BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TỐN LUẬN VĂN THẠC SỸ ĐỀ TÀI: T - NHÓM HỮU HẠN GVHD SVTH : PGS.TS BÙI XN HẢI : LƯƠNG QUANG DƯƠNG TP HỒ CHÍ MINH - 2006 Cho em xin bày tỏ lòng thành kính biết ơn sâu sắc Thầy hướng dẫn, PGS TS Bùi Xn Hải, thuộc Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh; dành nhiều cơng sức thời gian q báu giúp em nghiên cứu Tốn học; trách nhiệm nghiêm túc khoa học, nhân hậu rộng mở tình cảm Đồng thời, cho em xin bày tỏ lòng thành kính biết ơn sâu sắc q Thầy PGS TS Bùi Tường Trí, TS Trần Hun, PGS TS Mỵ Vinh Quang, q Thầy, Cơ Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh, người Thầy nhiệt thành tận tụy giảng dạy, đức độ phúc hậu tình cảm; giúp cho em bạn lớp Cao học khóa 12 - chun ngành Đại số hiểu biết vững vàng kiến thức, tiếp nhận giá trị nhân văn sâu sắc Xin thành kính cảm ơn q Thầy, Cơ Ban Giám hiệu, Phòng Khoa học cơng nghệ - Sau đại học, Khoa Tốn - Tin học Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp cho em bạn lớp Cao học khóa 12 - chun ngành Đại số học tập nghiêm túc, thành đạt Xin thành kính cảm ơn q Thầy, Cơ Ban Giám đốc, Phòng Giáo dục trung học, Phòng chức Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Đồng Nai ln động viên, quan tâm tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khóa học tốt đẹp Xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ Ban Giám hiệu, Tổ Tốn đồng chí, đồng nghiệp Trường THPT Đồn Kết - huyện Tân Phú - tỉnh Đồng Nai động viên, tạo điều kiện giúp tơi vượt qua khó khăn, học tập đạt kết viên mãn Xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ; anh, chị; thân hữu ln động viên, tạo điều kiện giúp tơi học tập tiến triển Lý thuyết nhóm tuyến tính mơn học chương trình Cao học, chun ngành Đại số Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh; phần mở đầu mơn học này, có số nội dung lý thuyết nhóm; điều giúp nhớ kỷ niệm “thuở ban đầu” học Tốn Trường ĐHSP Quy Nhơn Xin viết Luận văn sau học mơn Lý thuyết nhóm tuyến tính xuất phát từ tình cảm tự nhiên “thuở ban đầu” thân thương Được đồng ý Thầy hướng dẫn, cho phép Trường ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh, chúng tơi thực Luận văn “ - nhóm hữu hạn” Đây nhân dun tốt;T giúp tiếp cận, bước đầu hiểu biết số cấu trúc nhóm Luận văn phát triển theo hướng tìm điều kiện để nhóm có nhóm pronormal, đa chuẩn tắc; có hai kết vấn đề phát biểu chứng minh tài liệu tham kháo Luận văn thực lại điều ngơn ngữ học tập q Thầy; người Thầy khả kính có nhiều đóng góp cho phát triển Tốn học tỉnh, thành phía nam, đặc biệt thành phố Hồ Chí Minh Được Thầy PGS TS Bùi Xn Hải hướng dẫn, trách nhiệm nghiêm túc khoa học, nhân hậu rộng mở tình cảm nên Luận văn hồn thành viên mãn Nội dung Luận văn gồm hai chương : Chương I : Một số khái niệm Trình bày số khái niệm tính chất nhóm đa chuẩn tắc; nhóm Quaternion; nhóm giải được; nhóm lũy linh; nhóm tự đẳng cấu nhóm cyclic T Chương II : T - nhóm - nhóm Trình bày số khái niệm kết nhóm Dedekind; tâm hóa tử; nhóm Fitting T - nhóm; T - nhóm T- nhóm Vì lực, thời gian, kiến văn có hạn chế nên Luận văn có thiếu sót, sai sót Kính mong q Thầy, Cơ dạy; bạn đồng nghiệp góp ý Cuối cho em xin bày tỏ lòng thành kính, biết ơn sâu sắc Thầy PGS TS Bùi Xn Hải, Thầy PGS TS Bùi Tường Trí, Thầy TS Trần Hun, Thầy PGS TS Mỵ Vinh Quang q Thầy, Cơ tham gia giảng dạy, quản lý lớp Cao học khóa 12 - chun ngành Đại số nhiệt thành, tận tụy giảng dạy, hướng dẫn giúp em hồn thành khóa học tốt đẹp Chươn g I : 1.1 Nhóm quạt 1.1.1 Định nghĩa Cho D nhóm nhóm G Khi đó, nhóm H G gọi nhóm trung gian G D D nhóm H; trường hợp khơng nhầm lẫn nói ngắn gọn H nhóm trung gian 1.1.2 Định nghĩa (Z.I Borevich) Cho G nhóm, D nhóm G, cho họ khác rỗng M = {(G , NG(G))} gồm nhóm trung gian G chuẩn hóa tử NG(G) chúng Ta nói M quạt G D với nhóm trung gian H tồn số cho G H N G(G) Khi G, NG(G)/G gọi nhóm sở, phận quạt M Nếu D tồn quạt D gọi nhóm quạt G Ví dụ 1.1 Mọi nhóm chuẩn tắc D nhóm G nhóm quạt G Thật vậy, D nhóm quạt G, với quạt họ gồm phần tử M = {(D, NG(D))} 1.1.3 Định nghĩa Cho G nhóm, D nhóm G, A tập khác rỗng G, với a, x phần tử tùy ý G Khi đó, ký hiệu : x a = a -1xa, Da = x a / x D , DA = Da / a A 1.1.4 Định nghĩa Cho G nhóm D F G Khi đó, F gọi nhóm đầy đủ G D DF = F Ví dụ 1.2 Cho D nhóm nhóm G Khi đó, D nhóm đầy đủ G D (vì DD = D) Chú ý 1.1 Cho G nhóm D F G Khi đó, DF F 1.2 Khái nịệm nhóm đa chuẩn tắc 1.2.1 Định nghĩa (Z.I Borevich) Cho D nhóm nhóm G Khi đó, D gọi nhóm đa chuẩn tắc G D nhóm quạt nhóm sở quạt đầy đủ Ví dụ 1.3 Mọi nhóm chuẩn tắc nhóm G nhóm đa chuẩn tắc G, quạt xác định Ví dụ 1.1 Khái niệm sau đây, thêm minh họa nhóm đa chuẩn tắc mà Chương II vận dụng 1.2.2 Định nghĩa (Ph Hall) Nhóm D nhóm G gọi pronormal G với x G, tồn u D, Dx cho Dx = D u Ví dụ 1.4 Mọi nhóm chuẩn tắc nhóm G nhóm pronormal G Chứng minh Giả sử D G; nên Dx = D, Dx = D1, với x G ٱ Nhận xét 1.1 Cho D nhóm pronormal nhóm G Khi đó, D, Dx nhóm đầy đủ G D, với x G Chứng minh Lấy x tùy ý thuộc G, tồn u D, D x cho Dx = D u; ta có D, Dx = D, Du Vì u D, Dx; nên Du D D , D x x x ; từ D, Du D D , D D, D x x Vậy D, Dx D D , D ; mà D D , D D, Dx; nên D, Dx =D ٱ Chú ý 1.2 (Z.I Borevich) Nhóm thỏa kết luận Nhận xét 1.1 gọi nhóm paranormal Nhận xét 1.2 Mọi nhóm paranormal nhóm G nhóm đa chuẩn tắc G Chứng minh Giả sử D nhóm paranormal G, với x G, m Z, ta có m m D x D, D x = D D , D xm m , D, D x đầy đủ m m Mà D,D x D , nênD Từ D = , D DD x x 2 D ,D x DD 1 x , m Z, x G , D x , D, D x , D x , D D DD x x D, Hiển nhiên = D, x G Do D nhóm đầy đủ, x G Theo Định lý 1.3.2 (chứng minh sau), ta có D nhóm đa chuẩn tắc G ٱ 1.3 Một số kết nhóm đa chuẩn tắc 1.3.1 Định lý Cho G nhóm D G Khi đó, D nhóm đa chuẩn tắc G DH nhóm đầy đủ G D, với nhóm trung gian H Chứng minh () : Giả sử D nhóm đa chuẩn tắc G Vậy tồn quạt M = {(G, NG(G))} D, mà G nhóm đầy đủ G D, với Xét H nhóm trung gian G D; theo định nghĩa quạt, tồn số thỏa G H NG(G) Vì G NG(G); nên G H; suy GH = G D G DH GH (vì D G H) Mà G = D G , G nhóm đầy đủ G D G Từ G = D DH GH = G ; DH = G Do DH nhóm đầy đủ G D () : Giả sử DH nhóm đầy đủ G D, với nhóm trung gian H Xét họ M = {(G , NG(G))}, với G nhóm đầy đủ G D, nhận thấy M ; (D, N G(D)) M Với H nhóm trung gian G D, cần chứng tỏ tồn số cho G H N G(G) Thật vậy, hiển nhiên D DH G Và theo giả thuyết, DH nhóm đầy đủ G D Nên (DH, NG(DH)) M, tồn thỏa G = D H Mà DH nhóm chuẩn tắc nhỏ H chứa D, G = DH H Do G H NG(G), NG(G) nhóm lớn G nhận G làm nhóm chuẩn tắc Bây giờ, giả sử tồn cho G H NG(G) Nên G H (vì G NG(G) Vậy G = DH GH = G (vì D G) D G DH = G (vì G H) Mà G G = D , G nhóm đầy đủ G D Vậy G = D G DH = G Từ G = G, nghĩa = Vậy với H nhóm trung gian G D, tồn số cho G H NG(G ) Nên M = {(G, NG(G))} quạt D, G nhóm đầy đủ G D, với Do D nhóm đa chuẩn tắc G ٱ 1.3.2 Định lý Cho G nhóm D nhóm G Khi đó, D nhóm đa chuẩn tắc G D x nhóm đầy đủ G D, với x thuộc G Chứng minh () : Giả sử D nhóm đa chuẩn tắc G Vậy DH nhóm đầy đủ G D, với nhóm trung gian H (Định lý 1.3.1) Mà D x,D G, x G; nên D x, D nhóm đầy đủ G D, x G Mặt khác D x = D x, D , x G Do D x nhóm đầy đủ G D, x G () : Giả sử D x nhóm đầy đủ G D, x G Xét họ M = {(G , NG(G))}, với G nhóm đầy đủ G D Hiển nhiên M , (D, NG(D)) M Lấy H nhóm trung gian tùy ý, cần chứng tỏ tồn cho G H NG(G ) Thật vậy, ta có D DH G DH = Dx / x H = D x / x H Mà D x nhóm đầy đủ G D, x G Vậy DH nhóm đầy đủ G D Nên (DH, NG(DH)) M Nghĩa tồn cho G = DH Mặt khác DH nhóm chuẩn tắc nhỏ H chứa D; nên G = DH H; G H NG(G) Bây giờ, giả sử tồn cho G H NG(G); G NG(G) Nên G H Vậy G = DH GH = G (vì D G) D Mà G DH = G (vì G H) G G = D , G nhóm đầy đủ G D Từ G = D G DH = G Từ G = G, nghĩa = Vậy với H nhóm trung gian G D, tồn số cho G H NG(G ) Nên M = {(G, NG(G))} quạt D, mà G nhóm đầy đủ G D, với Do D nhóm đa chuẩn tắc G ✿ ٱ 2.1 Bổ đề Cho G nhóm nhóm GL2(C) sinh hai phần tử 0 i và b = i 0 1 a 0= Khi đó, ta có điều khẳng định sau : i/ G nhóm khơng Abel cấp ii/ G có nhóm cấp iii/ Mọi nhóm G chuẩn tắc G Chứng minh i/ Ta có a = 1 0 0 i i i i = b 0 Nên a4 = b4 = = 1, với ma trận đơn vị GL2(C) Vậy a3 = a-1, b3 = b-1; 1 Suy b-1 = b3 = b2b = i Do b-1a = i i i i i i i i i = ab Từ ta thấy G biểu diễn dạng phần tử sinh đồng thức sau G = a, b / a4 = 1, a2 = b2, b-1a = ab Vậy phần tử x G viết dạng x = ab, với 3, Nên G = {1, a, a2, a3, b, ab, a2b, a3b} Nghĩa |G| = i 0 i Mặt khác ab = i 0 0 i i i = ba Do G nhóm khơng Abel cấp ii/ Ta có (a2)2 = 1, nên a2 phần tử cấp G; Vậy a2 nhóm cấp G Mặt khác : a, b phần tử cấp G; a3 phần tử cấp G; (a3)2 = a2 1, (a3)3 = a 1, (a3)4 = ab phần tử cấp G; (ab)2 = a2 1, (ab)3 = a2ab = a3b 1, (ab)4 = (a2)2 = a4 = a2b phần tử cấp G; (a2b)2 = a2ba2b = a2b = a2 1, (a2b)3 = a2(a2b) = b 1, (a2b)4 = a4 = a3b phần tử cấp G; (a3b)2 = a3ba3b = a2b-1aa3b = a2 1, (a3b)3 = a2a3b = ab 1, (a3b)4 = a4 = Do a2 nhóm cấp G iii/ Lấy H nhóm tùy ý G Vì |G| = 8, theo Định lý Lagrange, ta có |H| = 1, 2, 4, Trường hợp |H| = |H| = 8, hiển nhiên H G Trường hợp |H| = 2; |Hx| = 2, với x G, Hx nhóm liên hợp với H G; nên Hx = H, với x G, G có nhóm cấp 2; suy H G Trường hợp |H| = 4; Theo Định lý Lagrange, ta có [G : H] = 2; kéo theo H G Do nhóm G chuẩn tắc G ٱ 2.2 Định nghĩa Nhóm nói tới Bổ đề 2.1 gọi nhóm Quaternion ký hiệu Q ❁