Phân lớp các nhóm hữu hạn với cấp nhỏ

Một kết quả rất quan trọng của Đại sốđã được chứng minh rằng: Mọi nhóm Abel hữu hạn đều có phân tích tiêu chuẩnduy nhất, sai khác một đẳng cấu.. Trên cơ sở các tài liệu có ở phần tài liệ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THẾ QUỲNH NGA

PHÂN LỚP CÁC NHÓM HỮU HẠN

VỚI CẤP NHỎ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2017

NGUYỄN THẾ QUỲNH NGA

PHÂN LỚP CÁC NHÓM HỮU HẠN

VỚI CẤP NHỎ

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Tiến Mạnh

HÀ NỘI, NĂM 2017

Mục lục

1 Các định lí Sylow và tích nửa trực tiếp các nhóm 4

1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 4

1.1.1 Nhóm 4

1.1.2 Nhóm con 6

1.1.3 Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương 7

1.1.4 Đồng cấu nhóm 9

1.2 Một số nhóm đặc biệt 11

1.2.1 Nhóm cyclic cấp n 11

1.2.2 Nhóm đối xứng Sn 14

1.2.3 Nhóm thay phiên An 17

1.2.4 Nhóm nhị diện Dn 18

1.2.5 Nhóm quaternion Q8 19

1.3 p-nhóm và các định lí Sylow 20

1.4 Tích nửa trực tiếp 27

2 Phân lớp nhóm Abel hữu hạn 36 2.1 Cấu trúc nhóm Abel hữu hạn 36

2.2 Sự phân lớp các nhóm Abel 52

3.2 Phân lớp nhóm cấp pq 603.3 Phân lớp nhóm cấp 8, 12, 18, 20 64

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

TS Nguyễn Tiến Mạnh và TS Trương Thị Hồng Thanh, những người

đã luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu củatác giả Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán,đặc biệt các thầy cô trong bộ môn Đại số đã giúp đỡ tác giả trong quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới cácthầy cô Khoa đào tạo Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội đã tạo mọi điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập tại trường.Cuối cùng, xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt là các thành viên tronglớp Đại số K25, đã động viên và cổ vũ tác giả rất nhiều trong suốt thời gian vừaqua

Do hạn chế về trình độ và thời gian, luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót nhất định Tác giả rất mong nhận được những góp ý quý giá củathầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn Tác giả xin chân thànhcảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Học viên

Nguyễn Thế Quỳnh Nga

Phân lớp các đối tượng toán học là một công việc rất cần thiết mà các nhàToán học luôn muốn nghiên cứu Trong lí thuyết nhóm, việc phân lớp các nhómhữu hạn đóng một vai trò quan trọng Một kết quả rất quan trọng của Đại số

đã được chứng minh rằng: Mọi nhóm Abel hữu hạn đều có phân tích tiêu chuẩnduy nhất, sai khác một đẳng cấu Ngoài ra, người ta có thể phân lớp các nhómhữu hạn bất kì có cấp lên tới khoảng 500, tức là đi tìm hết tất cả các dạngnhóm cấp n, với n nào đó, sai khác một đẳng cấu Trên cơ sở các tài liệu có

ở phần tài liệu tham khảo, tác giả sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơbản của nhóm, một vài nhóm làm chất liệu cho việc phân lớp nhóm; các định lí,kết quả làm cơ sở cho cách phân lớp một nhóm Abel hữu hạn cấp n và thựchiện việc phân lớp cho các nhóm hữu hạn với cấp cụ thể Ngoài phần mở đầu,kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các chương sau:

Chương I: Các định lí Sylow và tích nửa trực tiếp các nhóm, trìnhbày các khái niệm và một vài tính chất cơ bản của nhóm: p-nhóm và các định líSylow; tích nửa trực tiếp các nhóm và một số nhóm đặc biệt làm chất liệu choviệc phân lớp nhóm

Chương II: Phân lớp nhóm Abel hữu hạn, trình bày về sự phân tíchtrong nhóm Abel hữu hạn, các khái niệm và kết quả liên quan Trình bày phươngpháp tìm tất cả các nhóm Abel cấp n cho trước (sai khác một đẳng cấu) và một

số ví dụ cụ thể

Chương III: Phân lớp nhóm hữu hạn, trình bày về sự phân lớp cácnhóm không Abel, từ đó trình bày về bài toán phân lớp nhóm với cấp n ≤ 23

Chương 1

Các định lí Sylow và tích nửa trực tiếp các nhóm

Chương này tập trung trình bày các định lí Sylow về các p-nhóm và trình bàymột số kết quả về tích trực tiếp các nhóm, đồng thời trình bày về một số nhómhữu hạn đặc biệt Các kết quả này được sử dụng cho bài toán phân lớp nhóm

ở Chương 2 và Chương 3 Trước hết để tiện theo dõi, ta nhắc lại các khái niệm

và tính chất cơ bản về nhóm

Mục này trình bày sơ lược các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm màkhông trình bày các chứng minh Chi tiết các chứng minh bạn đọc có thể xemtrong [4] và [5]

Định nghĩa 1.1.1 Tập G được trang bị phép toán ∗, được kí hiệu bởi (G, ∗),được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn 3 tiên đề:

(i) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) với mọi x, y, z ∈ G

(ii) Tồn tại phần tử trung hòa e ∈ G, tức là e ∗ x = x ∗ e = x với mọi x ∈ G.(iii) Với mỗi x ∈ G đều tồn tại phần tử đối xứng x0, tức là x ∗ x0= x0∗ x = e.Nếu ∗ có tính chất giao hoán thì G được gọi là một nhóm giao hoán haynhóm Abel Nếu nhóm G có vô hạn phần tử thì G gọi là có cấp vô hạn Nếu

G có n < ∞ phần tử thì G được gọi là một nhóm cấp n, kí hiệu cấp của G là

(iii) Kí hiệu Sn là tập tất cả các song ánh từ tập A = {1, 2, , n} vào chính nó

Sn lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ, gọi là nhóm đối xứng bậc

n, mỗi phần tử của Sn được gọi là một phép thế bậc n Nhóm này là mộtnhóm không Abel cấp n!

(iv) Tập các ma trận vuông cấp n không suy biến trên trường số thực R, kíhiệu bởi GLn(R), lập thành một nhóm với phép nhân ma trận, gọi là nhómtuyến tính tổng quát bậc n Nhóm này là một nhóm không Abel

1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 6

(v) Nếu G1, G2 là 2 nhóm thì G1× G2 = {(a, b) | a ∈ G1, b ∈ G2} cũng là mộtnhóm với phép toán: (a, b).(c, d) = (ac, bd) Nhóm này gọi là tích trực tiếpcủa G1 và G2

Mệnh đề 1.1.3 Nếu trong nhóm (G, ) luôn có a2 = e với mọi a ∈ G thì G làmột nhóm Abel

Chứng minh Với mọi a ∈ G thì a2 = e, do đó a = a−1 Mặt khác, với mọi

a, b ∈ G thì ab ∈ G và (ab)2 = e Do đó ab = b−1a−1 = ba Vậy G là một nhómAbel

Định nghĩa 1.1.4 Bộ phận A không rỗng của nhóm G được gọi là một nhómcon của G nếu tập A cùng với phép toán trong G thu hẹp trên A tạo thành mộtnhóm

Mệnh đề 1.1.5 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm (G, ) Khi

đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) A là một nhóm con của G

(ii) Với mọi x, y ∈ A thì xy ∈ A và x−1 ∈ A

(iii) Với mọi x, y ∈ A thì x−1y ∈ A

Ví dụ 1.1.6

(i) Đối với nhóm G, bản thân G và E = {e} là những nhóm con, được gọi lànhóm con tầm thường của G

(ii) Tập SLn(R) các ma trận vuông thực cấp n có định thức bằng 1 là mộtnhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GLn(R) Nhóm SLn(R) được gọi

là nhóm tuyến tính đặc biệt

(iii) Trong nhóm (Z, +), tập nZ = {x | x = na, a ∈ Z} là một nhóm con với mỗi

n ∈ N

(iv) Nhóm đối xứng Sn là nhóm con của nhóm Sm với n ≤ m

(v) Nhóm tuyến tính tổng quát GLn(R) là một nhóm con của nhóm GLm(R)với n ≤ m

Định lý 1.1.7 Giao của một họ tùy ý các nhóm con của một nhóm G cũng làmột nhóm con của G.

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử S là một tập con khác rỗng của nhóm G Nhóm con

bé nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi S và kí hiệu là hSi.Trong trường hợp hSi = G thì ta nói rằng S là một hệ sinh của G hay G đượcsinh bởi S Hệ sinh S của G được gọi là hệ sinh cực tiểu nếu như mọi tập conthực sự của S đều không là hệ sinh của G

Nhận xét 1.1.9 Xét nhóm G có phần tử trung hòa e và a ∈ G Nếu không cómột số nguyên dương n sao cho an = e thì nhóm con sinh bởi a là vô hạn Tráilại, gọi m là số nguyên dương bé nhất sao cho am = e, thế thì nhóm con sinhbởi a có m phần tử

Định nghĩa 1.1.10 Xét nhóm G có phần tử trung hòa e và a ∈ G Gọi A lànhóm con sinh bởi a Phần tử a gọi là có cấp vô hạn nếu A vô hạn; trong trườnghợp này không có số nguyên dương n nào sao cho an = e Phần tử a được gọi

là có cấp m nếu A có cấp m; trong trường hợp này m là số nguyên dương nhỏnhất sao cho am = e Phần tử a có cấp 1 khi và chỉ khi a = e Cấp của phần tử

a được kí hiệu bởi o(a)

Giả sử H là một nhóm con của nhóm (G, ) và x ∈ G Khi đó các tập con của G

và gọi là tập thương của G theo nhóm con H

Định lý 1.1.11 (Định lí Lagrange) Cho G là một nhóm hữu hạn và H lànhóm con của G Khi đó, cấp của G chia hết cho cấp của H

1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 8

Số x các lớp ghép trái đúng bằng |G|/|H| và được gọi là chỉ số của nhómcon H trong G, kí hiệu bởi [G : H]

Hệ quả 1.1.12 Mỗi phần tử của nhóm hữu hạn G có cấp chia hết cấp của G

Để tập thương G/H là một nhóm với phép toán cảm sinh từ phép toán của

G thì điều kiện cần và đủ là H phải là một nhóm con chuẩn tắc, như định nghĩadưới đây

Định nghĩa 1.1.13 Một nhóm con A của nhóm (G, ) được gọi là chuẩn tắcnếu và chỉ nếu g−1ag ∈ A với mọi a ∈ A và với mọi g ∈ G

Ví dụ 1.1.14

(i) Trong một nhóm G, bản thân G và nhóm con chỉ gồm phần tử trung hòa

là những nhóm con chuẩn tắc

(ii) Đối với nhóm Abel G, mọi nhóm con đều là nhóm con chuẩn tắc

(iii) Mọi nhóm con có chỉ số bằng 2 của một nhóm G đều là nhóm conchuẩn tắc Thật vậy, giả sử H là nhóm con có chỉ số bằng 2 trong G.Khi đó trong G có sự phân lớp theo lớp ghép trái {H, gH} và sự phân lớptheo lớp ghép phải {H, Hg} với g là một phần tử không thuộc vào H Từ

đó gH = Hg và ta có H là nhóm con chuẩn tắc của G

Định lý 1.1.15 Cho H là một nhóm con của nhóm (G, ) Khi đó các khẳngđịnh sau là tương đương:

(i) H là một nhóm con chuẩn tắc của G

(ii) xH = Hx với mọi x ∈ G

Ví dụ 1.1.17 Trong nhóm cộng Abel các số nguyên Z thì

nZ = {na | a ∈ Z}

là một nhóm con của Z với mọi số nguyên dương n Do đó nZ là một nhóm conchuẩn tắc của Z Khi đó ta có nhóm thương

Z/nZ = {x = x + nZ | x ∈ Z} Nhóm thương này chính là nhóm các lớp đồng dư modulo n, kí hiệu là (Zn, +)

Định nghĩa 1.1.18 Giả sử (G, ) và (G0, ) là hai nhóm Một ánh xạ f từ Gđến G0 được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f (xy) = f (x)f (y) với mọi x, y ∈ G.Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là mộtđơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) Khi f là một đẳng cấu thì ta nói rằng

G và G0 là hai nhóm đẳng cấu và kí hiệu G ∼= G0 Ta kí hiệu

Imf = {f (x) | x ∈ G}

Kerf = {x ∈ G | f (x) = e0} = f−1(e0),

và lần lượt gọi Imf là ảnh, Kerf là hạch hay hạt nhân của đồng cấu f

Ví dụ 1.1.19

(i) Ánh xạ θ : G −→ G0 biến mọi phần tử của G thành phần tử đơn vị của G0

là một đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường

(ii) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Khi đó, ánh xạ

i : H −→ G

a 7−→ a

là một đơn cấu và được gọi là đơn cấu chính tắc hay phép nhúng chínhtắc Nói riêng, phép đồng nhất idG : G −→ G trên nhóm G là một đơn cấu,hơn nữa là một đẳng cấu, và idG được gọi là đẳng cấu đồng nhất của G.(iii) Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm (G, ) Khi đó ta có nhómthương (G/H, ) Ánh xạ

p : G −→ G/H

x 7−→ xH

1.1 Các khái niệm cơ bản về nhóm 10

là một toàn cấu, gọi là phép chiếu chính tắc hay toàn cấu chính tắc.(iv) Đẳng cấu f : G −→ G được gọi là tự đẳng cấu của G Tập các tự đẳngcấu của G kí hiệu bởi Aut(G), lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ.Định lý 1.1.20 Cho hai nhóm (G, ) và (G0, ) cùng một đồng cấu f : G −→ G0.Khi đó:

(i) f (e) = e0, ở đó e và e0 lần lượt là phần tử đơn vị của G và G0

(ii) f (x−1) = (f (x))−1 với mọi x ∈ G

(iii) Đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {e}

(iv) M là một nhóm con của G thì f (M ) là một nhóm con của G0, đặc biệt Imf

f là một đơn cấu và Imf = Imf

(vii) Ta luôn có

G/Kerf ∼= Imf

Ta có một số kết quả quan trọng sau về tự đẳng cấu nhóm

Ví dụ 1.1.21 Aut(Z) ∼= Z2 Thật vậy, để xác định Aut(Z), đầu tiên ta thấyrằng tất cả các tự đồng cấu của một nhóm Abel là tầm thường; tiếp theo, mộtđẳng cấu giữa các nhóm cyclic biến phần tử sinh thành phần tử sinh Vì vậynếu α ∈ Aut(Z) thì α(1) = ±1 Do đó có 2 tự đẳng cấu được cho bởi α(n) = nhoặc α(n) = −n với mọi n ∈ Z Ta suy ra được ngay Aut(Z) ∼= Z2

Ví dụ 1.1.22 Aut(Zn) ∼= Z×n, ở đó Z×n = {a | gcd(a, n) = 1} Thật vậy, xét tựđẳng cấu α của Zn, α(1) = a Do 1 là phần tử sinh của Zn nên a là phần tử sinh

của Zn, vậy thì gcd(a, n) = 1 Khi đó α được cho bởi công thức α(m) = am, vớimọi m ∈ Zn Vì hợp thành của các ánh xạ tương ứng với phép nhân hệ số nên

ta thu được Aut(Zn) ∼= Z×n

Định nghĩa 1.2.1 Một nhóm G được gọi là cyclic nếu G có một hệ sinh gồm

1 phần tử {a} ⊂ G Phần tử a khi đó được gọi là một phần tử sinh của G

Kí hiệu G = hai Dễ thấy rằng: Nếu G là nhóm với phép toán "." thì G có cácphần tử là các lũy thừa aλ, λ ∈ Z; còn nếu G là nhóm với phép toán "+" thì G

Mệnh đề 1.2.4 Nhóm con của một nhóm cyclic cũng là một nhóm cyclic.Chứng minh Giả sử G là nhóm cyclic sinh bởi phần tử g và H là một nhóm concủa G Nếu H = {e} thì H là nhóm cyclic sinh bởi e Trong trường hợp H 6= {e},gọi s là số nguyên dương bé nhất sao cho gs ∈ H Ta đi chứng minh rằng mọiphần tử thuộc H đều là lũy thừa của gs Giả sử gk ∈ H Ta có k = sq + r, với

s, q, r là các số nguyên dương và 0 ≤ r < s Khi đó,

r = k − sq, gr = gk.(gsq)−1 ∈ H

Nếu r 6= 0 thì ta gặp mâu thuẫn với tính bé nhất của s Vậy r = 0 và gk = (gs)q.Bởi vậy H là nhóm cyclic sinh bởi gs

lí 1.1.11, n là ước của p Do p nguyên tố nên n = p, vậy thì G = H và ta có G

là cyclic, được sinh bởi một phần tử bất kì khác phần tử trung hòa

Mệnh đề 1.2.6 Ta có các khẳng định sau:

(i) Mọi nhóm cyclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z.(ii) Mọi nhóm cyclic cấp n đều đẳng cấu với nhóm cộng Zn các lớp đồng dưmodulo n

(ii) Nếu A = hai là nhóm cyclic cấp n thì ánh xạ

Mệnh đề 1.2.7 Giả sử G1, G2 là hai nhóm cyclic có cấp lần lượt là n1, n2.Khi đó G1 × G2 là một nhóm cyclic khi và chỉ khi n1 và n2 nguyên tố cùngnhau Trường hợp đặc biệt, Zn 1 × Zn 2 là một nhóm cyclic khi và chỉ khi n1 và

n2 nguyên tố cùng nhau

Chứng minh Giả sử Gi = haii có cấp là ni với i = 1, 2 Nhóm G1× G2 có cấp

là n1n2 Nếu G1 × G2 là nhóm cyclic thì phần tử sinh là (a1, a2) và ta suy racấp của (a1, a2) bằng n1n2 Ta gọi m là bội chung nhỏ nhất của n1và n2 Khi

đó, am1 = e1 và am2 = e2 do n1 | m và n2 | m Vậy thì:

(a1, a2)m = (am1 , am2 ) = (e1, e2)

Do đó m chia hết cho n1n2 Hiển nhiên cũng có n1n2 chia hết cho m Vậy

m = n1n2 và suy ra n1, n2 nguyên tố cùng nhau

Đảo lại, giả sử n1 và n2 nguyên tố cùng nhau, ta chứng minh rằng (a1, a2)

có cấp n1n2 và do đó G1× G2 = h(a1, a2)i Thật vậy, nếu (a1, a2)k = (e1, e2) thì(ak1, ak2) = (e1, e2), tức là ak1 = e1, ak2 = e2 Vậy thì k chia hết cho n1 và n2 Vì

n1 và n2 là nguyên tố cùng nhau nên ta suy ra k chia hết cho n1n2 Rõ ràng(a1, a2)n1 n 2 = (e1, e2), suy ra n1n2 chia hết cho k Vậy cấp của (a1, a2) bằng n1n2

và G1× G2 là nhóm cyclic sinh bởi (a1, a2)

Áp dụng cho Zn1 và Zn2 là hai nhóm cyclic có cấp lần lượt là n1 và n2 ta cóngay trường hợp đặc biệt của mệnh đề

Mệnh đề 1.2.8 Giả sử G là một nhóm và a, b ∈ G thỏa mãn ab = ba Nếuo(a) và o(b) là hai số nguyên tố cùng nhau thì o(ab) = o(a)o(b)

Chứng minh Giả sử o(a) = m và o(b) = n Do giả thiết ab = ba nên ta có(ab)mn = amnbmn = (am)n(bn)m = e Vậy thì ab có cấp hữu hạn, giả sử o(ab) = k

Vì (ab)mn = e nên k | mn Lại do (ab)k = akbk = e nên ak = b−k Ta có

akn = (ak)n = (b−k)n = (bn)−k = e Vậy thì m | kn Vì (m, n) = 1 nên m | k.Tương tự ta có n | k Lại do (m, n) = 1 nên mn | k Vậy thì k | mn và mn | k,suy ra k = mn

Mệnh đề 1.2.9 Với p là một số nguyên tố thì nhóm Z×p = Zp \0 là mộtnhóm cyclic

1.2 Một số nhóm đặc biệt 14

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh rằng trong một nhóm Abel G cấp hữuhạn, nếu a ∈ G là phần tử có cấp cực đại thì mọi phần tử của G đều có cấp làước của o(a) Thật vậy, giả sử x ∈ G khác phần tử đơn vị Giả sử o(x) - o(a).Khi đó tồn tại số nguyên tố q sao cho ta có phân tích o(a) = qαm, o(x) = qβn với

q - m, q - n, α < β Ta có o(aqα) = m và o(xn) = qβ Vì q - m nên (qβ, m) = 1.Bởi Mệnh đề 1.2.8 thì o(aqαxn) = qβn > o(a), mâu thuẫn Vậy thì o(x) | o(a)

Ta có Z×p =1, 2, , p − 1 là một nhóm Abel cấp p − 1 Gọi a là phần tửcủa Z×p có cấp cực đại và giả sử o(a) = m ≤ p − 1 Khi đó mọi phần tử x của Z×pđều có cấp là ước của m, vậy thì x là nghiệm của đa thức xm− 1 Với p nguyên

tố thì Zp là một trường, khi đó đa thức xm− 1 có nhiều nhất m nghiệm, suy ra

m ≥ p − 1 Vậy o(a) = m = p − 1 và suy ra Z×p là nhóm cyclic

Sn cùng với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm, gọi là nhóm các phépthế bậc n hay nhóm đối xứng bậc n Phần tử đơn vị e của nhóm là ánh xạđồng nhất Dễ thấy nhóm Sn có cấp là n!

Ví dụ 1.2.11 Nhóm đối xứng S3 gồm 6 phần tử là

e = 1 2 3

1 2 3

!, f1 = 1 2 3

2 3 1

!, f2 = 1 2 3

3 2 1

!, f5 = 1 2 3

1 3 2

!

Định nghĩa 1.2.12 Một phép thế σ được gọi là một k-vòng xích hay mộtvòng xích cấp k nếu tồn tại i1, i2, , ik ∈ {1, 2, , n} (n > 1) sao cho

σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, , σ(ik−1) = ik, σ(ik) = i1,còn σ(i) = i với mọi i /∈ {i1, i2, , ik} Kí hiệu σ = (i1 i2· · · ik) Một 2-vòngxích (ij) được gọi là một chuyển vị

Nhận xét 1.2.13 Ta thấy ngay rằng, mọi phép chuyển vị đều là một phần tửcấp 2 trong nhóm Sn.

Mệnh đề 1.2.14 Nhóm đối xứng Sn với n ≥ 2 được sinh bởi tập các phépchuyển vị Nói cách khác, mọi phép thế σ ∈ Sn đều là tích của một số hữu hạnphép chuyển vị:

σ = τ1τ2· · · τr,trong đó τ1, τ2, , τr là các phép chuyển vị

Chứng minh Gọi số các phần tử bất động của σ (tức là số các phần tử i saocho σ(i) = i) là p Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo k = n − p.Với k = 0, tức là có n phần tử bất động, thế thì σ là ánh xạ đồng nhất e.Khi đó mệnh đề đúng vì σ = e = τ τ với mọi phép chuyển vị τ Ta thấy ngayrằng, trường hợp k = 1 là không xảy ra, vì rõ ràng nếu có n − 1 phần tử bấtđộng thì phần tử còn lại cũng bất động

Nếu k = 2 thì σ là một phép chuyển vị, do đó mệnh đề đúng

Giả sử k > 2 và mệnh đề đúng với mọi phép thế có nhiều hơn n − k phần tửbất động Vì k > 2 nên tồn tại i để σ(i) = j 6= i Xét phép chuyển vị τ = (ij).Khi đó σ = τ (τ σ) Vì các phần tử bất động của σ đều khác i, j và mọi phần tửkhác i, j đều bất động dưới τ nên các phần tử bất động của σ đều là các phần

tử bất động của τ σ Hơn nữa τ σ(i) = τ (j) = i Do đó i là một phần tử bất độngcủa τ σ Vì vậy số các phần tử bất động của τ σ nhiều hơn n − k Theo giả thiếtquy nạp ta có τ σ = τ τ1τ2· · · τr là tích của các phép chuyển vị Mệnh đề đượcchứng minh

Định nghĩa 1.2.15 (Dấu của phép thế) Với mỗi phép thế σ ∈ Sn, đặt

sgn(σ) = Y

1≤i<j≤n

σ(j) − σ(i)

j − i .Mệnh đề 1.2.16 Với hai phép thế σ1, σ2 ∈ Sn, ta luôn có

σ2(j) − σ2(i)

j − i

= sgn(σ1)sgn(σ2)

Từ Định nghĩa 1.2.15 ta thấy ngay rằng mọi phép chuyển vị kế tiếp

τ = (i(i + 1)) đều có sgn(τ ) = −1 Đối với một phép chuyển vị bất kì, ta

Từ Mệnh đề 1.2.18 ta có được kết quả: sgn(σ) = 1 khi và chỉ khi σ là tíchcủa một số chẵn các phép chuyển vị, và sgn(σ) = −1 khi và chỉ khi σ là tíchcủa một số lẻ các phép chuyển vị Vậy thì một phép thế không thể đồng thờiphân tích thành tích của một số chẵn hay một số lẻ các phép chuyển vị.

Định nghĩa 1.2.19 Giá trị sgn(σ) được gọi là dấu của phép thế σ với mỗiphép thế σ ∈ Sn Nếu sgn(σ) = 1 thì σ được gọi là một phép thế chẵn, cònnếu sgn(σ) = −1 thì σ được gọi là một phép thế lẻ

Nhóm các phép thế chẵn An được gọi là nhóm thay phiên bậc n Từ định

lí trên ta thấy trong Sn có một nửa là phép thế chẵn và một nửa là phép thế lẻ.Vậy thì ta có ngay |An| = n! : 2

Nhóm Dn được gọi là nhóm nhị diện bậc n.

Định lý 1.2.22 Với n ≥ 3, nhóm Dn có cấp là 2n sinh bởi hai phần tử σ và τthỏa mãn:

(i) σ có cấp n và τ có cấp 2

(ii) τ σ = σ−1τ

Ngược lại, nếu G là một nhóm bất kì sinh bởi hai phần tử σ và τ thỏa mãn (i)

và (ii) thì G đẳng cấu với Dn

Chứng minh Ta dễ kiểm tra được rằng hai phần tử sinh σ và τ của Dn thỏamãn hai điều kiện (i) và (ii) Do đó ta có

Dn =σiτj | 0 ≤ i ≤ n − 1, j = 0, 1

Ta thấy các 2n phần tử σiτj với 0 ≤ i ≤ n − 1, j = 0, 1 đôi một phân biệt nên

Dn có cấp là 2n Bây giờ giả sử G là một nhóm bất kì sinh bởi hai phần tử σ và

τ thỏa mãn (i) và (ii) Để tránh nhầm lẫn, ta kí hiệu hai phần tử sinh của Dn là

σ0, τ0 Bởi các tính chất (i) và (ii) nên mọi phần tử của G cũng có dạng σiτj với

0 ≤ i ≤ n − 1, j = 0, 1 Xét ánh xạ f : Dn −→ G xác định bởi f (σi

0τ0j) = σiτj

Ta chứng minh f là một đẳng cấu Dễ thấy f là một toàn cấu Để hoàn thànhchứng minh, ta cần chứng minh f là một đơn cấu Giả sử x là một phần tử củaKerf Khi đó

x = σi0τ0j và f (x) = f (σi0τ0j) = σiτj = evới 0 ≤ i ≤ n − 1 và j = 0, 1

Nếu j = 1 thì σiτ = e, từ đó σiτ2 = τ , lại do τ2 = e nên ta có σi = τ Vậy thì

σi+1 = σiσ = τ σ = σ−1τ = σ−1σi = σi−1 Từ đó suy ra σ2 = e, mâu thuẫn vớikhẳng định (i) Vậy j = 0 và ta có σi = e Vì 0 ≤ i ≤ n − 1 và σ là phần tử cấp

n nên i = 0 Do đó x = σ00τ00 = e Vậy Ker(f ) = {e} và do đó f là một đơn cấu.Vậy thì f là một đẳng cấu và ta được G đẳng cấu với Dn.

0 −i

!, j = 0 1

−1 0

!, k = 0 i

i 0

!,

ở đó i là đơn vị ảo Dễ kiểm tra được rằng Q8 là một nhóm con của nhóm

GL2(C) sinh bởi các ma trận nêu trên

Định lý 1.2.24 Mọi nhóm sinh bởi hai phần tử u, v sao cho

u4 = 1, u2 = v2, uv = vu−1đều đẳng cấu với nhóm Q8

Chứng minh Giả sử nhóm

G = 4 = 1, u2 = v2, uv = vu−1

=1, u, v, u−1, v−1, u2, uv, vu Xét tương ứng

f : u 7−→ i

v 7−→ j,khi đó f sinh ra một đẳng cấu nhóm f : G −→ Q8 vì

i4 = 1, i2 = j2, ij = −ji = ji−1,

Định nghĩa 1.3.1 Cho (G, ) là một nhóm và a, b ∈ G Ta nói a liên hợp với

b nếu tồn tại g ∈ G sao cho b = gag−1 Ta định nghĩa quan hệ L trên G bởi:

aLb nếu và chỉ nếu a liên hợp với b

Ta dễ chứng minh được rằng, quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đươngtrong G Mỗi lớp tương đương của quan hệ liên hợp trong G được gọi là mộtlớp liên hợp của G Khi đó, lớp liên hợp chứa phần tử a là tập

T (a) =gag−1 | g ∈ G gồm tất cả các phần tử liên hợp với a trong G; hai lớp liên hợp bất kì hoặc rờinhau hoặc bằng nhau và nhóm G là hợp của tất cả các lớp liên hợp khác nhautrong G

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử (G, ) là một nhóm và a ∈ G Đặt

C(a) = {g ∈ G | ag = ga}

C(G) = {g ∈ G | xg = gx ∀x ∈ G} C(a) được gọi là tâm của phần tử a trong G và C(G) được gọi là tâm của G.Nhận xét 1.3.3 Dễ kiểm tra được rằng C(a) là một nhóm con của G và nếu

|G| > 1 thì |C(a)| > 1 Còn C(G) là một nhóm con giao hoán và chuẩn tắccủa G

Định lý 1.3.4 Giả sử G là một nhóm hữu hạn và a ∈ G Khi đó, số cácphần tử của G liên hợp với a bằng chỉ số của nhóm con C(a) trong G và do đó

nó là ước của |G|:

|T (a)| = [G : C(a)]

Chứng minh Nhắc lại rằng T (a) =gag−1 | g ∈ G là tập các phần tử liên hợpvới a Giả sử x, y ∈ G thỏa mãn xax−1 = yay−1.Điều này tương đương với

y−1xax−1x = y−1yay−1x hay y−1xa = ay−1x

Vậy thì y−1x ∈ C(a), điều này tương đương với

xC(a) = yC(a)

Như vậy hai phần tử xax−1 và yay−1 của T (a) trùng nhau khi và chỉ khi hailớp ghép trái xC(a) và yC(a) của tập thương G/C(a) trùng nhau Vậy thì sốphần tử của T (a) bằng số phần tử của G/C(a), hay |T (a)| = [G : C(a)]

Định lý 1.3.5 Giả sử G là một nhóm hữu hạn Khi đó

|G| = |C(G)| +X[G : C(x)]

ở đó tổng thay đổi trên phần tử x từ mỗi lớp liên hợp không tầm thường của G

Ta gọi đây là công thức lớp của nhóm G

Chứng minh Vì quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương nên G đượcphân hoạch bởi các lớp liên hợp Ta có

|G| = |C(G)| + |T1| + · · · + |Tr|,trong đó T1, T2, , Tr là tất cả các lớp liên hợp khác nhau của G sao cho |Ti| > 1.Ngoài ra, với mỗi i, |Ti| là ước của |G| Từ Định lí 1.3.4 ta được

|G| = |C(G)| +X[G : C(x)]

ở đó tổng thay đổi trên phần tử x từ mỗi lớp liên hợp không tầm thườngcủa G

1.3 p-nhóm và các định lí Sylow 22

Định nghĩa 1.3.6 Cho p là một số nguyên tố Một nhóm hữu hạn G được gọi

là một p-nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p

Định lý 1.3.7 Nếu G là một p-nhóm cấp pn với n ≥ 1 thì |C(G)| > 1

Chứng minh Từ công thức lớp của nhóm G và Định lí 1.3.4 ta nhận được

|C(G)| = |G| − |T1| − |T2| − · · · − |Tr|,trong đó |Ti| > 1 và |Ti| là ước của |G| Vậy thì |Ti| phải chia hết cho p do |G|

là lũy thừa của p Khi đó, p là ước của vế phải và do đó là ước của |C(G)| Vì

M = N/C(G) Khi đó N là một nhóm con chuẩn tắc của G và

|N | = |M |.|C(G)| = pk−1pn−k = pn−1.Quy nạp hoàn thành và định lí được chứng minh

Định nghĩa 1.3.9 Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là ước nguyên tố của

|G| Một p-nhóm con Sylow H của G là một nhóm con của G mà cấp của nó

là pk với k là số nguyên dương lớn nhất sao cho pk là ước của |G|

Định lý 1.3.10 (Định lí Sylow thứ nhất) Giả sử G là một nhóm hữu hạn,

p là một số nguyên tố và pm là ước của |G| Khi đó G có một nhóm con cấp pm.Đặc biệt, luôn tồn tại một p-nhóm con Sylow trong một nhóm hữu hạn

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo |G| Nếu G = 1 thì chỉ có p0

là ước của |G| và G chính là nhóm con cấp p0 của nó Giả sử |G| > 1 và định lí

đúng cho tất cả các nhóm có cấp nhỏ hơn |G| Theo công thức lớp của G ta có:

|G| = |C(G)| + [G : C(a1)] + [G : C(a2)] + · · · + [G : C(ar)] ,

trong đó [G : C(ai)] > 1 với mọi i = 1, , r Ta cũng có |C(G)| ≥ 1 vì e ∈ C(G).Giả sử tồn tại một chỉ số j sao cho p - [G : C(aj)] Lại do |G| = |C(aj)| [G : C(aj)]

và pm | |G| đồng thời p - [G : C(aj)] nên phải có pm | |C(aj)| Bởi C(aj) là nhómcon của G có cấp nhỏ hơn cấp của G nên theo giả thiết quy nạp thì C(aj) phải

có một nhóm con cấp pm Hiển nhiên đó cũng là một nhóm con của G Vậythì G có một nhóm con cấp pm Ngược lại, nếu p | [G : C(ai)] với mọi i, đã có

p | |G|, vậy thì p cũng là ước của |C(G)| Khi đó C(G) là một nhóm Abel và cócấp chia hết cho p, vậy thì C(G) chứa một phần tử c có cấp p Gọi N là nhómcon cyclic sinh bởi c thì N có cấp p và là nhóm con chuẩn tắc của G Khi đó ta

có nhóm thương G/N có cấp là |G| : p nên cấp của nó nhỏ hơn |G| và chia hếtcho pm−1 Theo giả thiết quy nạp, G/N có một nhóm con T có cấp pm−1 Do đótồn tại một nhóm con H của G sao cho N ⊂ H và T = H/N Khi đó cấp của

H là

|H| = |N ||H/N | = |N ||T | = p.pm−1 = pm.Vậy G có một nhóm con cấp pm Định lí được chứng minh

Định lý 1.3.11 (Định lí Cauchy) Giả sử G là một nhóm hữu hạn có cấpchia hết cho một số nguyên tố p Khi đó G chứa một phần tử cấp p

Chứng minh Theo Định lí Sylow thứ nhất, G có một nhóm con H cấp p và do

đó H là một nhóm cyclic sinh bởi phần tử a ∈ H nào đó Rõ ràng a ∈ G và cócấp p

Định nghĩa 1.3.12 Giả sử H là một nhóm con của nhóm G và A, B là hainhóm con bất kì của G Ta nói rằng A là một H-liên hợp với B nếu tồn tạimột phần tử x ∈ H sao cho B = xAx−1 Trong trường hợp H = G thì ta nóirằng A liên hợp với B

Ta dễ chứng minh được rằng, quan hệ H-liên hợp là một quan hệ tương đươngtrên tập tất cả các nhóm con của G Với A là một nhóm con của nhóm G, khi

đó tập

N (A) =x ∈ G | xAx−1 = A

y−1xAx−1y = y−1yAy−1y = A,hay là

(y−1x)A(y−1x)−1 = A,tương đương với y−1x ∈ N (A), tức là xN (A) = yN (A) Từ đó suy ra số cácnhóm con H-liên hợp với A phải bằng số các lớp ghép trái của N (A) trong H,tức là bằng [H : (H ∩ N (A))]

Bổ đề 1.3.14 Giả sử P là một p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn G.Khi đó, nếu x ∈ G có cấp là một lũy thừa của p và xP x−1 = P thì x ∈ P Chứng minh Nhóm thương N (P )/P là hoàn toàn xác định vì P là nhóm conchuẩn tắc của N (P ) Theo giả thiết, x ∈ N (P ) Do cấp của x là một lũy thừacủa p nên lớp ghép trái xP trong nhóm N (P )/P cũng có cấp là một lũy thừacủa p Gọi T là nhóm cyclic sinh bởi xP thì cấp của T là lũy thừa của p Khi đótồn tại một nhóm con H của G sao cho P ⊂ H và T = H/P Ta có |H| = |T |.|P |.Vậy thì cấp của H cũng là một lũy thừa của p Theo giả thiết, P là một p-nhómcon Sylow của G và P ⊂ H nên P = H Vậy T = H/P là nhóm đơn vị và

do đó xP = eP , hay x ∈ P

Định lý 1.3.15 (Định lí Sylow thứ hai) Giả sử P và H là hai p-nhóm conSylow của một nhóm hữu hạn G Khi đó H liên hợp với P trong G

Chứng minh Giả sử |G| = pnm với p - m Do H là một p-nhóm con Sylow của

G nên |H| = pn Giả sử H1, H2, , Ht là các liên hợp khác nhau của H trong

G Theo Định lí 1.3.13, ta có

t = [G : N (H)]

và theo Định lí 1.1.11 thì

pnm = |G| = |N (H)| [G : N (H)] = t|N (H)|

H là nhóm con chuẩn tắc của N (H) nên cấp của H là ước của |N (H)| Lại

có |H| = pn, vậy thì t - p Để chứng minh P liên hợp với H, ta chứng minh

P là một trong các nhóm Hi Với mỗi Hi, gọi Hi là tập tất cả các nhóm con

P -liên hợp với Hi Rõ ràng, hai nhóm là P -liên hợp thì cũng là G-liên hợp nên

Hi ⊂ {H1, · · · , Ht} = S

Do đó ta có phân tích

S =

s[k=1

x ∈ Hi với mọi x ∈ P và do đó P ⊂ Hi Vì các Hi liên hợp với H nên cùng cấpvới H, nghĩa là chúng có cùng cấp pn Vậy P = Hi và ta suy ra H liên hợp với

(ii) Hai p-nhóm con Sylow của G thì đẳng cấu

(iii) H là một p-nhóm con Sylow duy nhất của G nếu và chỉ nếu H là nhóm conchuẩn tắc của G

(iii) Giả sử H là một p-nhóm con Sylow duy nhất của G Theo (i), xHx−1 với

x ∈ G cũng là một p-nhóm con Sylow của G Vậy thì H = xHx−1 với mọi

x ∈ G Do đó H là một nhóm con chuẩn tắc của G Ngược lại, giả sử H

là một p-nhóm con Sylow và là nhóm con chuẩn tắc của G Gọi P là mộtp-nhóm con Sylow của G Theo Định lí 1.3.15, P liên hợp với H, vậy thìtồn tại x ∈ G để P = xHx−1 Do H là nhóm con chuẩn tắc nên H = xHx−1.Vậy thì P = H hay H là p-nhóm con Sylow duy nhất của G

Định lý 1.3.17 (Định lí Sylow thứ ba) Số các p-nhóm con Sylow của mộtnhóm hữu hạn G là ước của |G| và nó có dạng 1 + pk với k là một số nguyênkhông âm nào đó

Chứng minh Giả sử

S = {H1, H2, , Ht}

là tập tất cả các p-nhóm con Sylow của G Theo Định lí 1.3.15 và Hệ quả 1.3.16(i)thì S là một lớp tương đương theo quan hệ G-liên hợp Theo Định lí 1.3.13, sốphần tử của S là ước của |G| Ta đặt P = H1 và xét quan hệ P -liên hợp trong

S Theo Định lí 1.3.15, S là hợp của các lớp tương đương của quan hệ P -liênhợp trong S Lại theo Định lí 1.3.13 thì số phần tử của mỗi lớp tương đươngnày là ước của |P |, mà P là một p-nhóm con Sylow, vậy thì nó là một lũy thừacủa p Lại theo Định lí 1.3.15, nếu lớp tương đương chứa Hi chỉ gồm một phần

tử thì Hi = P Ngược lại, vì P = xP x−1 = P với mọi x ∈ P nên lớp tương

đương chứa P chỉ có một phần tử duy nhất là P Vậy chỉ có duy nhất một lớptương đương gồm một phần tử là lớp chứa P , còn các lớp tương đương khác có

số phần tử là lũy thừa dương của p Do đó t = 1 + pk với k là một số nguyênkhông âm nào đó Ta chứng minh được định lí

Khi đó G được gọi là tích nửa trực tiếp của N và K

Ví dụ 1.4.2 (S3 là một tích nửa trực tiếp) Ta có thể biểu diễn nhóm cácphép thế của 3 phần tử S3 dưới dạng

S3 =e, a, a2, b, ab, a2b ,

ở đó e là ánh xạ đồng nhất và a = 1 2 3

2 3 1

!, b = 1 2 3

2 1 3

!.Đặt N =e, a, a2 , K = {e, b} Dễ kiểm tra được N là nhóm con chuẩn tắc của

S3 và K là nhóm con của S3, thỏa mãn N ∩ K = {e}, N K = S3 Do vậy S3 làtích nửa trực tiếp của N và K

Ví dụ 1.4.3 (Dn là một tích nửa trực tiếp) Nhóm thay phiên Dn sinh bởiphần tử σ cấp n và phần tử τ cấp 2, thỏa mãn τ σ = σ−1τ Ta có hσi là nhómcon chuẩn tắc của Dn, hτ i là nhóm con của Dn và hσi ∩ hτ i = {e}, hσi hτ i = Dn

Do vậy Dn là tích nửa trực tiếp của các nhóm con cyclic cấp n và cấp 2

Mô tả trên cho ta một tích trực tiếp trong Dưới đây ta sử dụng tự đẳngcấu nhóm để có một định nghĩa tổng quát cho tích nửa trực tiếp ngoài.Định nghĩa 1.4.4 Cho G là một nhóm nhân và X là một nhóm cộng Giả sử

µ : G −→ Aut(X) là một đồng cấu nhóm Tích nửa trực tiếp của X và Gtheo quan hệ µ được định nghĩa bởi

X oµ G := {(x, a) | x ∈ X, a ∈ G}

(i) Tích nửa trực tiếp X oµ G là một nhóm.

(ii) Tập K = {(x, a) ∈ X oµ G | x = 0} là một nhóm con của X oµG đẳng cấuvới G

(iii) Tập N = {(x, a) ∈ X oµ G | a = e} là một nhóm con chuẩn tắc của X oµGđẳng cấu với X, và (X oµG)/N đẳng cấu với G

Chứng minh

(i) Ta có

((x1, a1)(x2, a2))(x3, a3) = (x1+ µ(a1)(x2), a1a2)(x3, a3)

= ((x1+ µ(a1)(x2)) + µ(a1a2)(x3), (a1a2)a3)và

(x1, a1)((x2, a2)(x3, a3)) = (x1, a1)(x2+ µ(a2)(x3), a2a3)

= (x1+ µ(a1)(x2+ µ(a2)(x3)), a1(a2a3))

và hai phần tử trên là bằng nhau vì

µ(a1)(x2)+µ(a1a2)(x3) = µ(a1)(x2)+µ(a1)µ(a2)(x3) = µ(a1)(x2+µ(a2)(x3)).Vậy phép toán có tính kết hợp

Phần tử (0, e) là phần tử đơn vị, và nghịch đảo của (x, a) là (µ(a)−1(−x), a−1)vì

(iii) Rõ ràng X đẳng cấu với N Ta xác định π : X oµG −→ G bởi π(x, a) = a,với mọi (x, a) ∈ X oµ G Ta có

π((x, a)(y, b)) = π(x + µ(a)(b), ab)

= ab = π(x, a)π(y, b),với mọi (x, a), (y, b) ∈ X oµ G Vậy thì π là một đồng cấu và ta có

Kerπ = N, Imπ = G

Vậy thì N là một nhóm con chuẩn tắc của X oµG và (X oµ G)/N ∼= G

Nhận xét 1.4.6

(i) Với mỗi nhóm nhân G và nhóm cộng X, luôn tồn tại đồng cấu tầm thường

µ : G −→ Aut(X) biến mỗi phần tử của G thành ánh xạ đồng nhấttrong Aut(X) Với đồng cấu này, tích nửa trực tiếp X oµG trở thành tíchtrực tiếp X × G

(ii) Trong định nghĩa trên, ta viết G là nhóm nhân, X là nhóm cộng, tuy nhiêntrong thực tế, các phép toán của G và X không nhất thiết là nhân và cộng.(iii) Trong trường hợp G là tích nửa trực tiếp trong của N và K, ta xét ánh xạ

µ : K −→ Aut(N ), với

µk : N −→ N

n 7−→ knk−1,với k ∈ K, n ∈ N Khi đó G ∼= N oµ K bởi đẳng cấu:

1.4 Tích nửa trực tiếp 30

(iv) Giả sử ta có tích nửa trực tiếp X oµG và các nhóm con K, N của X oµGxác định như trong Mệnh đề 1.4.5 Khi đó X oµ G là tích nửa trực tiếptrong của N và K

Ví dụ 1.4.7 Xét X là nhóm Zn với n ≥ 2 Ta đã chứng minh Aut(X) ∼= Z×n,

và nếu µ : Z×n −→ Aut(X) là đẳng cấu xác định như trong Ví dụ 1.1.22, ta cóµ(a)(m) = am, với mọi a ∈ Z×n và mọi m ∈ Zn Khi đó ZnoµZ×n có phép nhân

(m1, a1)(m2, a2) = (m1+ a1m2, a1a2)

Nếu n là nguyên tố, ta gọi Zn oµZ×n là "holomorph" của Zn, kí hiệu bởi Hn

Ví dụ 1.4.8 Ta đã chứng minh Dn là một tích nửa trực tiếp trong Bây giờđặt

a21 ∈ Zn, a22 = ±1 ∈ Z×n

).Nếu n > 2, thì |G| = 2n và với

1 1

!, B = 1 0

0 −1

!

thì A có cấp n, B có cấp 2 và BA = A−1B Do đó G đẳng cấu với Dn và suy ra

Dn có cấu trúc như một tích nửa trực tiếp ngoài

Định nghĩa 1.4.9 Nhóm (G, ) được gọi là tác động lên tập X nếu có mộtánh xạ

G × X −→ X(g, x) 7−→ gx,sao cho với mọi g, h ∈ G và x ∈ X ta có

(gh)x = g(hx)

ex = x

Định nghĩa 1.4.10 Giả sử G là một nhóm và X là một nhóm cộng Nếu Gtác động trên X và a(x + y) = ax + ay với mọi a ∈ G và x, y ∈ X thì ta nói Gtác động tuyến tính trên X

Mệnh đề 1.4.11 Giả sử G là một nhóm và X là một nhóm cộng Khi đó mộtđồng cấu nhóm từ G vào nhóm Aut(X) tất cả các tự đẳng cấu của X xác định

một tác động tuyến tính của G trên X Ngược lại, mọi tác động tuyến tính của

G trên X đều sinh ra theo cách này

Chứng minh Xét X là một nhóm cộng và đồng cấu φ : G −→ Aut(X) Khi đóvới mỗi a ∈ G thì hàm λa = φ(a) phải là một đồng cấu nhóm Vậy thì với mọi

x, y ∈ X, ta có λa(x + y) = λa(x) + λa(y) Từ đó a(x + y) = ax + ay và ta đượcmột tác động tuyến tính trên X theo định nghĩa

Ngược lại, giả sử rằng G tác động tuyến tính trên X, và a ∈ G Rõ ràng

λa xác định bởi λa(x) = ax với x ∈ X phải là một đồng cấu nhóm Do đó φxác định bởi φ(a) = λa là một ánh xạ từ G đến Aut(X)

Mệnh đề 1.4.12 Giả sử G là một nhóm nhân với nhóm con chuẩn tắc N vàgiả sử N là Abel Kí hiệu π : G −→ G/N là phép chiếu tự nhiên Khi đó cácđiều kiện sau là tương đương:

(i) Có một nhóm con K của G sao cho N ∩ K = {e} và N K = G

(ii) Có một đồng cấu  : G/N −→ G sao cho π = 1G/N

(iii) Có một đồng cấu µ : G/N −→ Aut(N ) sao cho N oµ(G/N ) ∼= G

Chứng minh (i) ⇒ (ii) Kí hiệu ϕ : K −→ G/N là hạn chế của π trên K

Ta có Ker(ϕ) = Ker(π) ∩ K = N ∩ K = {e} ϕ là toàn ánh bởi nếu g ∈ G,

vì G = N K nên tồn tại a ∈ N, b ∈ K để g = ab, và vì vậy g ∈ N b, thế thì

N g = ϕ(b) Nếu lấy  = ϕ−1 thì π = ϕϕ−1 là hàm đồng nhất trên G/N

(ii) ⇒ (iii) Xác định µ : G/N −→ Aut(N ) Với a ∈ G/N , xác định µ(a) bởiµ(a)(x) = (a)x(a)−1, với mọi x ∈ N Nhận thấy rằng µ(a)(x) ∈ N do N lànhóm con chuẩn tắc của G Với mọi a ∈ G/N và với mọi x, y ∈ N , ta có

π(x) = π(g)π(π(g−1)) = π(g)π(g−1) = e,vậy thì x ∈ N Có φ((x, a)) = x(a) = g(π(g−1))(π(g)) = g, suy ra φ là

toàn ánh

Cuối cùng, ta phải chứng minh φ là một đồng cấu nhóm Ta có

φ((x1, a1)(x2, a2)) = φ((x1µ(a1)(x2), a1a2))

= φ((x1(a1)x2(a1)−1, a1a2))

= (x1(a1)x2(a1)−1)(a1a2)

= x1(a1)x2(a1)−1(a1)(a2)

= x1(a1)x2(a2)

= φ((x1, a1))φ((x2, a2)),với (x1, a1), (x2, a2) ∈ N oµG/N Vậy φ là một đẳng cấu và ta có N oµG/N ∼= G.(iii) ⇒ (i) Nếu G ∼= N oµ (G/N ) thì ta có các nhóm con {(x, e)} ∼= N và{(e, a)} ∼= G/N , suy ra ngay (i)

(iii) Giả sử |G| = p2q, với p, q là các số nguyên tố Khi đó G đẳng cấu với tích nửatrực tiếp của các nhóm con Sylow của nó

Chứng minh

(i) Bởi phép chiếu tự nhiên ta xác định một đồng cấu H −→ G −→ G/N vớihạch H ∩ N Do H ∩ N = {e} và |H| = [G : N ] nên đồng cấu này xác địnhmột đẳng cấu, và vì vậy mỗi lớp trái của G/N có dạng hN với h ∈ H Với

g ∈ G bất kì, ta có g ∈ hN với h ∈ H, vì vậy G = HN và ta có G ∼= N o H.(ii) Vì P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G nên |P | = pn và theo Hệ quả1.3.16, P là nhóm con chuẩn tắc của G Q là q-nhóm con Sylow của Gnên |Q| = qm = |G| : |P | và rõ ràng P ∩ Q = {e} Từ (i) ta có ngay

G ∼= P o Q Nếu Q0 là một q-nhóm con Sylow khác thì theo Định lí 1.3.15,

Q0 là liên hợp với Q và vì vậy Q0 = gQg−1 với g ∈ G Nhắc lại rằngtác động của Q trên P được cho bởi a ∗ x = axa−1, với mọi a ∈ Q vàmọi x ∈ P Xác định Φ : P o Q −→ P o Q0 bởi Φ(x, a) = (gxg−1, gag−1),với mọi x ∈ P, a ∈ Q Ánh xạ này là xác định được vì P là chuẩn tắc và

1.4 Tích nửa trực tiếp 34

Bổ đề 1.4.14 Giả sử G, X là các nhóm và α, β : G −→ Aut(X), µ, η là cáctác động tuyến tính tương ứng của G trên X Khi đó X oµ G ∼= X oη G nếutồn tại φ ∈ Aut(G) thỏa mãn β = αφ

Chứng minh Giả sử rằng φ ∈ Aut(G) với β = αφ Với mọi a ∈ G thì ta luôn

có β(a) = α(φ(a)), và vì vậy với x ∈ X ta có η(a, x) = µ(φ(a), x) Xác định

Φ : X oη G −→ X oµG bởi Φ(x, a) = (x, φ(a)) với mọi x ∈ X và a ∈ G Do φ

là một tự đồng cấu nên rõ ràng Φ là một song ánh Với x1, x2 ∈ X và a1, a2 ∈ G

ta có

Φ((x1, a1))Φ((x2, a2)) = (x1, φ(a1))(x2, φ(a2))

= (x1µ(φ(a1), x2), φ(a1)φ(a2))

= (x1η(a1, x2), φ(a1a2)) = Φ(x1η(a1, x2), a1a2))

= Φ((x1, a1)(x2, a2))

Vậy Φ là một đồng cấu và rõ ràng là một đẳng cấu Do đó X oηG ∼= X oµG

Ví dụ 1.4.15 Nhóm A4 có cấp là 4! : 2 = 12 Ta tìm được các phần tử của A4gồm ánh xạ đồng nhất e, có 3 phép thế

là 2-nhóm con Sylow duy nhất của A4 và A4/V ∼= Z3 Ta cũng kiểm tra được

H = {e, (1 2 3), (1 3 2)}

là một nhóm con của A4 Rõ ràng H ∩ V = {e} và |H| = [A4 : V ] Ta thu được

A4 ∼= V o H

... Nếu Gtác động X a(x + y) = ax + ay với a ∈ G x, y ∈ X ta nói Gtác động tuyến tính X

Mệnh đề 1.4.11 Giả sử G nhóm X nhóm cộng Khi mộtđồng cấu nhóm từ G vào nhóm Aut(X) tất tự đẳng cấu X xác... tuyến tính của

G X sinh theo cách

Chứng minh Xét X nhóm cộng đồng cấu φ : G −→ Aut(X) Khi đ? ?với a ∈ G hàm λa = φ(a) phải đồng cấu nhóm Vậy với

x, y ∈ X, ta có λa(x... xác định λa(x) = ax với x ∈ X phải đồng cấu nhóm Do φxác định φ(a) = λa ánh xạ từ G đến Aut(X)

Mệnh đề 1.4.12 Giả sử G nhóm nhân với nhóm chuẩn tắc N vàgiả sử N Abel