Phân lớp các nhóm hữu hạn với cấp nhỏ

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH QUNH NGA PHN LP CC NHểM HU HN VI CP NH LUN VN THC S TON HC H NI, NM 2017 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH QUNH NGA PHN LP CC NHểM HU HN VI CP NH Chuyờn ngnh : I S V Lí THUYT S Mó s : 60.46.01.04 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Tin Mnh H NI, NM 2017 Mc lc MC LC LI CM N LI M U Cỏc nh lớ Sylow v tớch na trc tip cỏc nhúm 1.1 Cỏc khỏi nim c bn v nhúm 1.1.1 Nhúm 1.1.2 Nhúm 1.1.3 Nhúm chun tc, nhúm thng 1.1.4 ng cu nhúm Mt s nhúm c bit 11 1.2.1 Nhúm cyclic cp n 11 1.2.2 Nhúm i xng Sn 14 1.2.3 Nhúm thay phiờn An 17 1.2.4 Nhúm nh din Dn 18 1.2.5 Nhúm quaternion Q8 19 1.3 p-nhúm v cỏc nh lớ Sylow 20 1.4 Tớch na trc tip 27 1.2 Phõn lp nhúm Abel hu hn 36 2.1 Cu trỳc nhúm Abel hu hn 36 2.2 S phõn lp cỏc nhúm Abel 52 Phõn lp nhúm hu hn 58 3.1 Phõn lp cỏc nhúm cp p2 v 2p 58 3.2 Phõn lp nhúm cp pq 60 3.3 Phõn lp nhúm cp 8, 12, 18, 20 64 Kt lun 70 Ti liu tham kho 72 LI CM N hon thnh lun ny, tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n TS Nguyn Tin Mnh v TS Trng Th Hng Thanh, nhng ngi ó luụn quan tõm v tn tỡnh hng dn sut quỏ trỡnh nghiờn cu ca tỏc gi Tỏc gi cng xin gi li cm n ti cỏc thy cụ khoa Toỏn, c bit cỏc thy cụ b mụn i s ó giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun ng thi, tỏc gi xin gi li cm n ti cỏc thy cụ Khoa o to Sau i hc, Ban giỏm hiu Trng i hc S phm H Ni ó to mi iu kin cho tỏc gi thi gian hc ti trng Cui cựng, xin cm n n gia ỡnh, bn bố, c bit l cỏc thnh viờn lp i s K25, ó ng viờn v c v tỏc gi rt nhiu sut thi gian va qua Do hn ch v trỡnh v thi gian, lun khụng th trỏnh nhng thiu sút nht nh Tỏc gi rt mong nhn c nhng gúp ý quý giỏ ca thy cụ v bn c lun c hon chnh hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n H Ni, thỏng 05 nm 2017 Hc viờn Nguyn Th Qunh Nga LI M U Phõn lp cỏc i tng toỏn hc l mt cụng vic rt cn thit m cỏc nh Toỏn hc luụn mun nghiờn cu Trong lớ thuyt nhúm, vic phõn lp cỏc nhúm hu hn úng mt vai trũ quan trng Mt kt qu rt quan trng ca i s ó c chng minh rng: Mi nhúm Abel hu hn u cú phõn tớch tiờu chun nht, sai khỏc mt ng cu Ngoi ra, ngi ta cú th phõn lp cỏc nhúm hu hn bt kỡ cú cp lờn ti khong 500, tc l i tỡm ht tt c cỏc dng nhúm cp n, vi n no ú, sai khỏc mt ng cu Trờn c s cỏc ti liu cú phn ti liu tham kho, tỏc gi s trỡnh by cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn ca nhúm, mt vi nhúm lm cht liu cho vic phõn lp nhúm; cỏc nh lớ, kt qu lm c s cho cỏch phõn lp mt nhúm Abel hu hn cp n v thc hin vic phõn lp cho cỏc nhúm hu hn vi cp c th Ngoi phn m u, kt lun v ti liu tham kho, lun gm cỏc chng sau: Chng I: Cỏc nh lớ Sylow v tớch na trc tip cỏc nhúm, trỡnh by cỏc khỏi nim v mt vi tớnh cht c bn ca nhúm: p-nhúm v cỏc nh lớ Sylow; tớch na trc tip cỏc nhúm v mt s nhúm c bit lm cht liu cho vic phõn lp nhúm Chng II: Phõn lp nhúm Abel hu hn, trỡnh by v s phõn tớch nhúm Abel hu hn, cỏc khỏi nim v kt qu liờn quan Trỡnh by phng phỏp tỡm tt c cỏc nhúm Abel cp n cho trc (sai khỏc mt ng cu) v mt s vớ d c th Chng III: Phõn lp nhúm hu hn, trỡnh by v s phõn lp cỏc nhúm khụng Abel, t ú trỡnh by v bi toỏn phõn lp nhúm vi cp n 23 Chng Cỏc nh lớ Sylow v tớch na trc tip cỏc nhúm Chng ny trung trỡnh by cỏc nh lớ Sylow v cỏc p-nhúm v trỡnh by mt s kt qu v tớch trc tip cỏc nhúm, ng thi trỡnh by v mt s nhúm hu hn c bit Cỏc kt qu ny c s dng cho bi toỏn phõn lp nhúm Chng v Chng Trc ht tin theo dừi, ta nhc li cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn v nhúm 1.1 Cỏc khỏi nim c bn v nhúm Mc ny trỡnh by s lc cỏc khỏi nim v tớnh cht c bn v nhúm m khụng trỡnh by cỏc chng minh Chi tit cỏc chng minh bn c cú th xem [4] v [5] 1.1.1 Nhúm nh ngha 1.1.1 Tp G c trang b phộp toỏn , c kớ hiu bi (G, ), c gi l mt nhúm nu tha tiờn : (i) (x y) z = x (y z) vi mi x, y, z G (ii) Tn ti phn t trung hũa e G, tc l e x = x e = x vi mi x G (iii) Vi mi x G u tn ti phn t i xng x , tc l x x = x x = e Nu cú tớnh cht giao hoỏn thỡ G c gi l mt nhúm giao hoỏn hay nhúm Abel Nu nhúm G cú vụ hn phn t thỡ G gi l cú cp vụ hn Nu 1.1 Cỏc khỏi nim c bn v nhúm G cú n < phn t thỡ G c gi l mt nhúm cp n, kớ hiu cp ca G l |G| Ta thng s dng du cng "+" hay du nhõn "." thụng thng kớ hiu phộp toỏn nhúm (i) Nu phộp toỏn c kớ hiu theo du cng "+" thỡ phn t trung hũa c gi l phn t khụng, kớ hiu l Phn t i xng ca x c kớ hiu bi x, gi l phn t i ca x Vi n nguyờn dng thỡ kớ hiu nx = x + x + ã ã ã + x l tng ca n phn t x, (n)x = (nx) v 0x = (ii) Nu phộp toỏn c kớ hiu theo du nhõn "." thỡ phn t trung hũa c gi l phn t n v, kớ hiu bi e Phn t i xng ca x c kớ hiu bi x1 , gi l phn t nghch o ca x Tớch x.y cú th vit gn l xy Vi n nguyờn dng thỡ kớ hiu xn = xx ã ã ã x l tớch ca n phn t x, xn = (xn )1 v x0 = e Vớ d 1.1.2 (i) Tp cỏc s nguyờn Z, cỏc s hu t Q, cỏc s thc R, cỏc s phc C vi phộp cng thụng thng u l cỏc nhúm Abel cp vụ hn (ii) (Zn , +) l mt nhúm Abel cp n, ú Zn l tt c cỏc lp ng d modulo n (iii) Kớ hiu Sn l tt c cỏc song ỏnh t A = {1, 2, , n} vo chớnh nú Sn lp thnh mt nhúm vi phộp nhõn ỏnh x, gi l nhúm i xng bc n, mi phn t ca Sn c gi l mt phộp th bc n Nhúm ny l mt nhúm khụng Abel cp n! (iv) Tp cỏc ma trn vuụng cp n khụng suy bin trờn trng s thc R, kớ hiu bi GLn (R), lp thnh mt nhúm vi phộp nhõn ma trn, gi l nhúm tuyn tớnh tng quỏt bc n Nhúm ny l mt nhúm khụng Abel 1.1 Cỏc khỏi nim c bn v nhúm (v) Nu G1 , G2 l nhúm thỡ G1 ì G2 = {(a, b) | a G1 , b G2 } cng l mt nhúm vi phộp toỏn: (a, b).(c, d) = (ac, bd) Nhúm ny gi l tớch trc tip ca G1 v G2 Mnh 1.1.3 Nu nhúm (G, ) luụn cú a2 = e vi mi a G thỡ G l mt nhúm Abel Chng minh Vi mi a G thỡ a2 = e, ú a = a1 Mt khỏc, vi mi a, b G thỡ ab G v (ab)2 = e Do ú ab = b1 a1 = ba Vy G l mt nhúm Abel 1.1.2 Nhúm nh ngha 1.1.4 B phn A khụng rng ca nhúm G c gi l mt nhúm ca G nu A cựng vi phộp toỏn G thu hp trờn A to thnh mt nhúm Mnh 1.1.5 Gi s A l mt b phn khỏc rng ca mt nhúm (G, ) Khi ú cỏc khng nh sau l tng ng: (i) A l mt nhúm ca G (ii) Vi mi x, y A thỡ xy A v x1 A (iii) Vi mi x, y A thỡ x1 y A Vớ d 1.1.6 (i) i vi nhúm G, bn thõn G v E = {e} l nhng nhúm con, c gi l nhúm tm thng ca G (ii) Tp SLn (R) cỏc ma trn vuụng thc cp n cú nh thc bng l mt nhúm ca nhúm tuyn tớnh tng quỏt GLn (R) Nhúm SLn (R) c gi l nhúm tuyn tớnh c bit (iii) Trong nhúm (Z, +), nZ = {x | x = na, a Z} l mt nhúm vi mi n N (iv) Nhúm i xng Sn l nhúm ca nhúm Sm vi n m (v) Nhúm tuyn tớnh tng quỏt GLn (R) l mt nhúm ca nhúm GLm (R) vi n m 1.1 Cỏc khỏi nim c bn v nhúm nh lý 1.1.7 Giao ca mt h tựy ý cỏc nhúm ca mt nhúm G cng l mt nhúm ca G nh ngha 1.1.8 Gi s S l mt khỏc rng ca nhúm G Nhúm nht ca G cha S c gi l nhúm sinh bi S v kớ hiu l S Trong trng hp S = G thỡ ta núi rng S l mt h sinh ca G hay G c sinh bi S H sinh S ca G c gi l h sinh cc tiu nu nh mi thc s ca S u khụng l h sinh ca G Nhn xột 1.1.9 Xột nhúm G cú phn t trung hũa e v a G Nu khụng cú mt s nguyờn dng n cho an = e thỡ nhúm sinh bi a l vụ hn Trỏi li, gi m l s nguyờn dng nht cho am = e, th thỡ nhúm sinh bi a cú m phn t nh ngha 1.1.10 Xột nhúm G cú phn t trung hũa e v a G Gi A l nhúm sinh bi a Phn t a gi l cú cp vụ hn nu A vụ hn; trng hp ny khụng cú s nguyờn dng n no cho an = e Phn t a c gi l cú cp m nu A cú cp m; trng hp ny m l s nguyờn dng nh nht cho am = e Phn t a cú cp v ch a = e Cp ca phn t a c kớ hiu bi o(a) 1.1.3 Nhúm chun tc, nhúm thng Gi s H l mt nhúm ca nhúm (G, ) v x G Khi ú cỏc ca G xH = {xa | a H} v Hx = {ax | a H} ln lt gi l mt lp ghộp trỏi v lp ghộp phi ca H G cú i din x Khi ú hai lp ghộp trỏi (phi) bt kỡ hoc trựng hoc ri Kớ hiu cỏc lp ghộp trỏi ca H l G/H := {x = xH | x G} , v gi l thng ca G theo nhúm H nh lý 1.1.11 (nh lớ Lagrange) Cho G l mt nhúm hu hn v H l nhúm ca G Khi ú, cp ca G chia ht cho cp ca H Chng Phõn lp nhúm hu hn Trong chng ny, tỏc gi trỡnh by v phõn lp cỏc nhúm hu hn theo tng cp Chng 2, ta ó xột n cỏc nhúm Abel Chng ny trung xột cỏc nhúm khụng Abel Trong khuụn kh lun vn, tỏc gi trỡnh by phõn lp nhúm n cp 23 T Nhn xột 1.2.3 v Mnh 1.2.5, ta rỳt kt qu rng: Mi nhúm hu hn cp nguyờn t u l nhúm Abel Vy thỡ phm vi t n 23, ta s khụng cn xột n cỏc nhúm hu hn cú cp 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 Bõy gi ta ln lt xột n cỏc nhúm hu hn vi cp c th theo th t tng dn ca cp Trc tiờn, ta i phõn loi nhúm cú cp c bit 3.1 Phõn lp cỏc nhúm cp p2 v 2p nh lý 3.1.1 Mi nhúm cú cp p2 vi p nguyờn t u l nhúm Abel Chng minh Gi s nhúm G khụng Abel v |G| = p2 Khi ú C(G) = G Vy thỡ tn ti a G \ C(G) Rừ rng C(a) l mt nhúm ca G, cha a v C(G) Vỡ |G| = p2 nờn G l mt p-nhúm Ta ó cú cụng thc lp |G| = |C(G)| + [G : C(x)] Vỡ x / C(G) nờn [G : C(x)] > v rừ rng [G : C(x)] l c ca |G| Vy thỡ cỏc [G : C(x)] u chia ht cho p T ú ta cng cú p | |C(G)|, vy |C(G)| p v suy |C(a)| > p Cú |C(a)| p2 , |C(a)| > p, |C(a)| | p2 Vy |C(a)| = p2 , suy a C(G), mõu thun Vy nhúm G l Abel T nh lớ trờn v H qu 2.2.1, ta cú c h qu: 3.1 Phõn lp cỏc nhúm cp p2 v 2p 59 H qu 3.1.2 Mt nhúm cp p2 vi p nguyờn t ch cú th l nhúm Abel v cú hai kiu nhúm Abel vi i din l Zp2 v Zp ì Zp H qu 3.1.3 p dng H qu 3.1.2 cho cỏc nhúm cp 4, 9, 25, 49, ta cú: (i) Cú hai kiu nhúm cp vi i din l Z4 v Z2 Z2 (ii) Cú hai kiu nhúm cp vi i din l Z9 v Z3 Z3 (iii) Cú hai kiu nhúm cp 25 vi i din l Z25 v Z5 Z5 (iv) Cú hai kiu nhúm cp 49 vi i din l Z49 v Z7 Z7 Tip theo ta i phõn loi cỏc nhúm cp 2p vi p l mt s nguyờn t, p > Mnh 3.1.4 Cho p l s nguyờn t, p > 2, G l nhúm cp 2p Khi ú G hoc l nhúm cyclic ng cu vi Z2p , hoc l khụng abel v ng cu vi nhúm nh din Dp Chng minh Bi nh lớ 1.3.13, G cha phn t a cp p v phn t b cp Nhúm cyclic a cú ch s l G, theo Vớ d 1.1.14 thỡ nú l mt nhúm chun tc Vỡ vy bab1 a , tc l bab1 = an vi n l s nguyờn no ú Li b2 = e nờn b = b1 , suy bab = an Th thỡ a = b(bab)b = ban b = an Vỡ phn t a cú cp p nờn t ng thc a = an ta c n2 1(mod p), suy n 1(mod p), vy bab1 = a hoc bab1 = a1 Trong trng hp u ta suy c ab = ba, theo Mnh 1.2.8 thỡ ab cú cp 2p, suy G l cyclic v ng cu vi Z2p Vi trng hp th hai, cú ba = a1 b, theo nh lớ 1.2.22 thỡ G = Dp H qu 3.1.5 p dng Mnh 3.1.4 cho cỏc nhúm cp 6; 10; 14; 22, ta c: (i) Cú hai kiu nhúm cp 6, hoc l cyclic v ng cu vi Z6 , hoc khụng Abel v ng cu vi D3 Bng cỏch lit kờ phn t, ta thy c D3 = S3 Vy thỡ mi nhúm khụng Abel cp u ng cu vi S3 (ii) Cú hai kiu nhúm cp 10, hoc l cyclic v ng cu vi Z10 , hoc khụng Abel v ng cu vi D5 (iii) Cú hai kiu nhúm cp 14, hoc l cyclic v ng cu vi Z14 , hoc khụng Abel v ng cu vi D7 3.2 Phõn lp nhúm cp pq 60 (iv) Cú hai kiu nhúm cp 22, hoc l cyclic v ng cu vi Z22 , hoc khụng Abel v ng cu vi D11 3.2 Phõn lp nhúm cp pq Mnh 3.2.1 Gi s G l mt nhúm cp pq vi p > q l cỏc s nguyờn t Khi ú nu q (p 1) thỡ G phi l nhúm cyclic Chng minh Theo nh lớ 1.3.17, s p-nhúm Sylow ca G phi l c ca q v ng d vi theo mod p, vy thỡ nú phi bng hoc q Vỡ p > q nờn q 1(mod p) Vy thỡ cú nht mt p-nhúm Sylow, theo H qu 1.3.16 v Mnh 1.2.5 thỡ nú ng thi l nhúm chun tc v l cyclic, ta kớ hiu l a Theo nh lớ 1.3.13, tn ti mt phn t b cp q v ú b l mt q-nhúm Sylow Nu q (p 1) thỡ ch cú nht mt q-nhúm Sylow v ú b l chun tc, th thỡ ab cú cp pq v G l cyclic H qu 3.2.2 Mi nhúm cp 15 u l nhúm Abel Ch cú mt kiu nhúm Abel cp 15 cú i din l Z15 Chng minh Ta cú 15 = 5.3 v p dng Mnh 3.2.1, ta cú nhúm cp 15 phi l nhúm cyclic, v vy l nhúm Abel Chng ta ó ch ra, nhúm Abel cp 15 ch cú mt kiu nhúm vi i din l Z15 Mnh 3.2.3 Gi s p, q l cỏc s nguyờn t tha p > q v q | (p 1) Khi ú, ch cú hai kiu nhúm cp pq l: (i) Nhúm Abel Zpq (ii) Nhúm khụng Abel Zp Zq , ú : Zq Aut(Zp ) l mt ng cu khụng tm thng Trc chng minh mnh trờn, ta cú b sau: B 3.2.4 Gi s G, H l cỏc nhúm v f : G H, g : H G l cỏc ng cu tha f g = idH Khi ú G = Kerf H, 3.2 Phõn lp nhúm cp pq 61 ú : H Aut(Kerf ) cho bi à(b)(a) := g(b)ag(b)1 vi a Kerf, b H Chng minh Xột hai ỏnh x : Kerf H G (a, b) ag(b), : G Kerf H m (mgf (m1 ), f (m)) nh ngha c vỡ f (mgf (m1 )) = f (m)f gf (m1 ) = f (m)f (m1 ) = e, ú mgf (m1 ) Kerf Cú th kim tra c , l cỏc ng cu nhúm Chng hn: vi (a, b), (c, d) Kerf H, ta cú (a, b)(c, d) = (aà(b)(c), bd) = (ag(b)cg(b)1 , bd) Do ú ((a, b)(c, d)) = ag(b)cg(b)1 g(bd) = ag(b)cg(b1 )g(b)g(d) = ag(b)cg(d) = (a, b)(c, d) Mt khỏc cng iu kin f g = idH nờn d kim tra c rng = idG v = idKerf àH Vy v l cỏc ng cu v ú G = Kerf H Chng minh Mnh 3.2.3 Xột G l mt nhúm cp pq Theo nh lớ 1.3.17, s cỏc p-nhúm Sylow ca G cú dng + pk vi k l mt s nguyờn khụng õm 3.2 Phõn lp nhúm cp pq 62 no ú Li theo H qu 1.1.12 thỡ + pk phi l c ca pq Vy thỡ + pk = hoc + pk = q Do gi thit p > q nờn q 1(mod p), vy thỡ + pk = Vy G ch cú mt p-nhúm Sylow, ta gi ú l P Theo H qu 1.3.16 thỡ P l nhúm chun tc ca G Gi Q l mt q-nhúm Sylow ca G Ta xỏc nh c ỏnh x thng f : G G/P cú hn ch f|Q : Q G/P Chỳ ý rng Ker(f|Q ) = Kerf Q = P Q = {e} Vy f|Q l mt n cu Vỡ |Q| = q = |G : P | nờn f|Q l mt ng cu Ta cú ng cu g : G/P Q G, ú (f|Q )1 : G/P Q T f g = idG/P , ỏp dng B 3.2.4 ta c G =P G/P vi ng cu : G/P Aut(P ) Cng cú P = Zp v G/P = Zq , ú G = Zp Zq vi : Zq Aut(Zp ) Nu l ng cu tm thng thỡ G = Zp ì Zq Nu l ng cu khụng tm thng thỡ G l mt nhúm khụng Abel Chỳ ý rng t q | (p 1) nờn tn ti mt ng cu khụng tm thng B 1.4.14 ta ó chng minh vi ng cu khụng tm thng , : Zq Aut(Zp ) thỡ Zq = Zp Zq Vy G l nhúm khụng Abel thỡ G = Zp Zq Zp 3.2 Phõn lp nhúm cp pq 63 H qu 3.2.5 Cú hai kiu nhúm cp 21 l nhúm Abel Z21 v nhúm khụng Abel Z7 Z7 Z3 , ú : Z3 Aut(Z7 ) l mt ng cu khụng tm thng Nhúm Z3 cú th vit di dng G = x, y | x = y = e, y xy = x Chng minh Xột G l nhúm cp 21 p dng Mnh 3.2.3, G = Z21 hoc G = Z7 Z3 , vi : Z3 Aut(Z7 ) l mt ng cu khụng tm thng Theo Vớ d 1.1.22, Aut(Z7 ) = Zì = Z6 , c th Aut(Z7 ) gm phn t fi : Z7 Z7 , xỏc nh bi fi (1) = i vi i = 1, , (phn t n v l f1 = idZ7 ) Vỡ cú cp l Z3 nờn 3à(1) = IdZ7 Do ú à(1) cú cp l c ca Aut(Z7 ) Do khụng tm thng nờn à(1) cú cp Vỡ vy à(1) = f2 hoc (1) = f4 Nu à(1) = f2 thỡ à(1)(a) = 2a, v ú à(b)(a) = à(b.1)(a) = (à(1))b (a) = 2b a Khi ú vi (a, b), (c, d) Z7 Z3 , ta cú (a, b)(c, d) = (a + à(b)(c), b + d) = (a + 2b c, b + d) t x = (1, 0), y = (0, 1), e = (0, 0) thỡ theo cụng thc trờn ta tớnh c x7 = y = e, xy = yx4 hay y xy = x4 T ú Z7 Z3 cú th vit di dng G1 = x, y | x7 = y = e, y xy = x4 Nu à(1) = f4 thỡ à(1)(a) = 4a, tng t nh trờn ta c à(b)(a) = 4b a Khi ú (a, b)(c, d) = (a+4b c, b+d), ta tớnh c x7 = y = e, xy = yx2 , hay y xy = x2 T ú Z7 Z3 cú th vit di dng G2 = x, y | x7 = y = e, y xy = x2 Ta thy hai nhúm G1 v G2 l nh nhau, nu ta thay x bi x2 G1 thỡ ta nhn c G2 Vy ch cú nht mt nhúm Z7 Z3 vi l ng cu khụng tm thng l G = x, y | x7 = y = e, y xy = x2 Vy cú hai kiu nhúm cp 21: G =P Q = Z7 Z3 = Z21 G = x, y | x7 = y = e, y xy = x2 3.3 Phõn lp nhúm cp 8, 12, 18, 20 3.3 64 Phõn lp nhúm cp 8, 12, 18, 20 Vi mc tiờu phõn lp cỏc nhúm cp khụng quỏ 23 cựng kt qu Chng v cỏc mc trc, thỡ chỳng ta cũn li cỏc nhúm cp 8, 12, 16, 18, 20 Trong lun ny, tỏc gi khụng trỡnh by bi toỏn phõn lp nhúm cp 16 Bi toỏn ny khỏ di vi 14 trng hp Xin dnh cho mt dp khỏc Di õy ta xột n bi toỏn phõn lp nhúm cp 8, 12, 18 v cp 20 Mnh 3.3.1 Mt nhúm khụng Abel cp ng cu vi D4 hoc Q8 Chng minh Gi s G l mt nhúm khụng Abel cp Nu G cha mt phn t cp thỡ G l cyclic v ú l Abel Nu mi phn t ca G cú cp hoc thỡ ta cú x2 = e vi mi x G, theo Mnh 1.1.3 thỡ G l mt nhúm Abel Vy thỡ G phi cha phn t cp Gi s a l mt phn t cp v t N = a Khi ú N cú ch s bng nờn cú lp N v bN , ú b / N Do vy tn ti mt phn t b cho G = N bN Vỡ N l chun tc Vớ d 1.1.14(iii), ta cú (bN )2 = N , vy thỡ b2 N Cng cú b4 = e G khụng cha phn t cp 8, vy thỡ (b2 )2 = e Trong N ch cú hai phn t tha x2 = e l e v a2 T ú suy b2 = e hoc b2 = a2 Tip theo ta chng minh bab1 cú cp v bab1 = a3 Ta cú (bab1 )4 = ba4 b1 = bb1 = e Nu (bab1 )2 = e thỡ ba2 b1 = e v vỡ th a2 = e, mõu thun vi gi thit a l phn t cp Vy thỡ phi cú o(bab1 ) = Nu bab1 = a thỡ ta cú ba = ab v G l Abel Vy bab1 = a3 Ta va chng minh G cha hai phn t a, b tha a4 = e, bab1 = a3 v b2 = e hoc b2 = a2 Nu a4 = e, b2 = e, bab1 = a3 , tc l a cp 4, b cp v ba = a3 b = a1 b, bi nh lớ 1.2.22 thỡ G ng cu vi nhúm D4 Nu a4 = e, b2 = a2 , bab1 = a3 thỡ theo nh lớ 1.2.24, G ng cu vi nhúm Q8 Vy mt nhúm khụng Abel cp hoc ng cu vi D4 hoc ng cu vi Q8 B 3.3.2 Ta cú mt s kt qu sau: (i) Nhúm cỏc t ng cu ca Z2 Z2 ng cu vi nhúm cỏc phộp th S3 (ii) Nhúm khụng Abel Z3 (Z2 Z2 ) ng cu vi nhúm D6 3.3 Phõn lp nhúm cp 8, 12, 18, 20 (iii) Nhúm khụng Abel (Z2 Z2 ) 65 Z3 ng cu vi nhúm A4 Chng minh (i) Ta cú Z2 Z2 = (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) Nu t (1, 0) = u1 , (0, 1) = u2 thỡ ta cú (1, 1) = u1 + u2 Rừ rng mt t ng cu Aut(Z2 Z2 ) s cho tng ng (0, 0) thnh chớnh nú Vy thỡ mt t ng cu ca nhúm Z2 Z2 hon ton c xỏc nh qua cỏch xỏc nh nh ca u1 , u2 Nhúm Aut(Z2 Z2 ) gm cỏc phn t nh sau: : u1 u1 : u1 u1 + u2 u2 u1 + u2 : u1 u1 + u2 u2 u2 : u1 u2 u2 u1 u2 u1 : u1 u2 u2 u1 + u2 v ng cu ng nht Ta cú biu din Aut(Z2 Z2 ) = {0 , , , , , } D dng kim tra c rng 33 = 35 = , 23 = , 25 = ; 21 = 22 = 24 = S dng cỏc kớ hiu theo Vớ d 1.2.11, ta cú S3 = {e, f1 , f2 , f3 , f4 , f5 }, ú f13 = f23 = e, f12 = f2 , f22 = f1 v f32 = f42 = f52 = e T cỏc biu din v tng ng trờn, ta cú Aut(Z2 Z2 ) = S3 (ii) Ta ó chng minh c D6 = H K, ú H = e, , l nhúm chun tc cp v K = e, , , l nhúm cp Cng ó cú, mi nhúm cp u Abel v ng cu vi Z3 , vy H = Z3 K l mt nhúm cp nờn ng cu vi Z4 hoc Z2 Z2 Ta kim tra trc tip c rng bỡnh phng mi phn t ca K u bng e Vy thỡ K = Z2 Z2 Ta cú D6 = Z3 (Z2 Z2 ) (iii) Ta ó chng minh c A4 = V H, ú V = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} l nhúm chun tc cp 4; H = {e, (1 3), (1 2)} l nhúm cp Tng t nh khng nh (ii), ta cng cú V = Z2 Z2 v H = Z3 Vy A4 = (Z2 Z2 ) Z3 3.3 Phõn lp nhúm cp 8, 12, 18, 20 66 Mnh 3.3.3 Mt nhúm khụng Abel cp 12 ng cu vi nhúm A4 , D6 hoc Z3 Z4 = x, y | x3 = y = e, xy = yx Chng minh Gi s G l mt nhúm cp 12 Cú 12 = 22 3, bi Mnh 1.4.13 thỡ G ng cu vi tớch na trc tip ca cỏc nhúm Sylow ca nú 2-nhúm Sylow ca G cú cp 4, t H qu 3.1.3 thỡ nhúm ny phi ng cu vi Z4 hoc Z2 Z2 3-nhúm Sylow ca G cú cp l nờn nú phi ng cu vi Z3 Ta i tỡm tt c cỏc tớch na trc tip cú th cú ca t hp Trng hp (i): Z4 Z3 Theo Vớ d 1.1.22, Aut(Z4 ) = Zì = Z2 , khụng cú ng cu khụng tm thng no t Z3 ti Aut(Z4 ) Vy thỡ trng hp ny ta cú Z4 Z3 = Z12 Trng hp (ii): (Z2 Z2 ) Z3 Bi B 3.3.2(i), Aut(Z2 Z2 ) = S3 v S3 cú nht mt nhúm cp l H = e, a, a2 , cú hai ng cu khụng tm thng t Z3 n S3 , xỏc nh bi f1 : Z3 S3 f2 : Z3 S3 a2 a Tớnh toỏn tng t H qu 3.2.5, hai ng cu ny xỏc nh cựng mt nhúm Vy nờn theo B 3.3.2(iii) ta cú (Z2 Z2 ) Z3 = A4 (Z2 Z2 ) Bi Vớ d 1.1.22, Aut(Z3 ) = Zì = Z2 , cú ng cu khụng tm thng t Trng hp (iii): Z3 Z2 Z2 n Z2 , xỏc nh bi f1 : Z2 Z2 Z2 f2 : Z2 Z2 Z2 f3 : Z2 Z2 Z2 (0, 1) (0, 1) (0, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 0) nhng tng t trng hp (ii), chỳng xỏc nh cỏc tớch na trc tip ng cu vi Vy thỡ ta cú Z3 (Z2 Z2 ) = D6 theo B 3.3.2(ii) Trng hp (iv): Z3 Z4 Ch cú nht mt ng cu khụng tm thng t Z4 n Aut(Z3 ) Tht vy, bi Vớ d 1.1.22, Aut(Z3 ) = Zì = Z2 = 0, Nu : Z4 Z2 l mt ng cu khụng tm thng thỡ à(1) = 0, ú ch cú nht mt ng cu khụng tm thng xỏc nh bi à(1) = 1, ngha l à(1)(a) = 2a Khi ú tớnh toỏn tng t nh H qu 3.2.5, ta cú Z3 Z4 = x, y | x3 = y = e, xy = yx 3.3 Phõn lp nhúm cp 8, 12, 18, 20 67 Vy mt nhúm khụng Abel cp 12 ng cu vi mt ba nhúm: A4 , D6 hoc Z3 Z4 = x, y | x3 = y = e, xy = yx Mnh 3.3.4 Mt nhúm khụng Abel cp 18 ng cu vi mt ba nhúm: D9 , G1 = Z3 Z3 G2 = Z3 Z3 à2 Z2 à1 Z2 = S3 Z3 , = x, y, z | x3 = y = z = e, xy = yx, z xz = x1 , z yz = y Chng minh Gi s G l mt nhúm cp 18 Cú 18 = 2.32 , bi Mnh 1.4.13 thỡ G ng cu vi tớch na trc tip ca cỏc nhúm Sylow ca nú Theo nh lớ 1.3.17, s cỏc 3-nhúm Sylow ca G chia cho d v phi l c ca 18 Vy thỡ G ch cú nht mt 3-nhúm Sylow, ta gi ú l P Theo nh ngha thỡ |P | = v ú P l nhúm chun tc ca G T H qu 3.1.3 thỡ nhúm ny phi ng cu vi Z9 hoc Z3 Z3 Gi Q l mt 2-nhúm Sylow ca G, vỡ Q cú cp l nờn Q ng cu vi Z2 Theo Mnh 1.4.13(ii) thỡ G = P Q Trng hp (i): P = Z9 ì Z2 Theo Vớ d 1.1.22, Aut(Z9 ) = Zì Nhúm Z9 cú nht mt nhúm cp l 1, Cú hai ng cu t Z2 ti Aut(Z9 ), Xột tớch na trc tip Z9 l ng cu tm thng v ng cu f xỏc nh bi f (1)(1) = Vi ng cu tm thng ta cú G = Z18 Vi ng cu f , tớnh toỏn tng t H qu 3.2.5, ta cú G = x, y | x9 = y = e, yx = x1 y Do ú bi nh lớ 1.2.22, G = D9 Trng hp (ii): P = Z3 Z3 Xột tớch na trc tip (Z3 Z3 ) Z2 Ta cú th biu din Z3 Z3 = {e, u, v, u + v, 2u, 2v, u + 2v, 2u + v, 2u + 2v} , ú e = (0, 0), u = (1, 0), v = (0, 1) Vi ng cu tm thng t Z2 n Aut(Z3 Z3 ), ta cú G = Z3 Z3 Z2 = Z3 Z6 Xột : Z2 Aut(Z3 Z3 ) l mt ng cu khụng tm thng Vỡ cú cp l Z2 nờn 2à(1) = Id(Z3 Z3 ) , ú à(1) cú cp l c ca Aut(Z3 Z3 ) Do khụng tm thng nờn à(1) cú cp Cú hai t ng cu cp ca Z3 Z3 xỏc nh hai tớch na trc tip khụng ng cu vi l f1 : u v v u f2 : u u v v 3.3 Phõn lp nhúm cp 8, 12, 18, 20 Ta cú G = (Z3 Z3 ) 68 Z2 t x = (1, 0, 0), y = (0, 1, 0), z = (0, 0, 1), e = (0, 0, 0) Tớnh toỏn tng t H qu 3.2.5 ta nhn c: Vi à1 (1) = f2 ta cú G1 = S3 Z3 = x, y, z | x3 = y = z = e, xy = yx, z xz = x, z yz = y Vi à2 (1) = f1 ta cú G2 = (Z3 Z3 ) à2 Z2 = x, y, z | x3 = y = z = e, xy = yx, z xz = x1 , z yz = y Vy mt nhúm khụng Abel cp 18 ng cu vi G2 = (Z3 Z3 ) à2 Z2 , D9 hoc G1 = S3 Z3 Mnh 3.3.5 Mt nhúm khụng Abel cp 20 ng cu vi mt ba nhúm: D5 Z2 , Z5 Z5 à2 à1 Z4 = x, y | x5 = y = e, y xy = x2 , Z4 = x, y | x5 = y = e, y xy = x1 Chng minh Gi s G l mt nhúm cp 20 Cú 20 = 22 5, bi Mnh 1.4.13 thỡ G ng cu vi tớch na trc tip ca cỏc nhúm Sylow ca nú 2-nhúm Sylow ca G cú cp 4, t H qu 3.1.3 thỡ nhúm ny phi ng cu vi Z4 hoc Z2 Z2 T nh lớ 1.3.17 thỡ s cỏc 5-nhúm Sylow ca G phi chia cho d v l c ca 20 Vy thỡ 5-nhúm Sylow ca G l nht v theo H qu 1.3.16 thỡ ú l nhúm chun tc Vỡ nhúm ny cú cp l nờn nú ng cu vi Z5 Theo Mnh 1.4.13(ii), G = Z5 Z4 hoc G = Z5 (Z2 Z2 ) Z4 t x = (1, 0) v y = (0, 1) Bi Vớ d 1.1.22, Aut(Z5 ) = Zì = Z4 Ta cú Z5 = 0, 1, 2, 3, Ta tỡm c Trng hp (i): Z5 t ng cu ca Z5 l idZ5 : 1; f1 : 2; f2 : 3; f3 : Vi : Z4 Aut(Z5 ), tớnh toỏn tng t H qu 3.2.5 ta cú: * Nu à(1) = idZ thỡ G = Z5 Z4 = Z20 * Nu à(1) = f1 thỡ ta cú G = G2 = Z5 à1 Z4 = x, y | x5 = y = e, y xy = x2 * Nu à(1) = f2 thỡ ta cú G = G3 = x, y | x5 = y = e, y xy = x3 Nu thay y bi y thỡ ta thy rng G3 = G2 * Nu à(1) = f3 thỡ G = G4 = Z5 à2 Z4 = x, y | x5 = y = e, y xy = x1 G4 G2 bi G4 , y xy = (x1 )1 = x nờn y C(x), ú y C(G4 ) 3.3 Phõn lp nhúm cp 8, 12, 18, 20 69 v xy cú cp 10 G4 Nhng G2 khụng cha phn t cp 10 Do ú G4 G2 Trng hp (ii): Z5 (Z2 Z2 ) Vi ng cu tm thng t Z2 Z2 n Aut(Z5 ), ta cú G = Z5 Z2 Z2 = Z2 Z10 Cú ng cu khụng tm thng t Z2 Z2 n Zì , xỏc nh bi : (0, 1) 2 : (0, 1) 3 : (0, 1) 4 : (0, 1) (1, 0) (1, 0) (1, 0) (1, 0) Tớnh toỏn tng t H qu 3.2.5 thỡ cỏc ng cu ny xỏc nh cỏc tớch na trc tip ng cu vi v ta cú G = D5 Z2 = x, y, z | x5 = y = e, yz = zy, y xy = x, z xz = x1 Vy mt nhúm khụng Abel cp 20 ng cu vi mt ba nhúm: Z5 à1 Z5 à2 Z4 = G2 Z4 = G4 = x, y | x5 = y = e, y xy = x2 = x, y | x5 = y = e, y xy = x1 D5 Z2 = x, y, z | x5 = y = e, yz = zy, y xy = x, z xz = x1 Kt lun Lun ó trỡnh by c mt s sau: Trỡnh by cu trỳc ca mt nhúm Abel hu hn, t ú phõn lp cỏc nhúm Abel hu hn Trỡnh by s phõn lp cỏc nhúm cp p2 , 2p, pq vi p, q l cỏc s nguyờn t l Phõn lp cỏc nhúm n cp 23 71 Kt qu c tng hp li bng sau: Cp 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 23 Nhúm Z2 Z3 Z4 , Z2 Z2 Z5 Z6 , S3 Z7 Z8 , Z2 Z4 D4 , Q8 Z9 , Z3 Z3 Z10 , D5 Z11 Z12 , Z2 Z6 A4 , D6 , Z3 Z4 = x, y | x3 = y = e, xy = yx Z13 Z14 , D7 Z15 Z17 Z18 , Z3 Z6 D9 , (Z3 Z3 ) à1 Z2 = S3 Z3 (Z3 Z3 ) à2 Z2 = x, y, z | x3 = y = z = e, xy = yx, z xz = x1 , z yz = y Z19 Z20 , Z2 Z10 Z5 (Z2 Z2 ) = D5 Z2 Z5 à1 Z4 = x, y | x5 = y = e, y xy = x2 Z5 à2 Z4 = x, y | x5 = y = e, y xy = x1 Z21 , Z7 Z3 = x, y | x7 = y = e, y xy = x2 Z22 , D11 Z23 Ti liu tham kho [1] Nguyn Hu Vit Hng, i s i cng, NXB Giỏo Dc, 1999 [2] Nguyn Tin Quang, i s i cng, NXB Giỏo Dc, 2009 [3] Phan Doón Thoi(ch biờn), Bựi Huy Hin, Nguyn Hu Hoan, Bi i s v s hc, NXB i hc s phm, 2009 [4] Hong Xuõn Sớnh, i s i cng, NXB Giỏo Dc, 2010 [5] Dng Quc Vit(ch biờn), Trng Th Hng Thanh, C s i s hin i, NXB i hc s phm, 2014 [6] Dng Quc Vit(ch biờn), m Vn Nh, C s lớ thuyt s v a thc, NXB i hc s phm, 2008 [7] John.A.Beachy, William D.Blair, Abstract Algebra, Northern lllinois University, 2006