Về mã constacyclic nghiệm lặp trên vành chuỗi hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ ĐỨC HIỀN VỀ MÃ CONSTACYCLIC NGHIỆM LẶP TRÊN VÀNH CHUỖI HỮU HẠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ ĐỨC HIỀN VỀ MÃ CONSTACYCLIC NGHIỆM LẶP TRÊN VÀNH CHUỖI HỮU HẠN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 62 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1) GS TS ĐINH QUANG HẢI 2) PGS TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số ký hiệu thường dùng luận án Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 16 1.1 Vành giao hoán hữu hạn 16 1.2 Một số kiến thức mã vành hữu hạn 20 1.3 Kết luận Chương 26 Chương Về lớp mã Constacyclic vành thặng dư đa thức 28 2.1 Vành Ra = F2m + uF2m + · · · + ua−1 F2m 29 2.2 Mã λ - constacyclic có độ dài 2s vành Ra 32 2.3 Mã Λ - constacyclic có độ dài 2s vành Ra 40 2.4 Mã λ - constacyclic có độ dài N Ra 45 2.5 Kết luận Chương 54 Chương Mã constacyclic nghiệm lặp có độ dài lũy thừa số nguyên tố vành chuỗi hữu hạn 56 3.1 Mã λ - constacyclic nghiệm lặp có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn 57 3.2 Mã constacyclic bội 75 3.3 Kết luận Chương 78 Kết luận chung kiến nghị 80 Danh mục công trình NCS có liên quan đến luận án 82 Tài liệu tham khảo 83 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn GS TS Đinh Quang Hải PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tôi xin cam đoan công trình riêng Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố trước Tác giả Nguyễn Thị Đức Hiền LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học GS TS Đinh Quang Hải PGS TS Ngô Sỹ Tùng Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc người thầy mình: GS TS Đinh Quang Hải PGS TS Ngô Sỹ Tùng, người đặt toán định hướng nghiên cứu cho tác giả Các thầy dạy bảo tác giả cách kiên trì nghiêm khắc Cảm ơn thầy chia sẻ, động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Nguyễn Thị Hồng Loan, quý thầy, cô tận tình bảo tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn khoa Sư phạm toán học, Tổ môn Đại số, Phòng đào tạo Sau đại học phòng chức khác Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin bày tỏ cảm ơn đến lãnh đạo tổ Toán - Tin trường THPT Chuyên - Trường Đại học Vinh quan tâm động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn nhóm seminar Lý thuyết vành môđun PGS TS Ngô Sỹ Tùng chủ trì động viên đóng góp nhiều ý kiến cho tác giả suốt trình thực luận án Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người bạn thân thiết sẻ chia, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả Nguyễn Thị Đức Hiền MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa ký hiệu n k 10 Ct Ann(S) |A| γ C⊥ d(C) dh (C) d(c, c ) Ra 11 Sa (s, λ) 12 Sa (s, Λ) 13 Ta (s, n, λ) 14 Rλ 15 16 17 wth gcd(f, g) R 18 19 pk N iC Tổ hợp chập k n phần tử; n k = n! k!(n − k)! Đối tập cyclotomic thứ t Linh hóa tử tập hợp S Số phần tử tập hợp A Iđêan sinh phần tử γ Mã đối ngẫu mã C Khoảng cách Hamming mã C Khoảng cách mã C Khoảng cách Hamming hai từ mã c c Vành Ra = F2m + uF2m + · · · + ua−1 F2m Ra [x] Vành thương 2s với λ phần tử x −λ khả nghịch loại 1∗ vành Ra Ra [x] với Λ phần tử Vành thương 2s x −Λ khả nghịch loại vành Ra Vành thương Ta (s, n, λ) = xR2san[x] −λ R[x] Vành thương Rλ = ps x −λ Trọng Ước chung lớn hai đa thức f (x) g(x) Vành thương R = R/M với M iđêan tối đại vành chuỗi R pk ước N pk+1 ước N Chỉ số thành phần mã C MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết mã xuất lần vào năm 1948 công trình C E Shannon [51] lý thuyết toán học cho lĩnh vực truyền thông Từ đến nay, lý thuyết góp phần quan trọng vấn đề thông tin liên lạc Nó ứng dụng nhiều lĩnh vực như: thông tin điện tử, thu phát thanh, Đầu tiên, lý thuyết mã nghiên cứu trường hữu hạn kết đúc kết [4] [34] Sau đó, nhà toán học mở rộng nghiên cứu mã vành hữu hạn [13, 14, 43] Trong lý thuyết mã, lớp mã constacyclic đóng vai trò quan trọng Trong đó, có hai loại mã quan tâm mã cyclic mã negacyclic Mã cyclic nghiên cứu nhiều tất mã Nhiều mã tiếng mã BCH, mã Kerdock, mã Golay, mã Preparata mã cyclic xây dựng từ mã cyclic Bên cạnh đó, mã cyclic mã hóa cách hữu hiệu việc sử dụng cách ghi luân phiên Điều giải thích vai trò tích cực chúng công nghệ Hơn nữa, mã cyclic đặc trưng dễ dàng iđêan vành thương F [x] xn −1 vành (hữu hạn) F [x] (xem F bảng chữ cái) Mã negacyclic mã λ - constacyclic tương ứng với iđêan vành thương F [x] xn +1 F [x] xn −λ (ở λ phần tử khả nghịch F ) Hầu hết nghiên cứu tập trung trường hợp độ dài n mã có liên quan đến đặc số trường F Trong trường hợp vậy, mã λ - constacyclic có độ dài n iđêan f (x) F [x] xn −λ , với f (x) ước xn − λ Nếu độ dài n mã chia hết cho đặc số p trường F mã gọi mã nghiệm lặp Ngược lại, độ dài mã không chia hết cho đặc số p mã gọi mã nghiệm đơn Mã nghiệm lặp nghiên cứu lần vào năm 1967 S D Berman [5] Sau nhiều nhà toán học khác J L Massey [41], G Falkner [22], R M Roth G Seroussi [48], quan tâm nghiên cứu loại mã Mã nghiệm lặp nghiên cứu trường hợp tổng quát vào năm 1991 G Castagnoli [16] J H van Lint [39] Trong tài liệu [16] [39], G Castagnoli J H van Lint mã cyclic nghiệm lặp có cấu trúc ràng buộc Việc tìm thêm tính chất thú vị khác mã cyclic nghiệm lặp điều khả thi động lực thúc đẩy nhà toán học khác nghiên cứu nhiều vấn đề [1, 44, 52, 54] Nghiên cứu mã vành giao hoán hữu hạn, đặc biệt mã nghiệm lặp lớp vành chuỗi hữu hạn nhiều nhà toán học quan tâm T Abualrub R Oehmke [1, 2], T Blackford [6, 7], D Q Hai [24, 25, 27, 30], S T Ling [20, 36, 37] A Sălăgean [45, 50] Chúng ta biết có tất bốn vành hữu hạn cấp bốn Đó trường Galois F4 , vành số nguyên mod Z4 , vành F2 + uF2 với u2 = vành F2 + v F2 với v = v Ba vành vành chuỗi, vành F2 + v F2 ∼ = F2 × F2 vành chuỗi (thậm chí vành địa phương) Vành F2 + uF2 chứa tất đa thức bậc bậc biến u, đóng phép cộng phép nhân đa thức mod u2 Do đó, ta có F2 + uF2 = F2 [u] = {0; 1; u; u = + u} u2 74 Mặt khác, C ⊥ mã λ−1 - constacyclic có độ dài ps vành R nên theo Định lý 3.1.20, C ⊥ iđêan vành chuỗi Rλ−1 Khi C ⊥ có dạng j C ⊥ = (x − λ−1 ) ⊆ Rλ−1 s Mã C ⊥ chứa |R|p Nγ −j từ mã Do đó, để ps Nγ − j = i j = ps Nγ − i s p Nγ −i Vậy C ⊥ = (x − λ−1 ⊆ Rλ−1 Chúng ta có kết sau ) 3.1.21 Hệ Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ trường thặng dư R = R/ γ Giả sử λ phần tử khả s nghịch vành R có dạng λ = λp0 + γw, với λ0 w phần tử khả nghịch vành R Cho C mã λ - constacyclic có độ dài ps vành R Khi C = (x − λ0 )i ⊆ Rλ s với ≤ i ≤ ps Nγ C chứa |R|p Nγ −i từ mã Mã đối ngẫu C ⊥ C s p N −i mã λ−1 - constacyclic C ⊥ = (x − λ−1 ⊆ Rλ−1 Mã C ⊥ chứa |R|i ) từ mã So sánh kích thước C C ⊥ , ta có |C| = |C ⊥ | ps Nγ = 2i Vậy Nγ p lẻ, C = C ⊥ Nếu Nγ chẵn, |C| = |C ⊥ | i = ps Nγ /2 Khi s C = (x − λ0 )p Nγ /2 = γ Nγ /2 ⊆ Rλ , s p Nγ /2 C ⊥ = (x − λ−1 = γ Nγ /2 ⊆ Rλ−1 ) Do γ Nγ /2 ⊆ Rλ γ Nγ /2 ⊆R λ−1 nên γ hợp ⊥ C=C = γ Nγ /2 ps s Nγ /2 p s ⊂ Rp Trong trường s ⊂ Rp Ta tóm tắt kết mã đối ngẫu sau 75 3.1.22 Hệ Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối s đại γ Giả sử λ phần tử khả nghịch vành R có dạng λ = λp0 +γw, với λ0 w phần tử khả nghịch vành R Nếu Nγ p lẻ mã tự đối ngẫu λ - constacyclic có độ dài ps vành R không tồn Nếu Nγ chẵn γ Nγ /2 ps s ⊂ Rp mã tự đối ngẫu λ - constacyclic có độ dài ps vành R 3.1.23 Ví dụ Khi λ0 = 1, λ = + γw Trường hợp đặc biệt mã (1 + γw) - constacyclic có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn R nghiên cứu Cao [15] Định lý 3.1.18 tổng quát [15, Theorem 2.4] Tuy nhiên, chứng minh khác đơn giản 3.2 Mã constacyclic bội Theo Mệnh đề 1.2.8, đối ngẫu mã λ - constacyclic mã λ−1 - constacyclic Khi λ = λ−1 , có tình đặt mã constacyclic theo hai phần tử khả nghịch khác Ví dụ, để mã λ - constacyclic C tự đối ngẫu (C = C ⊥ ), tự trực giao (C ⊆ C ⊥ ), cần thiết phải có C mã λ - constacyclic λ−1 - constacyclic 3.2.1 Định nghĩa Cho C mã tuyến tính có độ dài n vành hữu hạn R cho C mã α - constacyclic β - constacyclic, với phần tử khả nghịch α, β khác vành R Khi C gọi mã constacyclic bội, hay cụ thể mã [α, β] - constacyclic Xét trường F hữu hạn, mã C có độ dài n mã constacyclic bội C = {0} C = F n [32] Trên vành hữu hạn R, có nhiều mã constacyclic thỏa mãn tính chất Ví dụ như, cho I iđêan R, ta có I n mã λ - constacyclic có độ dài n vành 76 R với phần tử khả nghịch λ vành R Trong trường hợp này, có vài kết chi tiết cho mã constacyclic bội vành chuỗi giao hoán hữu hạn Chúng ta định nghĩa sau: 3.2.2 Định nghĩa Cho R vành chuỗi hữu hạn có đặc số pa với iđêan tối đại γ = C mã tuyến tính khác có độ dài n vành R Ta gọi số thành phần (component index) mã C, ký hiệu iC , số nguyên không âm nhỏ cho tồn thành phần khác từ mã C thuộc γ iC \ γ iC +1 Giả sử số lũy linh γ ký hiệu Nγ Rõ ràng, ≤ iC ≤ Nγ − C ⊆ γ iC n ⊆ Rn 3.2.3 Mệnh đề Cho α phần tử khả nghịch vành R Nếu mã C có độ dài n α - constacyclic vành R C mã β - constacyclic với phần tử khả nghịch β vành R cho β − α ∈ γ j , với j ≥ Nγ − iC Chứng minh Vì β − α ∈ γ j ⊆ γ Nγ −iC nên tồn phần tử ζ ∈ R cho β = α + γ Nγ −iC ζ Xét từ mã c C, theo định nghĩa iC , có dạng c = (γ iC c0 , γ iC c1 , , γ iC cn−1 ) Do đó, ta có βγ iC cn−1 = (α + γ Nγ −iC )γ iC cn−1 = αγ iC cn−1 Vậy, C mã β - constacyclic Với trường hợp j ≤ Nγ − iC , có kết sau 3.2.4 Mệnh đề Cho C mã có độ dài n vành R λ, λ phần tử khả nghịch vành R cho λ − λ ∈ γ j \ γ j+1 , ≤ j ≤ Nγ − iC Nếu C mã [λ, λ ] - constacyclic vành R γ j+iC n ⊆ C Đặc biệt, λ − λ khả nghịch C = γ iC n 77 Chứng minh Vì λ − λ ∈ γ j \ γ j+1 nên tồn phần tử khả nghịch ζ ∈ R cho λ − λ = γ j ζ Không tính tổng quát, giả sử (c0 , , cn−1 ) ∈ C với cn−1 = γ iC v, với phần tử khả nghịch v ∈ R Điều dẫn đến (λcn−1 , c0 , , cn−1 ) (λ cn−1 , c0 , , cn−1 ) thuộc C chúng khác C Rõ ràng rằng, (λcn−1 , c0 , , cn−1 ) − (λ cn−1 , c0 , , cn−1 ) = ((λ − λ )cn−1 , 0, , 0) = γ j+iC ζv(1, 0, , 0), nên γ j+iC (1, 0, , 0) ∈ C Điều có nghĩa γ j+iC (1, 0, , 0) ảnh qua phép chuyển cyclic thuộc C, suy ra, γ j+iC Trong trường hợp λ − λ khả nghịch, j = Do đó, γ iC γ iC n n , có nghĩa là, C = γ iC n n ⊆ C ⊆C⊆ 3.2.5 Hệ Giả sử λ phần tử khả nghịch vành chuỗi R với iđêan tối đại γ = , cho λ − λ−1 khả nghịch Khi tồn mã λ - constacyclic tự đối ngẫu C có độ dài n vành R Nγ chẵn Trong trường hợp này, iC = Nγ /2 C = γ Nγ /2 n mã constacyclic tự đối ngẫu có độ dài n vành R Chứng minh Theo Mệnh đề 1.2.8, đối ngẫu mã λ - constacyclic mã λ−1 - constacyclic Vậy, mã λ - constacyclic tự đối ngẫu mã [λ, λ−1 ] - constacyclic Do λ − λ−1 phần tử khả nghịch Mệnh đề 3.2.4 nên C = γ iC n Điều có nghĩa C ⊥ = γ Nγ −iC n Do đó, C mã tự đối ngẫu Nγ − iC = iC , có nghĩa là, Nγ = 2iC 3.2.6 Nhận xét Theo Mệnh đề 1.1.2, phần tử khả nghịch λ biểu diễn dạng λ= + 1γ + ··· + Nγ −1 γ Nγ −1 , 78 với số i phần tử tập Teichm¨ uller T = {0, 1, ξ, , ξ |R|−2 }, = Tương tự Định lý 3.1.20(a), λ−1 biểu diễn dạng λ−1 = với i −1 + 1γ + ··· + Nγ −1 γ Nγ −1 , ∈ T Do đó, λ − λ−1 khả nghịch ⇔ l0 − l0−1 ⇔ l0 = l0−1 ⇔ l02 = khả nghịch Đối tượng nghiên cứu chương mã λ - constacyclic Λ constacyclic có độ dài ps vành thặng dư đa thức Ra với λ, Λ phần tử khả nghịch loại 1∗ loại Ta có λ = + uλ1 + + ua−1 λa−1 = + u(λ1 + uλ2 + + ua−2 λa−1 ) s = 1p + uw Lúc này, chọn λ0 = w = λ1 + uλ2 + + ua−2 λa−1 Do λ1 = nên w phần tử khả nghịch vành Ra Chúng ta áp dụng Định lý 3.1.18 Mệnh đề 3.1.19 để vành Sa (s, λ) vành chuỗi mô tả tất mã λ - constacyclic vành Ra Khi Mệnh đề 2.2.2, Định lý 2.2.3 trở thành hệ Định lý 3.1.18 Mệnh đề 3.1.19 Tuy nhiên, phương pháp áp dụng ta chuyển sang nghiên cứu mã λ - constacyclic có độ dài N vành Ra 3.3 Kết luận Chương Trong chương này, thu kết sau: 79 - Phân loại phần tử khả nghịch λ vành chuỗi giao hoán hữu hạn s thành loại: λ = λp0 λ = λ0 + wγ - Liệt kê tất mã λ - constacyclic có độ dài ps vành chuỗi giao hoán R số lượng từ mã chúng (Mệnh đề 3.1.19), mô tả mã đối ngẫu mã C (Hệ 3.1.21) điều kiện để tồn mã tự đối ngẫu (Hệ 3.1.22) - Nghiên cứu mã constacyclic bội với hai phần tử α, β khả nghịch phân biệt Từ đó, trả lời phần câu hỏi mã α - constacyclic mã β - consatcyclic (Mệnh đề 3.2.3), số tính chất mã [λ, λ ] - constacyclic (Mệnh đề 3.2.4 Hệ 3.2.5) Các kết chương đăng báo [33] 80 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án nghiên cứu mã λ - constacyclic độ dài 2s vành chuỗi hữu hạn, cụ thể vành Ra mã constacyclic độ dài ps vành chuỗi hữu hạn, mã constacyclic bội Các kết đạt luận án sau: Chỉ tính chất vành Ra , phân loại phần tử khả nghịch nó; Mô tả cấu trúc mã λ - constacyclic độ dài 2s vành Ra với λ phần tử khả nghịch loại 1∗ , từ tổng quát phần tử khả nghịch loại 1; Tính toán đại lượng số lượng từ mã, mã đối ngẫu điều kiện để tồn mã tự đối ngẫu, công thức xác định khoảng cách Hamming, khoảng cách mã C Chỉ cấu trúc mã λ - constacyclic độ dài N Ra cách viết N = 2s n với n số nguyên lẻ, tính toán số lượng mã đó, đồng thời tính toán số từ mã mô tả mã đối ngẫu C ⊥ , đưa kết khoảng cách Hamming Xem xét vành chuỗi R chứng minh với phần s tử khả nghịch λ R tồn phần tử r cho λ − rp không khả nghịch; Chỉ cấu trúc tất mã λ - constacyclic 81 đối ngẫu chúng trường hợp tồn phần tử λ0 cho s λ = λp0 + γw, với w phần tử khả nghịch vành R Xem xét mã tuyến tính vừa λ vừa λ - constacyclic vành R, tức mã constacyclic bội Khi mã tự đối ngẫu trở thành trường hợp đặc biệt mã constacyclic bội Đồng thời trả lời phần câu hỏi mã tuyến tính mã [α; β] - constacyclic Kiến nghị Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu mã λ - constacyclic độ dài 2s vành Ra với λ phần tử khả nghịch loại 2, loại 2∗ , tổng quát loại k, loại k∗ Tiếp tục tính chất mã constacyclic bội tính toán đại lượng liên quan khoảng cách Hamming, lượng Hamming, lượng mã constacyclic bội Tiếp tục nghiên cứu điều kiện để mã tuyến tính mã constacyclic bội 82 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CÓ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN Hai Q Dinh and Hien D.T Nguyen (2012), "On Some Classes Of Constacyclic Codes Over Polynomial Residue Rings", Advances in Mathematics of Communications, Vol 6, No.2, 175-191 Hai Q Dinh, Hien D.T Nguyen, Songsak Sriboonchitta, Thang M Vo (2017), "Repeated-root Constacyclic Codes of Prime Power Lengths over Finite Chain Rings", Finite Fields and Their Applications, 43, 22–41 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T Abualrub, A Ghrayeb, and R Oehmke (2004), A mass formula and rank of Z4 cyclic codes of length 2e , IEEE Trans Inform Theory 50, 3306-3312 [2] T Abualrub and R Oehmke (2003), On the generators of Z4 cyclic codes of length 2e , IEEE Trans Inform Theory 49, 2126-2133 [3] R Alfaro, S Bennett, J Harvey, and C Thornburg (2009), On distances and self-dual codes over Fpk [u] ut , Involve 2, 177-194 [4] E R Berlekamp (1984),"Algebraic Coding Theory", Aegan Park Press [5] S D Berman (1967), Semisimple cyclic and Abelian codes II, Kibernetika (Kiev) 3, 21-30 (Russian) English translation: Cybernetics 3, 17-23 [6] T Blackford (2003), Negacyclic codes over Z4 of even length, IEEE Trans Inform Theory 49, 1417-1424 [7] T Blackford (2003), Cyclic codes over Z4 of oddly even length, International Workshop on Coding and Cryptography (WCC 2001) (Paris), Appl Discr Math 128, 27-46 [8] A Bonnecaze and P Udaya (1999), Decoding of cyclic codes over F2 + uF2 , IEEE Trans Inform Theory 45, 2148-2157 84 [9] A Bonnecaze and P Udaya (1999), Cyclic codes and self-dual codes over F2 + uF2 , IEEE Trans Inform Theory 45, 1250-1255 [10] E Byrne and P Fitzpatrick (2002), Hamming metric decoding of alternant codes over Galois rings, IEEE Trans Inform Theory 48, 683-694 [11] E Byrne (2001), Lifting decoding schemes over a Galois ring, Applied algebra, algebraic algorithms and Error-Correcting Codes (Melbourne, 2001), Lecture Notes in Comput Sci 2227, 323-332 [12] E Byrne (2002), Decoding a class of Lee metric codes over a Galois ring, IEEE Trans Inform Theory 48, 966-975 [13] A R Calderblank, A R Hammons, Jr P V Kumar, N J A Sloane and P Solé (1993), A linear construction for certain Kerdock and Preparata codes, Bull AMS 29, 218-222 [14] A R Calderblank and N J A Sloane(1995), Modular and p-adic codes, Designs, Codes and Cryptography 6, 21-35 [15] Y Cao (2013), On constacyclic codes over finite chain rings, Finite Fields and Appl 24, 124-135 [16] G Castagnoli, J L Massey, P A Schoeller, and N von Seemann (1991), On repeated-root cyclic codes, IEEE Trans Inform Theory 37, 337-342 [17] I Constaninescu (1995), Lineare Codes u ¨ber Restklassenringen ganzer Zahlen und ihre Automorphismen bez¨ uglich einer verallgemeinerten Hamming-Metrik, Ph.D dissertation, Technische Universit¨at, M¨ unchen, Germany 85 [18] I Constaninescu and W Heise (1997), A metric for codes over residue class rings of integers, Problemy Peredachi Informatsii 33, 22-28 [19] I Constaninescu, W Heise and T Honold (1996), Monomial extensions of isometries between codes over Zm , Proceedings of the 5th International Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory (ACCT’96), Unicorn Shumen, 98-104 [20] S T Dougherty and S Ling (2006), Cyclic codes over Z4 of even length, Des Codes Cryptogr 39, 127-153 [21] S Dougherty, P Gaborit, M Harada, and P Sole (1999), Type II codes over F2 + uF2 , IEEE Trans Inform Theory 45, 32-45 [22] G Falkner, B Kowol, W Heise, E Zehendner (1979), On the existence of cyclic optimal codes, Atti Sem Mat Fis Univ Modena 28, 326-341 [23] H Q Dinh and S R López-Permouth (2004), Cyclic and negacyclic codes over finite chain rings, IEEE Trans Inform Theory 50, 1728-1744 [24] H Q Dinh (2005), Negacyclic codes of length 2s over Galois rings, IEEE Trans Inform Theory 51 , 4252-4262 [25] H Q Dinh (2007), Complete distances of all negacyclic codes of length 2s over Z2a , IEEE Trans Inform Theory 53, 147-161 [26] H Q Dinh (2008), On the linear ordering of some classes of negacyclic and cyclic codes and their distance distributions, Finite Fields and Appl 14, 22-40 86 [27] H Q Dinh (2009), Constacyclic codes of length 2s over Galois extension rings of F2 + uF2 , IEEE Trans Inform Theory 55, 17301740 [28] H Q Dinh (2009), On linear codes over finite rings and modules, East West J of Mathematics, Vol.11, No 1, - 149 [29] H Q Dinh (2010), Constacyclic codes of length ps over Fpm +uFpm , J Algebra 324, 940-950 [30] H Q Dinh (2010), On some classes of repeated-root constacyclic codes of length a power of over Galois rings, Trends in Mathematics, 131-147 [31] Hai Q Dinh and Hien D T Nguyen (2012), "On Some Classes Of Constacyclic Codes Over Polynomial Residue Rings", Advances in Mathematics of Communications, Vol 6, No.2, 175-191 [32] H Q Dinh (2013), Structure of repeated-root constacyclic codes of length 3ps and their duals, Discrete Math 313, 983-991 [33] Hai Q Dinh, Hien D T Nguyen, Songsak Sriboonchitta, Thang M Vo (2017), "Repeated-root Constacyclic Codes of Prime Power Lengths over Finite Chain Rings", Finite Fields and Their Applications, 43, 22–41 [34] W C Huffman and V Pless (2003), "Fundamentals of Error correcting codes", Cambridge University Press, Cambridge [35] P Kanwar and S R López-Permouth (1997), Cyclic codes over the integers modulo pm , Finite Fields and Appl 3, 334–352 [36] H M Kiah, K H Leung and S Ling (2008), Cyclic codes over GR(p2 , m) of length pk , Finite Fields and Appl 14, 834-846 87 [37] S Ling, H Niederreiter and P Solé (2006), On the algebraic structure of quasi-cyclic codes IV Repeated roots, Des Codes Cryptogr 38, 337-361 [38] S Ling and P Solé (2001), Duadic codes over F2 + uF2 , Appl Algebra Engrg Comm Comput 12, 365-379 [39] J H van Lint (1991), Repeated-root cyclic codes, IEEE Trans Inform Theory 37, 343-345 [40] J MacWilliams and N J A Sloane (1998), The Theory of Error - Correcting Codes, 10th impression, North Holand, Amsterdam [41] J L Massey, D J Costello and J Justesen (1973), Polynomial weights and code constructions, IEEE Trans Information Theory 19, 101-110 [42] B R McDonald (1974), Finite rings with identity, Pure and Applied Mathematics, Vol 28, Marcel Dekker, New York [43] A A Nechaev (1989), Kerdock code in a cyclic form(in Russian), Diskr Math (USSR), 123-139 [44] C S Nedeloaia (2003), Weight distributions of cyclic self-dual codes, IEEE Trans Inform Theory 49, 1582-1591 [45] G Norton and A Sălăgean-Mandache (2000), On the structure of linear cyclic codes over finite chain rings, Appl Algebra Engrg Comm Comput 10, 489-506 [46] M Ozen and I Siap (2006), Linear codes over Fq [u] us with respect to the osenbloom-Tsffasman metric, Des Codes Cryptogr 38, 17-29 [47] V Pless and W C Huffman (1998), "Handbook of coding theory", Elsevier, Amsterdam 88 [48] R M Roth and G Seroussi (1986), On cyclic MDS codes of length q over GF(q), IEEE Trans Inform Theory 32, 284-285 [49] L Rudolf, N Harald and P M Cohn (2003), Finite fields, Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge university press [50] A Sălăgean (2006), Repeated-root cyclic and negacyclic codes over finite chain rings, Discrete Appl Math 154 , 413-419 [51] C.E Shannon (1948), A mathematical theory of communication, Bell System Tech J 27, 379-423 [52] L z Tang, C B Soh and E Gunawan (1997), A note on the q-ary image of a q m -ary repeated-root cyclic code, IEEE Trans Inform Theory 43, 732-737 [53] J Wolfmann (1999), Negacyclic and cyclic Codes over Z , IEEE Trans Inform Theory 45, 2527-2532 [54] K H Zimmermann (1996), On generalizations of repeated-root cyclic codes, IEEE Trans Inform Theory 42, 641-649 ... Chương Mã constacyclic nghiệm lặp có độ dài lũy thừa số nguyên tố vành chuỗi hữu hạn 56 3.1 Mã λ - constacyclic nghiệm lặp có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn 57 3.2 Mã constacyclic. .. ngẫu Với mục đích nghiên cứu mã nghiệm lặp constacyclic có độ dài ps vành chuỗi hữu hạn, lựa chọn đề tài luận án là: Về mã constacyclic nghiệm lặp vành chuỗi hữu hạn Mục đích nghiên cứu Mục... trúc mã sở toán tổng quát lý thuyết mã: Chỉ cấu trúc mã constacyclic có độ dài n vành giao hoán hữu hạn R? Đối tượng nghiên cứu - Vành chuỗi hữu hạn, iđêan vành thương R[x] xn −λ R vành chuỗi hữu