Cho f G: G' là một toàn cấu, nếu H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G'

thì f1( )H là nhóm con tựa chuẩn tắc của G.

Chứng minh

Lấy gG và h f1( )H thì f g( ) f G( )G' và f h( )H Do H là nhóm

con tựa chuẩn tắc của G' nên tồn tại h'H và một số nguyên n sao cho

( ) ( ) ' (g)n ( )

f g f h h f  H f g  Khi đó, f gh( ) H f g( )gh f1( )H g 

( ') n,

gh f h g trong đó f1( ')h f1( ).H Vậy f1( )H là nhóm con

H K G sao cho f H( )H' và f K( )K' Khi đó, theo mệnh đề 2.1.6, H và

K là các nhóm con tựa chuẩn tắc của , G và theo giả thiết thì H K cũng là nhóm con tựa chuẩn tắc của G Mặt khác, theo mệnh đề 2.1.5, f H( K) là nhóm con tựa chuẩn tắc của G' Ta sẽ chứng minh f H( K) f H( ) f K( )

Lấy yf H( K) thì tồn tại xH K f x: ( ) y Suy ra xH và xK Do

đó, f x( ) f H( ) và f x( ) f K( ) Khi đó, y f x( )f H( ) f K( ) Ngược lại, lấy y f H( ) f K( ) Suy ra y f H( ) và y f K( ) Khi đó,  x H x, 'K

sao cho f x( ) f x( ') y f x x( 1 ') e x x1 'Ker f H K x' H Do

đó, x' H K Suy ra y f x( ')f H( K) Vậy H' K' là nhóm con tựa

2.2 Nhóm con -tựa chuẩn tắc

Trong mục này chúng tôi đưa ra định nghĩa nhóm con  -tựa chuẩn tắc và khảo sát một số tính chất của nhóm con  -tựa chuẩn tắc, mở rộng các kết quả của nhóm con tựa chuẩn tắc lên nhóm con  -tựa chuẩn tắc

 Một phần tử gG được gọi là  -phần tử nếu cấp của g là một -số

 Một nhóm G được gọi là -nhóm nếu mọi phần tử của G đều là  -phần

tử

 Nếu  { }p thì ta ký hiệu p-số thay cho  -số và p'-số thay cho '-số Khi đó, một  -nhóm chính là một p-nhóm

2.2.2 Định nghĩa

Nhóm con H của G được gọi là -tựa chuẩn tắc của G nếu H giao hoán

với mọi p-nhóm con Sylow của G với mỗi , p

2.2.3 Bổ đề

Cho G là một nhóm Nếu gG là một  -phần tử và p g thì g xy yx với x là một p -phần tử và y là một (  p)-phần tử

Chứng minh

Giả sử g  p m k , (p k,m) 1. Ta có g m  p k và g p k m Do (p m k, ) 1nên tồn tại u v,  :p u k mv1 Khi đó, g (g p k) (u g m v) (g m v) (g p k) u Đặt ( m v) , ( p k) u

x g y g Ta có x  p p l k, y n m và (p n l, ) 1. Vậy g xy yx với x là một p-phần tử và y là một (  p)-phần tử □

Nhận xét: Nếu g là một  -phần tử của nhóm G thì g g g1 2 g k, với g là i

Vậy H N là  -tựa chuẩn tắc trong G N

Giả sử H N là  -tựa chuẩn tắc trong G N Ta chứng minh H là  -tựa chuẩn tắc trong G Lấy X là một p-nhóm con Sylow của G với , p Khi

đó, XN N là một p-nhóm con Sylow của G N Theo giả thiết,

( ) ( )

H N XN N XN N H N HN X N X NH NHX N XH N Suy ra HX  XH Vậy H là  -tựa chuẩn tắc trong G □

2.2.6 Mệnh đề

Nếu H là một nhóm con  -tựa chuẩn tắc của G và p q, là các số nguyên

tố phân biệt thuộc  thì qH HG p

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh: Mỗi q-nhóm con Sylow (HG p q) của HG là một p

nhóm con của H Giả sử G là một q q-nhóm con Sylow của G chứa (HG p q) và xét nhóm con H* HG p HG q Khi đó, (HG p q) H* Ta có các đẳng thức:

2.2.7 Hệ quả

Nếu H là một nhóm con  -tựa chuẩn tắc của nhóm G và p thì

(  p H) HG p

-y là một (  p)-phần tử Theo hệ quả 2.2.7, x chuẩn hóa (  p H) nên

xK x    p H Suy ra xK x p 1 cũng là một p-nhóm con Sylow của

(  p H) , từ đó xK x p 1H Bây giờ, xét P là p-nhóm con bất kì của H Do

p

gK g là một nhóm con của H Mà G được sinh bởi các  -phần tử của nó

nên (K p)G  gK pg1 gG nằm trong H Do p là một phần tử tùy ý của 

và H là một -nhóm nên K nằm trong G H Thật vậy, lấy gkg1gKg1 Do

Do KK G H G H nên để chứng minh định lý ta cần chứng minh H K

là nhóm lũy linh Vì H là một  -nhóm nên H / (  p H) là một p-nhóm

Thật vậy, lấy a là một  -phần tử của H Khi đó, a xy  yx, với x là một pphần tử và y là một (  p)-phần tử Khi đó, axy(  p H) H (  p H)

H là p-nhóm con Sylow duy nhất của H Suy ra H G p H p Như vậy, H p

nằm trong mọi p-nhóm con Sylow của G Do mỗi M nằm trong một p G nào p

đó nên G p:M p M G p Do H*p H p và H nằm trong mọi p G nên p H*p

nằm trong mỗi p-nhóm con Sylow của M Khi đó, H*p giao hoán với mỗi pnhóm con Sylow của M

-Bây giờ, xét phần tử xM q M G q, với q nào đó trong   p Theo mệnh đề 2.2.6 thì xN G(H p) Ta có H*p H p nên H*p=H* H p M H p

x chuẩn hóa H nên p xH x p 1 H p Do LH p nên xLx1 xH x p 1=H p G p.Hơn nữa, nếu y là một phần tử của G thì p

y xLx y  y xy yLx  y  yxy L yx y   yxy L yxy 

Do yxy1 cũng là một q-phần tử của G nên (yxy1) (L yxy 1) 1H p Khi đó,

H H nên xH x p 1 xHx1 H, do đó xH x p 1 là p-nhóm con Sylow của H

với mọi p Lấy hh h1 2 h kpH, h iP i, trong đó P là các i p-nhóm con Sylow của H Do xh x i 1xPx i 1  pH nên xhx1xh x xh x1 1 2 1 xh x k 1pH.Suy ra xN G(pH),p Vậy G( )

Nếu  -nhóm con H của nhóm G G là  -tựa chuẩn tắc trong G và p

là một ước nguyên tố của H H thì G G p G

Chứng minh

Nếu p là một ước nguyên tố của H H thì G GN G(pH)G p Thật vậy,

giả sử GN G(pH) pH G Do pH H G H nên H pH H H G Mặt khác, H H có chứa lũy thừa của G p, còn H pH không chứa lũy thừa của p

2.3 Nhóm có cấp là lũy thừa của số nguyên tố

Trong mục này chúng tôi sẽ nghiên cứu các kết quả sâu hơn của nhóm con tựa chuẩn tắc trong một p-nhóm

1 Nếu H G {1} và x  p b, thì x m, với m p b1, nằm trong Z G và H ( )

chứa một phần tử q1 mà ảnh nằm trong Z G x(  m )

Chứng minh

( )

Z G chứa các lũy thừa của x Thật vậy, nếu ux iZ G( ) với u nào đó

trong H thì (ux i)(x i 1u1)x i 1u ux1 i x Suy ra uxu1 x Do đó, u giao

hoán với x Do uxux1xHx1 và uhHh1 H, h H nên ugHg1,

     Gọi c là một số nguyên dương

cực đại nhỏ hơn hoặc bằng b sao cho core của ảnh H trong G x n , với n p c

khác nhóm con tầm thường Giả sử core của ảnh H trong G x n là A x n ,với      x n A H x n Đặt n n  n 

B x    A x Z G x  thì B G Khi đó, ( ) {1}

B Z H  nên tồn tại qB Z H( ), q  p Suy ra qZ H( ), q  p và

qZ G x  Do  n 

qZ G x  nên xqx1 q Do đó, xqx1 qz z,  x n Khi đó, nhóm con x q n,  là chuẩn tắc trong G, từ đó là tựa chuẩn tắc trong G

Do đó, H x q n,  là tựa chuẩn tắc trong G Ta chứng minh H x q n,    q Lấy yH x q n,   y x q n,   y q x k( n l) H Do q kH nên (x n l) H

Mà  x n G nên ( x n l)  G Do H G {1} nên (x n l) 1 Do đó, yq k q Vậy ta có H x q n,    q Do q và xqx1 là các phần tử cấp p nên nhóm con

đó 't  p Do 't   K x m nên t'tx t', K x, '   x m ,t q Ta có 't t nên

  và   t p H Do H G {1} nên t p 1 (mâu thuẫn)

Tiếp theo ta giả sử x chuẩn hóa  t (mod z ) Khi đó

Như vậy, chỉ còn lại một khả năng duy nhất:

1

,

i j k xtx t q z j  0 mod ,p

và i1 vì ảnh của t nằm trong tâm của G q z ,  Khi đó

bởi phần tử tq j k Do đó, nhóm con M  x tq, j k  có cấp p b1 Ta chứng minh

M chứa cả q và t Xét 2 trường hợp sau:

Do j  0 mod p nên qM Suy ra tM

Khi đó, M chứa nhóm con , ,x q t có cấp p b2 (mâu thuẫn) Vậy nhóm

con q  là nhóm tối đại trong các nhóm con của H mà ảnh là chuẩn tắc trong

cấp của G Ta chứng minh mệnh đề đúng với G và H Do nhóm G* G q z , 

và H* là ảnh của H trong G thỏa mãn giả thiết như * G và H nên H* là nhóm cyclic theo giả thiết quy nạp Hơn nữa, nếu N là nhóm con tối đại của G chứa phần tử x thì N và H N cũng thỏa mãn giả thiết như G và H nên H N

cũng là nhóm cyclic theo giả thiết quy nạp

Bây giờ, lấy uH mà ảnh sinh ra H* trong G Nếu * G chứa một nhóm con tối đại N chứa cả x và q thì hoặc u p 1 hoặc một lũy thừa tối tiểu của u ,

kí hiệu v1, nằm trong H N Khi đó, xảy ra một trong 3 trường hợp sau:

i Nếu G không có nhóm con tối đại nào chứa cả x và q thì G x q,  Ta

sẽ chứng minh H   q Lấy hH thì hx q k l Giả sử x k 1 Do     x m x k

nên     x m x k Mà x kH nên x mH (mâu thuẫn) Do đó, x k 1 Suy ra

l

h  q q Vậy H   q

)

ii Nếu N là nhóm con tối đại của G chứa cả x và q và v1 là lũy thừa

dương nhỏ nhất của u nằm trong H N thì một phần tử sinh g của H N có dạng g v q i j Thật vậy, do gH nên g q z ,  H* H q z ,    u Khi đó,

g q z   u q z  g u q z Do g q, j,z lN nên u kN Từ đó, ta có

k

u H N Mặt khác, v u t H N, với t bé nhất Do đó, k chia hết cho t

Suy ra u k v i Ta lại có ,g u q k, jH nên z l   H z l 1 (do H G {1}) Vậy

m p  và n p b2