nhóm hữu hạn với nhóm con frattini tầm thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hoàng Châu Giang NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hoàng Châu Giang NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Mỵ Vinh Quang, người trực tiếp hướng dẫn, đóng góp nhiều ý kiến quý báu tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô giảng dạy trường Đại học Sư phạm Tp.HCM tận tâm giảng dạy, trang bị đầy đủ kiến thức cho cho lớp Đại số K23 thời gian học tập chương trình Cao học Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ trình làm luận văn MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu dùng luận văn MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.2 Tích trực tiếp – Tích trực tiếp 1.3 Nhóm Frattini 10 1.4 Dãy Abel – Nhóm giải 12 1.5 Dãy tâm – Nhóm lũy linh 14 1.6 Nhóm dẫn xuất 19 1.7 Nhóm siêu giải 20 1.8 Các định lý chẻ 21 1.9 Nhóm Abel sơ cấp 23 Chương NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG 26 2.1 Các lớp nhóm 26 2.2 Một số tính chất chung 26 2.3 Các tính chất đóng 36 2.4 Điều kiện để nhóm chuẩn tắc có phần phụ 42 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Ý nghĩa [G : H ] Chỉ số H G NG ( H ) Chuẩn hóa tử H G CG ( X ) Tâm hóa tử X G Z (G ) Tâm G Hx Nhóm liên hợp H G H,K Nhóm sinh H K Aut ( G ) Nhóm tự đẳng cấu G H char G H nhóm đặc trưng G Φ (G ) Nhóm Frattini G [ a, b] = aba −1b−1 Hoán tử a b G ' = [G, G ] Nhóm dẫn xuất G Gp = gp Nhóm sinh g p với g ∈ G , p nguyên tố MỞ ĐẦU Chúng ta biết giao tất nhóm tối đại nhóm hữu hạn G có gọi nhóm Frattini G Nếu giao tầm thường ta nói G nhóm với nhóm Frattini tầm thường Lớp nhóm hữu hạn với nhóm Frattini tầm thường đóng vai trò quan trọng lý thuyết nhóm hữu hạn thu hút quan tâm nhiều nhà toán học H.BECHTELL, C.CHRISTENSEN, L –C KAPPE J.KIRTLAND, J.WIEGOLD, C R B WRIGHT với nhiều kết thú vị Trong báo [11], ta biết đặc trưng quan trọng, G nhóm hữu hạn với nhóm Frattini tầm thường nghĩa nhóm chuẩn tắc không tầm thường G có phần phụ thực sự, G gọi nS – nhóm Bắt đầu từ nghiên cứu báo [11], báo [12], hai tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPE JOSEPH KIRTLAND tiếp tục nghiên cứu cách chi tiết lớp nS – nhóm hữu hạn, lớp nC – nhóm hữu hạn thu kết sau: Nếu G lũy linh nhóm chuẩn tắc không tầm thường N G nS – nhóm N Abel sơ cấp, G giải G tất thương có nhóm Frattini tầm thường G nC – nhóm.Lớp nC – nhóm, lớp lớp nS – nhóm nghiên cứu báo [4], [6], [7], [8], [16] [17] Tuy nhiên, trình nghiên cứu nS – nhóm, hai tác giả thu kết chưa biết đến rộng rãi nC – nhóm như: nS – nhóm lũy linh trùng với nC – nhóm lũy linh, tâm nC – nhóm nhân tử trực tiếp Abel sơ cấp… Luận văn trình bày chi tiết Định lý 2.1, Định lý 2.3, Định lý 2.5, Định lý 2.6, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, Định lý 3.5, Định lý 3.6, Định lý 3.7, Định lý 4.1, Định lý 4.2, Định lý 4.3, Định lý 4.4, Định lý 4.5, Định lý 4.6 báo [12] đồng tác giả LUISE – CHARLOTTE KAPPE JOSEPH KIRTLAND Luận văn “Nhóm hữu hạn với nhóm Frattini tầm thường” chia làm hai chương: Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất liên quan đến nhóm Frattini, nhóm giải được, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh, nhóm Abel sơ cấp, định lý chẻ … Chương giúp người đọc nắm vững khái niệm tính chất cần thiết để theo dõi tiếp chương Chương 2: Trình bày kết nhóm hữu hạn với nhóm Frattini tầm thường, bao gồm tính chất bản, tính chất đóng điều kiện để nhóm chuẩn tắc có phần phụ Mặc dù có nhiều cố gắng trình học tập, nghiên cứu làm luận văn tránh khỏi sai sót Kính mong nhận đóng góp ý kiến từ quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.1.1 Định nghĩa Cho nhóm G, p số nguyên tố chia hết |G| Khi đó: i G gọi làp – nhóm |G| lũy thừa p ii H nhóm G H gọi p – nhóm G H p – nhóm iii Nhóm H G gọi p – nhóm Sylow G H phần tử tối đại tập p – nhóm G theo quan hệ bao hàm 1.1.2 Định lý Sylow Cho G nhóm hữu hạn cấp p a m với ( p, m ) = , p số nguyên tố Khi đó: i Mỗi p – nhóm G chứa nhóm cấp p a Đặc biệt, p – nhóm nên p – nhóm Sylow tồn ii Nếu n p số p – nhóm Sylow n p ≡ 1( mod p ) iii Tất p – nhóm Sylow liên hợp G [14, 1.6.16, tr.39] 1.1.3 Hệ quả(Định lý Cauchy) Nếu G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết G G có chứa phần tử cấp p[14, 1.6.17, tr.40] 1.1.4 Định lý Cho G nhóm hữu hạn, M nhóm tối đại G [G : M ] số nguyên tố Khi p – nhóm Sylow P chuẩn tắc G với p số nguyên tố lớn chia hết G Chứng minh Kí hiệup số nguyên tố lớn chia hết G xét p – nhóm Sylow P G Nếu P không nhóm chuẩn tắc G, N G ( P ) chứa nhóm tối đại G : N G ( P )  = [G : M ]  M : N G ( P )  G với [G : M ] nguyên tố Vì M N M ( P ) = N G ( P ) , nên theo Định lý Sylow ≡ [G : M ] modulo p Nhưng q = + kp ( k ≠ ) số nguyên tố q ≤ p [G : M ] = Vì kp= q − nênp chia hết q – Do đóp[...]... của một nhóm sơ cấp là một nhóm sơ cấp iii Tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm sơ cấp là một nhóm sơ cấp[4, 2.3, tr.357] 26 Chương 2 NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG Nhóm G được xét là hữu hạn 2.1 Các lớp nhóm cơ bản Nhóm G làxP – nhóm nếu mỗi x – nhóm con không tầm thường thỏa mãn điều kiện P, với x và P có thể nhận những giá trị sau đây: x = a (nhóm con bất kì) x = n (nhóm con chuẩn... do đó G đẳng cấu với tích trực tiếp con của một họ các nhóm đơn 1.3 Nhóm con Frattini 1.3.1 Định nghĩa Cho G là một nhóm Khi đó, giao của tất cả các nhóm con tối đại của G được gọi là nhóm con Frattini của G, kí hiệu Φ ( G ) Nhận xét.G là nhóm hữu hạn nên nhóm con Frattini luôn tồn tại trong G Nếu G không có G các nhóm con tối đại thì ta quy ước Φ ( G ) = 1.3.2 Mệnh đề Cho G là một nhóm Khi đó, Φ (... nPNS – nhóm G 2.2.7 Định lý Mỗi cD – nhóm hữu hạn là một nD – nhóm[ 7, 3.1, tr.57] 2.2.8 Hệ quả Lớp các nPNS – nhóm hữu hạn, các nD – nhóm, các cD – nhóm và các cPNS – nhóm là đồng nhất và bất kỳ nhóm nào trong lớp này cũng là tích trực tiếp của các nhóm đơn Chứng minh Rõ ràng, mỗi nD – nhóm hữu hạn là mộtnPNS – nhóm Lấy G là nPNS – nhóm hữu hạn Theo Định lý 2.2.5, G là tích trực tiếp của các nhóm đơn... lấy G là nhóm thỏa điều kiện: với {1} ≠ N  G , tồn tại nhóm con chuẩn tắc thực sự N’ của G sao cho NN’ = G Giả sử 1 ≠ x ∈ G Lấy N là nhóm con chuẩn tắc của G sinh bởi x và lấy N’ là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G sao cho NN’ = G Lấy M là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho: x ∉ M ⊃ N ' , ta có M là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G Như vậy mỗi phần tử không tầm thường của G nằm ngoài nhóm con chuẩn... 2.2.2 Bổ đề Nhóm G không tầm thường là một aP – nhóm (P = S, PNS, CS) nếu và chỉ nếu, với 1 ≠ x ∈ G , x có P – phần phụ trong G Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ Định nghĩa 2.1 Ngược lại, lấy H là nhóm con không tầm thường của G và 1 ≠ h ∈ H Vì h là nhóm con không tầm thường của G, nên h có P – phần phụ K trong G sao cho G = h K Vì h ⊆ H nênG = HK Vậy G là aP – nhóm 2.2.3 Định lý Cho nhóm G, các... dãy tâm với Gn= Gn +1= = Gn + p= G 1.5.3 Định nghĩa Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G Nhận xét i Nhóm có lớp lũy linh bằng 0 là nhóm {1} ii Nhóm có lớp lũy linh lớn nhất bằng 1 là nhóm Abel iii Nhóm lũy linh là nhóm giải được 1.5.4 Định lý p – nhóm hữu hạn G là nhóm lũy linh n Chứng minh Do G là p – nhóm nên... 316], G lànD – nhóm Lớp của các nD – nhóm hữu hạn là đồng nhất với lớp của các cD – nhóm theo Định lý 2.2.7 Lớp của các cPNS – nhóm là đồng nhất với lớp của các nPNS – nhóm theo Định lý 2.2.6 Phần hai của định lý là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.5 2.2.9 Định lý Cho nhóm G không tầm thường, các phát biểu sau là tương đương: i G là aPNS – nhóm ii G là tích trực tiếp con của một họ các nhóm cyclic...  G , vì tất cả các nhóm con chuẩn tắc là tựa chuẩn tắc nên N có phần phụ trong G Suy ra G là nS – nhóm, do đó Φ ( G ) = {1} 2.2.4 Bổ đề Cho nhóm G không tầm thường, nếu nΦ ( G ) là n – hữu hạn sinh trên G thì nΦ ( G ) là nhóm con thực sự của G[11, 2.7, tr.40] 2.2.5 Định lý Cho nhóm G, các phát biểu sau là tương đương: i G là nPNS – nhóm 29 ii G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn iii nΦ ( G )... Giả sửN là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G và N không có phần phụ chuẩn tắc thực sự Khi đó G ≠ NM với mọi M ∈ N Vì NM ... p với g ∈ G , p nguyên tố MỞ ĐẦU Chúng ta biết giao tất nhóm tối đại nhóm hữu hạn G có gọi nhóm Frattini G Nếu giao tầm thường ta nói G nhóm với nhóm Frattini tầm thường Lớp nhóm hữu hạn với nhóm. .. NHÓM HỮU HẠN VỚI NHÓM CON FRATTINI TẦM THƯỜNG Nhóm G xét hữu hạn 2.1 Các lớp nhóm Nhóm G làxP – nhóm x – nhóm không tầm thường thỏa mãn điều kiện P, với x P nhận giá trị sau đây: x = a (nhóm bất... nS – nhóm hữu hạn, lớp nC – nhóm hữu hạn thu kết sau: Nếu G lũy linh nhóm chuẩn tắc không tầm thường N G nS – nhóm N Abel sơ cấp, G giải G tất thương có nhóm Frattini tầm thường G nC – nhóm. Lớp