M Ở ĐẦU
2.3. Các định lý quan trọng về nhóm con chuẩn tắc yếu
2.3.1. Định lý. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho G/H là siêu
giải được. Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của H có cấp nguyên tố hoặc cấp 4
là chuẩn tắc yếu trong G. Khi đó G là siêu giải được.
Chứng minh
Giả sử kết quả trên là sai tức G không phải là nhóm siêu giải được, ta xem xét một phản ví dụ với cặp (G, H) trong trường hợp G + H là bé nhất. Khi đó chúng ta có
(1) Mỗi nhóm con thực sự của G là siêu giải được.
Giả sử K là một nhóm con thực sự của G, khi đó theo định lý 1.1.1 (1) ta có K/ (K∩H)KH H/ và KH H/ ≤G H/ . Do G/H là nhóm siêu giải được, mà mọi nhóm con của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được (theo định lý 1.6.2) nên K/ (K∩H) là nhóm siêu giải được.
Theo giả thiết mọi nhóm con cyclic của H có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong G, mà K∩H ≤H (theo định lý 1.1.1 (1)) suy ra mọi nhóm con cyclic của K∩Hcó cấp 4 hoặc cấp nguyên tố là chuẩn tắc yếu trong G.
Do K∩HK <G nên theo tính chất 2.3.1 (1) ta có mọi nhóm con cyclic của K∩Hcó cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong K. Do đó ( ,K K∩H)thoả mãn điều kiện của định lý. Suy ra K là nhóm siêu giải được vì nếu K không siêu giải được thì khi đó tồn tại một nhóm con thực sự
của nhóm không siêu giải được G (tức có cấp nhỏ hơn G) mà thoả mãn điều kiện của định lý, điều này mâu thuẫn với tính tối tiểu của việc chọn G. Do vậy G là nhóm không siêu giải được nhưng mọi nhóm con thực sự của G lại là nhóm siêu giải được.
Theo định lý 1.6.9, khi đó sẽ tồn tại một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P của G sao cho G=P.M, trong đó M là nhóm con siêu giải được tối đại của G,
/ ( )
P Φ P là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/Φ( )P . Hơn nữa, số mũ của P là p nếu p > 2, và số mũ của P lớn nhất là 4 nếu p = 2.
(Nhắc lại: Cho G là một nhóm, khi đó số mũ của G là số nguyên dương
bé nhất n sao cho gn
= 1 với mọi g∈G.)
(2) H=P
Do PM P/ M / (M ∩P)⇒G P/ M / (M∩P) . Mặt khác, do M là nhóm siêu giải được, M ∩P M , nhóm thương của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được nên theo định lý 1.6.3 thì M / (M∩P) là siêu giải được, suy ra G/P là siêu giải được. Mà G/H cũng là siêu giải được theo giả thiết, nên theo định lý 1.6.8 suy ra G/ (P∩H) là siêu giải được.
Giả sử rằng P∩H <H . Khi đó G là siêu giải được vì nếu G không siêu giải được sẽ mâu thuẫn với tính tối tiểu của chọn cặp (G, H) điều này mâu thuẫn. Suy ra điều giả sử là sai tức là có P∩H =H .
Vì HGvà P/Φ( )P là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/Φ( )P . Do đó ta có HΦ( )P = Φ( )P hay HΦ( )P =P
Nếu HΦ( )P = Φ( )P ⇒ H ≤ Φ( )P , kết hợp P≤G theo định lý 1.5.4 suy ra Φ( )P ≤ Φ( )G . Do đó ta có H ≤ Φ( )P ≤ Φ( )G , vì G/Φ( )G là siêu giải được nên theo mệnh đề 1.6.5 ta có G là siêu giải được, điều này mâu thuẫn. Do đó ta có HΦ( )P =P, kết hợp với chứng minh ở trên P∩H =H ta được H=P.
(3) Mâu thuẫn cuối cùng.
Theo giả thiết mọi nhóm con cyclic của H có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong G. Do H = P nên mỗi nhóm con cyclic U của P có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong G.
Vì UP và P G tức là ta có U P G nên theo tính chất 2.3.1 (4) ta có UG
Lập luận hoàn toàn tương tự giống nhóm con chuẩn tắc H của G ở trên ta có U = P hoặc U≤ Φ( )P . Nếu U = P thì P là cyclic (do U là cyclic). Vì G/P là siêu giải được nên ta có G là siêu giải được, điều này mâu thuẫn. Do đó ta có thể giả sử rằng U ≤ Φ( )P với mọi nhóm con cyclic U của P có cấp nguyên tố hoặc cấp 4.
Vì số mũ của P là p hoặc là 4 nên ta có P≤ Φ( )P , điều này là vô lý
Vậy điều giả sử là sai, chứng tỏ G là nhóm siêu giải được. ■
2.3.2. Định lý. Cho F là một formation bão hoà chứa lớp tất cả các nhóm siêu
giải được U. Giả sử rằng H là một nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G/H∈F và
mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu
trong G. Khi đó G∈F.
Chứng minh
Giả sử U là nhóm con cyclic bất kỳ của F* (H) có cấp nguyên tố hoặc cấp 4. Khi đó theo giả thiết U là chuẩn tắc yếu trong G. Do *
( )
U ≤F H ≤G nên theo tính chất 2.2.1.(1) suy ra U là chuẩn tắc yếu trong *
( )
F H . Theo định lý 2.3.1
( * *
( ) ( )
F H F H , mỗi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong *
( )
F H ) suy ra *
( )
F H là siêu giải được. Theo định lý 1.10.9(2) ta có *
( ) ( )
Vì F(H) là luỹ linh nên với bất kỳ nhóm con cyclic U của *
( )
F H có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 ta có U F H( ) H G. Theo tính chất 2.2.1 (4) suy ra
UG.
Theo [14, Định lý 1] ta có G∈F. ■
2.3.2.1. Hệ quả.Nếu H G là giải được, G/H là siêu giải được và mọi nhóm con
cyclic của F(H) có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 là một H-nhóm con của G thì G là
nhóm siêu giải được.
Chứng minh
Gọi F là lớp formation bão hoà chứa lớp tất cả các nhóm siêu giải được U. Theo giả thiết ta có HG, G/H là siêu giải được suy ra G H/ ∈F.
Mọi nhóm con cyclic có cấp nguyên tố hoặc cấp 4 của *
( ) ( )
F H ≤F H là H-nhóm con của G, suy ra mọi nhóm con cyclic cấp nguyên tố hoặc cấp 4 của *
( )
F H là chuẩn tắc yếu trong G (vì mọi H-nhóm con của G là chuẩn tắc yếu trong G). Theo định lý 2.3.2 ta có G∈F. Vậy G là siêu giải được. ■
2.3.2.2. Hệ quả.Cho F là một formation bão hoà chứa lớp tất cả các nhóm siêu
giải được U. Cho G là một nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho
G/H∈F. Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố hoặc cấp
4 là pronormal trong G. Khi đó G∈F.
Chứng minh
Do mọi nhóm con pronormal trong G là chuẩn tắc yếu trong G nên áp dụng
định lý 2.3.2 ta có G∈F. ■
2.3.3. Định lý. Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G sao cho G/H là luỹ linh. Giả sử rằng mọi nhóm con tối tiểu của H bị chứa trong Z∞( )G và mọi
Chứng minh
Giả sử kết quả trên là sai, tức G không luỹ linh, ta đưa ra một phản ví dụ trong trường hợp G bé nhất.
Lấy K < G, theo định lý 1.1.1.(1) ta có K/ (K∩H)KH H/ ≤G H/ , do /
G H là luỹ linh nên K/ (K∩H) cũng là luỹ linh vì nhóm con của nhóm luỹ linh là luỹ linh.
Theo giả thiết mọi nhóm con tối tiểu của H bị chứa trong Z∞( )G nên suy ra mọi nhóm con tối tiểu của K∩H bị chứa trong K∩Z∞( )G ≤Z∞( )K . Mỗi nhóm con cyclic cấp 4 của H là chuẩn tắc yếu trong G, mà K∩H ≤H nên suy ra mỗi nhóm con cyclic cấp 4 của K∩H là chuẩn tắc yếu trong G. Áp dụng tính chất 2.2.1.(1) với K∩H ≤K <G ta có mỗi nhóm con cyclic cấp 4 của K∩H là chuẩn tắc yếu trong K.
Do đó ( ,K K∩H) thoả mãn điều kiện của định lý, suy ra K luỹ linh vì nếu K không luỹ linh thì khi đó sẽ tồn tại một nhóm con thực sự K của G mà K < G
điều này mâu thuẫn với tính tối tiểu của việc chọn G. Do vậy, chúng ta có thể giả sử rằng G không luỹ linh nhưng mọi nhóm con thực sự của G là luỹ linh.
Theo định lý 1.7.5 ta có G=P.Q trong đó P là p – nhóm con Sylow chuẩn tắc, Q là q – nhóm con Sylow cyclic không chuẩn tắc với q≠ p, p, q là số nguyên tố. Và P/Φ( )P là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/Φ( )P . Hơn nữa, exp (P) = p nếu p > 2, và exp(P) lớn nhất là 4 nếu p = 2.
Theo định lý 1.1.1. (2) tồn tại một đơn cấu G/ (P∩H)→G P G H/ × / nên
/ ( ) / /
G P∩H ≤G P G H× . Mà G/H là luỹ linh và G P/ Q là luỹ linh suy ra
/ ( )
G P∩H là luỹ linh.
Nếu P≤H khi đó P∩H <P và Q P( ∩H)<QP=G nghĩa là Q P( ∩H) là một nhóm con thực sự của G nên Q P( ∩H) là luỹ linh (theo lập luận ở trên)
Vì Q là một nhóm con Sylow chuẩn tắc của Q P( ∩H) và Q là đặc trưng trong Q P( ∩H) nên Q P( ∩H)= ×Q (P∩H). Mặt khác, vì G/ (P∩H) là luỹ linh và Q P( ∩H) / (P∩H)G/ (P∩H) nên Q G suy ra G= ×P Q (mâu thuẫn).
Vì thế chúng ta có thể giả sử rằng P≤H. Nếu exp(P) = p thì ( ).
P= ∩P H ≤Z∞ G
Theo tính chất 2.2.3 ta có G= ×P Q, điều này mâu thuẫn. Do đó chúng ta có p=2 và exp(P) = 4. Giả sử rằng tồn tại x∈P\Φ( )P với x =2. Đặt G
M = x ≤P
ta có M ≤P và MΦ( ) /P Φ( )P G/Φ( )P . Vì P/Φ( )P là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/Φ( )P nên P=MΦ( )P =M ≤Z∞( )G
điều này mâu thuẫn.
Do đó mỗi phần tử của P/Φ( )P có cấp là 4, nên với x∈P\Φ( )P thì x là chuẩn tắc yếu trong G theo giả thiết. Vì x P G nên x G theo tính chất 2.2.1.(4).
Nếu ∃ ∈x P\Φ( )P sao cho x Q=G thì G là luỹ linh (mâu thuẫn)
Do đó chúng ta có thể giả sử rằng x Q<G (∀ ∈x P\Φ( ))P , suy ra x Q là luỹ linh và x ≤N QG( )⇒ ≤P N QG( )⇒ = ×G P Q là luỹ linh, điều này mâu thuẫn.
Vậy điều giả sử ban đầu là sai, suy ra G là luỹ linh. ■
2.3.4. Định lý. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G/H là luỹ linh. Giả
sử rằng mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp 4 là chuẩn tắc yếu trong G. Khi
đó G là luỹ linh khi và chỉ khi mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố
chứa trong Z∞( )G .
Chứng minh
Chúng ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ
Tức giả sử rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G/H là luỹ linh. Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của *
( )
và mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố chứa trong Z∞( )G . Khi đó G là luỹ linh.
Thật vậy
Giả sử rằng kết quả trên là sai tức G không luỹ linh, ta sẽ đưa ra một phản ví dụ trong trường hợp cấp của G là bé nhất. Khi đó chúng ta có:
(1) Mọi nhóm con chuẩn tắc thực sự của G là luỹ linh và F G( ) là nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G.
Giả sử M là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G. Khi đó theo theo định lý 1.1.1.(1) ta có M / (M ∩H)MH H/ ≤G H/ , do G H/ là luỹ linh nên
/ ( )
M M∩H cũng là luỹ linh vì nhóm con của nhóm luỹ linh là luỹ linh. Vì M ∩HH nên theo định lý 1.10.9.(1) ta có * *
( ) ( )
F M ∩H ≤F H và có
( ) ( )
Z∞ G ∩M ≤Z∞ M . Suy ra (M M, ∩H) thoả mãn điều kiện của định lý nên suy ra M là luỹ linh vì nếu M không luỹ linh thì khi đó sẽ tồn tại một nhóm không luỹ linh có cấp bé hơn cấp của G thoả mãn điều kiện của định lý, điều này mâu thuẫn với tính tối tiểu của việc chọn G. Do G là hữu hạn nên F(G) là luỹ linh và là nhóm con tối đại, chuẩn tắc luỹ linh duy nhất của G, mà M cũng là nhóm con chuẩn tắc tối đại luỹ linh của G nên M=F G( ).
(2) H = G = G’ và *
( ) ( )
F G =F G <G
Nếu H < G tức H là nhóm con thực sự của G thì theo (1) H là luỹ linh, do đó *
( ) ( )
F H =F H =H. Theo định lý 2.3.3 thì G là luỹ linh, mâu thuẫn với điều giả sử. Do đó ta có thể giả sử rằng H =G. Theo (1), F G( )<Glà nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G nên G F G/ ( )là nhóm đơn.
Nếu G F G/ ( )là cyclic cấp nguyên tố thì G là luỹ linh theo định lý 2.3.3. Do đó
/ ( )
G F G là nhóm đơn không Aben, nên G'≤F G( ) suy ra G’=G. Nếu *
( ) ( )
F G <F G thì * *
( ) ( )
F H =F G =G. Theo định lý 2.3.3 ta có G là luỹ linh, điều này mâu thuẫn. Do đó *
( ) ( )
(3) Nếu q là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết F G( ) và Q là q-nhóm con Sylow của F(G) thì G C Q/ G( ) là q-nhóm.
Vì *
( ) ( )
F G =F G không phải là nhóm đơn vị, với q là số nguyên tố nhỏ nhất chia hết F G( ) , nên q-nhóm con Sylow Q của F G( ) là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G. Theo giả thiết Ω1( )Q ≤Z∞( )G nên
1
( ( )) q( )
G
C Ω Q ≥O G theo tính chất 2.2.3. Nếu q>2 thì C QG( )≥O Gq( ). Do đó
/ G( )
G C Q là một q-nhóm. Nếu q=2 thì với bất kỳ nhóm con cyclic x của Q có cấp 4, x là á chuẩn tắc trong G và là chuẩn tắc yếu trong G theo giả thiết. Do đó theo tính chất 2.2.1.(4) thì x G.
Lấy p là ước nguyên tố khác 2 của G và P là p-nhóm con Sylow của G. Theo [9, IV, định lý 2.8], x P là luỹ linh, và P⊂CG < >x , suy ra
2 ( ) G O G ⊂C < >x và 2 2 ( ) G( ( )) O G ⊂C Ω G . Do đó 2 ( ) ( ) G C Q ≥O G và G C Q/ G( ) là 2-nhóm.
(4) Mâu thuẫn cuối cùng.
Vì G'=G và G C Q/ G( ) là một q-nhóm nên C QG( )=G, suy ra Q≤Z G( ). Theo định lý 1.10.9 (4) ta có * *
( / ) ( ) /
F G Q =F G Q. Xét nhóm G=G Q/ , vì q là ước nguyên tố nhỏ nhất của *
( )
F G và Q là một q-nhóm con Sylow của *
( )
F G nên mỗi phần tử y có cấp nguyên tố r trong * ( )
F G có thể coi như ảnh của một phần tử y có cấp nguyên tố r trong *
( )
F G với mọi r > q . Suy ra y nằm trong Z∞( )G theo giả thiết. Mặt khác Z∞(G Q/ )=Z∞( ) /G Q nên y nằm trong Z∞(G Q/ ). Rõ ràng, *
( / )
F G Q không có nhóm con cyclic cấp 4. Do đó /
G=G Q thoả mãn giả thiết của định lý (theo tính chất 2.2.2). Do tính tối tiểu của việc chọn G nên G/Q là luỹ linh, do đó G là luỹ linh, mâu thuẫn cuối cùng. Mâu thuẫn cuối cùng cho ta điều phải chứng minh. ■
2.3.4.1. Hệ quả.Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho G/H là
luỹ linh. Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp 4 là một H-nhóm
con của G. Khi đó G là luỹ linh khi và chỉ khi mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố chứa trong Z∞( )G .
Chứng minh
Vì mọi H-nhóm con của G là chuẩn tắc yếu trong G nên theo định lý 2.3.4 ta có được điều phải chứng minh. ■
2.3.4.2. Hệ quả.Cho H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho G/H là
luỹ linh. Giả sử rằng mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp 4 là pronormal
trong G. Khi đó G là luỹ linh khi và chỉ khi mọi nhóm con cyclic của *
( )
F H có cấp nguyên tố chứa trong Z∞( )G .
Chứng minh
Vì mọi nhóm con pronormal trong G là chuẩn tắc yếu trong G nên theo định lý 2.3.4 ta có được điều phải chứng minh. ■
KẾT LUẬN
Luận văn đã lần lượt trình bày một số vấn đề cơ bản của lý thuyết nhóm, sau đó đi tìm hiểu và chứng minh một số tính chất cơ bản của nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn, và tiếp tục đi chứng minh các định lý quan trọng về đặc trưng của tính siêu giải được và tính luỹ linh của một nhóm hữu hạn G với giả sử rằng mọi nhóm con có cấp nguyên tố của G là chuẩn tắc yếu trong G.
Như vậy, ta biết rằng ngoài việc sử dụng định nghĩa để chứng minh một