nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tạ Thị Huyền NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tạ Thị Huyền NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn gặp không khó khăn hạn chế thời gian kiến thức Tuy nhiên nhận đươc quan tâm, giúp đỡ nhiệt tình, động viên kịp thời từ phía gia đình, thầy cô bạn bè Bởi mà xin gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành đến: Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Mỵ Vinh Quang người thầy đáng kính trực tiếp giúp đỡ hoàn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến Thầy tổ Đại số như: TS Trần Huyên, TS Trần Tuấn Nam, PGS TS Bùi Tường Trí, PGS TS Bùi Xuân Hải, Thầy trực tiếp giảng dạy cung cấp cho giảng hay, kiến thức bổ ích Đại số để có tảng sở hoàn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn đến 16 thành viên lớp Đại số & lý thuyết số K21, người anh, người chị người bạn tốt nhiệt tình giúp đỡ trình học tập, động viên suốt trình làm luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình thân yêu tôi: ông bà ba mẹ …đã bên tôi, tạo điều kiện tốt để có điều kiện học tập công tác, chỗ dựa vững tiếp thêm sức mạnh nguồn động lực lớn để hoàn thành luận văn Tp HCM, ngày 20 tháng 09 năm 2012 Tác giả Tạ Thị Huyền MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định lý đẳng cấu .8 1.2 Định lý Sylow .10 1.3 Nhóm chuẩn tắc .12 1.4 Nhóm đặc trưng 12 1.5 Nhóm Frattini .14 1.6 Nhóm siêu giải 15 1.7 Nhóm luỹ linh .20 1.8 Nhóm pronormal 21 1.9 Nhóm Fitting .22 1.10 Nhóm Fitting suy rộng 23 1.11 H –nhóm 27 1.12 Lớp bão hoà F 27 Chương 2: NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN 29 2.1 Định nghĩa số nhận xét nhóm chuẩn tắc yếu nhóm 29 2.2 Một số tính chất nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn .30 2.3 Các định lý quan trọng nhóm chuẩn tắc yếu 33 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỘT SỐ KÝ HIỆU • H ≤G : H nhóm G • H ≤ N G ( H ) Do ∃x ∈< H , H g > cho H x = H g    (1) Mặt khác có x ∈ N G ( H ) ⇒ H x = H (2) Từ (1) (2) suy H g = H ⇒ g ∈ N G ( H ) ■ 2.2 Một số tính chất nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn 2.2.1 Tính chất Cho G nhóm hữu hạn, N, H, K nhóm G (1) Nếu H ≤ K ≤ G H nhóm chuẩn tắc yếu G H chuẩn tắc yếu K (2) Nếu N  G N  H H chuẩn tắc yếu G H/N chuẩn tắc yếu G/N (3) Với H nhóm chuẩn tắc yếu G Nếu H ≤ K ≤ N G ( H ) N G ( K ) ≤ N G ( H ) (4) Nếu H  K ≤ G H chuẩn tắc yếu G H  K Chứng minh (1) Giả sử H k ≤ N K ( H ) cần chứng minh k ∈ N K ( H ) Thật vậy: Lấy k ∈ K H k ≤ N K ( H ) N K ( H ) ≤ N G ( H ) ⇒ H k ≤ N G ( H ) Do H nhóm chuẩn tắc yếu G nên suy k ∈ K k ∈ NG ( H ) ⇒ k ∈ K ∩ NG ( H ) ⇒  k ∈ N G ( H ) ⇒ k ∈ NK (H ) 31 (2) (⇒) Giả sử H nhóm chuẩn tắc yếu G Giả sử ( H / N ) gN ≤ N G / N ( H / N ) với g ∈ G, gN ∈ G / N ta cần chứng minh gN ∈ N G / N ( H / N ) Thật vậy: Ta có N G / N ( H / N ) = N G ( H ) / N gN ∈ N G / N ( H / N ) ( g ∈ G ) ⇔ ( H / N ) gN= H / N ⇔ gN ( H / N= ) ( H / N ) gN ⇔ gH = Hg ⇔ g ∈ N G ( H ) ⇔ gN ∈ N G ( H ) / N Từ điều giả sử ( H / N ) gN ≤ N G / N ( H / N ) ⇒ H g / N ≤ N G ( H ) / N Do H g ≤ N G ( H ) , H nhóm chuẩn tắc yếu G nên g ∈ N G ( H ) ⇒ gN ∈ N G ( H ) / N = N G / N ( H / N ) Do H / N chuẩn tắc yếu G/N (⇐) Giả sử H / N chuẩn tắc yếu G / N H g ≤ N G ( H ) với g ∈ G Suy H g / N ≤ N G ( H ) / N ⇒ ( H / N ) gN ≤ N G / N ( H / N ) Vì H / N chuẩn tắc yếu G / N nên gN ∈ N G / N (= H / N ) N G ( H ) / N ⇒ g ∈ N G ( H ) Do H chuẩn tắc yếu G (3) Lấy g ∈ N G ( K ) tức ta có Kg=K Theo giả thiết H ≤ K ≤ N G ( H ) , suy H g ≤ K g =K ≤ N G ( H ) ⇒ H g ≤ N G ( H ) Do H chuẩn tắc yếu G nên g ∈ N G ( H ) ⇒ N G ( K ) ≤ N G ( H ) (4) Do H nhóm chuẩn tắc K nên tồn dãy nhóm chuẩn tắc = H H= K  H1  H  H   H n Nếu n=1 hiển nhiên ta có điều phải chứng minh H  K Do ta giả sử n > 1, ta có H  H n −1  K = H n 32 Do H n −1  H n nên với x ∈ H n ta có xH n −1 = H n −1 x , hay x ∈ N G ( H n −1 ) ⇒ H n ≤ N G ( H n −1 ) Mặt khác H n −1  H n , nên theo (3) ta có N G ( H n −1 ) ≤ N G ( H ) Từ suy K = H n ≤ N G ( H n −1 ) ≤ N G ( H ) ⇒ K ≤ N G ( H ) có nghĩa với ∀g ∈ K ta có ■ g ∈ N G ( H ) ⇒ H g =H ⇒ Hg =gH ⇒ H  K 2.2.2 Tính chất Nếu N  G , P p-nhóm chuẩn tắc yếu G ( N , p) = PN chuẩn tắc yếu G PN/N chuẩn tắc yếu G/N Chứng minh • Chứng minh PN chuẩn tắc yếu G Theo giả thiết P chuẩn tắc yếu G N  G nên theo 2.1.(2) PN chuẩn tắc yếu GN = G • Chứng minh PN / N chuẩn tắc yếu G / N Giả sử ( PN / N ) gN ≤ N G / N ( PN / N ) ( g ∈ G, gN ∈ G / N ) Hay ( PN ) g ≤ N G ( PN ) ( g ∈ G ) cần chứng minh g ∈ N G ( PN ) Thật vậy: Vì N  G ( N , P ) = nên P p-nhóm Sylow PN Vì N G ( P) ≤ N G ( PN ) nên N G ( PN ) = N G ( P) N Nếu ( PN ) g ≤ N G ( PN ) ( g ∈ G ) P g ≤ N G ( P) N Do ∃m ∈ N G ( P), n ∈ N cho −1 m.n P g ≤ ( N G ( P)) = ( N G ( P)) n (do m ∈ N G ( P)) , suy P gn ≤ N G ( P) Vì P chuẩn tắc yếu G nên gn −1 ∈ N G ( P) ⇒ g ∈ N G ( P).N hay g ∈ N G ( PN ) ■ 33 2.2.3 Tính chất Giả sử G nhóm P p-nhóm chuẩn tắc G chứa Z ∞ (G ) Khi CG ( P) ≥ O p (G ) đó: CG ( P)= { g ∈ G / gh= hg ∀h ∈ P} O p (G ) = < x ∈ G / ( x , p) = > = ∩ {H  G / G / H p-nhóm } Xem [17, Bổ đề 2.8] 2.3 Các định lý quan trọng nhóm chuẩn tắc yếu 2.3.1 Định lý Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G cho G/H siêu giải Giả sử nhóm cyclic H có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G Khi G siêu giải Chứng minh Giả sử kết sai tức G nhóm siêu giải được, ta xem xét phản ví dụ với cặp (G, H) trường hợp G + H bé Khi có (1) Mỗi nhóm thực G siêu giải Giả sử K nhóm thực G, theo định lý 1.1.1 (1) ta có K / ( K ∩ H )  KH / H KH / H ≤ G / H Do G/H nhóm siêu giải được, mà nhóm nhóm siêu giải nhóm siêu giải (theo định lý 1.6.2) nên K / ( K ∩ H ) nhóm siêu giải Theo giả thiết nhóm cyclic H có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G, mà K ∩ H ≤ H (theo định lý 1.1.1 (1)) suy nhóm cyclic K ∩ H có cấp cấp nguyên tố chuẩn tắc yếu G Do K ∩ H  K < G nên theo tính chất 2.3.1 (1) ta có nhóm cyclic K ∩ H có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu K Do ( K , K ∩ H ) thoả mãn điều kiện định lý Suy K nhóm siêu giải K không siêu giải tồn nhóm thực 34 nhóm không siêu giải G (tức có cấp nhỏ G) mà thoả mãn điều kiện định lý, điều mâu thuẫn với tính tối tiểu việc chọn G Do G nhóm không siêu giải nhóm thực G lại nhóm siêu giải Theo định lý 1.6.9, tồn p-nhóm Sylow chuẩn tắc P G cho G=P.M, M nhóm siêu giải tối đại G, P / Φ ( P ) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G / Φ ( P ) Hơn nữa, số mũ P p p > 2, số mũ P lớn p = (Nhắc lại: Cho G nhóm, số mũ G số nguyên dương bé n cho gn = với g ∈ G ) (2) H=P Do PM / P  M / ( M ∩ P) ⇒ G / P  M / ( M ∩ P) Mặt khác, M nhóm siêu giải được, M ∩ P  M , nhóm thương nhóm siêu giải nhóm siêu giải nên theo định lý 1.6.3 M / ( M ∩ P) siêu giải được, suy G/P siêu giải Mà G/H siêu giải theo giả thiết, nên theo định lý 1.6.8 suy G / ( P ∩ H ) siêu giải Giả sử P ∩ H < H Khi G siêu giải G không siêu giải mâu thuẫn với tính tối tiểu chọn cặp (G, H) điều mâu thuẫn Suy điều giả sử sai tức có P ∩ H = H Vì H  G P / Φ ( P) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G / Φ ( P) Do ta có H Φ ( P) = Φ ( P ) hay H Φ ( P ) = P Nếu H Φ ( P) = Φ ( P) ⇒ H ≤ Φ ( P) , kết hợp P ≤ G theo định lý 1.5.4 suy Φ ( P) ≤ Φ (G ) Do ta có H ≤ Φ ( P) ≤ Φ(G ) , G / Φ (G ) siêu giải nên theo mệnh đề 1.6.5 ta có G siêu giải được, điều mâu thuẫn Do ta có H Φ ( P) = H ta P , kết hợp với chứng minh P ∩ H = H=P 35 (3) Mâu thuẫn cuối Theo giả thiết nhóm cyclic H có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G Do H = P nên nhóm cyclic U P có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G Vì U  P P  G tức ta có U  P  G nên theo tính chất 2.3.1 (4) ta có U  G Lập luận hoàn toàn tương tự giống nhóm chuẩn tắc H G ta có U = P U ≤ Φ ( P) Nếu U = P P cyclic (do U cyclic) Vì G/P siêu giải nên ta có G siêu giải được, điều mâu thuẫn Do ta giả sử U ≤ Φ ( P) với nhóm cyclic U P có cấp nguyên tố cấp Vì số mũ P p nên ta có P ≤ Φ ( P) , điều vô lý Vậy điều giả sử sai, chứng tỏ G nhóm siêu giải ■ 2.3.2 Định lý Cho F formation bão hoà chứa lớp tất nhóm siêu giải U Giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho G/H ∈ F nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu G Khi G ∈ F Chứng minh Giả sử U nhóm cyclic F *( H ) có cấp nguyên tố cấp Khi theo giả thiết U chuẩn tắc yếu G Do U ≤ F * ( H ) ≤ G nên theo tính chất 2.2.1.(1) suy U chuẩn tắc yếu F * ( H ) Theo định lý 2.3.1 ( F * ( H )  F * ( H ) , nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố cấp chuẩn tắc yếu F * ( H ) ) suy F * ( H ) siêu giải Theo định lý 1.10.9(2) ta có F * ( H ) = F ( H ) 36 Vì F(H) luỹ linh nên với nhóm cyclic U F * ( H ) có cấp nguyên tố cấp ta có U   F ( H )  H  G Theo tính chất 2.2.1 (4) suy U G Theo [14, Định lý 1] ta có G ∈ F ■ 2.3.2.1 Hệ Nếu H  G giải được, G/H siêu giải nhóm cyclic F(H) có cấp nguyên tố cấp H-nhóm G G nhóm siêu giải Chứng minh Gọi F lớp formation bão hoà chứa lớp tất nhóm siêu giải U Theo giả thiết ta có H  G , G/H siêu giải suy G / H ∈ F Mọi nhóm cyclic có cấp nguyên tố cấp F ( H ) ≤ F * ( H ) H-nhóm G, suy nhóm cyclic cấp nguyên tố cấp F * ( H ) chuẩn tắc yếu G (vì H-nhóm G chuẩn tắc yếu G) Theo định lý 2.3.2 ta có G ∈ F Vậy G siêu giải ■ 2.3.2.2 Hệ Cho F formation bão hoà chứa lớp tất nhóm siêu giải U Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc G cho G/H ∈ F Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố cấp pronormal G Khi G ∈ F Chứng minh Do nhóm pronormal G chuẩn tắc yếu G nên áp dụng định lý 2.3.2 ta có G ∈ F ■ 2.3.3 Định lý Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm tối tiểu H bị chứa Z ∞ (G ) nhóm cyclic H có cấp chuẩn tắc yếu G Khi G luỹ linh 37 Chứng minh Giả sử kết sai, tức G không luỹ linh, ta đưa phản ví dụ trường hợp G bé Lấy K < G, theo định lý 1.1.1.(1) ta có K / ( K ∩ H )  KH / H ≤ G / H , G / H luỹ linh nên K / ( K ∩ H ) luỹ linh nhóm nhóm luỹ linh luỹ linh Theo giả thiết nhóm tối tiểu H bị chứa Z ∞ (G ) nên suy nhóm tối tiểu K ∩ H bị chứa K ∩ Z ∞ (G ) ≤ Z ∞ ( K ) Mỗi nhóm cyclic cấp H chuẩn tắc yếu G, mà K ∩ H ≤ H nên suy nhóm cyclic cấp K ∩ H chuẩn tắc yếu G Áp dụng tính chất 2.2.1.(1) với K ∩ H ≤ K < G ta có nhóm cyclic cấp K ∩ H chuẩn tắc yếu K Do ( K , K ∩ H ) thoả mãn điều kiện định lý, suy K luỹ linh K không luỹ linh tồn nhóm thực K G mà K < G điều mâu thuẫn với tính tối tiểu việc chọn G Do vậy, giả sử G không luỹ linh nhóm thực G luỹ linh Theo định lý 1.7.5 ta có G=P.Q P p – nhóm Sylow chuẩn tắc, Q q – nhóm Sylow cyclic không chuẩn tắc với q ≠ p , p, q số nguyên tố Và P / Φ ( P) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G / Φ ( P) Hơn nữa, exp (P) = p p > 2, exp(P) lớn p = Theo định lý 1.1.1 (2) tồn đơn cấu G / ( P ∩ H ) → G / P × G / H nên G / ( P ∩ H ) ≤ G / P × G / H Mà G/H luỹ linh G / P  Q luỹ linh suy G / ( P ∩ H ) luỹ linh Nếu P ≤ H P ∩ H < P Q( P ∩ H ) < QP = G nghĩa Q( P ∩ H ) nhóm thực G nên Q( P ∩ H ) luỹ linh (theo lập luận trên) 38 Vì Q nhóm Sylow chuẩn tắc Q( P ∩ H ) Q đặc trưng Q( P ∩ H ) nên Q( P ∩ H ) =Q × ( P ∩ H ) Mặt khác, G / ( P ∩ H ) luỹ linh Q( P ∩ H ) / ( P ∩ H )  G / ( P ∩ H ) nên Q  G suy G= P × Q (mâu thuẫn) Vì giả sử P ≤ H Nếu exp(P) = p P = P ∩ H ≤ Z ∞ (G ) Theo tính chất 2.2.3 ta có G= P × Q , điều mâu thuẫn Do có p=2 exp(P) = Giả sử tồn x ∈ P \ Φ ( P) với x = Đặt= M x G ≤P ta có M ≤ P M Φ ( P) / Φ ( P)  G / Φ ( P) Vì P / Φ ( P) nhóm chuẩn tắc tối tiểu G / Φ ( P) nên P =M Φ ( P) =M ≤ Z ∞ (G ) điều mâu thuẫn Do phần tử P / Φ ( P) có cấp 4, nên với x ∈ P \ Φ ( P) x chuẩn tắc yếu G theo giả thiết Vì x  P  G nên x  G theo tính chất 2.2.1.(4) Nếu ∃x ∈ P \ Φ ( P) cho x Q = G G luỹ linh (mâu thuẫn) Do giả sử x Q < G (∀x ∈ P \ Φ ( P)) , suy x Q P×Q luỹ linh x ≤ N G (Q) ⇒ P ≤ N G (Q) ⇒ G = luỹ linh, điều mâu thuẫn Vậy điều giả sử ban đầu sai, suy G luỹ linh ■ 2.3.4 Định lý Cho H nhóm chuẩn tắc G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp chuẩn tắc yếu G Khi G luỹ linh nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố chứa Z ∞ (G ) Chứng minh Chúng ta cần chứng minh điều kiện đủ Tức giả sử H nhóm chuẩn tắc G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp chuẩn tắc yếu G 39 nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố chứa Z ∞ (G ) Khi G luỹ linh Thật Giả sử kết sai tức G không luỹ linh, ta đưa phản ví dụ trường hợp cấp G bé Khi có: (1) Mọi nhóm chuẩn tắc thực G luỹ linh F ( G ) nhóm chuẩn tắc tối đại G Giả sử M nhóm chuẩn tắc tối đại G Khi theo theo định lý 1.1.1.(1) ta có M / ( M ∩ H )  MH / H ≤ G / H , G / H luỹ linh nên M / ( M ∩ H ) luỹ linh nhóm nhóm luỹ linh luỹ linh Vì M ∩ H  H nên theo định lý 1.10.9.(1) ta có F * ( M ∩ H ) ≤ F * ( H ) có Z ∞ (G ) ∩ M ≤ Z ∞ ( M ) Suy ( M , M ∩ H ) thoả mãn điều kiện định lý nên suy M luỹ linh M không luỹ linh tồn nhóm không luỹ linh có cấp bé cấp G thoả mãn điều kiện định lý, điều mâu thuẫn với tính tối tiểu việc chọn G Do G hữu hạn nên F(G) luỹ linh nhóm tối đại, chuẩn tắc luỹ linh G, mà M nhóm chuẩn tắc tối đại luỹ linh G nên M = F ( G ) * (2) H = G = G’ F = (G ) F (G ) < G Nếu H < G tức H nhóm thực G theo (1) H luỹ linh, * F = ( H ) F= ( H ) H Theo định lý 2.3.3 G luỹ linh, mâu thuẫn với điều giả sử Do ta giả sử H = G Theo (1), F (G ) < G nhóm chuẩn tắc tối đại G nên G / F (G ) nhóm đơn Nếu G / F (G ) cyclic cấp nguyên tố G luỹ linh theo định lý 2.3.3 Do G / F (G ) nhóm đơn không Aben, nên G ' ≤ F (G ) suy G’=G Nếu * * ( H ) F= (G ) G Theo định lý 2.3.3 ta có G luỹ linh, F (G ) < F * (G ) F= điều mâu thuẫn Do F * (G ) = F (G ) 40 (3) Nếu q số nguyên tố nhỏ chia hết F (G ) Q q-nhóm Sylow F(G) G / CG (Q) q-nhóm Vì F (G ) = F * (G ) nhóm đơn vị, với q số nguyên tố nhỏ chia hết F (G ) , nên q-nhóm Sylow Q F (G ) nhóm chuẩn tắc không tầm thường G Theo giả thiết Ω1 (Q) ≤ Z ∞ (G ) nên CG (Ω1 (Q)) ≥ O q (G ) theo tính chất 2.2.3 Nếu q>2 CG (Q) ≥ O q (G ) Do G / CG (Q) q-nhóm Nếu q=2 với nhóm cyclic x Q có cấp 4, x chuẩn tắc G chuẩn tắc yếu G theo giả thiết Do theo tính chất 2.2.1.(4) x  G Lấy p ước nguyên tố khác G P p-nhóm Sylow G Theo [9, IV, định lý 2.8], x P luỹ linh, P ⊂ CG < x > , suy O (G ) ⊂ CG < x > O (G ) ⊂ CG (Ω (G )) Do CG (Q) ≥ O (G ) G / CG (Q) 2-nhóm (4) Mâu thuẫn cuối Vì G ' = G G / CG (Q) q-nhóm nên CG (Q) = G , suy Q ≤ Z (G ) Theo định lý 1.10.9 (4) ta có F * (G / Q) = F * (G ) / Q Xét nhóm G = G / Q , q ước nguyên tố nhỏ F * (G ) Q q-nhóm Sylow F * (G ) nên phần tử y có cấp nguyên tố r F * (G ) coi ảnh phần tử y có cấp nguyên tố r F * (G ) với r > q Suy y nằm Z ∞ (G ) theo giả thiết Mặt khác Z ∞ (G / Q) = Z ∞ (G ) / Q nên y nằm Z ∞ (G / Q) Rõ ràng, F * (G / Q) nhóm cyclic cấp Do G = G / Q thoả mãn giả thiết định lý (theo tính chất 2.2.2) Do tính tối tiểu việc chọn G nên G/Q luỹ linh, G luỹ linh, mâu thuẫn cuối Mâu thuẫn cuối cho ta điều phải chứng minh ■ 41 2.3.4.1 Hệ Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp H-nhóm G Khi G luỹ linh nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố chứa Z ∞ (G ) Chứng minh Vì H-nhóm G chuẩn tắc yếu G nên theo định lý 2.3.4 ta có điều phải chứng minh ■ 2.3.4.2 Hệ Cho H nhóm chuẩn tắc nhóm G cho G/H luỹ linh Giả sử nhóm cyclic F * ( H ) có cấp pronormal G Khi G luỹ linh nhóm cyclic F * ( H ) có cấp nguyên tố chứa Z ∞ (G ) Chứng minh Vì nhóm pronormal G chuẩn tắc yếu G nên theo định lý 2.3.4 ta có điều phải chứng minh ■ 42 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề lý thuyết nhóm, sau tìm hiểu chứng minh số tính chất nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn, tiếp tục chứng minh định lý quan trọng đặc trưng tính siêu giải tính luỹ linh nhóm hữu hạn G với giả sử nhóm có cấp nguyên tố G chuẩn tắc yếu G Như vậy, ta biết việc sử dụng định nghĩa để chứng minh nhóm hữu hạn G nhóm siêu giải hay nhóm luỹ linh ta chứng minh theo cách khác thông qua nhóm chuẩn tắc yếu (bằng phương pháp chứng minh phản chứng đưa mâu thuẫn để có điều phải chứng minh) Ngoài nhìn đặc trưng tính siêu giải tính luỹ linh qua nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn tìm hiểu qua nhóm khác như: π -tựa chuẩn tắc G ( π -quasinormal in G), s* -nửa hoán vị G ( s* -semipermutable in G) Để có kết cụ thể nhóm này, tiếp tục tìm hiểu thời gian tới 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Xuân Hải (2011), Nhóm tuyến tính, Nxb Đại học quốc gia Tp HCM Bùi Xuân Hải (2002), Đại số đại, Nxb Đại học quốc gia Tp HCM Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Mỵ Vinh Quang (1999), Bài tập đại số đại cương, Nxb Giáo dục Hoàng Xuân Sính (1994), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục Bùi Huy Hiển (2000), Bài tập đại số đại cương, Nxb Giáo dục Tiếng Anh Derek J S Robinson, A Course in the Theory of Groups, Spinger A Ballester-Bolinches and R Esteban-Romero, On finite T-groups, J Aut Math Soc, 75 (2003), 181-191 B Huppert, Endliche Gruppen, Vol I, Springer, New York, Berlin, 1967 10 B Huppert and N Blackburn, Finite Groups, Vol III, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1982 11 D Gorenstein, Finite Groups, Chelsea (New York, 1968) 12 K Doerk, Minimal nicht uberauflosbare endliche Gruppen, Math Z., 91 (1966), 198-205 13 K H Muller, Schwachnormale Untergruppen: Eine gemeinsame Verallgemeinerung der normalen und normalisatorgleichen, Rend Semm Mat Univ Padova, 36 (1966), 129-157 14 M Asaad, A Ballester-Bolinches and M C Pedraza, A note on minimal subgroups of finite groups, Comm Algebra, 24(8) (1996), 2771-2776 44 15 M Bianchi, A Gillio Berta Mauri, M Herzog and L Verardi, On finite sovlable groups in which normality is a transitive relation, J Group theory, (2000), 147-156 16 Piroska Cs o rg o and Marcel Herzog, On Supersolvable Groups and the Nilpotator, Comm Algebra, (2004), 609-620 17 Yangming Li and Yanming Wang, On π -quasinormally embedded subgroups of fi-nite group, J Algebra, 281 (2004), 109-123 [...]... H ) ■ 2.2 Một số tính chất về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn 2.2.1 Tính chất Cho G là một nhóm hữu hạn, N, H, và K là các nhóm con của G (1) Nếu H ≤ K ≤ G và H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G thì H là chuẩn tắc yếu trong K (2) Nếu N  G và N  H thì H là chuẩn tắc yếu trong G khi và chỉ khi H/N là chuẩn tắc yếu trong G/N (3) Với H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G Nếu H ≤ K ≤ N G ( H ) thì... chất đặc trưng của nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn G Trên cơ sở giả sử một số nhóm con có cấp nguyên tố là chuẩn tắc yếu trong G, chúng ta sẽ thu được sự mô tả mới về tính siêu giải được và tính luỹ linh của nhóm hữu hạn G 2.1 Định nghĩa và một số nhận xét về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn 2.1.1 Định nghĩa Một nhóm con H của nhóm G được gọi là chuẩn tắc yếu trong G nếu H g ≤ N G (... là một nhóm hữu hạn Nếu G có đúng một p -nhóm con Sylow với mỗi p là ước nguyên tố của G thì G là tích trực tiếp của các p -nhóm con Sylow của nó 1.3 Nhóm con á chuẩn tắc Nhóm con H của G được gọi là á chuẩn tắc (subnormal) nếu tồn tại dãy các nhóm con H G= = G và được ký hiệu là H  G 0  G1  G2   Gn 1.4 Nhóm con đặc trưng 1.4.1 Định nghĩa Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G,... ∩ N G ( H ) = Do đó H không phải là H nhóm con của G Nhưng N G ( H ) có duy nhất một nhóm con cyclic cấp 4 Bởi vậy nếu H g ≤ N G ( H ) khi đó H g = H và H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G 30 • Dễ dàng chứng minh được rằng mọi nhóm con pronormal là chuẩn tắc yếu trong G Thật vậy Giả sử H là nhóm con pronormal của G, cần chứng minh H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G Giả sử H g ≤ N G ( H ) , ta có H ≤... một nhóm hữu hạn Khi đó G luỹ linh nếu và chỉ nếu G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của G 1.7.5 Định lý Giả sử G là một nhóm không luỹ linh nhưng mọi nhóm con thực sự của G luỹ linh Khi đó i) G có một p -nhóm con Sylow chuẩn tắc P (với số nguyên tố p) và G = P.Q , trong đó Q là một q -nhóm con cyclic không chuẩn tắc (với số nguyên tố q ≠ p ) ii) P / Φ ( P) là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của. .. Hg =gH ⇒ H  K 2.2.2 Tính chất Nếu N  G , P là p -nhóm con chuẩn tắc yếu của G và ( N , p) = 1 thì PN là chuẩn tắc yếu trong G và PN/N là chuẩn tắc yếu trong G/N Chứng minh • Chứng minh PN là chuẩn tắc yếu trong G Theo giả thiết P là chuẩn tắc yếu trong G và N  G nên theo 2.1.(2) thì PN là chuẩn tắc yếu trong GN = G • Chứng minh PN / N là chuẩn tắc yếu trong G / N Giả sử ( PN / N ) gN ≤ N G / N (... nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G/H ∈ F Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của F * ( H ) có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là pronormal trong G Khi đó G ∈ F Chứng minh Do mọi nhóm con pronormal trong G là chuẩn tắc yếu trong G nên áp dụng định lý 2.3.2 ta có G ∈ F ■ 2.3.3 Định lý Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G sao cho G/H là luỹ linh Giả sử rằng mọi nhóm con tối tiểu của H bị chứa... được nhưng mọi nhóm con thực sự của G lại là nhóm siêu giải được Theo định lý 1.6.9, khi đó sẽ tồn tại một p -nhóm con Sylow chuẩn tắc P của G sao cho G=P.M, trong đó M là nhóm con siêu giải được tối đại của G, P / Φ ( P ) là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G / Φ ( P ) Hơn nữa, số mũ của P là p nếu p > 2, và số mũ của P lớn nhất là 4 nếu p = 2 (Nhắc lại: Cho G là một nhóm, khi đó số mũ của G là số... nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn đều pronormal 1.9 Nhóm con Fitting 1.9.1 Định nghĩa Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con chuẩn tắc luỹ linh của một nhóm G được gọi là nhóm con Fitting của G, ký hiệu là F(G) 1.9.2 Nhận xét: Nếu G là hữu hạn thì i) F(G) là luỹ linh ii) F(G) là nhóm con tối đại chuẩn tắc luỹ linh duy nhất của G 1.9.3 Định lý Cho G là một nhóm, khi đó i) Φ (G ) ≤ F (G ) ii) F (G / Φ (G... G 1.5 Nhóm con Frattini 1.5.1 Định nghĩa Cho G là một nhóm Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G (nếu có) được gọi là nhóm con Frattini của G, ký hiệu là Φ (G ) Nhóm con Frattini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kỳ Nếu G không có các nhóm con tối đại thì ta quy ước Φ (G ) = G 1.5.2 Mệnh đề Cho G là một nhóm Khi đó Φ (G ) char G, và Φ (G ) G Chứng minh Nếu G không có nhóm con tối ... 2: NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN 29 2.1 Định nghĩa số nhận xét nhóm chuẩn tắc yếu nhóm 29 2.2 Một số tính chất nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn .30 2.3 Các định lý quan trọng nhóm chuẩn. .. nhóm chuẩn tắc yếu nhóm hữu hạn 2.2.1 Tính chất Cho G nhóm hữu hạn, N, H, K nhóm G (1) Nếu H ≤ K ≤ G H nhóm chuẩn tắc yếu G H chuẩn tắc yếu K (2) Nếu N  G N  H H chuẩn tắc yếu G H/N chuẩn tắc. .. p -nhóm chuẩn tắc yếu G ( N , p) = PN chuẩn tắc yếu G PN/N chuẩn tắc yếu G/N Chứng minh • Chứng minh PN chuẩn tắc yếu G Theo giả thiết P chuẩn tắc yếu G N  G nên theo 2.1.(2) PN chuẩn tắc yếu