Điều kiện để nhómcon chuẩn tắc cóphần phụ

M Ở ĐẦU

2.4. Điều kiện để nhómcon chuẩn tắc cóphần phụ

Nhóm con chuẩn tắc N của nhóm G có phần phụ nếu và chỉ nếu N không được

chứa trong Φ( )G .

Chứng minh. Giả sửnhóm con chuẩn tắc N có phần phụ H trong G. Khi đó H được chứa trong nhóm con tối đại M của G. Vì G=NH, nênG=NM . Nếu N ≤ Φ( )G , thì N ≤M , mâu thuẫn. Như vậy Nkhông được chứa trong Φ( )G .

Ngược lại, giả sử Nkhông được chứa trong Φ( )G . Khi đó, với một vài nhóm con tối đại M của G, N không được chứa trong M. Vì NG, nênG=NM và do đóNcó phần phụ.

Nếu N là nhóm con chuẩn tắc thực sự, không lũy linh của nhóm G thì N có phần

phụ thực sự trong G.

Chứng minh.Vì N không lũy linh nên N chia hết cho ít nhất 2 số nguyên tố phân biệtvà tồn tại một p – nhóm con Sylow P của N sao cho P không chuẩn tắc trong N. Theo Định lý 1.1.5, G=NNG( )P , với NG( )P là chuẩn hóa tử của P trong G. Vì NG( )P ≠G, nên N có phần phụ thực sự.

2.4.3. Bổ đề

Cho nhóm G, B≤G, B chứa NG. Nếu N không có phần phụ trong B, thì N

không có phần phụ trong G.

Chứng minh. Vì N không có phần phụ trong B, nên theo Mệnh đề 2.4.1 ta có N ≤ Φ( )B . Theo [19, III.3.3, tr.269], ta cóN≤ Φ( )G . Như vậy, theo Mệnh đề 2.4.1,N không có phần phụ trong G.

Nhận xét. Chiều ngược lại của Mệnh đề 2.4.3 là không đúng. Xét

4 2 3

4 , | 1, b

D = a b a =b = a =a , nhóm nhị diện có cấp 8 (dihedral). Lấy 2

, B= a b , thì [ ] 4 D = B ab và nhóm con 2 a có một phần phụ trong B và 2 4 a D . Tuy nhiên, vì ( ) 2 4 D a

Φ = , nên nó sẽ không có phần phụ trong D4 theo Mệnh đề 2.4.1.

2.4.4. Mệnh đề

Cho nhóm G, B≤G, ([G B: ], B)=1, B chứa nhóm con NG. Nếu G chứa nhóm

Chứng minh. Vì N có phần phụ trong B, nênB=NM với M là nhóm con tối đại của B. Lấy HGsao cho H =[G B: ]. Vì (H ,B)=1, nênG=HB. Mặt khác,B=NM , suy ra

( )

G=HB=HNM =N HM . Vì HM là nhóm con thực sự của G, nên N có phần phụ trong

G.

2.4.5. Mệnh đề

Cho nhóm G, B≤G, B chứa nhóm con NG với ([G B: ], N)=1. Nếu N chứa

nhóm con Abel N1G sao cho N1∩ Φ( ) { }B = 1 , thì N có phần phụ trong G.

Chứng minh. Vì N1Abel và chuẩn tắc trong B với N1∩ Φ( ) { }B = 1 , nên theo Định lý 1.8.5,ta có N1 có phần bù trong B. Như vậy, theo Hệ quả 1.8.2, N1 cóphần bù C trong G. Vì N1≤N và G=N C1 , nên suy raG=NC và do đóN có phần phụ trong G.

2.4.6. Định lý

Cho nhóm G, lấy B là p – nhóm con Sylow của G sao cho B chứa một nhóm

AbelNG. Nếu N có phần phụ trong B thì N có phần phụ trong G.

Chứng minh.Nếu G làp – nhóm, thì G=B, khi đó ta có điều phải chứng minh.

Giả sử G không làp – nhóm . Nếu N =B, thì N là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho ([G N: ], N)=1. Theo Định lý 1.8.3, G chẻ trên N và do đó Ncó phần phụ trong G.

Giả sửN <B. Đầu tiên, giả sửΦ( ) { }B = 1 . Khi đó, N∩ Φ( ) { }B = 1 . Suy raN cóphần bù trong B theo Định lý 1.8.5. Theo theo Hệ quả 1.8.2, G chẻ trên N. Khi đó N có phần phụ trong G.

Giả sử Φ( ) { }B ≠ 1 , lấy R= Φ( )B . Vì N có phần phụ trong B, nên N không là nhóm con của R theo Mệnh đề 2.4.1. Khi đó NR R là nhóm con không tầm thường của G R với

NR R<B R. Vì B R là Abel sơ cấp, nênB R chẻ trên NR R. Chú ý [G R B R: ] [= G B: ]

và NR R = pα với α ≥1. Như vậy B R là nhómcon của G R sao cho B R chứa nhóm con Abel NR RG R, với([G R B R: ], NR R)=1. Vì B R chẻ trênNR R, theo Hệ quả 1.8.2, ta có G R chẻ trên NR R. Vì vậyG R=[NR R C R] với C<G C, ≠G. Như vậy

G=NRC=RNC với NC <G. Tuy nhiên, vì BG R, ≤ Φ( )G , nên ta có G=NC. VậyN có phần phụ trong G.

KẾT LUẬN

Trong luận văn, các tính chất cơ bản của các nS – nhóm hữu hạn đã được trình bày chi tiết và liền mạch. Qua đó chúng ta thấy được tổng thể mối quan hệ bao hàm của các lớp nhóm cơ bản, và thấy được cụ thể các đặc trưng, các tính chất đóng của các nS - nhóm.

Ngoài ra, trong chương 1, các kiến thức chuẩn bị được trình bày rõ ràng giúp người đọc dễ dàng theo dõi các nội dung quan trọng của chương 2.

Nhóm con Frattini vẫn chưa được tập trung chú ý trong các nghiên cứu về các nC – nhóm. Đây là vấn đề sẽ được tiếp tục nghiên cứu trong tương lai.

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

1. Bùi Xuân Hải (2013), Đại số hiện đại, Nxb ĐH Quốc gia Tp. HCM. 2. Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục.

3. Hoàng Xuân Sính (1994), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục.

Tiếng Anh

4. H. Bechtell (1965), “Elementary Groups”,Trans. Amer. Math. Soc, 114,355–362. 5. H. Bechtell (1971), The Theory of Groups. Reading, Mass.

6. H. Bechtell (1972), “On the Structure of Solvable nC – groups”,Rend. Sem. Mat.

aaaaUniv. Padova, 47, 13 – 22.

7. C. Christensen (1964), “Complementation in Groups”. Math. Z, 84, 52 – 69.

8. C. Christensen (1967), “Groups with Complemented Normal Subgroups”,J. London

aaaaMath. Soc, 42, 208 – 216.

9. T. J. Head (1964), “Note on the occurrence of direct factors in groups”, Proc. Amer.

aaaaMath. Soc, 15, 193 – 195.

10. L. – C. Kappe and J. Kritland (1997), “Some analogues of the Frattini subgroup”,

aaaaAlgebra Colloq, 4, 419 – 426.

11. L. –C. Kappe and J. Kirtland (2000), “Supplementation in Groups”,Glasgow Math.

aaaaJ, 42, 37 – 50.

12. Luise – Charlotte Kappe and Joseph Kirtland (2003), “Finite groups with trivial

aaaaFrattini subgroup”,Arch. Math, 80, 225–234.

13. A. Yu. Ol’shanskii (1991), Geometry of defining relations in groups, Kluwer, Boston. 14. D. J. S. Robinson (1996), A Course in the Theory of Groups, 2nd Ed, New York. 15. W. R. Scott (1964), Group theory, Dover, New York.

16. J. Wiegold (1960), “On Direct Factors in Groups”,J. London Math. Soc, 35, 310 –

aaaa319.

17. C. R. B. Wright (1972), “On Complements to Normal Subgroups in Finite Solvable

aaaaGroups”,Arch. Math, 23, 125 – 132.

Tiếng Đức

18. W. Gaschutz (1952), “Zur Erweiterungtheorie der endlicher Gruppen”, J. Reine

aaaaAngew. Math, 190, 93 – 107.