nhóm con pi - tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Hà NHÓM CON 𝝅 - TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Hà NHÓM CON 𝝅 - TỰA CHUẨN TẮC CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang Người tận tình hướng dẫn, bảo chuyên môn tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy trường ĐH Sư phạm Tp HCM tận tâm giảng dạy, cung cấp kiến thức quí báu cho lớp Đại số K22 thân Cuối xin gởi lời cảm ơn sâu sắc lời chúc sức khỏe đến gia đình, người thân bạn bè động viên, quan tâm giúp đỡ suốt trình làm luận văn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.2 Nhóm Hall 11 1.3 Nhóm Frattini 13 1.4 Nhóm lũy linh, nhóm p -lũy linh .15 1.5 Nhóm siêu giải 20 CHƯƠNG 2: NHÓM CON π -TỰA CHUẨN TẮC 26 2.1 Định lý 26 2.2 Định lý 29 2.3 Định lý 32 2.4 Định lý 33 2.5 Định lý 34 2.6 Định lý (Buckley [2]) 35 2.7 Định lý (Asaad [1]) 35 2.8 Định lý(Van der wall [9]) 35 2.9 Định lý 36 2.10 Định lý 37 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Ý nghĩa [G : H ] Chỉ số H G Hx Nhóm liên hợp H G NG ( H ) Chuẩn hoán tử H G CG ( X ) Tâm X G Z (G ) Tâm G [ a, b] = aba −1 −1 b Hoán tử a, b [G , G ] Nhóm giao hoán tử G Aut ( G ) Nhóm tự đẳng cấu G H char G H nhóm đặc trưng G φ (G ) Nhóm Frattini G H,K Op ( G ) Nhóm sinh H K Nhóm sinh tất p − nhóm chuẩn tắc G O p (G ) Nhóm sinh tất phần tử có cấp p '− số MỞ ĐẦU Chúng ta biết nhóm H , K nhóm G gọi giao hoán HK = KH Ta định nghĩa nhóm G gọi π - tựa chuẩn tắc G giao hoán với nhóm Sylow G Nhóm π - tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn với nhiều tính chất thú vị có ảnh hưởng quan trọng cấu trúc nhóm hữu hạn Ngoài ra, trình nghiên cứu nhà toán học Ito, Buckley, Van der Waall Asaad chứng minh Định lý nối tiếng liên quan đến nhóm hữu hạn sau: Định lý (Ito [13]): Cho G nhóm có cấp lẻ nhóm G ' có cấp nguyên tố chuẩn tắc G Khi G ' nhóm lũy linh Định lý (Buckley [5]): Nếu G nhóm có cấp lẻ nhóm G có cấp số nguyên tố chuẩn tắc G G siêu giải Định lý (Asaad [1]): Nếu nhóm có cấp nguyên tố tựa chuẩn tắc G nhóm cyclic cấp G tựa chuẩn tắc G G nhóm siêu giải Định lý (Van der wall [14]): Đặt pn số nguyên tố nhỏ chia hết G Nếu nhóm G có cấp nguyên tố chuẩn tắc G điều sau tương đương: (1) G nhóm siêu giải (2) G nhóm pn -lũy linh Những tác giả dùng nhiều cách khác để chứng minh chúng Luận văn sử dụng tính chất nhóm π - tựa chuẩn tắc để trình bày cách chứng minh khác mở rộng Định lý để thấy rõ mối quan hệ Định lý ảnh hưởng quan trọng nhóm π - tựa chuẩn tắc Luận văn “Nhóm π - tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn” chia làm chương: Chương 1: Trình bày số khái niệm tính chất quan trọng liên quan đến nhóm π - tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn, nhóm siêu giải được, nhóm lũy linh, nhóm p − lũy linh … Chương giúp người đọc nắm vững khái niệm tính chất để theo dõi tiếp chương 2, phần luận văn Chương 2: Trình bày kết ảnh hưởng nhóm π tựa chuẩn tắc cấu trúc nhóm hữu hạn Luận văn trình bày chi tiết Định lý 3.1, Định lý 3.2, Định lý 3.3, Định lý 3.4, Định lý 3.5, Bổ đề 3.6, Bổ đề 3.7, Bổ đề 3.8, Bổ đề 3.9, Định lý 3.10 báo[4] tác giả Ayesha Shaalan Mặc dù có nhiều cố gắng trình học tập, nghiên cứu làm luận văn tránh khỏi sai sót Kính mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm mở đầu 1.1.1 Định nghĩa G nhóm, p số nguyên tố chia hết G Khi i) G gọi p - nhóm G lũy thừa p ii) H nhóm G H gọi p -nhóm G H p -nhóm iii) Nhóm H G gọi p -nhóm Sylow G H phần tử tối đại tập p -nhóm G theo quan hệ bao hàm 1.1.2 Định lý Sylow([1],7.1,7.2, trang 37) n Cho p số nguyên tố chia = hết G , G p= m, (m, p ) Khi đó: i) k ∀i =1, 2, , n tồn nhóm cấp p G Nói riêng tồn p -nhóm Sylow G ii) Mọi p − nhóm G nằm p -nhóm Sylow G iii) Mọi p − nhóm Sylow G liên hợp với iv) Số p − nhóm Sylow G đồng dư modulo p 1.1.3 Hệ Cho p số nguyên tố chia hết G P p -nhóm Sylow G Khi i) Số p -nhóm Sylow G ước G nguyên tố với p ii) P p -nhóm Sylow G P chuẩn tắc G 1.1.4 Định nghĩa Cho H nhóm G , H đuợc gọi nhóm tựa chuẩn tắc G H giao hoán với nhóm G Nghĩa HK = KH với nhóm K G 1.1.5 Định lý = KH = Nếu H nhóm tựa chuẩn tắc G HK H , K Nghĩa HK nhóm G Chứng minh: Lấy x, y ∈ HK , x =hk , y =h ' k ' xy −1 = h.k k '−1 h '−1 )h '−1 ] h.h ''.k '' ∈ HK Vậy HK nhóm G Mà H ≤ HK , K ≤ HK nên = h.[(k k '−1= = KH = H , K ⊂ HK Dễ thấy HK ⊂ H , K Vậy HK H,K 1.1.6 Định lý Nếu H nhóm chuẩn tắc G H nhóm tựa chuẩn tắc G Chứng minh: Lấy K nhóm G HK = {hk , h ∈ H , k ∈ K } Lấy tùy ý hk ∈ HK Do H chuẩn tắc ta có k −1hk ∈ H nên k −1hk = h ' suy hk = kh ' Vậy hk ∈ KH tức HK ⊂ KH Tương tự ta có KH ⊂ HK Do HK = KH Vì H nhóm tựa chuẩn tắc G 1.1.7 Định nghĩa H nhóm G Khi H gọi nhóm π − tựa chuẩn tắc G H giao hoán với nhóm Sylow G 1.1.8 Định nghĩa Cho dãy nhóm G , = G0 ≤ G1 ≤ ≤ Gn = G Gi  Gi +1= , ∀i 1, , n − dãy gọi dãy chuẩn tắc G kí hiệu G= G n gọi độ dài dãy Gi gọi số hạng dãy,  G1   Gn Gi +1 Gi gọi nhân tử dãy 1.1.9 Định nghĩa Dãy chuẩn tắc G gọi dãy nhóm chuẩn tắc G số hạng dãy nhóm chuẩn tắc G 1.1.10 Định nghĩa H nhóm G H gọi nhóm chuẩn tắc (subnormal) = G cho G tồn nhóm H H= , H , H , , H n H H= G  H  H   H n 1.1.11 Định lý ([13], Salt 1, trang 209) Nếu H nhóm π − tựa chuẩn tắc G H nhóm chuẩn tắc G 1.1.12 Định lý Nếu H ≤ K ≤ G H nhóm π − tựa chuẩn tắc G H nhóm π − tựa chuẩn tắc K Chứng minh: Lấy Q p -nhóm Sylow K với p số nguyên tố chia hết K Khi tồn p -nhóm Sylow P G cho Q= P ∩ K Hơn H ≤ K ≤ G nên HQ = H ( P ∩ K ) = HP ∩ K = PH ∩ K = (P ∩ K )H = QH Vậy H nhóm π − tựa chuẩn tắc K 1.1.13 Định lý ([12], Salt 5, trang 209] Nếu N ≤ H ≤ G N chuẩn tắc G H π − tựa chuẩn tắc G H N π − tựa chuẩn tắc G N 1.1.14 Định lý ( Định lý đẳng cấu 1) Giả sử f : G → G ' đồng cấu Khi G Ker f ≅ Im f 1.1.15 Định lý (Định lý đẳng cấu 2) Cho H  G, K ≤ G Khi H ∩ K  K K (H ∩ K ) ≅ HK H 1.1.16 Định lý Nếu H  G, K  G, K ≤ H G K H ≅G K H Chứng minh Do K  G, K ≤ H nên K  H H  G nên H K  G K Xét toàn cấu ϕ :G K → G H aK  aH , ker ϕ = H K Theo Định lý đẳng cấu ta 1.1.17 Định lý Cho H '  H , K '  K H × K H '× K ' ≅ H H ' × K K ' Chứng minh Do H '  H , K '  K nên H '× K '  H × K G K H ≅G K H CHƯƠNG 2: NHÓM CON π -TỰA CHUẨN TẮC 2.1 Định lý Cho H p − nhóm chuẩn tắc G , G H nhóm siêu giải được, nhóm có cấp p H π − tựa chuẩn tắc G thỏa điều kiện sau: i) H nhóm giao hoán ii) p ≠ iii) p = nhóm cyclic cấp H π − tựa chuẩn tắc G Khi G nhóm siêu giải Chứng minh Giả sử Định lý sai Khi tồn nhóm thỏa mãn điều kiện định lý không siêu giải Chọn phản ví dụ nhóm G có cấp nhỏ thoả mãn điều kiện định lý G nhóm không siêu giải Lấy K nhóm thực G Vì H  G nên HK ≤ G Nếu HK = G G H ≅K H ∩K nên K H ∩ K nhóm siêu giải Vì H  G nên H ∩ K  K H ∩ K thỏa mãn điều kiện Định lý nên K nhóm siêu giải Nếu HK nhóm thật G Khi H ≤ HK thỏa mãn điều kiện Định lý nên HK nhóm siêu giải Theo Định lý 1.5.2 K nhóm siêu giải Vậy G nhóm không siêu giải nhóm thật siêu giải Áp dụng Định lý 1.5.16 G có nhóm Sylow chuẩn tắc P Do P nhóm chuẩn tắc Hall G Theo Định lý 1.2.8 tồn nhóm K G cho G P ≅ K K nhóm G nên K nhóm siêu giải được, G P nhóm siêu giải Nếu ( P , H ) = P ∩ H = G G ⊂G ×G {1} Do đó= P∩H ≅ P H Do G P × G H nhóm siêu giải nên G siêu giải (mâu thuẫn) Vậy H ⊆ P Vì H  G nên H  P mà φ ( P )  P H φ ( P ) nhóm chuẩn tắc P Theo 26 định lý 1.5.16 ii) P Hφ ( P ) φ ( P) ≤ P φ ( P) φ ( P) H ≤ φ ( P ) Nên G nhóm chuẩn tắc tối tiểu G φ ( P) nên Vậy H φ ( P ) = φ ( P ) H φ ( P ) = P Nếu H φ ( P ) = φ ( P ) φ ( P) ≤G H mà G H nhóm siêu giải nên G nhóm siêu φ ( P) giải Theo định lý 1.5.9 G nhóm siêu giải (mâu thuẫn) Vậy H φ ( P ) = P theo Định lý 1.3.6 H = P Do H p − nhóm Sylow chuẩn tắc G TH1 H nhóm giao hoán Gọi A nhóm H có cấp p Theo giả thiết A nhóm π − tựa chuẩn tắc G Gọi Q q − nhóm Sylow G ( q ≠ p ), AQ nhóm G Do A nhóm π − tựa chuẩn tắc G nên theo AQ Định lý 1.1.9 A nhóm π − tựa chuẩn tắc AQ Lại do=   A ,  AQ A A.Q = A.Q A∩Q   = nên A nhóm π − tựa chuẩn tắc Hall AQ Theo Định lý  1.2.4 A  AQ Lấy x ∈ Q tức x ∈ AQ Do A  AQ nên x −1 Ax ⊆ A hay Ax ⊆ xA Ta có x −1 ∈ Q nên ( x −1 ) Ax −1 ⊆ A hay xA ⊆ Ax Vậy xA = Ax nên x ∈ N G ( A ) từ ta −1 Q ⊂ N G ( A ) Gọi O p ( G ) nhóm G sinh phần tử có cấp p '− số, O p ( G ) ⊂ N G ( A ) Mà H ⊂ N G ( A ) (do H nhóm giao hoán) O p ( G ) H = G nên G = N G ( A ) Vậy A  G Theo Định lý 1.5.16 iii,v) số mũ H p Do H = p H = p = H p n , n ≥ theo Định lý Sylow tồn nhóm thật H có cấp p (mâu thuẫn với mũ H p ) Nếu H = p φ ( H ) = Nếu H = p , A nhóm cấp p chuẩn tắc H nên A nhóm tối đại H Mọi nhóm H có cấp p nhóm tối đại Nếu nhóm cấp p H trùng H = p (mâu thuẫn) Vậy H tồn nhóm cấp p khác nhau, tức 27 tồn nhóm tối đại khác nhau, ta gọi A, B Có A ∩ B ≤ H nên A ∩ B | p A∩ B = Do φ ( H ) = Theo Định lý 1.5.16ii) H Aφ ( H ) φ (H ) ≤H φ (H ) φ (H ) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G φ (H ) nên Do Aφ ( H ) = φ ( H ) (loại) Aφ ( H ) = H Theo Định lý 1.3.6 A = H ≡ P Vậy H nhóm có cấp nguyên tố nên H nhóm G − siêu giải được, mà G H siêu giải nên theo Định lý 1.5.8 G nhóm siêu giải (mâu thuẫn) TH2 H nhóm không giao hoán Do H p − nhóm, φ ( H ) nhóm H nên φ ( H ) p − nhóm Đặt H H φ (H ) φ (H ) = pn , = x1φ ( H ) , x2φ ( H ) , , xnφ ( H ) Theo Định lý 1.3.7 H = x1 , x2 , , xn Theo Định lý 1.5.16 iii,iv) số mũ H p Do xi = p ∀i =1, n Ta chứng minh xi nhóm không chuẩn tắc G ∀i =1, n Thật tồn x j  G với j ∈ {1, 2, , n} x j φ ( H )  H Theo Định lý 1.5.14 ii) H chuẩn tắc tối tiểu G φ (H ) nên xj φ (H ) φ (H ) ≤H φ (H ) φ (H ) nhóm Do x j φ ( H ) = φ ( H ) (loại) x j φ ( H ) = H Theo Định lý 1.3.6 x j = H Mà x j = p nên x j nhóm giao hoán Vậy H giao hoán (mâu thuẫn) Do xi nhóm không chuẩn tắc G ∀i =1, n Lấy Q q − nhóm Sylow G ( p ≠ q ) Theo giả thiết xi Q nhóm G Áp dụng Định lý 1.1.9 1.2.4 ta xi  xi Q Do Q ⊂ N G ( xi ) Từ ta O p ( G ) ⊂ N G ( xi ) Mà xi nhóm không chuẩn tắc G nên N G ( xi ) nhóm thực G Lấy −1 p ' a ∈ O p ( G ) , x ∈ G Khi a p ' = Ta có ( x −= ax ) x −1ax.x −1ax = x −1ax x= a x Do p' 28 O p ( G ) nhóm chuẩn tắc thực G G nên nhóm lũy linh hữu hạn sinh Do G G H O p (G ) O p (G ) nhóm siêu giải nên theo Định lý G Lại có H ∩ O p ( G )  H nên H ∩ O p (G ) H ∩ O p ( G ) ≤ φ ( H ) Mà φ ( H )  G nên G φ (H ) φ (H ) nhóm siêu giải được, mà O p (G ) ∩ H ≤H ≤G p − nhóm hữu hạn φ (H ) nhóm siêu giải Do H ∩ O p (G ) Vậy G φ (H ) siêu giải Theo Định lý 1.5.9 G siêu giải (mâu thuẫn) 2.2 Định lý Cho p số nguyên tố nhỏ chia hết G Giả sử nhóm có cấp p G nhóm π − tựa chuẩn tắc G thỏa mãn điều kiện sau: i) p − nhóm Sylow G giao hoán ii) p ≠ iii) p = ,và nhóm cyclic cấp G π − chuẩn tắc G Khi G nhóm p − lũy linh Chứng minh Giả sử Định lý sai Khi tồn nhóm thỏa mãn điều kiện định lý không p − lũy linh Chọn phản ví dụ nhóm G có cấp nhỏ thoả mãn điều kiện định lý G nhóm không p − lũy linh Lấy K nhóm thực G Nếu p | K K nhóm p '− Hall K Do K nhóm p − lũy linh Nếu p | K K thỏa mãn điều kiện định lý nên K nhóm p − lũy linh Vậy G nhóm không p − lũy linh nhóm thật G p − lũy linh Theo Định lý 1.4.7 G nhóm không lũy linh nhóm thực G lũy linh Theo Định lý 1.4.9 G có p − 29 nhóm Sylow chuẩn tắc P G P ≅ Q với Q q − nhóm Sylow, cyclic không chuẩn tắc G TH1 Nếu P nhóm giao hoán Đặt T nhóm P có cấp p Theo giả thiết T π − tựa chuẩn tắc G Do TQ nhóm G Do G G = Q G = P Q Mà P  G nên PQ ≤ G ≅ Q nên G = P P P = PQ P Q = P Q nên = G PQ = P ∩Q P, Q Ta chứng minh T  G Ngược lại, T không nhóm chuẩn tắc G , T nhóm thực P TQ = TQ nhóm thực G Theo giả thiết TQ nhóm lũy linh Do T Q = T Q T ∩Q nên T p − nhóm Sylow TQ Theo Định lý 1.4.10 T  TQ Do P giao hoán nên T  P Ta có TQ.P = G , lấy x ∈ TQ, y ∈ P, a ∈ T xy ) ( xy ) a (= −1 −1 x ( yay= ) x xa ' x −1 ∈ T Do T  G (mâu thuẫn) Vậy T  G nên T φ ( P) G φ ( P) Theo Định lý 1.4.9 iii) số mũ P p Do P = p P = p nếu= P p n , n ≥ theo Định lý Sylow tồn nhóm thật P có cấp p (mâu thuẫn với mũ P p ) Nếu P = p φ ( P ) = Nếu P = p , A nhóm cấp p chuẩn tắc P nên A nhóm tối đại P Mọi nhóm P có cấp p nhóm tối đại P Nếu nhóm cấp p P trùng P = p (mâu thuẫn) Vậy P tồn nhóm cấp p khác nhau, tức tồn nhóm tối đại khác nhau, ta gọi A, B Do φ ( P ) = Do theo Định lý Có A ∩ B ≤ P nên A ∩ B | p A ∩ B = 1.4.9 ii P nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Vậy T = P tức P nhóm cấp p Theo Định lý 1.1.20 Aut ( P )= p − Theo Định lý 1.1.21 tồn đồng cấu ϕ : N G ( P ) → Aut ( P ) Do P  G nên N G ( P ) = G Do P nhóm cylic nên 30 P ⊂ CG ( P ) ⊂ G Nếu CG ( P ) = G ∀x ∈ P, ∀y ∈ G xy = yx ∀x ∈ Q, ∀y ∈ Q hay y ∈ P xy = yx (do Q nhóm cyclic nên nhóm giao hoán) Ta có G = PQ , lấy x ' y ') xyx = ' y ' xx= ' y' y xy, x ' y ' ∈ PQ , ( xy )(= ( x ' y ')( xy ) Do G nhóm giao hoán nên Q  G (mâu thuẫn) Vậy CG ( P ) ≠ G Từ NG ( P ) ≅ Aut ( P ) nên CG ( P ) ⊂ NG ( P ) NG ( P ) CG ( P )  q Theo Định lý 1.1.21 | Aut ( P ) Do q | p − mà p số nguyên CG ( P ) tố nhỏ (mâu thuẫn) TH2 P không giao hoán, p ≠ Đặt P φ ( P) = pn , P φ ( P) = x1φ ( P ) , x2φ ( P ) , , xnφ ( P ) Theo Định lý 1.3.7 P = x1 , x2 , , xn Theo Định lý 1.4.9 iii) số mũ P p Do xi = p ∀i =1, n Ta chứng minh xi nhóm không chuẩn tắc G ∀i =1, n Thật tồn x j  G với j ∈ {1, 2, , n} x j φ ( P )  P Theo Định lý 1.4.9 ii) P chuẩn tắc tối tiểu G φ ( P) nên xj φ ( P) φ ( P) ≤ P φ ( P) φ ( P) nhóm Do x j φ ( P ) = φ ( P ) (loại) x j φ ( P ) = P Theo Định lý 1.3.6 x j = P Do x j= P= p Nên Aut ( P )= p − Từ q | p − (mâu thuẫn) Vậy xi không nhóm con chuẩn tắc G ∀i =1, n Mà xi ≤ P , P chuẩn tắc G nên xi Q nhóm thực G Theo giả thiết xi Q nhóm lũy linh Lại có xi Q có nhóm Sylow Q xi , Q Nên theo Định lý 1.4.11 xi = xi × Q Ta có Q nhóm tối đại xi Q , xi Q lũy linh nên theo Định lý 1.4.11 Q  xi Q Theo Định lý 1.4.10 xi  xi Q Do ∀x ∈ xi , ∀q ∈ Q x −1q −1 xq = ( x −1q −1 x ) q ∈ Q; x −1q −1 xq = x −1 ( q −1 xq ) ∈ xi Mà xi ∩ Q = {1} Nên x −1q −1 xq = hay xq = qx ∀x ∈ xi , ∀q ∈ Q Do P ⊂ CG ( Q ) Ta có Q ⊂ CG ( Q ) 31 Lấy xy ∈ PQ = G xyQ = xQy = Qxy Vậy Q  G Mâu thuẫn với Q nhóm không chuẩn tắc G TH3 P không giao hoán p = Đặt P φ ( P) = 2n , P φ ( P) = x1φ ( P ) , x2φ ( P ) , , xnφ ( P ) Theo Định lý 2.10 P = x1 , x2 , , xn Theo Định lý 1.4.9 iv) mũ P Do xi = xi = ∀i =1, n Mà nhóm có cấp 2, giao hoán nên xi nhóm giao hoán Do P không giao hoán xi nhóm π − tựa chuẩn tắc G nên xi Q nhóm thực G Do xi Q nhóm lũy linh Lại có xi Q có nhóm Sylow xi × Q Do xi ⊂ CG ( Q ) ∀i Nên Q xi , Q Nên theo Định lý 1.4.11 xi = G PQ = P ⊂ CG ( Q ) hay P ⊂ N G ( Q ) Mà Q ⊂ N G ( Q ) nên = P, Q = N G ( Q ) mà Q không chuẩn tắc G (mâu thuẫn) 2.3 Định lý Đặt π ( G ) = { p1 , p2 , , pn } với p1 > p2 > > pn nhóm G có cấp nguyên tố pi với i = 2, , n π − tựa chuẩn tắc G Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) pn ≠ ii) pn = nhóm − Sylow nhóm giao hoán iii) pn = nhóm cyclic G có cấp π − tựa chuẩn tắc G Khi G có tháp Sylow Chứng minh Theo Định lý 2.2 G pn − lũy linh Do G tồn pn '− nhóm Hall chuẩn tắc K n G Theo Định Lý 1.2.8 tồn nhóm Pn G cho G ≅ Pn nên G = Kn Kn G = Pn hay G = Pn K Pn pn − nhóm Kn 32 Sylow G Có K n nhóm G , π ( G ) = { p1 , p2 , , pn } với = pi , i 1, 2, , n − π − tựa chuẩn tắc G nên p1 > p2 > > pn Mọi nhóm cấp π − tựa chuẩn tắc K n pn −1 > pn nên pn −1 ≠ Áp dụng Định lý 3.2 K n nhóm pn −1 − lũy linh Tương tự tồn pn −1 '− nhóm Hall chuẩn tắc K n Kn K n −1 ≅ Pn −1 với Pn −1 pn −1 − nhóm Sylow K n , Pn −1 pn −1 − nhóm Sylow G Lập luận liên tiếp ta có K = P2 K1 với P2 p2 − nhóm Sylow K K1 lúc p1 − nhóm Sylow G Do K1 tồn  G  tháp Sylow = K  K1 với K1 K ≅ K1 Hơn ta có K n  G,  K n ,  = nên theo K n   Định lý 1.1.16 K n char G Tương tự K i char K i +1 Do K i char G , ∀i =1, 2, , n nên K i  G , ∀i =1, 2, , n Vậy G có tháp Sylow K= G  K1   K n  K n +1 2.4 Định lý Cho H nhóm chuẩn tắc thực G G H siêu giải nhóm H có cấp nguyên tố π − tựa chuẩn tắc G thỏa điều kiện sau: i) | H ii) | H nhóm 2-Sylow nhóm giao hoán iii) | H nhóm cyclic H có cấp π − tựa chuẩn tắc G Khi G siêu giải Chứng minh.Nếu H nhóm có cấp lũy thừa số nguyên tố theo Định lý 2.1 G siêu giải Ta xét trường hợp H chia hết cho số nguyên tố 33 Ta chứng minh qui nạp theo G Với giả thiết qui nạp nhóm có cấp bé G thỏa mãn điều kiện định lý nhóm siêu giải Theo Định lý 2.3 H có tháp Sylow Theo Định lý 1.5.12 tồn p − nhóm Sylow P H , với p  số nguyên tố lớn chia hết H P  H Lại có  P ,  H  G nên P char G , P  G Giả sử K H P P H P   = nên P char H ,  nhóm cấp nguyên tố P ≤ K ≤ G , P  G theo Định lý 1.1.10 K P π − tựa chuẩn tắc G P Vậy nhóm cấp nguyên tố H P π − tựa chuẩn tắc G P Lại có G P H ≅G P , theo giả thiết G H siêu giải nên H G P H siêu giải Từ P đó, theo giả thiết qui nạp G P nhóm siêu giải Áp dụng Định lý 2.1 G nhóm siêu giải 2.5 Định lý Với giả thiết cho Định lý 2.3 Khi G có tháp Sylow G P nhóm siêu giải với P1 p1 − nhóm Sylow G , p1 số nguyên tố lớn chia hết G Chứng minh Áp dụng Định lý 2.3 G có tháp Sylow Theo Định lý 1.5.14 iii) G có p1 − nhóm Sylow P1 với p1 số nguyên tố lớn chia hết G Theo Định lý 1.2.8 P1 có phần bù chuẩn tắc G p1 '− nhóm Hall chuẩn tắc K Do G = PK Áp dụng Định lý 2.3 cho K , K có tháp Sylow Áp dụng Định lý 1.5.14iii) K = QL với Q q − nhóm Sylow K , q số nguyên tố bé chia hết K Ta có QL L ≅ Q Q ∩ L nên K L ≅ Q với L q '− nhóm Hall chuẩn tắc K Mà Q q − nhóm Sylow K nên Q nhóm lũy linh hữu hạn sinh Theo Định lý 1.4.12 Q nhóm siêu giải Vậy K L nhóm siêu giải Có L  K , theo Định lý 1.1.9 nhóm có cấp nguyên tố L π − tựa chuẩn tắc 34 K Do q số nguyên tố bé chia hết K nên không chia hết L Áp dụng Định lý 2.4 ta K nhóm siêu giải G = PK nên ta có G P ≅ K nên G P siêu 1 giải Áp dụng kết ta chứng minh lại Định lý tiếng sau: 2.6 Định lý (Buckley [2]) Nếu G nhóm có cấp lẻ nhóm G có cấp số nguyên tố chuẩn tắc G G siêu giải Chứng minh Mọi nhóm có cấp nguyên tố chuẩn tắc G nên chúng π − tựa chuẩn tắc G Do G có cấp lẻ nên pn ≠ với pn số nguyên tố nhỏ chia hết G Áp dụng Định lý 2.3 i) G có tháp Sylow Áp dụng Định lý 2.5 G P nhóm siêu giải với P1 p1 − nhóm Sylow G , p1 số nguyên tố lớn chia hết G Áp dụng Định lý 2.1 G siêu giải 2.7 Định lý (Asaad [1]) Nếu nhóm có cấp nguyên tố tựa chuẩn tắc G nhóm cyclic cấp G tựa chuẩn tắc G G nhóm siêu giải Chứng minh Mọi nhóm tựa chuẩn tắc G π − tựa chuẩn tắc G Áp dung Định lý Áp dụng Định lý 2.3 i,iii) G có tháp Sylow Áp dụng Định lý 2.5 G P nhóm siêu giải với P1 p1 − nhóm Sylow G , p1 số nguyên tố lớn chia hết G Áp dụng Định lý 2.1 G siêu giải 2.8 Định lý(Van der wall [9]) Đặt pn số nguyên tố nhỏ chia hết G Nếu nhóm G có cấp nguyên tố chuẩn tắc G điều sau tương đương: (1) G nhóm siêu giải (2) G nhóm pn -lũy linh 35 Chứng minh (1) ⇒ ( ) Nếu G siêu giải theo Định lý 1.5.12 G pn − lũy linh,với pn số nguyên tố nhỏ chia hết G Do G nhóm 2-lũy linh ( ) ⇒ (1) G nhóm pn -lũy linh G = Pn K với Pn pn − nhóm Sylow G K pn '− nhóm Hall chuẩn tắc G Do G K ≅ Pn , mà Pn nhóm siêu giải nên G K nhóm siêu giải Áp dụng Định lý 2.4 ta G nhóm siêu giải 2.9 Định lý Cho G ' ⊂ H với G ' nhóm giao hoán tử G , H nhóm G nhóm có cấp nguyên tố H π − tựa chuẩn tắc G Hơn điều kiện sau thỏa mãn: i) không ước H ii) | H 2-nhóm Sylow H giao hoán iii) | H nhóm cylic cấp H π − tựa chuẩn tắc G Khi G nhóm siêu giải Chứng minh.Nếu H = G theo Định lý 2.3, 2.5, 2.1 G nhóm siêu giải Ta xét trường hợp H nhóm thực G ∀x ∈ G, a ∈ H , x −1ax =a ( a −1 x −1ax ) mà a −1 x −1ax ∈ G ' ⊂ H nên H  G Do G ' ⊂ H nên G ⊂ G Mà G nhóm giao hoán H G' G' ( a ) −1 −1 −1 −1 aba b = a = b nên G nhóm giao hoán Vậy G G' G' G' G' G G' H H b nhóm lũy linh hữu hạn sinh nên G H nhóm siêu giải Áp dụng Định lý 2.4 G nhóm siêu giải Định lý ( ITO) Cho G nhóm có cấp lẻ nhóm G ' có cấp nguyên tố chuẩn tắc G Khi G ' nhóm lũy linh 36 Chứng minh Áp dụng Định lý 2.9 với H ≡ G ' G nhóm siêu giải Theo Định lý 1.5.13 G ' nhóm lũy linh 2.10 Định lý Cho p ≥ q với số nguyên tố q chia hết G , Op ( G ) = , nhóm có cấp nguyên tố q ≠ p π − tựa chuẩn tắc G thỏa mãn điều kiện sau: i) | G ii) | G nhóm 2-Sylow G giao hoán iii) | G nhóm cyclic cấp G π − tựa chuẩn tắc G Khi G nhóm siêu giải Chứng minh Ta chứng minh G p '− nhóm Nếu không p | G theo Định lý 2.3 G có tháp Sylow Do P  G với P p − nhóm Sylow G, p số nguyên tố lớn chia hết G Do P  G nên P p − nhóm Sylow G Mà O p ( G ) giao tất p − nhóm Sylow G nên O p ( G ) = P , theo giả thiết Op ( G ) = ( mâu thuẫn) Vậy G p '− nhóm Áp dụng Định lý 2.5 G P nhóm siêu giải với P1 p1− nhóm Sylow G , p1 số nguyên tố lớn chia hết G Áp dụng Định lý 2.1 G nhóm siêu giải 37 KẾT LUẬN Trong luận văn, phần tính chất nhóm π -tựa chuẩn tắc nhóm hữu hạn trình bày cụ thể liền mạch Qua cho thấy mở rộng việc chứng minh Định lý Ito, Buckley, Van Der Wall Asaad Ngoài ra, chương I kiến thức nhóm π - tựa chuẩn tắc, nhóm Hall, nhóm Frattini,nhóm lũy linh, nhóm p − lũy linh, nhóm siêu giải …cũng trình bày rõ ràng giúp người xem dễ dàng theo dõi chứng minh quan trọng chương II Những kết thú vị ảnh hưởng nhóm π - tựa chuẩn tắc đến tính siêu giải được, p − lũy linh cho ta câu hỏi ảnh hưởng đến tính chất khác nhóm Đây vấn đề tiếp tục nghiên cứu tương lai 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải (2002), Đại số đại, Nxb ĐH quốc gia Tp HCM Mỵ Vinh Quang (1998), Bài tập đại số đại cương, Nxb giáo dục Hoàng Xuân Sính (1994), Đại số đại cương, Nxb giáo dục Hà Nội Tiếng Anh Ayesha Shaalan (1990), “The influence of quasinormality of some subgroup on the structure of a finite group”,287-293 M.Asaad (1988), “On the solvability of finite groups”, Arch Math, 51, 289-293 J.Buckley (1970),” Finite groups whose minimal subgroups are normal”, Math Z, 15-17 N.Ito (1955), “Uber eine Zur Frattini-Gruppe duale Bildung”, Nagoya Math J,123127 C.J.E Pinnock, Supersolubility and some Characterizations of Finite Supersoluble Groups, 2nd Edition Derek J.S.Robinson : A Course in the Theory of Groups , (2nd edition), Springer – Verlag, New York 10 W.R Scott (1964), Group theory, Prentice-Hall 11 R.W Van der Wall (1976), “ On minimal subgroup which are normal”, J Reine Angew Math., 285,77-78 Tiếng Đức 12 K.Doerk (1996),, Minimal nicht uberaufl osabre, endliche Gruppen, Math Z, 98205 39 13 D Gorenstein (1968), Finite groups, Harper_Row ,New York 14 B.Huppert (1967), Endliche Gruppen I, Springer , Berlin 15 Okegel (1962), “Sylow-Gruppen Und sbnormalteiler endlicher Gruppen”,Math,Z,205-221 40 [...]... − nhóm con Sylow chuẩn tắc của G TH1 H là nhóm giao hoán Gọi A là nhóm con của H có cấp p Theo giả thiết A là nhóm π − tựa chuẩn tắc của G Gọi Q là q − nhóm con Sylow bất kì của G ( q ≠ p ), khi đó AQ là nhóm con của G Do A là nhóm π − tựa chuẩn tắc của G nên theo AQ Định lý 1.1.9 A là nhóm con π − tựa chuẩn tắc của AQ Lại do=  do đó  A ,  AQ A A.Q = A.Q A∩Q   = 1 nên A là nhóm con π − tựa. .. tất cả các p − nhóm con Sylow của G Chứng minh: Đặt H = Op (G ) K =  Pi , với Pi là các p − nhóm con Sylow của G Do H chuẩn tắc nên HPi = H , Pi là p − nhóm con của G chứa Pi ( Pi là p − nhóm con Sylow bất kì của G ) Vậy HPi = Pi suy ra H ⊂ Pi ∀i nên H ⊆ K Ngược lại, ta chứng minh K ⊂ H bằng cách chỉ ra K cũng là một p − nhóm con chuẩn tắc của G Thật vậy = Kx P i x ( P ) i x ⊂  Pi x ( do  P... là nhóm siêu giải được 1.5.6 Định nghĩa Cho G là một nhóm Nếu N  G , N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc mà tất cả các số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm xyclic thì N được gọi là nhóm G − siêu giải được 1.5.7 Mệnh đề Mọi nhóm con xyclic chuẩn tắc của nhóm G là nhóm G − siêu giải được Chứng minh Nếu H là nhóm cyclic chuẩn tắc của G thì dãy 1  H là dãy cần tìm Do đó H là nhóm. .. là nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G Giả = N ,trong đó (m, n) = 1 Khi đó G có chứa nhóm con cấp m và hai nhóm con có cấp m tùy ý được chứa trong G đều liên hợp với nhau 1.2.8 Định lý Nếu H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G thì tồn tại một nhóm con K của G sao cho G H ≅ K ( ) Chứng minh: Do H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G nên H , G H = 1 G = K G nên Áp dụng Định lý 1.2.7 sẽ tồn tại nhóm. .. nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G φ ( P) iii) Nếu p ≠ 2 , thì mũ của P là p iv) Nếu P không giao hoán và p = 2 thì mũ của P là 4 v) Nếu P giao hoán thì mũ của P là p 25 CHƯƠNG 2: NHÓM CON π -TỰA CHUẨN TẮC 2.1 Định lý Cho H là p − nhóm con chuẩn tắc của G , G H là nhóm siêu giải được, mọi nhóm con có cấp p của H đều π − tựa chuẩn tắc trong G và thỏa một trong các điều kiện sau: i) H là nhóm giao hoán... tố nào là ước của Gr đều nhỏ hơn p (do cách chọn r ) Do đó Gr là p − nhóm con Sylow chuẩn tắc 23 m của G Khi đó G G = ∏ pi Theo giả thiết qui nạp thì G G có các pi -nhóm con r r i =2 i T Sylow là Ti G sao cho ∏  i G   G G Do đó T2 , T2T3 , , T2T3 Tr là các nhóm con r  r r i =2  m chuẩn tắc của G Gọi Pi là pi − nhóm con Sylow của Ti ( ∀i =2, m ) P1 = Gr là p1 − nhóm con Sylow của G Ta có... trang 130) G là nhóm hữu hạn thì các khẳng định sau là tương đương: i) G là nhóm lũy linh 19 ii)Mọi nhóm con tối đại của G đều chuẩn tắc iii) G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó 1.4.12 Định lý ([14], Định lý 1.11, trang 16) Nếu G là nhóm lũy linh hữu hạn sinh thì G là nhóm siêu giải được 1.5 Nhóm siêu giải được 1.5.1 Định nghĩa Cho G là một nhóm Dãy các nhóm con chuẩn tắc 1 = G0 ≤ G1... Định lý Cho H là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G G H là siêu giải được và mọi nhóm con của H có cấp nguyên tố đều π − tựa chuẩn tắc trong G và thỏa một trong các điều kiện sau: i) 2 | H ii) 2 | H và nhóm con 2-Sylow là nhóm giao hoán iii) 2 | H và mọi nhóm con cyclic của H có cấp 4 là π − tựa chuẩn tắc trong G Khi đó G siêu giải được Chứng minh.Nếu H là nhóm có cấp là lũy thừa của một số nguyên... một nhóm con của G , π ( G ) = { p1 , p2 , , pn } với = pi , i 1, 2, , n − 1 là π − tựa chuẩn tắc trong G nên p1 > p2 > > pn Mọi nhóm con cấp cũng π − tựa chuẩn tắc trong K n pn −1 > pn nên pn −1 ≠ 2 Áp dụng Định lý 3.2 K n là nhóm pn −1 − lũy linh Tương tự sẽ tồn tại pn −1 '− nhóm con Hall chuẩn tắc của K n và Kn K n −1 ≅ Pn −1 với Pn −1 là pn −1 − nhóm con Sylow của K n , Pn −1 cũng là pn −1 − nhóm. .. tồn tại nhóm con thật sự của P có cấp p 2 (mâu thuẫn với mũ của P là p ) Nếu P = p thì φ ( P ) = 1 Nếu P = p 2 , A là một nhóm con cấp p chuẩn tắc của P nên A là nhóm con tối đại trong P Mọi nhóm con của P có cấp p đều là nhóm con tối đại trong P Nếu mọi nhóm con cấp p của P đều trùng nhau thì P = p (mâu thuẫn) Vậy trong P luôn tồn tại 2 nhóm con cấp p khác nhau, tức luôn tồn tại 2 nhóm con tối đại ... nghĩa Nhóm G gọi nhóm lũy linh G có dãy tâm Độ dài dãy tâm ngắn G gọi lớp lũy linh nhóm G Nhận xét: -Nhóm có lớp lũy linh nhóm {1} -Nhóm có lớp lũy linh lớn nhóm aben -Nhóm lũy linh nhóm giải... K p − nhóm G , K  G H ∩ K p − nhóm nên H H ∩ K p − nhóm Vì HK K ≅ H H ∩ K nên HK K p − nhóm, HK p − nhóm Do ta có định nghĩa sau: 1.2.5 Định nghĩa Nhóm sinh tất p − nhóm chuẩn tắc G p − nhóm. .. Định nghĩa G nhóm, p số nguyên tố chia hết G Khi i) G gọi p - nhóm G lũy thừa p ii) H nhóm G H gọi p -nhóm G H p -nhóm iii) Nhóm H G gọi p -nhóm Sylow G H phần tử tối đại tập p -nhóm G theo