Nhóm con tựa chuẩn tắc của nhóm

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết trình bày luận văn trung thực Tất tài liệu tham khảo luận văn có nguồn gốc rõ ràng trích dẫn hợp pháp Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm cho lời cam đoan TP Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 09 năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Hoàng Sơn ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang Người trực tiếp hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô tổ môn đại số trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh trường Đại học Khoa học Tự nhiên trực tiếp giảng dạy trang bị cho kiến thức quý báo làm tảng cho q trình viết luận văn Cuối tơi xin cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè hỗ trợ suốt trình hồn thành luận văn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN iv MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.2 Các định lý đẳng cấu 1.3 Nhóm đặc trưng 1.4 Định lý Sylow 1.5 Nhóm lũy linh CHƯƠNG 2: NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM 11 2.1 Nhóm tựa chuẩn tắc 11 2.2 Nhóm  -tựa chuẩn tắc 13 2.3 Nhóm có cấp lũy thừa số nguyên tố 22 2.4 QPL-nhóm 27 2.5 Một số ví dụ 29 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 iv BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Ý nghĩa H G H nhóm G H G H nhóm thực G H G H nhóm chuẩn tắc G H G H nhóm chuẩn tắc thực G Hg Nhóm liên hợp với H HG Nhóm chuẩn tắc nhỏ G chứa H HG Nhóm chuẩn tắc lớn G chứa H NG ( H ) Chuẩn hóa tử H G CG ( H ) Tâm hóa tử H G Z (G) Tâm G L(G ) Tập hợp tất nhóm G L( H , G ) Tập hợp tất nhóm G chứa H Aut (G ) Tập hợp tất tự đẳng cấu G H char G H nhóm đặc trưng G [G : H ] Chỉ số H G A B Tích trực tiếp A B A B Tích nửa trực tiếp A B Gp p -nhóm Sylow G v pG Nhóm G sinh tất G p G Gp Nhóm chuẩn tắc nhỏ G có số lũy thừa p G Cấp G g Cấp phần tử g  Tập hợp số nguyên tố [a, b] Hốn tử a b [G, G] Nhóm hốn tử G G Nhóm G sinh  -phần tử G H , K Nhóm sinh H K MỞ ĐẦU Chúng ta biết, nhóm H nhóm G gọi nhóm tựa chuẩn tắc nhóm G H giao hốn với nhóm G, nghĩa là: HK  KH , với K nhóm G Nhóm tựa chuẩn tắc mở rộng tự nhiên khái niệm nhóm chuẩn tắc Tuy nhiên nghiên cứu nhóm tựa chuẩn tắc chưa có nhiều Chính vậy, chúng tơi định chọn đề tài: “Nhóm tựa chuẩn tắc nhóm ” làm đề tài luận văn thạc sĩ Nội dung luận văn dựa kết báo [6] W.E Deskins Trong luận văn khảo sát số tính chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm  -tựa chuẩn tắc, tìm hiểu mối liên hệ nhóm tựa chuẩn tắc với nhóm chuẩn tắc nhóm chuẩn tắc, tìm hiểu số tính chất sâu nhóm tựa chuẩn tắc Nội dung luận văn gồm hai chương: CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương giới thiệu số khái niệm kiến thức cần cho chương Chẳng hạn như: Định lý Sylow, p -nhóm, nhóm chuẩn tắc, nhóm chuẩn tắc, nhóm đặc trưng, nhóm lũy linh khái niệm khác lý thuyết nhóm CHƯƠNG 2: NHĨM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM Chương chương luận văn Nội dung chương là: Định nghĩa tính chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm  -tựa chuẩn tắc, mối quan hệ nhóm tựa chuẩn tắc với nhóm chuẩn tắc nhóm chuẩn tắc, số kết sâu nhóm tựa chuẩn tắc Nhóm đề cập đến luận văn nhóm hữu hạn Mặc dù thân có nhiều cố gắng trình nghiên cứu làm luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp q thầy, bạn để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm H nhóm G Khi đó, với g  G, nhóm H g   ghg 1 h  H  G gọi nhóm liên hợp với H G 1.1.2 Định nghĩa Cho G nhóm H nhóm G Khi đó, H gọi nhóm chuẩn tắc G gHg 1  H , g  G Ký hiệu H G Trong trường hợp H nhóm chuẩn tắc thực G, ta ký hiệu H G 1.1.3 Định nghĩa Cho G nhóm, X tập khác rỗng G Ta định nghĩa nhóm sinh tập X giao tất nhóm G chứa X , ký hiệu  X  1.1.4 Định nghĩa Cho G nhóm H nhóm G Khi đó:   NG ( H )  g  G H g  H gọi chuẩn hóa tử H G NG ( H ) nhóm lớn G mà H NG ( H ) CG ( H )   g  G gh  hg , h  H  gọi tâm hóa tử H G Tâm hóa tử G G gọi tâm G, thường ký hiệu Z (G ) Như vậy, Z (G)   g  G gx  xg , x  G 1.1.5 Định nghĩa Cho G nhóm, X tập khác rỗng G Ta định nghĩa bao đóng chuẩn tắc X G giao tất nhóm chuẩn tắc G chứa X Ký hiệu X G Nhận xét: Cho H nhóm G Khi đó, H G nhóm chuẩn tắc nhỏ G chứa H H G  gHg 1 g  G 1.1.6 Định nghĩa Cho G nhóm, X tập khác rỗng G Ta định nghĩa core X G hợp tất nhóm chuẩn tắc G chứa X Ký hiệu X G Nếu khơng có nhóm ta quy ước X G  {1} Nhận xét: Cho H nhóm G Khi đó, H G nhóm chuẩn tắc lớn G chứa H H G  gG gHg 1 1.1.7 Định nghĩa Cho dãy nhóm G :  G0  G1   Gn  G Nếu Gi Gi1 , với i  0,1, , n  dãy gọi dãy chuẩn tắc G viết lại  G0 G1 Gn  G, n gọi độ dài dãy, Gi gọi số hạng dãy Gi 1 Gi nhân tử dãy 1.1.8 Định nghĩa Dãy chuẩn tắc G gọi dãy nhóm chuẩn tắc G số hạng dãy nhóm chuẩn tắc G 1.1.9 Định nghĩa Nhóm H gọi nhóm chuẩn tắc (subnormal) nhóm G tồn dãy nhóm H  H H1 H n  G 1.1.10 Định nghĩa Cho G nhóm Với a, b  G , phần tử [a, b]  a 1b 1ab gọi hốn tử a b Nhóm G sinh tất hoán tử gọi nhóm hốn tử G Ký hiệu [G, G] 1.1.11 Định lý Cho G nhóm Khi đó: i ) [G, G ] ii ) Nếu H G G [G, G] nhóm giao hốn G G H giao hốn [G, G ]  H 1.1.12 Định lý Cho H , K nhóm G Khi K  H K HK H 1.1.13 Mệnh đề (Luật Modular Dedekind) Cho H , K , L nhóm G K  L Khi ( HK ) L  (H L) K 1.2 Các định lý đẳng cấu 1.2.1 Định lý (Định lý đẳng cấu 1) Nếu f : G  G ' đồng cấu G Kerf  Imf 26 i ) Nếu G khơng có nhóm tối đại chứa x q G   x, q Ta chứng minh H   q Lấy h  H h  xk ql Giả sử x k  Do  x m    x k  nên  x m    x k  Mà x k  H nên x m  H (mâu thuẫn) Do đó, x k  Suy h  ql  q Vậy H   q ii ) Nếu N nhóm tối đại G chứa x q v  lũy thừa dương nhỏ u nằm H N phần tử sinh g H N có dạng g  vi q j Thật vậy, g  H nên g  q, z   H *  H  q, z  u Khi đó, g  q, z  u k  q, z  g  u k q j z l Do g , q j , z l  N nên u k  N Từ đó, ta có uk  H N Mặt khác, v  u t  H N , với t bé Do đó, k chia hết cho t Suy u k  vi Ta lại có g , u k , q j  H nên z l  H  z l  (do HG  {1}) Vậy g  vi q j Vì q có cấp p nằm Z ( H ) nên g p  (vi ) p Ta chứng minh g  vi Giả sử g  p k , vi  pl Khi đó,  g p  (vi ) p Suy p k pl Tương k tự ta có pl p k Do đó, g  vi Khi đó, vi    g   H H  u Lấy h  H  h  u k q j Do q j  H k N Ta chứng minh N  vi   u nên h u Do đó, H  u Vậy H  u iii ) Nếu N nhóm tối đại G chứa x q u p  H  u, q có cấp p Do G p -nhóm nên tồn dãy nhóm chuẩn tắc sau: {1}   xm    xm , q   x n , q   x n , q, u  G , m  pb1 n  pb2 27   G  x n , q u  p nên u  Z G  x n , q Khi đó, Do u   x n , q, u  x n , q 1  x  G  x n , q xux  u  xux 1u 1  x n , q  xux 1  uq i w, w  x n  Ta chứng minh w   x m  Giả sử w   x m  Khi 1 i i xux  uq w  uq u, q  u , q, x m   x m  Mặt khác,  q u, q, x m   x m  1 G  x m  nên xqx  q  u, q  u, q, x m   x m  Như vậy, G  x m  (mâu thuẫn  q nhóm tối đại nhóm H mà ảnh chuẩn tắc G  x m  ) Do đó, w  x n    x m  Ta lại có  x H  {1} nên  w H  {1} Khi đó, xux 1 có cấp p nên nhóm T   H , xux 1  có cấp p3 Mà T chứa w có cấp p nên T chứa nhóm  H , w có cấp p (mâu thuẫn) Vậy trường hợp không xảy □ 2.4 QPL-nhóm Trong mục chúng tơi mở rộng kết định lí 2.3.1 cho lớp nhóm rộng gọi QPL-nhóm 2.4.1 Định nghĩa Một nhóm G gọi QPL-nhóm nhóm G có cấp lũy thừa số ngun tố đóng tính tựa chuẩn tắc 2.4.2 Mệnh đề Nhóm ảnh đồng cấu QPL-nhóm QPL-nhóm Điều suy từ mệnh đề 2.1.4 mệnh đề 2.1.7 28 2.4.3 Mệnh đề Nếu H nhóm tựa chuẩn tắc QPL-nhóm G p -nhóm H HG nhóm abel Chứng minh Ta cần chứng minh cho trường hợp H G  {1} Do H [ H , H ] nhóm abel nên để chứng minh H nhóm abel ta chứng minh HG  H '  [ H , H ] Lấy x  G xét nhóm  H , x Theo mệnh đề 2.4.2, ta có nhóm K   H , x QPL-nhóm theo định lí 2.3.1, ta có H H K cyclic, từ H H K aben Khi đó, H '  [ H , H ]  H K  xH ' x 1  xH K x 1  H K (vì H K K ) Khi đó, ta có nhóm H ''  xH ' x 1 x  G nhóm chuẩn tắc G nằm H Do đó, HG  H ''  H '  {1} Vậy H nhóm abel □ 2.4.4 Định lý Nếu H nhóm tựa chuẩn tắc QPL-nhóm G H HG nhóm abel Chứng minh Để chứng minh định lí ta cần chứng minh cho trường hợp H G  {1} Xét G QPL-nhóm tùy ý với H G  {1} Do H p nằm G p nên Gp : H p  H G p Khi đó, theo mệnh đề 2.1.4, H p tựa chuẩn tắc G p theo mệnh đề 2.2.10 ( H p )G p  G p H G  {1} Do đó, theo mệnh đề 2.4.3, H p nhóm abel Vì H nhóm lũy linh nên H tích trực tiếp nhóm Sylow Vậy H nhóm abel □ 29 2.5 Một số ví dụ Trong mục chúng tơi tìm tòi đưa số ví dụ minh họa liên quan đến nhóm tựa chuẩn tắc 2.5.1 Ví dụ Nhóm tựa chuẩn tắc khơng nhóm chuẩn tắc Trước hết ta cần kết sau: Cho G nhóm, a, b  G z  [a, b] giao hoán với a b Khi đó: i ) [a k , bl ]  z kl , k , l ii ) (ba)k  z k ( k 1) 2bk a k , k Chứng minh i ) Cố định k Ta chứng minh (i) quy nạp theo l  Với l  Do a 1b1ab  z nên b 1ab  az Khi đó, z giao hốn với a nên b1a k b  (b1ab)k  (az )k  a k z k Do đó, (i) với l   Giả sử (i) với l Ta chứng minh (i) l  Thật b(l 1) a k bl 1  b1 (bl a k bl )b  b1a k z kl b  b1a k bz kl  a k z k (l 1) ii ) Ta chứng minh (ii ) quy nạp theo k  Với k  (ii )  Giả sử (ii ) với k Ta chứng minh (ii ) với k  Thật (ba)k 1  (ba)k (ba)  z k ( k 1) 2bk (a k b)a  z k ( k 1) 2bk (z k ba k )a  z k ( k 1) 2bk 1a k 1 Cho p số nguyên tố lẻ Xét A  a, b a p  b p  1, ab  ba p1 nhóm có cấp p3 Khi đó, H  b nhóm tựa chuẩn tắc khơng nhóm chuẩn tắc A Thật vậy, aba 1  ba p b nên H  b khơng nhóm chuẩn tắc A Ta chứng minh H  b tựa chuẩn tắc A 30 Do b1a pb  (b1ab) p  (a p1 ) p  a p p  a p nên a p  Z ( A) Mặt khác [a, b]  a 1b 1ab  a 1a p1  a p nên [a, b], [b, a]  Z ( A) Khi đó, theo (i) ta có [bl , a k ]  [b, a]lk  Z ( A), k , l  tương tự ta có [a k , bl ]  Z ( A) Ta lại có [b, a] p  [a, b]1   [a, b] p   1 p Lấy g  a k bl  A h  b m  H , với k , l , m  Cho n   pm Khi đó, theo (ii ) ta có g n  (a k bl )n  [bl , a k ]n ( n1) a knbln , a kn  a k (a p )km  a k [a, b]km  a k [a k , bm ] bln  bl  plm  bl Hơn nữa, [bl , a k ]n ( n1)  [bl , a k ](1 pm) pm  [b, a]lk (1 pm) pm  [b, a] p  lk (1 pm ) m Do p số nguyên tố lẻ nên lk (1  pm)m Khi đó, [b, a] p  nên suy [bl , a k ]n ( n1)  Như vậy, g n  a k [a k , bm ]bl Khi hg n  bma k [a k , bm ]bl  bma k (a  k b ma k bm ) bl  a k bml  a k blbm  gh Vậy H  b nhóm tựa chuẩn tắc khơng nhóm chuẩn tắc □ A 2.5.2 Ví dụ Giao hai nhóm tựa chuẩn tắc khơng nhóm tựa chuẩn tắc Cho p số nguyên tố lẻ Xét A  a, b a p  b p  1, ab  ba p1 nhóm có cấp p3 C  c , c  p Xét G  A  C Do A tựa chuẩn tắc G Xét B  b  c  b, c G nên nhóm 31 Xét tồn cấu  : A C  A ( a, c ) a Ta có  (b, c )  b Mà b tựa chuẩn tắc A (theo ví dụ 2.5.1) nên b, c tựa chuẩn tắc G  A  C (theo mệnh đề 2.1.6) Ta chứng minh b  A b, c Ta có b  A b, c Lấy x b, c x  b k cl  A,  k  p,  l  p Mặt khác, A  a, b nên cl  Do đó, x  b k  b Vậy A b, c  b, suy A b, c  b Ta chứng minh b không tựa chuẩn tắc G  A  C Ta chứng minh b không giao hoán với ac Giả sử b giao hoán với ac Khi đó, b ac  {1} nên  ac, b   acb   ac b  ac b   ac b Ta có b1 (ac)b(ac)1  (b1ab)(b1cb)c 1a 1  a p1 (b1bc)c 1a 1  a p ac, b Khi đó, H   a p , ac nhóm thực  ac, b H   a p , ac   a, c Do c G nên  a, c   ac   a c  a  c   a  c  p Ta lại có a  p , c  p nên ac p (vì ac  ca p bội chung nhỏ a c ) Ta xét trường hợp sau: i ) Nếu ac  p  ac, b  p Khi đó, H  p (mâu thuẫn) ii ) Nếu ac  p  ac, b  p Khi đó, H  p (mâu thuẫn) Vậy b không tựa chuẩn tắc G  A  C □ 2.5.3 Ví dụ Nhóm chuẩn tắc khơng nhóm tựa chuẩn tắc Trong nhóm nhị diện D8 , xác định bởi: D8  a, b a  b  e, a 1ba  b 1 32 Do a  e nên a  a 1 Ta lại có a 1ba  b 1  abab  e  (ab)  e  ab  Xét nhóm H   a  {e, a} K   ab  {e, ab} Khi đó, HK  {e, ab, a, b} Ta có HK khơng nhóm D8 có b  HK b2  HK Vậy H khơng nhóm tựa chuẩn tắc D8 Ta có H  a, b  aaa 1  a  H b2a(b2 )1  b2ab2  b(bab)b  bab  a  H Ta lại có  a, b2  D8 aaa1  a  a, b2 , ab2 a1  a, b2 , bab1  ab2  a, b2  bb 2b 1  b  a, b  Vậy H nhóm chuẩn tắc D8 ta có dãy chuẩn tắc H  a, b2  □ D8 2.5.4 Ví dụ Tính tựa chuẩn tắc nhóm khơng có tính chất bắc cầu Trong nhóm nhị diện D8 , xác định bởi: D8  a, b a  b  e, a 1ba  b 1 Xét nhóm H   a  {e, a} K   ab  {e, ab} Khi đó, HK  {e, ab, a, b} Ta có HK khơng nhóm D8 có b  HK b2  HK Vậy H khơng nhóm tựa chuẩn tắc D8 Mặt khác, ta có dãy chuẩn tắc H  a, b2  D8 Như vậy, H nhóm chuẩn tắc  a, b2 ,  a, b2  nhóm chuẩn tắc D8 H khơng nhóm tựa chuẩn tắc D8 □ 2.5.5 Ví dụ Nhóm tựa chuẩn tắc khơng phải nhóm chuẩn tắc 33 Gọi P nhóm p -nguyên sơ nhóm thương  m P  a  k  p  Do  m , k      P Do nhóm xoắn nên Ta có p nhóm chia nên nhóm chia Do đó, P nhóm chia Khi đó, với a  P, m  lại * , (m, p)  1, tồn b  P cho mb  a, phần tử b ký hiệu a Ta chứng minh b Giả sử tồn b '  P cho mb '  a m Do b, b '  P nên b  mm nên k11  p mm  k2  p m1 m  , b '  k22  k1 p p , (m1 , p)  1, ( m2 , p)  Do mb  mb ' m(m1 p k2  m2 p k1 )    m(m1 p k2  m2 p k1 ) p k1 k2 k1  k2 p Do (m, p k1 k2 )  nên m1 p k2  m2 p k1 p k1 k2 Khi đó, m1 m2   Vậy b  b ' p k1 p k2 Với n , xét ánh xạ n : P  P a ( p  1) n a tự đẳng cấu P ánh xạ  :  Aut ( P) n n đồng cấu từ nhóm cộng số nguyên Xét nhóm G  vào nhóm Aut ( P) P tích nửa trực tiếp nhóm cấu  Như vậy, phép toán G xác định sau: (m, a)(n, b)  (m  n, ( p  1)n a  b) P nhờ đồng 34 Khi   (m, a) 1   m,  a  m ( p  1)   Ta chứng minh nhóm H  ( ,0)  {(m,0) m  } nhóm tựa chuẩn tắc khơng nhóm chuẩn tắc G Chứng minh H khơng nhóm chuẩn tắc G Trước hết, ta có nhận xét sau: Với số tự nhiên k  0,1,2,   H k  (m, a) m  , p k a  nhóm G K nhóm G cho H k K  H k 1 Thật vậy, với (m, a), (n, b)  Hk m, n  K p k a  0, p k b  Khi     1 (m, a)(n, b) 1  (m, a)  n,  b    m  n, a b  Hk n n n ( p  1)   ( p  1) ( p  1)   Lấy (m, a)  K   (m, a)(1,0)(m, a) 1   m  1,( p  1) a   m,  a ( p  1) m    ( p  1)a   a pa   1,   1,  Hk   m m m  ( p  1) ( p  1) ( p  1)     Khi đó, p k 1 a  nên p k 1a  Vậy (m, a)  H k 1 Do đó, K  H k 1 Để m ( p  1) chứng minh chiều ngược lại, ta chọn (m, a)  K \ H k Khi đó, p k 1a  Mà p k a  nên a  p k 1 Lấy (n, b)  H k 1 p k 1b  Khi đó, b  a, nghĩa b  la Do (m, a)  K nên 35 (0, b)  (0, la)  (0, a)l   (m,0)(m, a)   K l Do đó, (n, b)  (n,0)(0, b)  K Vậy K  H k 1 Bây giờ, giả sử H nhóm chuẩn tắc G Khi đó, tồn dãy chuẩn tắc H  G0 G1 G2 Gn  G Do H  H G1 nên theo nhận xét trên, G1  H1, lại H1  G1 G2 nên ta lại có G2  H đó, H n  Gn  G Điều Vậy H khơng nhóm chuẩn tắc G Với p  H nhóm tựa chuẩn tắc G Trước hết, ta cần kết sau: Cho n số tự nhiên, kí hiệu ord p (n) số mũ p phân tích tắc n (nếu (n, p )  ord p (n)  0) Cho m, k số tự nhiên, kí hiệu:  m   (1  p)   (1  p) m1 (1  p)m   p  m,k   (1  p)m   (1  p)m ( k 1)   mk m Khi đó: a ) Nếu n có khai triển p -phân n  a0  a1 p   as p s , với   p  ord p (n!)  n  Sn , Sn  a0  a1   as p 1 b) ord p ( m )  ord p (m) c) Cho trước số tự nhiên m, N , r Khi đó, tồn số tự nhiên k để  m ,k  r mod p N 36 Chứng minh a ) Ta chứng minh ( a ) quy nạp theo n Giả sử ( a ) với n  a0  a1 p   as p s Ta chứng minh ( a ) với n  Xét hai khả sau: i ) Tồn i :  p  1, gọi t số thỏa: a0   at 1  p  1, at  p  Do n    ( p  1)  ( p  1) p   ( p  1) pt 1  at pt   as p s   ( p  1)(1  p   pt 1)  at pt   as p s  ( at  1) p t   as p s ord p (n  1)  t Khi ord p (n  1)!  ord p (n!)  t n  (a0   as )  ( p  1)t p 1 n  (a0   at 1 )  (at   as )  ( p  1)t  p 1   (n  1)   (at  1)   as  n   Sn1  p 1 p 1 ii )  p  với i {0,1, , s} Do n    ( p  1)  ( p  1) p   ( p  1) p s   ( p  1)(1  p   p s )  p s1 ord p (n  1)  s  Khi n  (a0   as )  ( s  1) p 1 n  ( p  1)( s  1)  ( p  1)( s  1)  p 1 n (n  1)  n   Sn1  =  p 1 p 1 p 1 ord p (n  1)!  37 Như vậy, trường hợp ta có ord p (n  1)!  (n  1)  Sn1 Vậy p 1 ( a ) m b) Ta có  m   Cmk p k  k 0 p m  mp   Cmk p k k 2 p m  m   Cmk p k 1 k 2 Với p  2, tính chất ( a ) ta có  m(m  1) (m  k  1)  ord p (Cmk p k 1 )  ord p    k 1 k!    ord p  m( m  1) ( m  k  1)   ord p  k !  k  k  Sk  k 1 p 1  ord p ( m)  ( k  Sk )  k   ord p ( m)   ord p (m)  Sk   ord p ( m) Vậy, với k  ord p (Cmk p k 1 )  ord p (m), ord p ( m )  ord p (m) c) Giả sử ngược lại, không tồn k để  m ,k  r mod p N Khi đó, p N số  m ,k với k  1,2, , p N , phải có hai số đồng dư mod p N , nghĩa tồn hai số k , l {1,2, , p N }, l  k để  m, k   m, l  (1  p)ml  m, k l p N Điều khơng thể theo (b) ta có ord p  (1  p) ml  m, k l   ord p ( m , k l )  ord p  m ( k l )   ord p ( m )  ord p  m( k  l )   ord p (m)  ord p ( k  l )  N k  l  p N 38 Bây giờ, ta chứng minh H nhóm tựa chuẩn tắc G Ta chứng minh với (m, a)  G, tập H (m, a) nhóm G Đặt K  (mn, b) n  , b  a Khi đó, K nhóm G Thật vậy, với (mn1, b1 ), (mn2 , b2 )  K b1, b2  a Trước hết ta chứng minh n1, n2  b2  a Xét trường ( p  1) mn2 hợp sau: Trường hợp 1: mn2  Khi đó, b2  ( p  1)  mn2 b2  a mn2 ( p  1) Trường hợp 2: mn2  Giả sử b2  p l Đặt k  ( p  1)mn2 Do (k , pl )  nên tồn u, v  : ku  pl v  Khi đó, kub2  pl vb2  b2  kub2  b2 Suy b2 b1  a Tương tự ta có  a Khi b2  ub2  a Vậy mn2 ( p  1) ( p  1) mn2 k   (mn1 , b1 )(mn2 , b2 ) 1  (mn1 , b1 )  mn2 ,  b mn2  ( p  1)     1   m( n1  n2 ), b  b  K mn2 mn2  ( p  1) ( p  1)   Hơn nữa, H (m, a)  K Ta chứng minh K  H (m, a) Giả sử a  p N Khi đó, với (n, b)  K b  Theo (c), tồn k để  m,k  r mod p N Suy  m,k  r  lp N   m,k a  Do đó, (m, a) k  (mk , m ,k a)  (mk , b) Khi đó, (n, b)  (n  mk ,0)(mk , b)  (n  mk ,0)(m, a) k  H (m, a) Do đó, K  H (m, a) Vậy H (m, a)  K nhóm G, từ H nhóm tựa chuẩn tắc G □ 39 KẾT LUẬN Như vậy, luận văn trình bày số tính chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn Qua mở rộng đến nhóm  tựa chuẩn tắc chứng minh H HG nhóm lũy linh H nhóm  -tựa chuẩn tắc nhóm G Mặt khác, theo định lý 2.3.1 ta chứng minh H nhóm tựa chuẩn tắc p -nhóm G thỏa mãn G   H , x với x G nhóm G đóng tính tựa chuẩn tắc H HG nhóm cyclic Tiếp theo, mở rộng định lý 2.3.1 ta chứng minh H nhóm tựa chuẩn tắc QPL-nhóm G H HG nhóm abel Ngồi có số ví dụ mối quan hệ nhóm tựa chuẩn tắc với nhóm chuẩn tắc nhóm chuẩn tắc, tính tựa chuẩn tắc nhóm khơng có tính chất bắc cầu, giao nhóm tựa chuẩn tắc khơng nhóm tựa chuẩn tắc 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải (2002), Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Tp HCM Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, NXB giáo dục Mỵ Vinh Quang (1999), Bài tập đại số đại cương, NXB giáo dục Tiếng Anh M Assad and A.A Heliel (2003), “On permutable subgroups of finite groups”, Arch Math 80, pp.113-118 Homer Bechtell (1971), Theory of Groups, University of New Hampshire W E Deskins (1963), “On Quasinormal subgroups of Finite Groups”, Math Zeitschr 82, pp.125-132 Daniel Gorenstein (1968), Finite Groups, New York P Z Hermann (1989), “On  -quasinormal subgroups in finite groups”, Arch Math 53, pp.228-234 Derek J.S.Robinson (1996), A course in the Theory of Groups, (2nd edition), Springer-Verlag, New York Tiếng Đức 10 O H Kegel (1962), “Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen”, Math Zeitschr 78, pp.205-221 ... sát số tính chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm  -tựa chuẩn tắc, tìm hiểu mối liên hệ nhóm tựa chuẩn tắc với nhóm chuẩn tắc nhóm chuẩn tắc, tìm hiểu số tính chất sâu nhóm tựa chuẩn tắc Nội dung luận... thuyết nhóm CHƯƠNG 2: NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM Chương chương luận văn Nội dung chương là: Định nghĩa tính chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm  -tựa chuẩn tắc, mối quan hệ nhóm tựa chuẩn tắc với nhóm. .. biết, nhóm H nhóm G gọi nhóm tựa chuẩn tắc nhóm G H giao hốn với nhóm G, nghĩa là: HK  KH , với K nhóm G Nhóm tựa chuẩn tắc mở rộng tự nhiên khái niệm nhóm chuẩn tắc Tuy nhiên nghiên cứu nhóm tựa