Các lớp nhóm cơ bản

M Ở ĐẦU

2.1. Các lớp nhóm cơ bản

Nhóm G làxP – nhóm nếu mỗi x – nhóm con không tầm thường thỏa mãn điều kiện P, với x và P có thể nhận những giá trị sau đây:

x = a (nhóm con bất kì) x = n (nhóm con chuẩn tắc) x = c(nhóm con đặc trưng) P = D (là một nhân tử trực tiếp). P = C (có một phần bù) P = S (có một phần phụ thực sự) P = PNS (có một phần phụ chuẩn tắc thực sự) P = CS (có một phần phụ đặc trưng thực sự) 2.2. Một số tính chất chung 2.2.1. Định nghĩa

Cho nhóm G, ta có các định nghĩa sau:

N={NG N; ≠G N,  L G⇒ = ∨ =N L L G} ( )G

Φ bằng giao của tất cả M∈Mnếu M≠ ∅ và Φ( )G =G nếu M= ∅.

( )

nΦ G bằng giao của tất cả N∈Nnếu N≠ ∅ và nΦ( )G =G nếu N= ∅.

2.2.2. Bổ đề

Nhóm G không tầm thường là một aP – nhóm (P = S, PNS, CS) nếu và chỉ nếu,

với1≠ ∈x G, x có P – phần phụ trong G.

Chứng minh. Điều kiện cần được suy ra từ Định nghĩa 2.1. Ngược lại, lấy H là nhóm con không tầm thường của G và1≠ ∈h H . Vì h là nhóm con không tầm thường của G, nên

h có P – phần phụ K trong G sao cho G= h K . Vì h ⊆H nênG = HK. Vậy G là aP – nhóm.

2.2.3. Định lý

Cho nhóm G, các điều kiện sau đây là tương đương:

i. G là nS – nhóm.

ii. G là cS – nhóm.

iii. Φ( ) { }G = 1 .

iv. Mỗi nhóm con tựa chuẩn tắc của G có một phần phụ.

i ⇒ii Hiển nhiên.

ii ⇒iii Giả sử Φ( ) { }G ≠ 1 . Vì G là một cS – nhóm, Φ( )G char G, nên tồn tại một nhóm con K thực sự của G sao cho G= Φ( )G K. . Theo [15, 7.3.8], ta có Φ( )G là hữu hạn sinh, suy ra G = K, mâu thuẫn. Do đó Φ( ) { }G = 1 .

iii ⇒iVì Φ( ) { }G = 1 nên G có chứa các nhóm con tối đại. Giả sử N G N, ≠G và

N không có phần phụ thực sự. Khi đó, với mỗi nhóm con tối đại M∈M, ta cóNM ≠G. Vì

NM ≠G và M là tối đại trong G, nên NM = M. Như vậy, N ⊆M với mọi M∈M. Do đó,

( )

N ⊆ Φ G , mâu thuẫn. Vì vậy G là nS – nhóm.

iii ⇒iv Giả sử G là nS – nhóm và H là nhóm con tựa chuẩn tắc không tầm thường của G. Vì Φ( ) { }G = 1 , nên tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho HM =G.

iv ⇒iii Lấy NG, vì tất cả các nhóm con chuẩn tắc là tựa chuẩn tắc nên N có phần phụ trong G. Suy ra G là nS – nhóm, do đó Φ( ) { }G = 1 .

2.2.4. Bổ đề

Cho nhóm G không tầm thường, nếu nΦ( )G là n – hữu hạn sinh trên G thì nΦ( )G

là nhóm con thực sự của G[11, 2.7, tr.40].

2.2.5. Định lý

Cho nhóm G, các phát biểu sau là tương đương:

ii. G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn. iii. nΦ( ) { }G = 1 .

Chứng minh.

i⇔iiĐịnh lý 1.2.3.

ii ⇒iii Lấy G là tích trực tiếp con của họ các nhóm đơn thì G chứa các nhóm con chuẩn tắc tối đại. Như vậy nΦ( )G ≠G. Giả sử nΦ( ) { }G ≠ 1 . Vì G là một nPNS – nhóm, nên G= Φn ( )G N với N là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G. Khi đó N≤M , với M là nhóm con chuẩn tắc tối đại trong G và G = Φn ( )G M =M . Mâu thuẫn này dẫn đến

( ) { }1

nΦ G = .

iii ⇒i Lấy nΦ( ) { }G = 1 , khi đó G chứa các nhóm con chuẩn tắc tối đại. Giả sửN là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G và N không có phần phụ chuẩn tắc thực sự. Khi đó G≠ NM với mọi M∈N. Vì NM<G nên NM = M. Điều đó dẫn đếnN≤M với mọi

M∈N. Như vậy, N≤ Φn ( )G , mâu thuẫn. Vậy G là một nPNS – nhóm.

2.2.6. Định lý

Trong lớp nhóm có tính chấtnΦ( )G là n – hữu hạn sinh, tập các nPNS – nhóm là

đồng nhất với tập các cPNS – nhóm.

Vì mỗi nPNS – nhóm là một cPNS – nhóm, ta cần chỉ ra cPNS ⊆nPNS. Lấy G là

cPNS – nhóm. Vì nΦ( )G là hữu hạn sinh, nên theo Bổ đề 2.2.4. ta có nΦ( )G ≠G. Lấy

( ) 1,..., n G.

nΦ G = x x

Nếu G là đơn hoặc tầm thường, ta có điều cần chứng minh. Giả sử G không tầm thường, không đơn và không là một nPNS – nhóm. Khi đó tồn tại nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N của G không có phần phụ chuẩn tắc thực sự.

Vì nΦ( )G ≠G, nênG chứa các nhóm con chuẩn tắc tối đại. Như vậy, với bất kì

M∈N, ta cóG≠ NM. Vì MNG, nên NM =M và khi đóN⊆M với mọi M∈N. Do đó,

( )

N ⊆ Φn G và nΦ( )G là không tầm thường trong G. Vì nΦ( )G char G, nên tồn tại một nhóm con chuẩn tắc thực sự L của G sao cho G= Φn ( )G L, khi

đóG= x1,...,xn G L= x1,...,x Ln, G. Theo [10, Định lý 2.6], G= x2,...,x Ln, G. Tiếp tục theo

cách này, G= L G =L, mâu thuẫn. Như vậy G là một nPNS – nhóm.

2.2.7. Định lý

Mỗi cD – nhóm hữu hạn là một nD – nhóm[7, 3.1, tr.57].

2.2.8. Hệ quả

Lớp các nPNS – nhóm hữu hạn, các nD – nhóm, các cD – nhóm và các cPNS –

nhóm là đồng nhất và bất kỳ nhóm nào trong lớp này cũng là tích trực tiếp của các nhóm đơn.

Chứng minh. Rõ ràng, mỗi nD – nhóm hữu hạn là mộtnPNS – nhóm. Lấy G là nPNS – nhóm hữu hạn. Theo Định lý 2.2.5, G là tích trực tiếp của các nhóm đơn. Như vậy , theo

[16, Định lý4.4, trang 316], G lànD – nhóm. Lớp của các nD – nhóm hữu hạn là đồng nhất với lớp của các cD – nhóm theo Định lý 2.2.7. Lớp của các cPNS – nhóm là đồng nhất với lớp của các nPNS – nhóm theo Định lý 2.2.6. Phần hai của định lý là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.5.

2.2.9. Định lý

Cho nhóm G không tầm thường, các phát biểu sau là tương đương:

i. G là aPNS – nhóm.

ii. G là tích trực tiếp con của một họ các nhóm cyclic cấp nguyên tố.

iii. G là Abel với p { }1 ,

p G π π ∈ =  là tập tất cả các phần tử nguyên tố. Chứng minh.

i ⇒ii Lấy G làaPNS – nhóm và lấy 1≠ ∈x G. Nếu x =G thì Gđẳng cấu với một nhóm cyclic vô hạn, là tích trực tiếp của p

p

C

π

∈

∏ , hoặc Gđẳng cấu với nhóm cyclic hữu hạn có cấp không chính phương theo Hệ quả 2.2.8. Giả sử x ≠G, khi đó tồn tại nhóm con chuẩn tắc thực sự N của G sao cho G= x N. Lấy M là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G

sao cho x∉M và N ⊆M với M tồn tại bởi Bổ đề Zorn. Ta cần chứng minhG M là cyclic cấp nguyên tố. Thật vậy, vì G= x M G M, ≅ x M M ≅ x x ∩M, nênG M là cyclic. Nếu G M không đơn, thì có một nhóm con thực sự không tầm thường K MG M. Do đó, K là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G với M ⊆K . Nếu x∈K thì x M = ⊆G K, mâu thuẫn. Như vậy x∉K, điều này mâu thuẫn với tính tối đại của M, suy raG M là đơn. Vì G M cyclic nên G M có cấp nguyên tố. Do đó, với 1≠ ∈x Gtồn tại nhóm con

chuẩn tắc tối đại Mx của G sao cho x∉Mxvà G Mx là cyclic cấp nguyên tố. Như vậy G

là tích trực tiếp con của một họ các nhóm đơn cấp nguyên tố.

ii ⇒iii Lấy G là tích trực tiếp con của một họ các nhóm cyclic cấp nguyên tố. Khi đó G là Abel. Hơn nữa, theo Định lý 2.2.5, G lànPNS – nhóm với nΦ( ) { }G = 1 . Nhưng vì

G là Abel nên ( ) ( ) p p n G G G π ∈ Φ = Φ = . Do đó p { }1 . p G π ∈ = 

iii ⇒i Lấy G là nhóm Abel với p { }1

p G π ∈ =  . Lấy 1≠ ∈g G. Chọn một số nguyên tố p sao cho p g∉G . Vì p

G G là p – nhóm Abel sơ cấp, nên có nhóm con M, chứa p

G và

bù với g theo modulo p

G . Như vậy G= g M và tất cả các nhóm con cyclic không tầm thường có một phần phụ chuẩn tắc thực sự. Theo Bổ đề 2.2.2, G là aPNS – nhóm.

2.2.10. Định lý

Cho G là nhóm lũy linh, khi đó các phát biểu sau tương đương:

i. G là nS – nhóm.

ii. G là aPNS – nhóm.

iii. G là Abel sơ cấp.

Chứng minh.

i⇒iiĐầu tiên, giả sửG là nS – nhóm giao hoán. Vì tất cả các nhóm con của G là chuẩn tắc, nênG là một aPNS – nhóm.

iii⇒iG là Abel sơ cấp, dẫn đến Φ( )G là tầm thường. Như vậy iii⇒i. Bây giờ lấy G là nS – nhóm lũy linh. Khi đó ' ( )

G ≤ Φ G . VìΦ( ) { }G = 1 , ta cóG là Abel.

2.2.11. Bổ đề

G là nS – nhóm, NG. Nếu N Abel thì N có phần bù trong G.

Chứng minh. Vì G là nS – nhóm nên theo Định lý 2.2.3 ta có Φ( ) { }G = 1 , do đóN∩ Φ( ) { }G = 1 . Như vậy, theo Định lý 1.8.5., N có phần bù trong G.

2.2.12. Định lý

G là nS – nhóm, NG. Nếu Φ( )N hữu hạn sinh thì Nlà nS – nhóm.

Chứng minh.Lấy NG, G là nS – nhóm với Φ( )N hữu hạn sinh. NếuN ={ }1 hoặc N =

G thì N là nS – nhóm. Giả sửNkhông tầm thường trong G và xét Φ( )N , ta thấy

( ) { }N 1

Φ = . Thật vậy,nếuΦ( ) { }N ≠ 1 , thìΦ( )N là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G. Như vậy, tồn tại một nhóm con thực sự L của G sao cho G= Φ( )N L. Vì Φ( )N là hữu hạn sinh, nên Φ( )N ⊆ Φ( )G . Điều đó dẫn đến G = L, mâu thuẫn. Như vậy

( ) { }N 1

Φ = . Theo Định lý 2.2.3., N lànS – nhóm.

Nếu G là nS – nhóm với Z G( ) { }≠ 1 thì G=Z G( )×H, trong đóZ G ( ) là Abel sơ cấp và Z H( ) { }= 1 .

Chứng minh.G là nS – nhóm, Z G( )G, Z G( ) Abel nên theo Bổ đề 2.2.11, Z G( )có phần bù H trong G và như vậy G=Z G( )×H. Theo Định lý 2.2.12.,Z G( ) lànS – nhóm, vì vậy theo Định lý 2.2.10., ta có Z G( ) là Abel sơ cấp.

Giả sửZ H( ) { }≠ 1 , tương tự ta cóH =Z H( )×K với K < H. Như vậy,

( ) ( )

G=Z G ×Z H ×K, và Z H( ) phải được chứa trong Z G( ), mâu thuẫn. VậyZ H( ) { }= 1 .

2.2.14. Định lý

Nếu G là nS – nhóm siêu giải được, khi đó các điều kiện sau đây xảy ra.

i. G là Abel sơ cấp hoặc G là meta Abel với G= F G( )H , vớiF G là Abel ( )

sơ cấp và H là nhóm con Abel của G.

ii. p là số nguyên tố lớn nhất chia hết G , khi đó G chẻ trên p – nhóm Sylow Sp

của G và Sp là Abel sơ cấp.

iii. ( ) ( ) '

F G =Z G ×G , vớiZ G và ( ) '

G đều là Abel sơ cấp.

iv. Nếu Z G( ) { }= 1 , thì ( ) '

F G =G

Chứng minh.

i. Xét F G( ) tồn tại không tầm thường trong G. Nếu F G( )=G, thì Glà lũy linh và như vậy Glà Abel sơ cấp theo Định lý 2.2.10. NếuF G( )≠G, vì F G( )G, nêntheo Định

lý 2.2.12 F G( ) lànS – nhóm và là Abel sơ cấp theo Định lý 2.2.10. Theo Bổ đề 2.2.11, ta có G= F G( )H với H<G. Theo [19, VI.9.1, tr.508],ta có G lũy linh. Như vậy

( )

'

G ≤F G và H là Abel.

ii. Lấy p là số nguyên tố lớn nhất chia hết G . Theo Định lý 1.1.4., ta cóp – nhóm con Sylow Sp là chuẩn tắc trong G. Vì Splũy linh, nênSp ⊆F G( ) và như vậy Splà Abel sơ cấp. Theo Bổ đề 2.2.11., ta có G chẻ trên Sp.

iii. Xét Z G( ) và '

G . Theo Định lý 2.2.13., ta có G=Z G( )×H, vớiZ H( ) { }= 1 . Theo Định lý 2.2.12., H cũng lànS – nhóm siêu giải được. Hơn nữa, cũng theo Định lý 2.2.12, F H( ) lànS – nhóm lũy linh. Như vậy, theo Định lý 2.2.10, F H( ) là Abel sơ cấp. Theo Định lý 1.7.4, ' ( ) H ≤F H và như vậy ' H là Abel. Theo Bổ đề 2.2.11., ' H =   H C, với C<H . Khi đó ta có ( ) ' G=Z G ×   H C. Hơn nữa, ' ' H =G và ( ) ' G=Z G ×   G C. VìZ G( ) và '

G là các nhóm con lũy linh chuẩn tắc của

Gnên ( ) ' ( )

Z G × ≤G F G .

Giả sử ( ) '

Z G ×G là nhóm con thực sự của F G( ). Khi đó tồn tại phần tử x∈F G( )

với ( ) '

x∉Z G ×G . Nếu∀ ∈y C x, y =x, thì x∈Z G( ), mâu thuẫn. Như vậy, tồn tại một phần tử c∈C sao cho c x ≠x. Nếu xc =xα,α ≠1thì 1 c xc− =xα hay [ ] 1 , x c =xα − . Điều đó suy ra '

x∈G , một mâu thuẫn khác nữa. Trường hợp cuối cùng được xét là nếu 1

c

x = y trong

đó y1c =y2,...,ytc=xβ với 1≤ ≤i t, ( ) '

i

1 2...

c

t

y =x y yβ y . Nếu β =1∀ ∈c Cthì y∈Z G( ), mâu thuẫn. Nếu β ≠1, thì [ ] 1

,

y c =xβ − . Điều đó dẫn đến '

,

x∈G một mâu thuẫn khác. Vậy ta có kết quả, ( ) ( ) '

F G =Z G ×G .

iv. Được suy ra trực tiếp từiii.

2.3. Các tính chất đóng 2.3.1. Định lý 2.3.1. Định lý

Mỗi nhóm con chuẩn tắc của một nS – nhóm là nS – nhóm và tích trực tiếp của hai

nS – nhóm hữu hạn là nS – nhóm.

Chứng minh.

Theo Định lý 2.2.12, ta có mỗi nhóm con chuẩn tắc của một nS – nhóm là nS – nhóm.

Gọi G = HK, H và K là hai nS – nhóm hữu hạn, ta cần chứng minh G là nS –

nhóm. Vì H và K là hai nS – nhóm hữu hạn nên ta có Φ( ) { } ( ) { }H = 1 ,Φ K = 1 . Lấy

( )

g∈Φ G , ta có g∈G. Do đó g =ab với a∈H b, ∈K . Ta có abH∈G H và abH là phần tử không sinh của G H . Thật vậy, giả sử G H = abH S, , khi đó

, , ,

G= ab S H = S H . Suy ra G H = S . Vậy abH là phần tử không sinh của G H.

Suy raabH∈Φ(G H)≅ Φ( )K . Do đó

1H

abH = ⇒ab∈ ⇒H b∈ ⇒ ∈ ∩ ⇒ =H b H K b 1. Chứng minh tương tự, ta có abK là phần tử không sinh của G K. Suy ra abK∈Φ(G K)≅ Φ( )H . Do đó

1K

abK = ⇒ab∈K ⇒ ∈a K ⇒ ∈ ∩ ⇒ =a H K a 1. Khi đó g =ab=1 hay Φ( ) { }G = 1 . Vậy G là nS – nhóm.

2.3.2. Định lý

G là nhóm giải được,G N là nS – nhóm với mọi NGnếu và chỉ nếu G là một nC

– nhóm.

Chứng minh. Giả sửGkhông lànC – nhóm và Gcó cấp tối tiểu. Vì G không đơn, lấy N là nhóm con chuẩn tắc thực sự và không tầm thường của G. Nếu N là chuẩn tắc tối tiểu trong

G thì G chẻ trên N bởi Bổ đề 2.2.11.

LấyNchuẩn tắc và không tối tiểu trong G. Khi đó tồn tại nhóm con K chuẩn tắc tối tiểu của G sao cho K<N. Xét G K và N KG K . Vì G K lànC – nhóm, nên

[ ]

G K = N K H K, vớiH K <G K và N K∩H K ={ }1G K . Vì K là chuẩn tắc tối tiểu

trong G, nênG=[ ]K M với M <G. Khi đóH = ∩ =G H KM∩ =H K M( ∩H). Như vậy

( ) ( )

G=NH =NK M ∩H =N M ∩H . Vì N∩ ∩ = ∩ ∩M H N H M = ∩K M ={ }1 , nênM ∩Hlà phần bù củaN trong G, mâu thuẫn. Vậy G là nC – nhóm.

Ngược lại, giả sử G lànC – nhóm và NG. Theo [6, Định lý 1.3, tr.14], ta có

G N lànC – nhóm và vì vậy G N lànS – nhóm.

2.3.3. Định lý

Cho nhóm hữu hạn G, khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

i. G và tất cả các nhóm con của nó là các nS – nhóm.

iii. G và tất cả các nhóm con của nó là các nC – nhóm.

Chứng minh.

i ⇒iiTheo Định lý 2.2.3. ta có Φ( ) { }G = 1 và Φ( ) { }H = 1 với bất kì nhóm con H

của G. Như vậy Glà sơ cấp.

ii ⇒iiiTheo Định lý 1.9.4.

iii ⇒i Hiển nhiên.

2.3.4. Định lý

Cho nhóm G, nếu tồn tại N Gsao cho N và G N là các nS – nhóm, và

(N G N, )=1 thì G là nS – nhóm.

Chứng minh.Vì N vàG Nlà các nS – nhóm, nên theo Định lý 2.2.3. ta cóΦ( ) { }N = 1 và

(G N) { }1G N

Φ = . Hơn nữa, vì Φ( )G N N≤ Φ(G N) nên Φ( )G ≤N. Ta cóN G

và(N G N, )=1, theo Định lý 1.8.3,G chẻ trên N. Như vậy Φ( )G ≠N .

Giả sửΦ( ) { }G ≠ 1 . Khi đó Φ( )G = × ×P1 ... Pt, với mỗi i, 1≤ ≤i t, Pi là pi - nhóm con Sylow của Φ( )G và là chuẩn tắc trong G. Vì N là nS – nhóm và Φ( )G N , nênΦ( )G cũng là nS – nhóm theo Định lý 2.2.3. Theo Định lý 1.5.7. ta có Φ( )G lũy linh , nên Φ( )G là Abel sơ cấp theo Định lý 2.2.10. Theo Bổ đề 2.2.11, N = Φ ( )G K, với

Ta cóΦ( )G là Abel và chuẩn tắc trong G. Lấy p là số nguyên tố chia hết N , P là

p – nhóm con Sylow của G, khi đó Pchứa trong N. Như vậy, P∩ Φ( )G =Pr với 1≤ ≤r t.

Vì N=[ ]P S Kr r , ta có P= ∩ =N P P S Kr r ∩ =P P S Kr( r ∩P). Mặt