Nhóm con Hall

M ỤC LỤC

1.2.Nhóm con Hall

B ẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

1.2.Nhóm con Hall

1 2 ... n.

p > p > > p Mọi nhóm con cấp p ii, =1, 2,...,n−1là π −tựa chuẩn tắc trong Gnên

cũng π −tựa chuẩn tắc trongKn. pn−1 > pnnên pn−1 ≠2. Áp dụng Định lý 3.2 Knlà nhóm pn−1−lũy linh. Tương tự sẽ tồn tại pn−1'−nhóm con Hall chuẩn tắc của Knvà

1 1 n n n K P K −

− ≅ với Pn−1là pn−1−nhóm con Sylow của Kn, Pn−1cũng là pn−1−nhóm con Sylow của G. Lập luận liên tiếp như trên và ta có K2 =P K2 1với P2là p2 −nhóm con Sylow của K2. K1lúc đó sẽ là p1−nhóm con Sylow của G. Do đó trong K1tồn tại tháp Sylow 1=K0 K1với 1 1 0 K K K ≅ . Hơn nữa ta có n , n , 1 n G K G K K   =        nên theo

Định lý 1.1.16 K char Gn . Tương tựK char Ki i+1. Do đó K char Gi ,∀ =i 1, 2,...,nnên

, 1, 2,...,

i

K G ∀ =i n. Vậy trong Gcó tháp Sylow

0 1 1

1=K K  ... Kn Kn+ =G.

2.4. Định lý

Cho Hlà nhóm con chuẩn tắc thực sự của G. G

H là siêu giải được và mọi nhóm con của H có cấp nguyên tố đều π −tựa chuẩn tắc trong Gvà thỏa một trong các điều kiện sau:

i) 2 | H .

ii)2 | H và nhóm con 2-Sylow là nhóm giao hoán.

iii) 2 | H và mọi nhóm con cyclic của Hcó cấp 4 là π −tựa chuẩn tắc trong G. Khi đó G siêu giải được.

Chứng minh.NếuHlà nhóm có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố thì theo Định lý 2.1 Gsiêu giải được. Ta xét trường hợp H chia hết cho ít nhất 2 số nguyên tố.

Ta chứng minh qui nạp theo G . Với giả thiết qui nạp là mọi nhóm có cấp bé hơn Gthỏa mãn điều kiện của định lý là nhóm siêu giải được. Theo Định lý 2.3 Hcó một tháp Sylow. Theo Định lý 1.5.12 tồn tại p−nhóm con Sylow P củaH, với plà số nguyên tố lớn nhất chia hết H và PH. Lại có P, H 1

P   =       nên P char H, H G nên P char G, và do đó PG. Giả sử K

Plà nhóm con cấp nguyên tố của

H

Pthì P≤K ≤G, PGtheo Định lý 1.1.10 K

Plà π −tựa chuẩn tắc trong G P. Vậy mọi nhóm con cấp nguyên tố của H

Plà π −tựa chuẩn tắc trong G

P. Lại có G G P H H P ≅ , theo giả thiết G

H siêu giải được nên GP H

P

là siêu giải được. Từ đó, theo giả thiết qui nạp thì G

Plà nhóm siêu giải được. Áp dụng Định lý 2.1 Glà nhóm siêu giải được.

2.5. Định lý (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Với các giả thiết cho ở Định lý 2.3. Khi đóGcó một tháp Sylow và

1

G

Plà nhóm siêu giải được với P1là p1−nhóm con Sylow của G, p1là số nguyên tố lớn nhất chia hết G .

Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.3 Gcó 1 tháp Sylow. Theo Định lý 1.5.14 iii)

Gcó p1−nhóm con Sylow P1với p1là số nguyên tố lớn nhất chia hết G . Theo Định lý 1.2.8 P1có phần bù chuẩn tắc trong Glà p1'− nhóm con Hall chuẩn tắcK. Do đó

1

G =PK. Áp dụng Định lý 2.3 cho K,Ksẽ có 1 tháp Sylow. Áp dụng Định lý

1.5.14iii)K =QLvới Qlà q−nhóm con Sylow của K,qlà số nguyên tố bé nhất chia hết K . Ta có QL Q

L ≅ Q∩LnênK Q

L≅ với L là q'− nhóm con Hall chuẩn tắc của

K . Mà Qlà q−nhóm con Sylow của Knên Qlà nhóm lũy linh hữu hạn sinh. Theo Định lý 1.4.12 Qlà nhóm siêu giải được. Vậy K

Llà nhóm siêu giải được. Có LK, theo Định lý 1.1.9 mọi nhóm con có cấp nguyên tố của Lđều π −tựa chuẩn tắc trong

K. Do qlà số nguyên tố bé nhất chia hết K nên 2không chia hết L . Áp dụng Định lý 2.4 ta được Klà nhóm siêu giải được.G =PK1 nên ta có

1 G K P ≅ nên 1 G Pcũng siêu giải được.

Áp dụng các kết quả trên ta sẽ chứng minh lại các Định lý nổi tiếng sau: 2.6. Định lý (Buckley [2])

Nếu Glà nhóm có cấp lẻ và mọi nhóm con của Gcó cấp là số nguyên tố đều chuẩn tắc trong Gthì Gsiêu giải được.

Chứng minh. Mọi nhóm con có cấp nguyên tố đều chuẩn tắc trong Gnên chúng

π −tựa chuẩn tắc trong G. Do Gcó cấp lẻ nên pn ≠2với pnlà số nguyên tố nhỏ nhất chia hết G . Áp dụng Định lý 2.3 i) Gcó một tháp Sylow. Áp dụng Định lý 2.5

1

G P

là nhóm siêu giải được với P1là p1−nhóm con Sylow của G, p1là số nguyên tố lớn nhất chia hết G . Áp dụng Định lý 2.1 Gsiêu giải được.

2.7. Định lý (Asaad [1])

Nếu mọi nhóm con có cấp nguyên tố đều tựa chuẩn tắc trong G và mọi nhóm con cyclic cấp 4 của Gđều tựa chuẩn tắc trong Gthì Glà nhóm siêu giải được.

Chứng minh. Mọi nhóm con tựa chuẩn tắc trong Gthì đều π −tựa chuẩn tắc trong G. Áp dung Định lý Áp dụng Định lý 2.3 i,iii) Gcó một tháp Sylow. Áp dụng Định lý 2.5

1

G

Plà nhóm siêu giải được với P1là p1−nhóm con Sylow của G, p1là số nguyên tố lớn nhất chia hết G . Áp dụng Định lý 2.1 Gsiêu giải được.

2.8. Định lý(Van der wall [9])

Đặt pnlà số nguyên tố nhỏ nhất chia hết G . Nếu mọi nhóm con của Gcó cấp nguyên tố đều chuẩn tắc trong Gthì 2 điều sau là tương đương: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

(1) Glà nhóm siêu giải được. (2) Glà nhóm pn-lũy linh.

Chứng minh.( ) ( )1 ⇒ 2 Nếu Gsiêu giải được thì theo Định lý 1.5.12 Glà pn −

lũy linh,với pnlà số nguyên tố nhỏ nhất chia hết G . Do đó Glà nhóm 2-lũy linh.

( ) ( )2 ⇒ 1 Glà nhóm pn-lũy linh G =P Kn với Pnlà pn −nhóm con Sylow của G.

Klà pn'−nhóm con Hall chuẩn tắc của G. Do đó G Pn

K ≅ , mà Pnlà nhóm siêu giải được nên G

Klà nhóm siêu giải được. Áp dụng Định lý 2.4 ta được Glà nhóm siêu giải được.

2.9. Định lý

Cho G'⊂Hvới G'là nhóm con giao hoán tử của G, Hlà một nhóm con của G

và mọi nhóm con có cấp nguyên tố của Hđều π −tựa chuẩn tắc trong G. Hơn nữa một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) 2 không là ước của H .

ii) 2 | H và 2-nhóm con Sylow của Hlà giao hoán

iii) 2 | H và mọi nhóm con cylic cấp 4 của Hlà π −tựa chuẩn tắc trong G

Khi đóGlà nhóm siêu giải được.

Chứng minh.Nếu H =Gthì theo Định lý 2.3, 2.5, 2.1 Glà nhóm siêu giải được. Ta xét trường hợp Hlà nhóm con thực sự của G. 1 ( 1 1 )

, , x G a H x ax− a a x ax− − ∀ ∈ ∈ = mà 1 1 ' a x ax− − ∈G ⊂ Hnên H G. Do G'⊂Hnên ' G G H ⊂ G . Mà ' G G là nhóm giao hoán ( 1 1 1 1 ) ' . . . 1 ' ' ' ' G a b a b aba b G G G G G − − − − = = nên G

H là nhóm giao hoán. Vậy G H là nhóm lũy linh hữu hạn sinh nên G

H là nhóm siêu giải được. Áp dụng Định lý 2.4 G

là nhóm siêu giải được.

Định lý ( ITO) Cho Glà nhóm có cấp lẻ và mọi nhóm con của G'có cấp nguyên tố đều chuẩn tắc trong G. Khi đóG'là nhóm lũy linh.

Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.9 với H ≡G' Glà nhóm siêu giải được. Theo Định lý 1.5.13 G'là nhóm lũy linh.

2.10. Định lý

Cho p≥qvới mọi số nguyên tố qchia hết G , O Gp( )=1, mọi nhóm con có cấp nguyên tố q≠ pđều π −tựa chuẩn tắc trong Gvà thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

i) 2 | G .

ii) 2 | G và nhóm con 2-Sylow của Glà giao hoán.

iii) 2 | G và mọi nhóm con cyclic cấp 4 của Glà π −tựa chuẩn tắc trong G. Khi đóGlà nhóm siêu giải được.

Chứng minh. Ta chứng minh Glà p'−nhóm. Nếu không thì p G| theo Định lý 2.3 Gcó 1 tháp Sylow. Do đó PG với Plà p−nhóm con Sylow của G, plà số nguyên tố lớn nhất chia hết G . Do PGnên Plà p−nhóm con Sylow duy nhất của

G. Mà O Gp( )là giao của tất cả p−nhóm con Sylow của Gnên O Gp( )=P, theo giả thiết O Gp( )=1( mâu thuẫn). Vậy Glà p'−nhóm. Áp dụng Định lý 2.5

1

G (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Plà nhóm siêu giải được với P1là p1−nhóm con Sylow của G,p1là số nguyên tố lớn nhất chia hết

KẾT LUẬN

Trong luận văn, phần chính là các tính chất của nhóm con π -tựa chuẩn tắc của nhóm hữu hạn đã được trình bày cụ thể và liền mạch. Qua đó cho chúng ta thấy sự mở rộng trong việc chứng minh các Định lý của Ito, Buckley, Van Der Wall và Asaad.

Ngoài ra, trong chương I các kiến thức về nhóm con π - tựa chuẩn tắc, nhóm con Hall, nhóm Frattini,nhóm lũy linh, nhóm p− lũy linh, nhóm siêu giải được …cũng được trình bày khá rõ ràng giúp người xem dễ dàng theo dõi các chứng minh quan trọng trong chương II.

Những kết quả thú vị về ảnh hưởng của nhóm con π - tựa chuẩn tắc đến tính siêu giải được, p− lũy linh sẽ cho ta câu hỏi về ảnh hưởng của nó đến các tính chất khác của nhóm bất kì. Đây là vấn đề sẽ tiếp tục được nghiên cứu trong tương lai.

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

1. Bùi Xuân Hải (2002), Đại số hiện đại, Nxb ĐH quốc gia Tp. HCM. 2. Mỵ Vinh Quang (1998), Bài tập đại số đại cương, Nxb giáo dục. 3. Hoàng Xuân Sính (1994), Đại số đại cương, Nxb giáo dục Hà Nội.

Tiếng Anh

4. Ayesha Shaalan (1990), “The influence of quasinormality of some subgroup on the structure of a finite group”,287-293.

5. M.Asaad (1988), “On the solvability of finite groups”, Arch. Math, 51, 289-293. 6. J.Buckley (1970),” Finite groups whose minimal subgroups are normal”, Math. Z,

15-17.

7. N.Ito (1955), “Uber eine Zur Frattini-Gruppe duale Bildung”, Nagoya Math. J,123- 127.

8. C.J.E Pinnock, Supersolubility and some Characterizations of Finite Supersoluble Groups, 2nd Edition.

9. Derek J.S.Robinson : A Course in the Theory of Groups , (2nd edition), Springer – Verlag, New York.

10. W.R. Scott (1964), Group theory, Prentice-Hall.

11. R.W Van der Wall (1976), “ On minimal subgroup which are normal”, J. Reine

Angew Math., 285,77-78.

Tiếng Đức

12. K.Doerk (1996),, Minimal nicht uberaufl osabre, endliche Gruppen, Math. Z, 98- 205.

13. D. Gorenstein (1968), Finite groups, Harper_Row ,New York. 14. B.Huppert (1967), Endliche Gruppen I, Springer , Berlin. 15. Okegel (1962), “Sylow-Gruppen Und sbnormalteiler endlicher