Về nhóm tuyến tính trên vành chia hữu hạn địa phương yếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN oOo TRỊNH THANH ĐÈO VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN oOo TRỊNH THANH ĐÈO VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số chuyên ngành: 62 46 05 01 Phản biện 1: GS.TS Nguyễn Văn Sanh Phản biện 2: PGS.TS Mỵ Vinh Quang Phản biện 3: TS Nguyễn Viết Đông Phản biện độc lập 1: GS.TSKH Nguyễn Tự Cường Phản biện độc lập 2: TS Phó Đức Tài Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI TP HỒ CHÍ MINH - 2012 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án trung thực chưa công bố công trình khác TÁC GIẢ LUẬN ÁN TRỊNH THANH ĐÈO Lời cảm ơn Trước tiên, tác giả luận án xin gởi lời cảm ơn trân trọng đến người thầy đáng kính, PGS.TS Bùi Xuân Hải, người hết lòng hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập từ đại học, đến cao học nghiên cứu sinh Xin cám ơn anh Mai Hoàng Biên tham gia nhóm nghiên cứu tác giả có đóng góp quan trọng cho kết luận án Xin cám ơn TS Nguyễn Viết Đông TS Trần Ngọc Hội nhiệt tình giúp đỡ tác giả việc thực chuyên đề nghiên cứu sinh Xin cám ơn GS.TS Đặng Đức Trọng (trưởng khoa Toán - Tin học) tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh Xin cám ơn thầy cô đồng nghiệp giúp đỡ động viên tác giả hoàn thành luận án Xin cám ơn anh chò thuộc Phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp.HCM nhiệt tình giúp đỡ dẫn thủ tục liên quan đến công việc học tập nghiên cứu sinh thủ tục bảo vệ luận án Xin gởi lời cảm ơn trân trọng đến thầy Võ Văn Phú (giáo viên trường THPT Hồ Thò Kỷ, Tp Cà Mau, tỉnh Cà Mau) giúp cho tác giả có niềm đam mê học toán hình thành nhân cách học toán tác giả Cuối cùng, xin gửi lời tri ân đến gia đình, bè bạn, người thân đồng nghiệp động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập công tác TÁC GIẢ LUẬN ÁN Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Phần giới thiệu Chương 1.1 1.2 1.3 Các kiến thức mở đầu Các khái niệm ký hiệu Về lớp vành chia không giao hoán Một số kết cổ điển liên quan đến luận án 11 Chương 2.1 2.2 2.3 Nhóm tuyến tính bậc vành chia 14 Nhóm tuyến tính bậc vành chia kiểu 14 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu 22 Nhóm tuyến tính bậc vành chia hữu hạn đòa phương yếu 29 Chương Nhóm tuyến tính bậc n vành chia 32 3.1 Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh 32 3.2 Nhóm tuyến tính tối đại tâm 35 Kết luận luận án 48 Đề xuất luận án 50 Danh mục công trình tác giả 51 Các báo cáo Hội nghò, Hội thảo 51 Tài liệu tham khảo 52 Bảng ký hiệu Ký hiệu D vành chia F tâm D D ∗ - nhóm nhân vành chia D D := [D ∗ , D ∗ ] - đạo nhóm nhóm nhân D ∗ F [S] - vành sinh tập hợp S trường F F (S) - vành chia sinh tập hợp S trường F S - nhóm sinh tập hợp S [K : F ] - chiều không gian vectơ K trường F [D : K]r - chiều D không gian vectơ (phải) trường K ND/F RND/F - chuẩn chuẩn rút gọn D F CG (X) NG (X)-tâm hóa tử chuẩn hóa tử tập X nhóm G H ≤ G - H nhóm nhóm G H G - H nhóm chuẩn tắc nhóm G Z(G), Z(R) - tâm nhóm G, vành R R∗ - tập hợp tất phần tử khả nghòch vành R Mn (D) - vành ma trận vuông cấp n vành chia D GLn (D) - nhóm tuyến tính tổng quát bậc n vành chia D SLn (D) - nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n vành chia D CharD - đặc trưng vành chia D K/F - K mở rộng trường trường F Fp - trường nguyên tố với đặc trưng p Q - trường số hữu tỷ Phần giới thiệu Trong lý thuyết vành chia, toán nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát nhóm vành chia không giao hoán, rộng khảo sát tính chất liên quan đến nhóm tuyến tính vành chia Có nhiều kết thú vò liên quan đến toán này, số phải kể đến khám phá tiếng Wedderburn vào năm 1905, “nếu nhóm nhân D∗ vành chia D hữu hạn D giao hoán” Sau đó, L K Hua chứng minh (xem [22], p.223) nhóm nhân vành chia không giao hoán không giải Năm 2009, B X Hải N V Thìn (xem [16]) chứng minh D ∗ không lũy linh đòa phương Một vài kết tìm thấy công trình nhóm tác giả S Akbari, M Mahdavi-Hezavehi, R Ebrahimian, B X Hải (xem [2]-[5], [10], [13]-[16], [23]-[27]), Một nghiên cứu luận án khảo sát toán cho lớp vành chia mở rộng lớp vành chia hữu hạn đòa phương, lớp vành chia kiểu lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu (xem Đònh nghóa 1.1 1.2) Đối với lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu, xây dựng ví dụ chứng tỏ lớp mở rộng thực lớp vành chia hữu hạn đòa phương, chí lớp không chứa lớp vành chia đại số tâm Đối với lớp vành chia kiểu 2, việc chứng tỏ lớp vành chia thực chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phương toán khó Sự khó khăn liên quan đến giả thuyết chưa có câu trả lời A Kurosh đặt năm 1941 (được hiểu Bài toán Kurosh vành chia (xem [20], [21])), là: “Mọi vành chia đại số hữu hạn đòa phương” Trong luận án, kết đạt lớp vành chia kiểu chưa chứng minh cho vành chia hữu hạn đòa phương Do đó, chưa có ví dụ chứng tỏ lớp vành chia kiểu thực khác với lớp vành chia hữu hạn đòa phương, kết đạt có giá trò lớp vành chia hữu hạn đòa phương Trong Chương 2, đưa kết liên quan đến nhóm nhóm nhân D ∗ vành chia D (gọi nhóm tuyến tính bậc vành chia), với D vành chia kiểu vành chia hữu hạn đòa phương yếu Các kết thu kết mở rộng kết có lớp vành chia hữu hạn tâm Cụ thể hơn, Mahdavi-Hezavehi (xem [25]) chứng minh rằng, D vành chia hữu hạn tâm Z(D ) hữu hạn Từ kết này, Mahdavi-Hezavehi đưa câu hỏi là: “nếu D đại số tâm Z(D ) có nhóm xoắn hay không”? Câu hỏi đến chưa có câu trả lời Bằng cách khảo sát lớp vành chia kiểu 2, chứng minh rằng, D vành chia kiểu Z(D ) nhóm xoắn (Đònh lý 2.3) Hơn nữa, sử dụng kết này, chứng minh vành chia kiểu không giao hoán với tâm F , nhóm hữu hạn sinh chứa F ∗ (Đònh lý 2.5) Dựa vào kết ta suy rằng, D vành chia kiểu cho D ∗ hữu hạn sinh D trường hữu hạn Do kết xem mở rộng mạnh Đònh lý [4] (nếu D hữu hạn tâm D ∗ hữu hạn sinh D giao hoán) Liên hệ đến giả thuyết Herstein [17]: “Cho D vành chia với tâm F Nếu N nhóm chuẩn tắc (subnormal) D∗ cho N F N ⊆ F ” B X Hải L K Huỳnh (xem [14]) chứng minh giả thuyết cho trường hợp vành chia hữu hạn tâm Ở Đònh lý 2.16, chứng minh giả thuyết cho trường hợp D vành chia hữu hạn đòa phương yếu Ngoài ra, cách xét trường hợp D vành chia kiểu 2, chứng minh kết luận cho trường hợp N nhóm chuẩn tắc vành chia thực K D, không thiết tâm F (xem Đònh lý 2.11) Bằng cách thực tương tự chứng minh Đònh lý 2.11, chứng tỏ kết thay lớp vành chia kiểu lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu (Đònh lý 2.18) Trong Chương 3, xét toán liên quan đến nhóm tuyến tính tổng quát vành chia D hữu hạn đòa phương yếu thu kết sau: Nếu D vành chia hữu hạn đòa phương yếu N nhóm chuẩn tắc hữu hạn sinh GL n (D) trường hợp n = (Đònh lý 3.1) n ≥ N vô hạn (Đònh lý 3.2) ta có N nằm tâm D Kết xem kết mở rộng ([23], Đònh lý 1) ([4], Đònh lý 5) Sau đó, nghiên cứu mở rộng Đònh lý [23] chứng minh rằng, D vành chia không giao hoán, đại số hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , N nhóm GL n (D), n ≥ 1, cho N chứa F ∗ N không hữu hạn sinh (Đònh lý 3.4) Phần cuối Chương khảo sát tính chất liên quan đến nhóm tối đại tâm nhóm tuyến tính tổng quát GL n (D), thu kết quan trọng sau: “Cho D vành chia không giao hoán hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , n ≥ Khi đó, tồn nhóm tối đại M GLn (D) cho M F n = 1,CharD = p > 0, [D : F ] = p2 , F ∗ ⊆ M , K := M ∪ {0} trường tối đại D, K/F mở rộng túy không tách được” (Đònh lý 3.15) Kết mở rộng mạnh Đònh lý [26] Đònh lý [27] Áp dụng kết trên, đưa kết mở rộng Đònh lý 11 [3] từ lớp vành chia hữu hạn tâm sang lớp vành chia tổng quát, chí giảm bớt điều kiện M ∪ {0} chứa tâm vành chia Có thể nói kết thật mạnh so với kết có Cụ thể, ta kết sau: “Cho D vành chia không giao hoán với tâm F giả sử M nhóm tối đại GLn (D), n ≥ Khi đó, M/M ∩ F ∗ nhóm hữu hạn đòa phương n = 1, CharD = p > 0, [D : F ] = p2 , F ∗ ⊆ M , K := M ∪ {0} trường tối đại D, K/F mở rộng túy không tách được” (Đònh lý 3.17) Các phương pháp sử dụng luận án phương pháp nhiều nhà toán học sử dụng hướng nghiên cứu nhóm tuyến tính vành chia Đó phương pháp lý thuyết nhóm kết hợp với lý thuyết vành, như: dùng điều kiện hữu hạn để khảo sát trường hợp cần thiết, sử dụng phương pháp lý thuyết nhóm tuyến tính trường số trường hợp cụ thể Các kết thu chưa công bố công trình khác TÁC GIẢ LUẬN ÁN Chương Các kiến thức mở đầu Trong chương này, đưa số khái niệm ký hiệu liên quan đến luận án Bên cạnh đó, phát biểu lại số đònh lý cổ điển lý thuyết vành chia áp dụng nhiều luận án Đònh lý Wedderburn-Artin, Jacobson, Kaplansky, Cartan-Brauer-Hua, Đònh lý tâm hóa tử kép, 1.1 Các khái niệm ký hiệu Trong toàn luận án, ký hiệu D vành chia F tâm D, [D : F ] chiều D (như không gian vectơ) F Ký hiệu D ∗ D := [D ∗ , D ∗ ] tương ứng nhóm nhân D đạo nhóm nhóm nhân Nếu S tập khác rỗng D ta ký hiệu F [S] F (S) tương ứng vành vành chia D sinh S F Nếu S tập khác rỗng M n (D) F [S] vành M n (D) sinh S F Ta nói vành chia D hữu hạn tâm D không gian vectơ hữu hạn chiều tâm nó; D hữu hạn đòa phương với tập hữu hạn S D, vành chia F (S) D không gian vectơ hữu hạn chiều F Nếu a phần tử thuộc D ta có mở rộng trường F ⊆ F (a) Ta nói a đại số F mở rộng trường mở rộng hữu hạn Một tập S = Ø D gọi đại số F phần tử thuộc S đại số F Vành chia D gọi đại số tâm (nói ngắn gọn đại số) phần tử thuộc D đại số tâm F Ta ký hiệu N D/F Khi br ∈ F nên r = 0, m = ps Như ta có = bps − = (bs − 1)p Từ điều ta b s = 1, điều mâu thuẫn Vậy N ⊆ F Để chứng minh kết tiếp theo, ta cần Bổ đề sau (được xem mở rộng Đònh lý Cartan-Brauer-Hua cho vành ma trận) Bổ đề 3.13 (Rosenberg) Cho D vành chia R vành vành ma trận Mn (D), n ≥ Khi đó, R∗ nhóm chuẩn tắc GLn (D) R nằm tâm Mn (D) R = Mn (D) Chứng minh Xem Hệ [29] Đònh lý [26] rằng, D vành chia hữu hạn tâm không giao hoán, với tâm F , M nhóm tối đại GL n (D) cho M F , M chứa nhóm abel với số hữu hạn Đònh lý sau chứng tỏ nhóm không tồn GL n (D) với n ≥ D hữu hạn đòa phương yếu Nhắc lại rằng, trường hợp n = xét đến Đònh lý 3.9 Đònh lý 3.14 Cho D vành chia không giao hoán hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , n ≥ Khi GLn (D) không chứa nhóm tối đại tâm F Chứng minh Giả sử M nhóm tối đại GL n (D) cho M F Do Bổ đề 3.10, ta giả sử M không lũy linh Ta có M tối đại GL n (D) nên ([4], Lemma 2) suy F ∗ ≤ M SLn (D) ≤ M Nếu SLn (D) ≤ M SLn (D) F , nên ([24], Corollary 2) kéo theo D = F , điều mâu thuẫn Vậy F ∗ ≤ M Đặt G = SLn (D) ∩ M Với x ∈ G, tồn n(x) nguyên dương cho xn(x) ∈ F Do x n(x) ∈ SLn (D) ∩ F = Z(SLn (D)) Từ bổ đề 41 2.14 3.3 suy Z(SL n (D)) nhóm xoắn Nói riêng, x phần tử xoắn Như G nhóm xoắn Mà M ≤ G nên M nhóm xoắn Xét H = A1 , A2 , , Ak nhóm hữu hạn sinh M S tập hợp tất phần tử xuất tất vò trí ma trận A i A−1 i Do D hữu hạn đòa phương yếu nên vành chia L D sinh S vành chia hữu hạn tâm Khi H xem nhóm tuyến tính hữu hạn sinh bậc mn Z(L), với m := [L : Z(L)] Hơn nữa, H nhóm xoắn, nên ([22], (9.9), p 154) suy H hữu hạn Như M nhóm hữu hạn đòa phương Do ([4], Corollary 1), ta suy M bất khả quy M chứa phiên D ∗ Nếu trường hợp thứ hai xảy D F , nên từ Đònh lý Kaplansky ([22], (15.15), p 259) ta D = F , điều mâu thuẫn Như M bất khả quy Áp dụng ([32], (1.1.15), p.9) ta F [M ] vành nửa nguyên tố Hơn nữa, M hữu hạn đòa phương nên F [M ] vành Artin đòa phương Theo ([32], (1.1.9), p.5 (1.2.6a), p.11), ta có F [M ] vành nửa đơn Artin Mặt khác, M ≤ N GLn (D) (F [M ]∗ ), nên từ tính tối đại M GL n (D) ta suy N GLn (D) (F [M ]∗ ) = GLn (D) NGLn (D) (F [M ]∗ ) = M Do F [M ]∗ ⊆ M nên trường hợp thứ hai không xảy Vậy N GLn (D) (F [M ]∗ ) = GLn (D), nghóa F [M ]∗ chuẩn tắc GLn (D) Mặt khác, F [M ] nửa đơn M không abel nên từ Bổ đề 3.13 ta F [M ] = Mn (D) Trường hợp CharF = Từ ([32], 2.5.5, p.74) ta M chứa nhóm metabelian chuẩn tắc A với số hữu hạn Do A lũy linh hữu hạn đòa phương Áp dụng ([32], (2.5.2), p.73) ta suy A chứa nhóm abel chuẩn tắc N với số hữu hạn Như N nhóm abel với số hữu hạn M Theo Đònh lý Poincaré ([19], (13.2.2), p.83), N chứa nhóm B cho B nhóm chuẩn tắc với số hữu hạn M Đặt m := [M : B] G = xm |x ∈ M Khi G ⊆ B G nhóm chuẩn tắc 42 M Như M ⊆ N GLn (D) (F [G]∗ ) Từ tính tối đại M GL n (D), ta suy N GLn (D) (F [G]∗ ) = GLn (D) NGLn (D) (F [G]∗ ) = M Nếu NGLn (D) (F [G]∗ ) = GLn (D) từ Bổ đề 3.13 ta F [G] = M n (D) Mà G abel nên điều xảy Như N GLn (D) (F [G]∗ ) = M Nói riêng, F [G] ∗ ⊆ M Áp dụng Bổ đề 3.12 ta G ⊆ F ∗ Bây giờ, ([32], (2.5.1), p.73), ta xem B nhóm nhóm tuyến tính GL n (C) Ta có B ≤ M nên với x ∈ B ta có det(x) = xm ∈ G ⊆ F Xem x phần tử GL n (C), suy = det(xm ) = xmn Do Đònh lý Burnside thứ (xem [22], (9.4), p 151) ta B hữu hạn, M nhóm hữu hạn Do F [M ](= Mn (D)) không gian vectơ hữu hạn chiều F Nói riêng, [D : F ] < ∞ Áp dụng ([26], Theorem 5) ta suy ra, tồn họ {K i }r1 trường thực chứa F cho K i∗ ⊆ M A = K1∗ × · · · × Kr∗ nhóm abel với số hữu hạn M Do K i F Nhưng điều mâu thuẫn với Bổ đề Kaplansky ([22], (13.11), p.219) Trường hợp CharF = p > Nhắc lại F [M ] = Mn (D) M hữu hạn đòa phương Do đó, từ ([32], (1.1.14), p.9), ta F p [M ] vành đơn Artin Trường hợp 2.1 Fp [M ]∗ ⊆ M Do M tối đại GL n (D) M chuẩn hóa F p [M ], suy F p [M ]∗ chuẩn tắc GL n (D) Mà M không abel, nên Bổ đề 3.13 kéo theo Fp [M ] = Mn (D) Từ đẳng thức từ M hữu hạn đòa phương suy D đại số F p Do đó, từ Đònh lý Jacobson ([22], (13.11), p.219) ta D giao hoán, điều mâu thuẫn Trường hợp 2.2 Fp [M ]∗ ⊆ M Do Fp [M ] vành đơn Artin nên tồn số nguyên dương n vành chia D1 cho F p [M ] ∼ = Mn (D1 ) Điều suy D đại số F p , nên theo Đònh lý Jacobson ([22], (13.11), p.219) ta D trường Do D1 = Z(Fp [M ]) ⊆ Z(F [M ]) = Z(Mn (D)) = F 43 Bây giờ, với x ∈ M n (D) = F [M ], tồn fi ∈ F mi ∈ M cho x = f m1 + f m2 + · · · + f k mk Xem m i ma trận M n1 (D1 ) với ý D ⊆ F , ta suy x ∈ M n1 (F ) Như [D : F ] < ∞ Từ Đònh lý [26] ta suy ra, tồn họ {K i }r1 trường thực chứa F cho K i∗ ⊆ M A = K1∗ × · · · × Kr∗ nhóm abel với số hữu hạn M Do M/A hữu hạn nên theo Đònh lý Poincaré (xem [19]), tồn nhóm chuẩn tắc B M cho B ⊆ A ⊆ M M/B hữu hạn Gọi H nhóm abel chuẩn tắc tối đại M cho B ⊆ H (nhóm tồn B nhóm abel chuẩn tắc với số hữu hạn M ) Rõ ràng H = CM (H) = F [H]∗ Do đó, từ ([32], (1.1.15), p.9) ta F [H] vành nửa nguyên tố Hơn nữa, D hữu hạn tâm, nên F [H] vành Artin Do đó, từ ([32], (1.1.9), p (1.2.6a), p.11) suy F [H] vành Artin nửa đơn Do D hữu hạn tâm không giao hoán nên Đònh lý Jacobson ([22], (13.11), p.219) kéo theo F ∗ nhóm không xoắn Áp dụng Bổ đề 3.11 ta L := F [H] trường Mặt khác, L F , nên theo ([22], (15.13), p 258) ta L túy không tách F L đại số trường nguyên tố Fp Nếu trường hợp thứ hai xảy ta D đại số F p , D không giao hoán nên điều mâu thuẫn với Đònh lý Jacobson ([22], (13.11), p.219) Như L túy không tách F Giả sử H = L ta lấy x ∈ M \ H Khi đó, H = C M (H) nên tồn y ∈ H cho xy = yx Xét ánh xạ ϕ : L → L xác đònh ϕ(a) = x−1 ax với a ∈ L Khi đó, ϕ F -tự đẳng cấu L Do L mở rộng túy không tách F nên theo ([28], Lemma 4.17, p.45) ta Gal(L/F ) = {Id L } Do ϕ(a) = a với a ∈ L Nói riêng, y = ϕ(y) = x−1 yx, điều mâu thuẫn Vậy M = H, nghóa M abel, tiếp tục điều mâu thuẫn Và đònh lý chứng minh Từ đònh lý 3.9 3.14, ta đònh lý quan trọng sau mở rộng 44 thực mạnh Đònh lý [26] Đònh lý [27] Đònh lý 3.15 Cho D vành chia không giao hoán hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , n ≥ Khi đó, tồn M nhóm tối đại GLn (D) cho M F i) n = 1, ii) CharD = p > 0, iii) [D : F ] = p2 , iv) F ∗ ⊆ M , v) K := M ∪ {0} trường tối đại D, vi) K/F mở rộng túy không tách Chứng minh Từ Đònh lý 3.14 ta n = Do đó, áp dụng Đònh lý 3.9 ta [D : F ] < ∞ Khi kết luận đònh lý suy từ Đònh lý [27] Hệ 3.16 Cho D vành chia hữu hạn đòa phương yếu n ≥ Khi đó, GLn (D) chứa nhóm tối đại xoắn D trường, CharD = p > D đại số Fp Chứng minh Đặt F tâm D giả sử M nhóm tối đại xoắn GLn (D) Khi ta có M F nên theo Đònh lý 3.15 ta [D : F ] < ∞ Do ta xem M nhóm xoắn nhóm tuyến tính GL mn (Z(L)) Theo ([22], (9.9), p 154), ta suy M nhóm hữu hạn đòa phương Áp dụng Đònh lý [4] ta kết cần chứng minh Đònh lý sau trường hợp mở rộng Đònh lý [26] Đònh lý 11 [4], từ lớp vành chia hữu hạn tâm sang lớp vành chia không giao hoán tổng quát, chí giảm bớt điều kiện M ∪ {0} chứa tâm 45 Đònh lý 3.17 Cho D vành chia không giao hoán với tâm F giả sử M nhóm tối đại GLn (D), n ≥ Khi đó, M/M ∩ F ∗ nhóm hữu hạn đòa phương i) n = 1, ii) CharD = p > 0, iii) [D : F ] = p2 , iv) F ∗ ⊆ M , v) K := M ∪ {0} trường tối đại D, vi) K/F mở rộng túy không tách Chứng minh Ta có M F ∗ /F ∗ ∼ = M/M ∩ F ∗ nên M F ∗ /F ∗ hữu hạn đòa phương Do đó, với tập hữu hạn {x , x2 , , xm } M , nhóm H := x1 F ∗ , x2 F ∗ , , xm F ∗ M F ∗ /F ∗ nhóm hữu hạn Giả sử H = {a1 F ∗ , a2 F ∗ , , ak F ∗ } Đặt L := {a1 f1 + a2 f2 + · · · + ak fk |fi ∈ F } Rõ ràng L không gian vectơ hữu hạn chiều F L chứa tất phần tử x i Do F [x , x2 , , xm ] không gian vectơ hữu hạn chiều F Như F [M ] không gian vectơ hữu hạn chiều đòa phương F Do đó, F [M ] vành Artin đòa phương Từ tính tối đại M GL n (D), ta suy F [M ] ∗ = M F [M ]∗ = GLn (D) Trường hợp F [M ]∗ = M Từ M F ∗ /F ∗ hữu hạn đòa phương, ta suy M F Mặt khác, từ Hệ [4] ta M bất khả quy M chứa phiên D ∗ Áp dụng Đònh lý Kaplansky ([22], (15.15), p 259), ta suy trường hợp thứ hai xảy ra, M bất khả quy Từ F [M ] vành Artin đòa 46 phương, cách áp dụng ([32], (1.1.14b), p (1.2.6a), p.11) ta F [M ] vành đơn Artin, nghóa tồn số nguyên dương n vành chia D1 cho F [M ] ∼ = Mn1 (D1 ) Do GLn1 (D1 ) = F [M ]∗ = M M F , ta suy F F , D Z(D ) (⊇ F ) Áp dụng Đònh lý Kaplansky ([22], (15.15), p 259) ta D trường Giả sử n > ta lấy phần tử f thuộc F ∗ Khi đó, ma trận đường chéo diag(f, 1, , 1) thuộc GL n1 (D1 ) = M phần tử F nên f phần tử xoắn, F ∗ nhóm xoắn Từ M F , ta M nhóm xoắn Từ ([22], (9.9), p.154) ta M hữu hạn đòa phương Áp dụng Đònh lý [4] ta suy D giao hoán, điều mâu thuẫn Vậy n = 1, kết luận đònh lý suy từ Bổ đề 3.10 Trường hợp F [M ]∗ = GLn (D) Từ Bổ đề 3.13 ta F [M ] = M n (D) Từ F [M ] không gian vectơ hữu hạn chiều đòa phương F ta suy D vành chia hữu hạn đòa phương Do đó, kết luận đònh lý suy từ Đònh lý 3.15 47 Kết luận luận án Dưới số kết có từ luận án Tất kết thành đạt tác giả với người hướng dẫn khoa học nhóm nghiên cứu Các kết GL1 (D) Nhóm tuyến tính bậc vành chia D nhóm nhóm nhân D ∗ = GL1 (D) nên kết liên quan đến nhóm tuyến tính bậc vành chia D kết liên quan đến nhóm D ∗ Các kết thu trường hợp là: a) Nếu D vành chia kiểu vành chia hữu hạn đòa phương yếu Z(D ) xoắn Kết liên quan đến câu hỏi M Mahdavi-Hezavehi [25] Z(D ) có xoắn trường hợp D vành chia đại số hay không b) Trong vành chia D kiểu không giao hoán với tâm F , nhóm hữu hạn sinh chứa F ∗ Kết xem mở rộng mạnh Đònh lý [4] c) Nếu D vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F N nhóm chuẩn tắc D∗ cho N F N ⊆ F Kết cho ta kết luận rằng, Giả thuyết Herstein [17] trường hợp D vành chia hữu hạn đòa phương yếu d) Hơn nữa, cách thay điều kiện N Giả thuyết Herstein, ta kết sau: Nếu D vành chia kiểu vành chia hữu hạn 48 đòa phương yếu N nhóm chuẩn tắc D∗ cho N vành chia thực K D N nằm tâm D Các kết GLn (D) Các kết liên quan đến nhóm tuyến tính bậc n vành chia D là: a) Nếu D vành chia hữu hạn đòa phương yếu N nhóm chuẩn tắc hữu hạn sinh GLn (D) trường hợp n = N vô hạn ta N nằm tâm Mn (D) Kết xem kết mở rộng Đònh lý [23] Đònh lý [4] b) Nếu D vành chia không giao hoán, đại số hữu hạn đòa phương yếu, với tâm F , N nhóm GLn (D), n ≥ cho N chứa F ∗ N không hữu hạn sinh c) Cho D vành chia không giao hoán hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , n ≥ Khi đó, tồn M nhóm tối đại GLn (D) cho M F n = 1, CharD = p > 0, [D : F ] = p2 , F ∗ ⊆ M , K := M ∪ {0} trường tối đại D, K/F mở rộng không tách túy Kết mở rộng mạnh Đònh lý [26] Đònh lý [27] d) Cho D vành chia không giao hoán với tâm F giả sử M nhóm tối đại GLn (D), n ≥ Khi đó, M/M ∩ F ∗ nhóm hữu hạn đòa phương n = 1, CharD = p > 0, [D : F ] = p2 , F ∗ ⊆ M , K := M ∪ {0} trường tối đại D, K/F mở rộng không tách túy Đây kết mở rộng Đònh lý [26] Đònh lý 11 [3] từ lớp vành chia hữu hạn tâm sang lớp vành chia không giao hoán tổng quát, chí giảm bớt điều kiện M ∪ {0} chứa tâm vành chia D 49 Đề xuất luận án Luận án trình bày số kết liên quan đến nhóm tuyến tính vành chia Các kết tổng quát hóa kết trước tác giả I.N Herstein, S Akbari, M Mahdavi-Hezavehi, Các kết ứng dụng lý thuyết vành chia lý thuyết nhóm tuyến tính vành chia Một số kết mở rộng cho nhóm tuyến tính lớp vành chia rộng 50 Danh mục công trình tác giả (with Bui Xuan Hai and Mai Hoang Bien), On subgroups in division rings of type 2, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica (accepted) (with Bui Xuan Hai and Mai Hoang Bien), On linear groups over weakly locally finite division rings, Algebra Colloquium (in press) (with Bui Xuan Hai and Mai Hoang Bien), On radicality of maximal subgroups in GLn (D), Journal of Algebra 365 (2012), 42-49 Các báo cáo Hội nghò, Hội thảo Các kết luận án báo cáo hội nghò khoa học hội thảo sau đây: Hội nghò Khoa học lần thứ 7, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM, tháng 11/2010 Hội nghò toàn quốc Đại số - Hình học - Tôpô, Thái Nguyên, 3-5/11/2011 Các buổi seminar chuyên đề Bộ môn Đại số, Khoa Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM International Conference in Mathematics and Applications (ICMA-MU 2011), Mahidol University, Bangkok, Thailand, December 17-19, 2011 51 Tài liệu tham khảo [1] A S Amitsur and J Levitzki, “Minimal identities for algebras”, Proceedings of the American Mathematical Society, 1:4 (1950), 449-463 [2] S Akbari; M Mahdavi-Hezavehi; M G Mahmudi, “Maximal subgroups of GL1 (D)”, Journal of Algebra 217 (1999), 422-433 [3] S Akbari; R Ebrahimian; H Momenaee Kermani; A Salehi Golsefidy, “Maximal subgroups of GL n (D)”, Journal of Algebra 259:1 (2003), 201225 [4] S Akbari and M Mahdavi-Hezavehi, “Normal subgroups of GL n (D) are not finitely generated”, Proceedings of the American Mathematical Society, 128:6 (2000),1627-1632 [5] S Akbari and M Mahdavi-Hezavehi, “On the existence of normal maximal subgroups in division rings”, Journal of Pure and Applied Algebra, 171:2-3 (2002), 123-131 [6] E Artin, Geometric algebra, Interscience Publications, New York, 1957 [7] Trinh Thanh Deo, Mai Hoang Bien, and Bui Xuan Hai, “On radicality of maximal subgroups in GL n (D)”, Journal of Algebra 365 (2012), 42-49 [8] P Draxl, Skew fields, London Math Soc., Lecture Note Series 81 (1983), Cambridge Univ Press 52 [9] V Drensky, Free algebras and PI-algebras, Graduate Course in Algebra, Springer-Verlag, Singapore, 2000 [10] R Ebrahimian, “Nilpotent maximal subgroups of GL n (D)”, Journal of Algebra, 280 (2004), 244-248 [11] Bui Xuan Hai, Trinh Thanh Deo, and Mai Hoang Bien, “On subgroups in division rings of type 2”, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica (accepted) [12] Bui Xuan Hai, Mai Hoang Bien, and Trinh Thanh Deo, “On linear groups over weakly locally finite division rings”, Algebra Colloquium (accepted) [13] Bui Xuan Hai and Dang Vu Phuong Ha, “On locally solvable maximal subgroups of the multiplicative group of a division ring”, Vietnam Journal of Mathematics, 38:2 (2010), 237-247 [14] Bui Xuan Hai and Le Khac Huynh, “On subgroups of the multiplicative group of a division ring”, Vietnam Journal of Mathematics, 32:1 (2004), 21-24 [15] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, “On subnormal and maximal subgroups in division ring”, Southeast Asian Bull of Math 32 (2008), 931937 [16] Bui Xuan Hai and Nguyen Van Thin, “On locally nilpotent subgroups of GL1 (D)”, Communitations in Algebra 37 (2009), 712-718 [17] I N Herstein, “Multiplicative commutators in division rings”, Israel Journal of Mathematics, 31:2 (1978), 180-188 [18] I N Herstein, Noncommutative rings, Cambridge University Press, 2005 53 [19] M I Kargapolov and Ju I Merzljakov, Fundamentals of the theory of groups, translated from the second Russian edition, Springer-Verlag, 1979 [20] V K Kharchenko, Simple, prime and semiprime rings, Handbook of Algebra, Vol 1, North-Holland, Amsterdam, Cambridge University Press, 2005 [21] A Kurosh, “Ringtheoretische probleme, die mit dem Burnsideschen Problem uber periodische gruppen in zusammenhang stehen”, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat., 5:3 (1941), 233-240 (in Russian) [22] T Y Lam, A first course in non-commutative rings, GTM 131 (1991), Springer-Verlag [23] M Mahdavi-Hezavehi, M G Mahmudi, and S Yasamin, “Finitely generated subnormal subgroups of GL n (D) are central”, Journal of Algebra 255 (2000), 517-521 [24] M Mahdavi-Hezavehi and S Akbari, “Some special subgroups of GLn (D)”, Algebra Colloquium, 5:4 (1998), 361-370 [25] M Mahdavi-Hezavehi, “Extension of valuations on derived groups of division rings”, Communications in Algebra, 23:3 (1995), 913-926 [26] M Mahdavi-Hezavehi, “Tits alternative for maximal subgroups of GLn (D)”, Journal of Algebra 271 (2004) 518-528 [27] M Mahdavi-Hezavehi, “Free subgroups in maximal subgroups of GL1 (D)”, Journal of Algebra 241 (2001), 720-730 [28] Patrick Morandi, Field and Galois theory, GTM 167, Springer, 1996 [29] A Rosenberg, “The Cartan-Brauer-Hua Theorem for matrix and local matrix rings”, Proc Amer Math Soc (1956), 891-898 54 [30] L H Rowen, Ring theory, Vol 1, Academic Press, New York, 1988 [31] W R Scott, Group theory, Dover Publication, INC, 1988 [32] M Shirvani and B A F Wehrfritz, Skew linear groups, Cambridge University Press, 1986 [33] D A Suprunenko, “On solvable subgroups of multiplicative group of a field”, Amer Math Soc Transl 46:2 (1965) 153-161, English translation [34] D A Suprunenko, Matrix groups, in: Transl of Math Monogr., Amer Math Soc., Providence, RI, 1976 55 [...]... 2.2 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu Nhắc lại rằng, vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi tập con hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm (Đònh nghóa 1.2) Ta đã chứng minh rằng mọi vành chia hữu hạn đòa phương đều hữu hạn đòa phương yếu Trong phần này, chúng tôi sẽ xây dựng một ví dụ chứng tỏ lớp vành hữu hạn đòa phương và lớp vành hữu hạn đòa phương yếu. .. lớp vành chia mới là lớp vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu như sau: Đònh nghóa 1.1 Cho D là vành chia tâm F Ta nói D là vành chia kiểu 2 nếu với mọi x, y thuộc D, vành chia con F (x, y) của D là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F Đònh nghóa 1.2 Ta nói vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi tập con hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn. .. giao hoán Theo đònh nghóa, rõ ràng lớp các vành chia hữu hạn tâm chứa trong các lớp vành chia hữu hạn đòa phương; lớp các vành chia hữu hạn đòa phương chứa trong lớp các vành chia đại số Trong ([22], p.220-221) có một ví dụ chứng tỏ tồn tại một vành chia hữu hạn đòa phương nhưng không hữu hạn tâm Liệu lớp vành chia đại số có thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phương hay không? Năm 1941, A Kurosh (xem... bày ở trên Lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu là lớp vành chia do chúng tôi đònh nghóa trong quá trình nghiên cứu Sở dó có tên gọi như vậy vì lớp vành này là mở rộng của lớp vành hữu hạn đòa phương thông qua mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3 Mọi vành chia con của vành chia hữu hạn tâm đều hữu hạn tâm Chứng minh Giả sử D là vành chia hữu hạn tâm, với tâm F Khi đó ta có thể xem D như là vành chia con của vành. .. trong luận án này (cũng như trong các tài liệu về vành chia) , ta có thể đồng nhất hai khái niệm vành chia và đại số chia 13 Chương 2 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia D là nhóm con của nhóm nhân D ∗ = GL1 (D) nên các kết quả liên quan đến nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia D chính là các kết quả liên quan đến nhóm con của D ∗ Các đònh lý được phát biểu và... mọi vành chia con của D cũng thỏa S(x 1 , , x2n ) Bây giờ, áp dụng ([18], Theorem 6.3.1, p.157) ta được điều phải chứng minh 10 Dựa vào đònh lý trên ta thấy rằng, nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương thì với mọi tập con hữu hạn S của D, ta có vành chia con F (S) của D là hữu hạn tâm, nên vành chia con sinh bởi S cũng hữu hạn tâm Do đó mọi vành chia hữu hạn đòa phương đều là hữu hạn đòa phương yếu. .. ví dụ chứng tỏ lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phương (Mệnh đề 2.13) Hầu hết các kết quả đạt được của luận án đều là mở rộng của các kết quả đã có đối với lớp vành chia hữu hạn tâm lên lớp vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu, và thậm chí có một số kết quả được mở rộng lên lớp vành chia tổng quát Như đã thảo luận ở trên, các mở rộng này... hợp vành chia hữu hạn đòa phương yếu hoàn toàn tương tự trường hợp vành chia kiểu 2 Sử dụng bổ đề trên, bằng cách thực hiện tương tự như chứng minh Đònh lý 2.11, ta được kết quả sau: 30 Đònh lý 2.18 Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , K là vành chia con thực sự của D và N là nhóm con chuẩn tắc của D∗ Khi đó, nếu N căn trên K thì N ⊆ F 31 Chương 3 Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia. .. các bài báo [12] và [7] 3.1 Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh Trong ([23], Theorem 1) các tác giả đã chứng minh rằng, nếu D hữu hạn tâm thì mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D ∗ đều nằm trong tâm của D Kết quả này có thể được mở rộng cho lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu như sau: Đònh lý 3.1 Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu Khi đó, mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D∗ đều nằm trong... lớp vành chia hữu hạn đòa phương Do đó, mặc dù chưa chứng minh được sự khác nhau giữa lớp vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương nhưng những kết quả mới nhận được trong mục này cũng thực sự có ý nghóa, vì ít nhất là nó mang lại những sự hiểu biết mới về lớp vành chia hữu hạn đòa phương Bổ đề 2.1 Cho D là vành chia tâm F , L là vành chia con của D và chứa F Giả sử L là không gian vectơ hữu