nhóm con chuẩn tắc của nhóm tuyến tính ổn định

trình bày về nhóm con chuẩn tắc của nhóm tuyến tính ổn định

CHUdNG 1 : NHOM CON CHUAN TAC CUA NHOM ?

TUYEN TiNH ON £>INH

Cho A la vanh ke't hQp co ddn vi 1 X6t L la module tlj do tren A

co cd sd de'm duQc, ta Kay d1,1'ng nhom tuye'n Hnh 6n dinh GLSl(L)va nhom sd ca'p 6n dinh E(L) Tudng ling vdi chung la cac nhom GL(A) va E(A) Ta se di de'n dinh 19 mo ta cac nhom con chugn t~c ci'ta GL(A) Chung la nhii'ngnhom con H chugn boa bdi E(A) va duQc xac dinh bdi duy nha't mQtideal B cua A thoa: E(E.) c H c GL(B)

1.1 Nhom tuye'n tlnh t6ng quat:

phep biSn d6i tuye'n Hnh tren M kha nghich

NSti M la module t1,1'do vdi cd Sd hii'u h~n X ={XI,X2, , xn }, gQi

Matn(A) la vanh cac ma tr~n vuong ca'p n tren A, m6i g E End(M) tu'dng

n

j= 1

V~lllh :

Matx : End(M) ~ Matn(A)

Ki hi~u GLn(A) la vanh cac ma tr~n vuong ca'p n kha nghich tren

Ll.b Transvection va nhom Ex(M) :

'tv,p(x) = x + v.p(x) , V X E M

Hi~n nhien nSu 'tv,p kha nghich thl 'tv,p E GL(M)

Xct tru'ong h<;fpp(v) = 0 , ta co :

'tv,-p( 'tv,p(x» = 'tv,p (x) -v.p('tv,p (x))

= x + v.p(x) - v.p( x + v.p(x»

= x + v.p(x) - v [p(x) + p(v).p(p(x))]

= x + v.p(x) -v.p(x)

-

=x Thay P bdi - P , ta cling co : 'tv,p'('tv,-p(x) ) = x

voi phgn tli' nghich dao cua no Hi : 'tv,-p Khi do 'tv,p du'<;fcgQi la

transvecsion.

Voi M la module h! do co cd sa dSm du'<;fc x ={ Xl , X2 , }va i

la s6 t1!nhien ba't kl, ta dinh nghIa pEA * dinh bdi : Pi (Xj ) =()ij

transvection co d<;mg : 't x r, P ,Is i *j s n va rEA.

1.1.c Transvection sd ca'p va nhorn En(A) :

Transvectiol1 sd ca'p : la nhfi'ng ma tr~n thuQc GLn(A) dlf<;fckf

. B~ng r t£;llvi trf (i , j )

t

CQtj

Tn dinh nghIa ta co: rij = In + r eij , i * j

Nhom En(A) : ki hi~u En(A) chI nh6m con cua GLn(A) sinh bdi Ult celcae transyection sd cffp ri ,j , 1 ~ i i:-j ~ n vii rEA.

Ta IC;li thu h<fpanh x(,l Matx dS co d~ng cffunhom :

Matx: Ex(M) ~ En(A)

Tom IC;li,voi M Iii module tl! do voi cd sd huu hC;ln,ta co cac d~ng cffu nhom:

1.2 Nhom tuye'o Hoh t60g quat 60 dioh :

1.2.a Nhom tuye'o Hoh t60g quat 60 dioh va ohom so cffp 60 dioh : Cho L Iii module tl! do tren A voi cd sd dSm du<jc :

X ={Xl , X2 , , Xi , }

c6 djnh n EN, xet Mnvii KnIiicae module con cua L co sd sd Hin

lu<jt Iii {Xt,X2,"',Xn} vii {Xn+l, Xn+2, }

Ta co ddn cffu: GL(Mn) ~ GL(L)

Do do,co thS xem GL(Mn) nhu'lii nhom con cua GL(L)

B6ng thai, khi m ~ n , thl!c hi~n phep nhung chinh t~c , ta co :

GL( Mn) c GL( Mm)

Nh6m tuytn tlnh t8?ngquat 8?jzdink GLslL) cua GL(L) Iii :

">1 GL(Mn)

Ta co: 't x .r P E GLst(L), 'vi i i:-j , rEA

1 ' J

Nh6m sd cap 6n dink E(L) : Iii nhom con sinh bdi cac

ii:-j , rEA

'txor,Pi' I

Ta cling ki hi~u cd sd {Xl, X2 , , , Xi , } cua Mn Iii X Suy ra nhom con Ex(Mn) cua GL(Mn) chua trong E(L) vii :

E(L) = ">1 U ExCMn)

1.2.b Vanh MatiA) : Kf hi~u Matoo(A) chI t?P cac ma tr?n d<;lng:

all

a 21

a 12 an

(aij) =

Trong d6 :

s6 dong va s6 cQt de'm du'qc

. C6 hUll h<;lnphffn ta khac 0 ngoai du'ong cheo chinh.

,

bell ngoai cua kh6i tren trai kich thu'oc k x k cua ca 2 ma tr?n thoa :

Cac phffn ta khong thuQcdu'ong cheo deli b~ng o.

Cac phffn ta thuQc dtfong cheo b~ng nhau.

Xay dV'ngphep cQng va phep nhan 2 ma tr?n trong Matoo(A)tu'dng tV'phep cQng va nhan cac ma tr?n c6 hUll h<;lncQt, dong, Matoo(A)trd thanh mQtvanh c6 phffn ta 0 1a ma tr?n 0, phffn ta 1 1a ma tr?n I c6 cac phffn ta thuQc du'ong cheo chfnh b~ng 1 va b~ng 0 t<;linhung ndi khac.

1.2.c Nhom con GL(A) va E(A):

Cho cr E GLn(A), ta d6ng nha't (J voi mQtphffn ta cua Matoo(A)c6

cr n~m d kh6i tren trai kfch thu'oc n x n, bell ngoai kh6i nay c6 gia tri 1 tren dliong cheo va 0 t<;lindi khac Khi d6 , GLn(A) trd thanh nh6m con cua Matoo(A).

Xet m2 n, trong Matoo(R)ta c6 GLn(A)c GLm(A),En(A)c Em(A)

Ta dinh nghIa :

n>I E(A) = U En(A)

n> 1 Khi d6, GL(A) 1a nh6m con cua nh6m cac phffn ta khcl nghich cua Matoo(A), E(A) 1a nh6m con cua GL(A)

X6t B la ideal cua A, kf hi~u :

GLn(B)= { g E GLn(A)/ g ==In (mod B)}

Vdi m~ n, ta c6 GLn(B)c GLm(B), En(B)c Em(B),dinh nghIa :

GL(B)= U GLn(B)

n>1 E(B) = U En(B)

n> I

Tn GLn(B), En(B) la nh6m can chu§'n t~c cua GLn(A) vdi n ba't kl ,

ta suy fa GL(B), E(B) la nhilng nhom can ehucln tde eua GL(A).

DS di de'n cae dinh 11ma tel nh6m CORchu§'n t~c cua GL(A), ta c~n cae m~nh d~ sail clay:

Vdi n ,? 3, [E,lA), En(B)} = E,lB)

M~nh d~ 2 : ( xem [1] , 1.3.2 trang 37 )

. Cha B la ideal eua A, ta co: [GL,JA),GL,JB)] c E21!(B) M~nh d~ 3 : ( xem [1] , 1.2.12 trang 25 )

Ne'u g E GLn(A) lc'zma trgn tam giae tren hage dudi va bang 1

M~nh d~ 4 :

[E(A), E(B)] = E(B)= [GL(A),(JL(B)] D(;icbi~t, E(B) ehu6.'ntde trang GL(A)

Chung minh :

Tn m~nh d~ 1, ta c6 [En(A),En(B)] = En(B) ,\/ n ~ 3

Suy fa [E(A),E(B)] =E(B)

Tn [GLn(A), GLn(B)] c E2n(B), ( m~nh d~ 2) , ta suy fa :

[GL(A), GL(B)] c E(B)

D6ng thdi GL(B) chu§'n t~c tfong GL(A) lien :

Nen y.X.y-l E E(B) V~y E(B) chu§'n t~c trong GL(A)

1.3 Nhorn con chuftn tile eua nhorn tuye'n tinh t6'ng quat 6'n dinh :

Binh Ii : Cho H lanh6m can cua GL(A) ehwin hod bCii E(A) a) T8n tr;dduy nhtft m(jt ideal B eua A sao eho :

E(B) c H c GL(B)

b) Ran naG, mQi nh6m can H thod man digu ki~n (a) dgu la

nh6m can ehutln tde eua GL(A).

Chung rninh :

B = < { hij - 8ij / (hij) E H} >

Ta chung minh B thoa cac diSH ki~n neu trong m~nh dS

Chung rninh H c GL(B) :

,

GQi h la phgn tii' b~t kl thuQc H , chQn n du ldn dS h E GLn(A),

ta co hij - 8ij E B, 1 ::;;i,j ::;;n nen h ==In (mod B )

V~y H c GL(B).

Chung minh E(B) c H:

Ta cgn chung minh m~nh dS san day:

Vdi mQi cr E H va 2 s6 t1/ nhien khac nhau k , l b~t kl , d~t

Th~y v~y , gia sii'da co (*), ta chung minh En(B) c H, ydi n la s6 t1/nhien b~t kl.

Xet phgn tii' sinh b~t kl cua En(B) co d~ng: XkI , X E B , k "*l .

Do B co cac phgn tii'sinh d~ng Sij = IT ij - 8ij , ydi ITij la thanh

phgn (i, j) cua cr E H, ta co x la t6ng hUllh~n cua cac phgn tii'd~ng :

a Sijb , b E' A

Nen XkI ]a tich hftu h~n cac phgn tii' d~ng (aSij b )kl

Taco: (asijb)kl = [(aSij)kt,btl] ,(chQn t"* k, l)

(aSij/t = [akf ,(Sij)rt] ,(chQn r:j: k,t)

k f

( )f t ( )k f ( )r t H

SHY ra : (aSi j b)k I=(a Sjj )k t. btl (- a Sjj/ t(- btI) E H

Tli' do: XkI E H

Bay gid ta chung minh (*) :

La'y ma tr~n exE Matn(A), ta co:

(

0"

.

O

J

E H

(

0"-1 0

J

E H

0 .1" ' 0 1" ' (

I" a

)

0 I" E E2n(A)

Den

(

I" a

J

-1

0 I" (~ 1: J (

I" a

J

0 I"

~

EH

Taco:

(I" a

J

-I

(

J

~0 I" 0 I" (

I" a

)

(~1 a

J (

) (

I" a

)

0 I" lo ~1 0 I" 0 I"

= (~

(0"- I)a

J

I"

12

Dodo:

EH I"

SHY ra:

( (a-I)a JI" (-I 0)I" = (" «T-J)a)I" E H

(I

(O"-I)a

J

Uiy m.a tr~h Mt ki 13E Matn(A}, ta co: e" J"

J

E E3n(A)

[

I"

In (a I)a

In

]

-' '

Ma:

(

Ill

\J (a-I)a

J [

In

]

-' = [

~J

J [

~J (a-lfx

} [

t

)

fJ III ~ fJ 1" fJ ~, ~,-fJ t

(

In (a I)a

Nell :

[

I"

EH I"

Suy ra:

[I. (a-l)a\, l [" «Y-l)aI" J = l'" I" J

EH

ChQll p =eli , a =eji , ta co:

CQt i

0 1 0\ (0 0

(5it 5i2

I I.

= I

l

(s

I"!

l

~

Suy fa :

5i", (0

I I

I I

I I 1

0 J l~

01 I I

I(dc)ng j)

oj

01

= Sij .ell

~

fJ( a- I)a \1

= (Sij )2n +1,11+1E H

Ta co : (Sij /,11+1 = [ lk,211+1,(Sij)211-w,n+1]

= lk,211+1.(Sij)211+1,n+1(_1)k,2n+1 (- Sjj)211+1,n+1

Do do: (Sij )k,n+1 E H, (k -:f:2n+l,n+l)

Ttidng hi : (sij )kl = [(Sjj/,n+1, (1 t+l,l] E H , (l-:f: n+l )

Vx E B' =>X12 E E(B') =>X12 E GL(B) =>x E B

V~y B'c B Do Hnh d6i xung, ta co B c B', nghTa la' B'= B

b) Vg E GL(A), Vh E H, g.h g-1 h-1 = [ g , h ] E [ GL(A), H ]

Nell: ghg-1h-1 E H . Suy fa: ghg-1 E H

V~y H chu5n t~c trong GL(A)

Bjnh Ii d5 ch(ing minh xong