nhóm con tựa chuẩn tắc của các nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Việt Nhân NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Việt Nhân NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh-2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình Họ người lo lắng cho động viên suốt trình làm luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS.MỵVinh Quang Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy: lựa chọn đề tài mà học nhiều kiến thức khác ngành khác hoàn thành nó; quan tâm hướng dẫn thầy trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PGS.TS.Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải quý thầy cô khoa Toán giảng dạy cho kiến thức Đại số Giải tích để từ tự đọc thêm kiến thức hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo chuyênviên Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại Học Trường tạo điều kiện thuận lợicho hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập Nhân dịp này, xin bày tỏ quý mến đến bạn bè tôi, họ sát cánh bên để vượt qua khó khăn sống ngày động viên, giúp đỡ học hành để tiến tới Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 09 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Việt Nhân MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNGKÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các nhóm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa .7 1.1.2 Định lí 1.1.3 Nhóm Frattini 1.1.4 Nhóm Fitting 1.1.5 Mệnh đề 1.1.6 Nhóm dẫn xuất 1.1.7 Định lí 1.2 Cái chuẩn hóa,tâm hóa tử 1.2.1 Cái chuẩn hóa 1.2.2 Tâm hóa tử .9 1.2.3 Mệnh đề 1.2.2 1.2.4 Định lí 1.3 Định lí Sylow 10 1.3.1 Định nghĩa nhóm Sylow 10 1.3.2 Định lí 1.3.1 [6, Định lí Sylow, trang 39-40] .10 1.3.3 Hệ ( định lí Cauchy) .10 1.3.4 Hệ 10 1.3.5 Định lí 11 1.4 Nhóm giải 11 1.4.1 Định nghĩa .11 1.4.2 Định lí 12 1.4.3 Hệ 12 1.4.4 Định lí (Tính chất nhóm giải được) 12 1.4.5 Bổ đề 13 1.4.6 Định lí 14 1.4.7 Định lí ( định lí Burnside)[6] .14 1.4.8 Định lí[4, định lí 15.3, trang 53] 15 1.5 Nhóm lũy linh 15 1.5.1 Định nghĩa .15 1.5.2 Định lí 15 1.5.3 Định lí(Tính chất nhóm lũy linh) 16 1.5.4 Định lí 18 1.5.5 Hệ 18 1.5.6 Định lí [3, định lí 5.4.10, trang 66] .19 1.6 Nhóm Hall 19 1.6.1 Định nghĩa .19 1.6.2 Định lí[3, Định lí 4.1.4, trang 37-38] 19 1.6.3 Hệ 19 1.6.4 Định lí 20 1.6.5 Định lí(Định lí P.Hall) 20 1.6.6 Bổ đề 21 1.6.7 Định lí 22 1.6.8 Định lí [3, định lí 4.4.1, trang 47] 22 1.7 Nhóm p-lũy linh 22 1.7.1 Định nghĩa .22 1.7.2 Định lí [3, bổ đề 8, trang 265-266] 22 1.7.3 Định lí [7, định lí 10.1.8, trang 289] .23 CHƯƠNG : NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN 24 2.1 Nhóm siêu giải 24 2.1.1 Định nghĩa .24 2.1.2 Định lí 24 2.1.3 Định lí (Tính chất nhóm siêu giải được) .25 2.1.4 Hệ 28 2.1.5 Hệ 28 2.1.6 Bổ đề 29 2.1.7 Định lí 29 2.1.8 Hệ (định lí Huppert) .31 2.2 Nhóm tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn 31 2.2.1 Định nghĩa .31 2.2.2 Ví dụ 32 2.2.3 Định lí 33 2.2.4 Hệ 34 2.3 Một tiêu chuẩn nhóm siêu giải 34 2.3.1 Định líSrinivasan 34 2.3.2 Định lí 35 2.3.3 Ví dụ 39 2.3.4 Định nghĩa .40 2.3.5 Mệnh đề 40 2.3.6 Định lí 41 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 BẢNGKÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa H ⊆G H nhóm G H ⊂G H nhóm thực G h H ⊆G H nhóm Hall G H G H nhóm chuẩn tắc G N G ( A) Cái chuẩn hóa A CG ( A) Tâm hóa tử A Z(G) Tâm G Φ (G ) Nhóm Fratini F (G ) Nhóm Fitting |G| Cấp nhóm G σ (G ) Tập ước nguyên tố |G| A× B Tích trực tiếp A B [A]B Tích nửa trực tiếp A B Aut(G) Nhóm tự đẳng cấu G [G:M] Chỉ số M G [a,b] [A,B] Hoán tử a b Nhóm hoán tửcủa A B Mx Nhóm liên hợp với M G′ Nhóm dẫn xuất G p′ , π ′ Phần bù p, π P MỞ ĐẦU Theo O.H.KEGEL, nhóm H nhóm G S-tựa chuẩn tắc G H giao hoán với nhóm Sylow G S.Srinisavan chứng minh rằng: “nếu nhóm tối đại nhóm Sylow G S-tựa chuẩn tắc G G nhóm siêu giải được” Hiện tại, vấn đề nghiên cứu Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết báo: “ On permutable subgroups of finite groups” M Asaad A.A Heliel, nghiên cứu số tính chất nhóm tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn, từ mở rộng cải tiến kết đề cập trên, điều kiện S-tựa chuẩn tắc thay điều kiệnZ -tựa chuẩn tắc Trong toàn viết này, ta giả thiết G nhóm hữu hạn Mục tiêu luận nghiên cứu số tính chất nhóm Z-tựa chuẩn tắc nhóm G từ đưa tiêu chuẩn tính siêu giải G Nội dung luận văn gồm chương Trong chương 1, ta định nghĩa khái niệm nhóm đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh,…và chứng minh số kết quan trọng sử dụng việc chứng minh định lí chương Trong chương 2, ta tìm hiểu lớp nhóm siêu giải nhóm Z-tựa chuẩn tắc G bao gồm vài tính chất để thấy tác dụng hữu ích nhóm việc phân loại nhóm hữu hạn Mặt dù thân có nhiều cố gắng với thời gian kiến thức có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong ý kiến đóng góp, phê bình quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các nhóm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm, H ⊆ G , H gọi nhóm đặc trưng G α ( H ) ⊆ H với α ∈ Aut (G ) Hiển nhiên nhóm đặc trưng G chuẩn tắc G 1.1.2 Định lí Nếu H đặc trưng K K  G H  G Chứng minh −1 → K thỏa α ( x) = gxg Mà Với g ∈ G , K  G nên tồn đồng cấu α g : K  H đặc trưng K nên phải có α ( H ) = H Do đó, H nhóm chuẩn tắc G 1.1.3 Nhóm Frattini Nhóm Frattini G định nghĩa giao tất nhóm tối đại G kí hiệu Φ (G ) Nếu G nhóm nhóm tối đại ta quy ước Φ (G ) = G 1.1.4 Nhóm Fitting Nhóm sinh tất nhóm chuẩn tắc lũy linh G gọi nhóm Fitting G đượckí hiệu F(G) Nhận xét: F (G ) nhóm lũy linh G, nhóm chuẩn tắc lũy linh lớn (i) G (ii) F (G ) nhóm tầm thường G 1.1.5 Mệnh đề Cho G nhóm Khi F(G) Φ (G ) nhóm đặc trưng G 1.1.6 Nhóm dẫn xuất Cho G nhóm phần tử x1 , x2 , , xn G, phần tử [ x1 , x2 ] = x1−1 x2 −1 x1 x2 gọi hoán tử x y Tổng quát hơn, hoán tử có chiều dài n ≥ định nghĩa sau [ x1 , x2 , , xn ] = [ x1 , x2 , , xn−1 ] , xn  với quy ước [ x1 ] = x1 Nhóm sinh tập hoán tử G gọi nhóm dẫn xuất G kí hiệu G′ = , cụ thể G′ [ x, y ] | x, y ∈ G 1.1.7 Định lí (i) G′ nhóm chuẩn tắc G (ii) G′ nhóm nhỏ cho nhóm G ′ nhóm Abel G (iii) G′ nhóm đặc trưng G Chứng minh Lấy a ∈ G′, g ∈ G ta có a −1 g −1ag ∈ G′ , g −1ag a ( a −1 g −1ag ) ∈ G′ = (i) (ii) Vậy G′  G (iii) Với x, y ∈ G ta có x −1 y −1 xy ∈ G′ , suy xyG′ = yxG′ (iv) Do G ′ nhóm Abel Giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho G H G nhóm Abel, với x, y ∈ G ta có : xyH = yxH , suy x −1 y −1 xy ∈ H Vậy G′ ⊆ H (v) Giả sử α : G  → G tự đẳng cấu G Khi đó, ∀x, y ∈ G ta có (vi) α ([ x, y ]) = α ( x −1 y −1 xy ) = (α ( x) ) (α ( y ) ) α ( x).α ( y ) ∈ [α ( x), α ( y ) ] ∈ G′ Do −1 −1 α (G′) ⊆ G′ , G′ nhóm đặc trưng G 1.2 Cái chuẩn hóa,tâm hóa tử Cho G nhóm, A nhóm G Rõ ràng nhóm S-tựa chuẩn tắc G nhóm Z -tựa chuẩn tắc G, điều ngược lại không Ví dụ sau điều 2.2.2 Ví dụ Cho nhóm G= S3 × C2 Trong S= 3 a, b | a= b= , bab = a , C2= x ; G= {( u, x ) | u ∈ S , x ∈ C } Ta có: | G=| 3!.2 = 12 = 22.3 Gọi n2 , n3 số 2-nhóm Sylow 3-nhóm Sylow G n3 \12 Vì n3 ≡ 1(mod 3) nên n3 = Vậy G có 3-nhóm Sylow n3 \ a { n2 = Tương tự, ta có nn2 \≡121(mod 2) ⇒ n2 \3 ⇒ n2 = Mà b × C2 2-nhóm Sylow G không chuẩn tắc G Vậy n2 = , 2-nhóm Sylow G : b × C2 , ab × C2 , ba × C2 Chọn= Z {b × C2 , a } hệ đầy đủ nhóm Sylow G.Vì a nhóm chuẩn tắc G nên a giao hoán với tất nhóm G Do nhóm tối đại b × C2 nhóm Z -tựa chuẩn tắc G Xét 2-nhóm Sylow ab × C2 Ta có ( b, x ) không giao hoán với ab × C2 , ( b, x ) nhóm tối đại 2-nhóm Sylow b × C2 Vậy, ( b, x ) không nhóm S-tựa chuẩn tắc G Cho Z tập đầy đủ nhóm Sylow G N nhóm chuẩn tắc G.Ta kí hiệu Z N tập nhóm G sau ZN {G p N : G p ∈ Z} = Z∩N tập nhóm N 32 Z∩N ={ G p ∩ N : G p ∈ Z } N N N N = tập nhóm G {G N N :G p p N ∈ Z} 2.2.3 Định lí Cho Z= {G p | p ∈ σ (G )} tập đầy đủ nhóm Sylow G, U nhóm Z -tựa chuẩn tắc G N nhóm chuẩn tắc G Khi (i) Z∩N (ii) UN N N N tập đầy đủ nhóm Sylow N G N nhóm N N -tựa chuẩn tắc G N (iii) Nếu U nhóm N U nhóm Z∩N- tựa chuẩn tắc N Chứng minh (i) Giả sử p ước nguyên tố |N|,khi với G p ∈ Z, theo định lí 1.3.5,ta có G p ∩ N p-nhóm Sylow N Do Z chứa p-nhóm Sylow G,là G p , nênZ∩N chứa p-nhóm Sylow N, G p ∩ N , vậyZ∩N tập đầy đủ nhóm Sylow N (ii) Chứng minh tương tự, ta có Z N N tập đầy đủ nhóm Sylow G N (iii) Với G p N N ∈Z N N , ta có U giao hoán với G p nên UN N giao hoán với G p N N Do UN N nhóm Z N N -tựa chuẩn tắc G N (iv) Lấy G p ∈Z, U ⊆ N , N  G nên U (G p ∩ N= ) (UG p ) ∩ N Do U nhóm Z-tựa chuẩn tắc G nên UG p nhóm G.Suy U (G p ∩ N ) nhóm N Từ suy U nhóm Z∩N-tựa chuẩn tắc N 33 Sau hệ quan trọng cần thiết cho việc chứng minh định lí mục sau 2.2.4 Hệ Cho Z tập đầy đủ nhóm Sylow G.Giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho nhóm tối đại G p ∩H nhóm Z-tựa chuẩn tắc G.Khi đó, với nhóm chuẩn tắc không tầm thường N G,các nhóm tối đại ( Gp N N )∩( HN N ) nhóm N N -tựa chuẩn tắc G N Chứng minh ( Vì (Z N N )∩( HN N )={ N G p ∩ HN ( N N )∩( HN N )={ (G p ∩H)N Lấy = P G p ∩ H ∈(Z∩H) M N N ) N : G p ∈ Z}và G p ∩ HN = (G p ∩ H )(G p ∩ N ) nên ta có :G p ∈ Z }=(Z∩H)N/N nhóm tối đại PN N Vì N  M nên MN=M, M = PN ∩ M = PN ∩ MN = ( P ∩ M ) N P ∩ M nhóm tối đại P, theo giả thiết, P ∩ M nhóm Z -tựa chuẩn tắc G Áp dụng định lí 2.2.3(ii), ta M N nhóm N N -tựa chuẩn tắc G N 2.3 Một tiêu chuẩn nhóm siêu giải Srinivasan đưa tiêu chuẩn nhóm siêu giải sau 2.3.1 Định líSrinivasan Nếu nhóm tối đại nhóm Sylow G S-tựa chuẩn tắc G G nhóm siêu giải Bằng cách thay tính S-tựa chuẩn tắc bởitính Z -tựa chuẩn tắc, ta chứng minh định lí mạnh sau 34 2.3.2 Định lí Cho Z tập đầy đủ nhóm Sylow nhóm G.Giả sử nhóm tối đại G p nhóm Z-tựa chuẩn tắc G,với G p ∈ Z Khi G nhóm siêu giải Chứng minh Giả sử kết sai, chọn G nhóm không siêu giải cho G có cấp nhỏ Z= {G p1 , G p2 , , G pn } tập đầy đủ nhóm Sylow G,trong p1 < p2 < < pn Khi , phát biểu sau G đúng: Φ (G ) = (i) Giả sử Φ (G ) ≠ Vì Φ (G )  G nên theo định lí 2.2.3(i), ta có Φ (G ) Φ (G ) tập đầy đủ nhóm Sylow G Φ (G ) Do theo hệ 2.2.4, G Φ (G ) thỏa giả thiết định lí Theo cách chọn G, G Φ (G ) nhóm siêu giải Áp dụng hệ 2.1.8 ta có G nhóm siêu giải ( mâu thuẫn) Vậy Φ (G ) = (ii) G nhóm p1- lũy linh (iii) Giả sử G không nhóm p1 - lũy linh • k Khi G p không nhóm cyclic.Giả sử | G p1 |= p1 m thỏa (m, p1 ) = • Vì G không nhóm p1 - lũy linh nên ta có N G (G p ) ≠ CG (G p ) (theo định lí 1.7.3) 1  N G (G p1 ) Nếu G p nhóm cyclic G p1 ⊆ CG (G p1 ) ,   N G (G p1 ) CG (G p1 ) ước m Mặt khác, Aut = (G p1 ) p1k1 −1.( p1 − 1) nên • Vậy N G (G p1 ) N G (G p1 ) CG (G p1 ) CG (G p1 ) N G (G p1 ) CG (G p1 ) CG (G p1 ) ⊆ Aut (G p1 ) ước ( p1 − 1) = (do p1 số nguyên tố nhỏ σ (G ) ) Suy N G (G p1 ) = CG (G p1 ) (mâu thuẫn) Do G p1 không nhóm cyclic •  , p1  = , suy  Nếu G p1 có nhóm tối đại, giả sử U 35 Chọn a ∈ G p1 \ U , gọi H = < a > Ta xét trường hợp sau : Trường hợp 1: H = G p1 , G p1 nhóm cyclic (vô lí) Trường hợp : H ≠ G p1 Khi tồn nhóm tối đại K G p1 cho H ⊆ K , rõ ràng U ≠ K (điều mâu thuẫn với G p1 có nhóm tối đại) Vậy G p1 có nhóm tối đại • Giả sử U,V hai nhóm tối đại G p1 Do tính tối đại U,V nên G p1 = UV Mặt khác, theo giả thiết, U Vlà nhóm Z-tựa chuẩn tắc G nên UVG = G p j G p1 suy = UG p j G p j U= ; VG p j G= 2,3, , n) Vì G= p1 G p j pj p jV ( j G p1 G p j nhóm G.Mặt khác, theo định lí1.4.7ta có G p1 G p j nhóm giải Lấy M nhóm tối đại G p1 G p j , theo định lí 1.4.6, G p G p : M  lũy j k thừa số nguyên tố Giả sử G p1 G p j : M  = p j j , gọi P p1 -nhóm conSylow M Do đóPcũng p1 -nhóm Sylow G p1 G p j nên Pvà G p1 liên hợp với G p1 G p j suy xG p x −1= P ⊆ M với x ∈ G p1 G p j y Vậy G p1 ⊆ M x với x ∈ G p1 G p j (Nếu G p1 G p j : M  = p1l ta suy G p j ⊆ M với y ∈ G p1 G p j ) Vì M x có tính chất giống với M nên ta thay M x M , đó, ta xem G p ⊆ M M ∩ G p1 G p j = G p1 M ∩ G p1 G p j = G p1 ( M ∩ G p j ) (*) Giả sử A nhóm Ta có M = tối đại G p j cho M ∩ G p ⊆ A , G p nhóm lũy linh nên G p : A = p j Khi j j j G p1 A nhóm G,do (*) nên M ⊆ G p A ⊆ G p G p ,mà M nhóm tối đại nên 1 j y G p G p : M  = M = G p1 A Suy ra= G p G p : G p A p j (Tương tự, G p j ⊆ M với     j j y ∈ G p1 G p j G p G p : M  = p1 ) Từ theo định lí 2.1.7 , G p1 G p j nhóm siêu giải   j G 36 • Nếu G không nhóm giải |G| số chẵn, suy p1 = , G2G p j nhóm siêu giải G,nên G p j  G2G p j ( bổ đề 2.1.6) Từ suy G2 ⊆ G2G p j ⊆ N G (G p j ) , tức p j -nhóm Sylow G chuẩn hóa 2-nhóm Sylow G Do tất nhân tử hợp thành G có tính chất này, điều lại không nhóm đơn không Abel Vì vậy, G nhóm giải • Bây giờ, G không nhóm p1- lũy linh nên Gphải chứa {p1 , p j } -nhóm K thỏa định lí 1.7.2, với (1 < j ≤ n ) Do G nhóm giải nêntheo định lí 1.6.5ta có K ≤L, L {p1 , p j } -nhóm Hall G Mà tất {p1 , p j } -nhóm Hall ( G liên hợp với G nên L = G p1 G p j ( ta thay G p1 G p j ) x ) x , với x ∈ G Không tính tổng quát, G p1 G p j , ta xem G p1 G p j chứa K Mặt khác, ta có G p1 G p j nhóm p1 -lũy linh, suy K nhóm p1- lũy linh G Điều mâu thuẫn với tính chất nhóm K Vậy G nhóm p1- lũy linh (iv) G p ⊆ F (G ) n Vì G nhóm p1- lũy linh nên G = G p1 H , với H p1′ -nhóm Hall chuẩn tắc G Theo giả thiết định lí 2.2.3, nhóm tối đại G p j (j=2,3, ,n) nhóm Z∩H –tựa chuẩn tắc H, theo cách chọn nhóm G,ta có H nhóm siêu giải GọiPlà pn -nhóm Sylow H, H p1′ -nhóm Hall chuẩn tắc G nênPcũng pn -nhóm Sylow G,và đóPvà G pn liên hợp với G = H ( H  G ) Do H Suy P g −1G pn g ⊆ H , với g ∈ G Từ đây, ta có G p ⊆ g −1 Hg = n nhóm siêu giải nên G pn pn -nhóm Sylow H Xét g ∈ G, x ∈ G pn l (giả sử | x |= pn với l < kn ), ta có g −1 xg ∈ H , mà | g −1 xg | \ pnl , nên g −1 xg ∈ G pn , suy G pn G Mặt khác G pn pn -nhóm nên theo định lí 1.5.2, G pn nhóm lũy linh Vậy G pn ⊆ F (G ) • Ta khẳng định G pn nhóm tối tiểu chuẩn tắc G.Thật vậy, G nhóm giải Φ (G ) = nên F (G )′ 1= ⊆ Φ ( F (G )) [ F (G ), F (G )]= 37 , suy F(G) nhóm Abel Gọi I tích trực tiếp tối đạicủa nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Do I có dạng I = L1 × L2 × × Lr , Li (1 ≤ i ≤ r ) nhóm chuẩn tắc tối tiểu, suy I ⊆ F (G ) Giả sử Ta có I ≠ F (G ) , I có phần bù chuẩn tắc C G cho G = IC I ∩ C = F (G ) = F (G ) ∩ IC = I ( C ∩ F (G ) ) Mặt khác C ∩ F (G )  IC = G C ∩ F (G ) ≠ nên C ∩ F (G ) chứa nhóm Abel chuẩn tắc tối tiểu U G Suy I ⊂ IU ⊆ F (G ) Điều mâu thuẫn với tính tối đại I Do I = F (G ) = L1 × L2 × × Lr • Giả sử Ls ≠ Lm (1 ≤ s ≠ m ≤ r ) , áp dụng hệ 2.2.4 ta có G L G L thỏa giả s m thiết định lí 2.3.2, suy G L G L nhóm siêu giải ( cách chọn G) m s Mặt khác, lớp nhóm siêu giải họ bão hòa nên ta có G L ∩ L nhóm siêu s m giải được, mà Ls ∩ Lm = ( theo tính tối tiểu Ls , Lm ) nên G nhóm siêu giải ( mâu thuẫn) Do đó, giả sử F(G) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G,vì F (G ) = G p n • Lấy R nhóm tối đại G pn , theo giả thiết, R nhóm Z-tựa chuẩn tắc G,do R G p (1≤ i≤n-1) nhóm G Ta chứng minh i R  RG pi , R nhóm Hall RG pi nên theo định lí 1.6.7,ta cần R giao hoán với nhóm Sylow R G p Gọi A nhóm Sylow R G p i i Xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: A pi nhóm RG p , A = g −1G p g với g ∈ RG p i i o i Nếu g ∈ R gRg −1 = R Do RG p nhóm G nên RG p = G p R , suy i i i gRg −1G pi = G pi gRg −1 , từ ta có Rg −1G pi g = g −1G pi gR hay RA = AR o Nếu g ∈ G pi A = G pi , tức A  RG pi Do RA = AR Trường hợp : A pn nhóm RG p , A = g −1 Rg với g ∈ RG p i o Nếu g ∈ R A = R , A  RG p , suy RA = AR i 38 i G p Mà R  G p nên Rg −1 Rg = g −1 RgR , suy Nếu g ∈ G p g −1 Rg ⊆ g −1G p g = o n i n n RA = AR Vậy R  RG pi ,do G pi ⊆ RG pi ⊆ N G ( R ) Mặt khác , ta có R  G pn nên G pn ⊆ N G ( R) Vì vậy, | N G ( R ) | chia hết cho lũy thừa pi G với i = 1, n Do | N G ( R) |  | G | , suy N G ( R) = G hay R nhóm chuẩn tắc G Vì G pn nhóm chuẩn tắc tối tiểu G nên ta có R=1, điều chứng tỏ • G pn nhóm thực khác 1, G pn nhóm cyclic cấp pn.Thật vậy, lấy ≠ x ∈ G p ta có < x > ≠ , suy < x > =G p Giả sử | x | không số nguyên tố, n n tồn số nguyên tố p cho p \ | x | Áp dụng định lí Cauchy, tồn phần tử y cấp p < x > , ≠< y >≠< x > (mâu thuẫn) Mặt khác, theo cách chọn G,ta có G G nhóm siêu giải Từ theo hệ p • n 2.1.5 tasuy G nhóm siêu giải (mâu thuẫn) Chú ýChiều ngược lại định lí không đúng, điều thể rõ ví dụ sau 2.3.3 Ví dụ Cho G= S3 × C3 , ta có S3 nhóm siêu giải được, C3 nhóm cyclic nên nhóm siêu giải được, mà tích trực tiếp hai nhóm siêu giải nhóm siêu giải được, G nhóm siêu giải Nhưng thực sự, G không thỏa giả thiết định lí 2.3.2 G Ta có= {( u, x ) | u ∈ S , x ∈ C } , C= 3 x , S= 3 = 2.32 a, b | a= b= , bab = a | G=| 18 Gọi n2 , n3 số 2-nhóm số 2-nhóm Sylow 3-nhóm Sylow G.Vì {nn \18≡ 1(mod 3) nên n = Vậy G có 3-nhóm Sylow 3 a × C3 Mà số 2-nhóm Sylow G số 2-nhóm Sylow S3 nên ta có n2 = Các 2-nhóm Sylow G : b , ab , ba 39 Xét nhóm tối đại a × C3 : a , C3 , ( a, x ) , ( a , x ) , ( a, x ) , có ( a, x ) { (a , x ) 2 Ta } b = (1,1) , ( b,1) , ( a, x ) , ( a , x ) , ( ab, x ) , ( ba, x ) { } b ( a, x ) = (1,1) , ( b,1) , ( a, x ) , ( a , x ) , ( ab, x ) , ( ba, x ) Vậy ( a, x ) b ≠ b ( a, x ) Tương tự ta có ( a, x ) ab ≠ ab ( a, x ) ( a, x ) ba ≠ ba ( a, x ) Do đó, ( a, x ) không nhóm Z-tựa chuẩn tắc G Vấn đề tiếp tục đặt nhóm G phải thỏa thêm điều kiện khác để chiều ngược định lí xảy ra? Câu trả lời nằm định lí tiếp theo, trước hết, ta xét thêm khái niệm mới, khái niệm quan trọng mà từ ta thấy rõ tác động tính Z-tựa chuẩn tắc lên nhóm nhóm G 2.3.4 Định nghĩa Một lớp F nhóm gọi họ bão hòa thỏa điều kiện sau Mọi ảnh đồng cấu nhóm thuộc Flà nhóm thuộc F (i) (ii) Nếu G M (iii) Nếu G ,G N Φ (G ) ∈F G M ∩N ∈ F với nhóm chuẩn tắc M, N G ∈ F G∈F 2.3.5 Mệnh đề Lớp nhóm siêu giải được, kí hiệu U, họ bão hòa Chứng minh (i) Giả sử G∈ U , ta chứng minh f (G ) ∈ U, với đồng cấu f Nếu N  G , theo định lí 2.1.3(ii) G N nhóm siêu giải Với đồng cấu f : G  → K , ta có G ker f ≅ f (G ) Vì Kerf  G nên G nhóm giải được, suy f (G ) ∈ U Kerf (ii) Giả sử M,N nhóm chuẩn tắc G thỏa G M , G N ∈U 40 (iii) Xét đồng cấu tự nhiên f : G  → G ⊕ G Khi Kerf= M ∩ N M N (iv) Suy G Ker = G ≅ f (G ) ≤ G ⊕ G Vì G ⊕ G nhóm siêu giải M N f M ∩N M M ( theođịnh lí 2.1.3(iv)) nên G M ∩ N ∈ U (v) Theo hệ 2.1.8, ta có G Φ (G ) nhóm siêu giải G nhóm siêu giải Vậy U họ bão hòa Liên quan đến tính S-tựa chuẩn tắc nhóm nhóm hữu hạn G,Asaad chứng minh mệnh đề sau: “Cho F họ bão hòa chứa lớp nhóm siêu giải U Giả sử G nhóm có nhóm chuẩn tắc H cho G H ∈ F Nếu nhóm tối đại nhóm Sylow H nhóm S-tựa chuẩn tắc G G∈F” Định lí sau xem mở rộng mệnh đề 2.3.6 Định lí Cho F họ bão hòa chứa lớp nhóm siêu giải U Z tập đầy đủ nhóm Sylow nhóm G.Khi đó, hai điều kiện sau tương đương: (i) G ∈ F, (ii) Tồn nhóm chuẩn tắc H G cho G H ∈ F nhóm tối đại G p ∩ H nhóm Z -tựa chuẩn tắc G,với G p ∈ Z Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau Bổ đềCho P p-nhóm Abel sơ cấp G cho P không nhóm cyclic Khi điều kiện sau tương đương: a) Nhóm cấp p P chuẩn tắc G, b) Nhóm tối đại P chuẩn tắc G 41 Chứng minh Vì P p-nhóm Abel sơ cấp G P không nhóm cyclic nên ta viết P dạng P= g1 ⊗ g ⊗ ⊗ g n , gi (với i = 1, , n ) phần tử cấp p G (a) ⇒ (b) Giả sử M nhóm tối đại G nên M p-nhóm Abel sơ cấp Nếu M nhóm cyclic cấp p M chuẩn tắc G ( theo giả thiết) Nếu ngược lại M tích trực tiếp nhóm cyclic cấp p, mà nhóm cyclic nhóm chuẩn tắc G, M chuẩn tắc G (b) ⇒ (a) Giả sử a , a ∈ P nhóm cyclic cấp p G, không tính tổng n quát, ta xem a = g1 Với i = 2, , n , đặt M i := ⊗ g j , M i nhóm j =1 j ≠i n tối đại G, M i  G Mà a =  M i , suy a nhóm chuẩn tắc G i =2 Giờ ta chứng minh định lí 2.3.6 (i) ⇒ (ii) Nếu G ∈ F (ii) với H=1 (ii) ⇒ (i) Giả sử kết sai, chọn G ∉ F cho G có cấp nhỏ Giả sử G = p1k1 p2 k2 pn kn , p1 < p2 < < pn LấyZ = {G p , G p , , G p } tập đầy n đủ nhóm Sylow G.Theo định lí 2.2.3(i),Z ∩ H tập đầy đủ nhóm Sylow H Giả sử U nhóm tối đại G p ∩ H , suy U nhóm Z ∩ H tựa chuẩn tắc H Vậy H nhóm siêu giải (Theo định lí 2.3.2).Gọi p pnhóm Sylow H, p số nguyên tố lớn chia hết |H| Khi P  H Lấy L nhóm chuẩn tắc tối tiểu G cho L ⊆ P Ta có: H L  G L G H G ) ( L ≅ ( ) G L  ∈ F (giả thiết) Hơn nữa, nhóm tối đại  p L  ∩ H L nhóm H   L ( ) Z L L -tựa chuẩn tắc G L Do đó, G L thỏa giả thiết định lí, theo cách chọn nhóm G,ta có G L ∈ F Vì họ bão hòa G L ∈ F nên L nhóm chuẩn tắc tối tiểu 42 Φ( P) = Thật vậy, Φ (G ) ≠ G G chứa P Khi Φ (G ) = [...]... )} là một tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G, U là một nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G và N là một nhóm con chuẩn tắc của G Khi đó (i) Z∩N và (ii) UN N N N lần lượt là các tập đầy đủ các nhóm con Sylow của N và G N là một nhóm con N N -tựa chuẩn tắc của G N (iii) Nếu U là một nhóm con của N thì U là nhóm con Z∩N- tựa chuẩn tắc của N Chứng minh (i) Giả sử p là một ước nguyên tố của |N|,khi đó với G... = 2 Mà b × C2 là một 2 -nhóm con Sylow của G nhưng không chuẩn tắc trong G Vậy n2 = 3 , và các 2 -nhóm con Sylow của G là : b × C2 , ab × C2 , ba × C2 Chọn= Z {b × C2 , a } là một hệ đầy đủ các nhóm con Sylow của G.Vì a là nhóm con chuẩn tắc của G nên a giao hoán với tất cả các nhóm con của G Do đó các nhóm con tối đại của b × C2 là các nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G Xét 2 -nhóm con Sylow ab × C2 Ta... không rỗng các nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G Z được gọi là tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G nếu với mọi số nguyên tố p chia hết cấp G thì Z chứa đúng một p -nhóm con Sylow của G,gọi là G p Ta đã biết một nhóm con H của G được gọi là S -tựa chuẩn tắc nếu H giao hoán với mọi nhóm con Sylow của G Tính S -tựa chuẩn tắc của các nhóm con này là một công cụ khá mạnh khi nghiên cứu về các nhóm hữu hạn G,... CHƯƠNG 2 : NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một tính chất mới của các nhóm con củamột nhóm G cũng như các tác động của nó lên cấu trúc của các nhóm hữu hạn, và đối tượng được xét đến ở đây là lớp các nhóm siêu giải được 2.1 Nhóm siêu giải được Chúng ta đều biết rằng lớp các nhóm Abel là lớp con thực sự của lớp các nhóm lũy linh, mà chính bảnthân lớp các nhóm lũy... C2 , trong đó ( b, x ) là nhóm con tối đại của 2 -nhóm con Sylow b × C2 Vậy, ( b, x ) không là nhóm con S -tựa chuẩn tắc của G Cho Z là một tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G và N là một nhóm con chuẩn tắc của G.Ta kí hiệu Z N là tập các nhóm con của G như sau ZN {G p N : G p ∈ Z} = Z∩N là tập các nhóm con của N 32 Z∩N ={ G p ∩ N : G p ∈ Z } và N N N N = là tập các nhóm con của G {G N N :G p p N ∈ Z}... chính ở mục sau 2.2.4 Hệ quả Cho Z là một tập đầy đủ các nhóm con Sylow của G.Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho các nhóm con tối đại của G p ∩H là nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G.Khi đó, với bất kì nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N của G ,các nhóm con tối đại của ( Gp N N )∩( HN N ) là các nhóm con N N -tựa chuẩn tắc của G N Chứng minh ( Vì (Z N N )∩( HN N )={ N G p ∩ HN ( N N )∩( HN N... là nhóm con đặc trưng của G 1.6.7 Định lí Nếu H là nhóm con S -tựa chuẩn tắc Hall của G thì H là cũng nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh Do H là nhóm con S -tựa chuẩn tắc của G nên theo [6], tồn tại dãy chuẩn tắc các nhóm con của G như sau H H= = G Mặt khác, vì H là nhóm con Hall của 0  H1   H n H nên ta có ( H , [G : H ]) = 1 và do đó ( H , [ H1 : H ]) = 1 , áp dụng bổ đề 1.6.6 ta được H là nhóm. .. trong giao tất cả các nhóm con tối đại của G, tức là G′ ⊆ Φ (G ) Phần bù của một nhóm con chuẩn tắc N của một nhóm hữu hạn G là một nhóm con 1 Khi đó, ta viết G = [N ]A A của G thỏa mãn G = NA và N ∩ A = 18 1.5.6 Định lí [3, định lí 5.4.10, trang 66] Giả sử A là một nhóm con Abel chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G thỏa điều kiện A ∩ Φ (G ) =1 Khi đó, G=[A]B với B là nhóm con của G 1.6 Nhóm con Hall 1.6.1... tiếp của hữu hạn nhóm cyclic cấp p Do đó N là p -nhóm con Abel sơ cấp nếu và chỉ nếu x p = 1 với mọi x ∈ N Trong một nhóm Gvà p ∈ σ (G ) , tích trực tiếp của các nhóm cyclic cấp p trong G là một nhóm con đặc trưng của G 1.4.5 Bổ đề Cho G là nhóm, N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G.Nếu N là nhóm giải được thì N là p -nhóm con Abel sơ cấp Chứng minh Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của. .. N -tựa chuẩn tắc của G N (iv) Lấy G p ∈Z, vì U ⊆ N , N  G nên U (G p ∩ N= ) (UG p ) ∩ N Do U là nhóm con Z -tựa chuẩn tắc của G nên UG p là nhóm con của G.Suy ra U (G p ∩ N ) là nhóm con của N Từ đây suy ra U là nhóm con Z∩N -tựa chuẩn tắc của N 33 Sau đây sẽ là một hệ quả quan trọng và cần thiết cho việc chứng minh của các định lí chính ở mục sau 2.2.4 Hệ quả Cho Z là một tập đầy đủ các nhóm con ... đầy đủ nhóm Sylow G, U nhóm Z -tựa chuẩn tắc G N nhóm chuẩn tắc G Khi (i) Z∩N (ii) UN N N N tập đầy đủ nhóm Sylow N G N nhóm N N -tựa chuẩn tắc G N (iii) Nếu U nhóm N U nhóm Z∩N- tựa chuẩn tắc. .. G nhóm p-lũy linh 23 CHƯƠNG : NHÓM CON TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN Trong chương này, ta nghiên cứu tính chất nhóm củamột nhóm G tác động lên cấu trúc nhóm hữu hạn, đối tượng xét đến lớp nhóm. .. đủ nhóm Sylow G.Giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho nhóm tối đại G p ∩H nhóm Z -tựa chuẩn tắc G.Khi đó, với nhóm chuẩn tắc không tầm thường N G ,các nhóm tối đại ( Gp N N )∩( HN N ) nhóm N N -tựa chuẩn