Các tính chất đóng

M Ở ĐẦU

2.3. Các tính chất đóng

2.3.1. Định lý

Mỗi nhóm con chuẩn tắc của một nS – nhóm là nS – nhóm và tích trực tiếp của hai

nS – nhóm hữu hạn là nS – nhóm.

Chứng minh.

Theo Định lý 2.2.12, ta có mỗi nhóm con chuẩn tắc của một nS – nhóm là nS – nhóm.

Gọi G = HK, H và K là hai nS – nhóm hữu hạn, ta cần chứng minh G là nS –

nhóm. Vì H và K là hai nS – nhóm hữu hạn nên ta có Φ( ) { } ( ) { }H = 1 ,Φ K = 1 . Lấy

( )

g∈Φ G , ta có g∈G. Do đó g =ab với a∈H b, ∈K . Ta có abH∈G H và abH là phần tử không sinh của G H . Thật vậy, giả sử G H = abH S, , khi đó

, , ,

G= ab S H = S H . Suy ra G H = S . Vậy abH là phần tử không sinh của G H.

Suy raabH∈Φ(G H)≅ Φ( )K . Do đó

1H

abH = ⇒ab∈ ⇒H b∈ ⇒ ∈ ∩ ⇒ =H b H K b 1. Chứng minh tương tự, ta có abK là phần tử không sinh của G K. Suy ra abK∈Φ(G K)≅ Φ( )H . Do đó

1K

abK = ⇒ab∈K ⇒ ∈a K ⇒ ∈ ∩ ⇒ =a H K a 1. Khi đó g =ab=1 hay Φ( ) { }G = 1 . Vậy G là nS – nhóm.

2.3.2. Định lý

G là nhóm giải được,G N là nS – nhóm với mọi NGnếu và chỉ nếu G là một nC

– nhóm.

Chứng minh. Giả sửGkhông lànC – nhóm và Gcó cấp tối tiểu. Vì G không đơn, lấy N là nhóm con chuẩn tắc thực sự và không tầm thường của G. Nếu N là chuẩn tắc tối tiểu trong

G thì G chẻ trên N bởi Bổ đề 2.2.11.

LấyNchuẩn tắc và không tối tiểu trong G. Khi đó tồn tại nhóm con K chuẩn tắc tối tiểu của G sao cho K<N. Xét G K và N KG K . Vì G K lànC – nhóm, nên

[ ]

G K = N K H K, vớiH K <G K và N K∩H K ={ }1G K . Vì K là chuẩn tắc tối tiểu

trong G, nênG=[ ]K M với M <G. Khi đóH = ∩ =G H KM∩ =H K M( ∩H). Như vậy

( ) ( )

G=NH =NK M ∩H =N M ∩H . Vì N∩ ∩ = ∩ ∩M H N H M = ∩K M ={ }1 , nênM ∩Hlà phần bù củaN trong G, mâu thuẫn. Vậy G là nC – nhóm.

Ngược lại, giả sử G lànC – nhóm và NG. Theo [6, Định lý 1.3, tr.14], ta có

G N lànC – nhóm và vì vậy G N lànS – nhóm.

2.3.3. Định lý

Cho nhóm hữu hạn G, khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

i. G và tất cả các nhóm con của nó là các nS – nhóm.

iii. G và tất cả các nhóm con của nó là các nC – nhóm.

Chứng minh.

i ⇒iiTheo Định lý 2.2.3. ta có Φ( ) { }G = 1 và Φ( ) { }H = 1 với bất kì nhóm con H

của G. Như vậy Glà sơ cấp.

ii ⇒iiiTheo Định lý 1.9.4.

iii ⇒i Hiển nhiên.

2.3.4. Định lý

Cho nhóm G, nếu tồn tại N Gsao cho N và G N là các nS – nhóm, và

(N G N, )=1 thì G là nS – nhóm.

Chứng minh.Vì N vàG Nlà các nS – nhóm, nên theo Định lý 2.2.3. ta cóΦ( ) { }N = 1 và

(G N) { }1G N

Φ = . Hơn nữa, vì Φ( )G N N≤ Φ(G N) nên Φ( )G ≤N. Ta cóN G

và(N G N, )=1, theo Định lý 1.8.3,G chẻ trên N. Như vậy Φ( )G ≠N .

Giả sửΦ( ) { }G ≠ 1 . Khi đó Φ( )G = × ×P1 ... Pt, với mỗi i, 1≤ ≤i t, Pi là pi - nhóm con Sylow của Φ( )G và là chuẩn tắc trong G. Vì N là nS – nhóm và Φ( )G N , nênΦ( )G cũng là nS – nhóm theo Định lý 2.2.3. Theo Định lý 1.5.7. ta có Φ( )G lũy linh , nên Φ( )G là Abel sơ cấp theo Định lý 2.2.10. Theo Bổ đề 2.2.11, N = Φ ( )G K, với

Ta cóΦ( )G là Abel và chuẩn tắc trong G. Lấy p là số nguyên tố chia hết N , P là

p – nhóm con Sylow của G, khi đó Pchứa trong N. Như vậy, P∩ Φ( )G =Pr với 1≤ ≤r t.

Vì N=[ ]P S Kr r , ta có P= ∩ =N P P S Kr r ∩ =P P S Kr( r ∩P). Mặt

khácPr∩(S Kr ∩P) (= Pr∩S Kr )∩ =P { }1 ∩ =P { }1 , ta cóP chẻ trên P∩ Φ( )G . TheoĐịnh lý 1.8.4., G chẻ trên Φ( )G , mâu thuẫn. Do đóΦ( ) { }G = 1 . Theo Định lý 2.2.3, G lànS– nhóm.

2.3.5. Mệnh đề

G là nS – nhóm, G chứa nhóm con chuẩn tắc thực sự N sao cho N và G Nlà Abel.

Khi đó Φ(G N) { }= 1 nếu và chỉ nếu G là sơ cấp.

Chứng minh. Nếu N ={ }1 hoặc G, ta có điều cần chứng minh. Giả sử N không tầm thường trong G và Φ(G N) { }= 1 . Theo Bổ đề 2.2.11, G=[ ]N C với C<G. Theo Định lý 2.3.1, N lànS – nhóm. Như vậy, theo Định lý 2.2.3.Φ( ) { }G = 1 và N là Abel sơ cấp. Như vậy, 1 ... t p p N =S × ×S với mỗi i, 1≤ ≤i t, i p

S là Abel sơ cấp và làpi– nhóm con Sylow chuẩn tắc của N.

Vì G N ≅C, nênΦ( )C = Φ(G N) { }= 1 . Như vậy, C cũng là Abel sơ cấp. Nếu

(N G N, )=1, thìtheo Định lý 1.8.3 ta có G chẻ trên N. Khi đó theo Định lý 1.9.4, mọi nhóm con Sylow của G là Abel sơ cấp. Trong trường hợp này, G là sơ cấp theo Định lý 1.9.4.

Giả sử( N ,G N )≠1, ta cóC= a1 × ×... ar , với mỗi j, 1≤ ≤j r, aj có cấp nguyên tố. Lấy p là số nguyên tốsao cho p|(N C, ). Không mất tính tổng quát, giả sử a1 = p. Vì

1 ... t p p N =S × ×S , ta có thể giả sửp= p1 và xét 1 p S . Lấy Tp =  Sp1 a1 . Giả sử Sp1 và a1

không giao hoán theo từng phần tử. Khi đó Φ( )Tp ≠{ }1 . Vì a1 = p, nênΦ( )Tp <Sp1, và như vậy Φ( )Tp là Abel sơ cấp.

Lấy H =N a1 . Rõ ràng H là chuẩn tắc trong G và theo Định lý 2.3.1, H lànS – nhóm. Vì N là Abel sơ cấp và Φ( )Tp được chuẩn hóa bởi a1, Φ( )Tp H. Theo Bổ đề 2.2.11, H = Φ ( )Tp K với K <H. Vì vậy Tp =Tp∩H =Tp∩ Φ( )Tp K = Φ( )(Tp Tp∩K). Điều đó dẫn đến Φ( )Tp có phần phụ trong Tp, mâu thuẫn. Như vậy a1 giao hoán theo từng phần tử với Sp1.

Gọi C= a1 × ×... ar , với mỗi j, 1≤ ≤j r, aj = pj, pj nguyên tố. Nếu pj | N , aj

giao hoán theo từng phần tử với pj - nhóm con Sylow của N. Vì vậy, mỗi nhóm con Sylow của Glà Abel sơ cấp. Theo Định lý 1.9.4,Glà sơ cấp.

Ngược lại, giả sử Glà sơ cấp. Vì các nhóm sơ cấp là đóng với các thương, dẫn đến

G N là sơ cấp,ta cóΦ(G N) { }= 1 .

2.3.6. Hệ quả

G là nS – nhóm siêu giải được với G F G ( ) cũng là nS – nhóm. Khi đó G là sơ

Chứng minh.Theo Định lý 2.2.14, F G( )là Abel sơ cấp. Nếu F G( )=G, ta có điều cần chứng minh. Giả sử F G( )≠G, khi đó theo Định lý 2.2.14, G= F G( )C, với C<G và

C Abel. Vì G F G( )≅C, nêntheo Mệnh đề 2.3.5 ta có Glà sơ cấp.

2.3.7. Định lý

Cho G là nhóm giải được. Nếu G không là nS – nhóm, nhưng G N là nS – nhóm

với mọi { }1 ≠NG, thì có các điều kiện sau đây:

i. Φ( )G là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G.

ii. F G là p – nhóm, v( ) ới p chia hết Φ( )G .

iii. Số mũ của F G l( ) ớn nhất là 2

p .

Chứng minh. Vì G không là nS – nhóm, theo Định lý 2.2.3 ta cóΦ( ) { }G ≠ 1 .

i. Lấy { }1 ≠ NG. Vì Φ( )G N N≤ Φ(G N)={ }1G N nênΦ( )G ≤N. Nếu N1 và N2

là hai nhóm con chuẩn tắc tối tiểu phân biệt của G, thì Φ( )G ≤N1∩N2 ={ }1 , mâu thuẫn. Như vậy Φ( )G là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G.

ii. Xét F G( ). Vì G là giải được nên F G( ) tồn tại không tầm thường trong G và chứa Φ( )G . Theo [19, III.4.2, tr.277],F G( Φ( )G )=F G( ) ( )Φ G . Ta cóG Φ( )G là giải được, F G( ) tồn tại không tầm thường trong G Φ( )G và Φ( )G là nhóm con thực sự của

( )

F G . Theo [19,III.4.5, tr.279], F G( ) ( )Φ G =M1 Φ( )G × ×... Mr Φ( )G

nguyên tố.Giả sử với t,1≤ ≤t r M, t Φ( )G =qβ, với q là số nguyên tố và q≠ p. Như vậy

t

M là lũy linh cấp p qα β. Vì nhóm lũy linh là tích của các nhóm con Sylow của nó, nên

( )

t

M = Φ G ×Q, với Q là q – nhóm con Sylow của Mt. Vì QcharMt, nênQG. Như vậy tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N của G, sao cho N ≤Q và N = Φ( )G , mâu thuẫn.VậyF G( ) làp – nhóm.

iii. Lấy x∈F G( ). Vì F G( ) ( )Φ G là p – nhóm Abel sơ cấp, nên p ( )

x ∈Φ G . Mặt

khácΦ( )G là sơ cấp, do đó 2 { }

1

p

x = .

2.4. Điều kiện để nhóm con chuẩn tắc có phần phụ 2.4.1. Mệnh đề