TOÀN VĂN Về nhóm tuyến tính trên vành chia hữu hạn địa phương yếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN oOo TRỊNH THANH ĐÈO VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN VÀNH CHIA HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số chuyên ngành: 62 46 05 01 Phản biện 1: GS.TS. Nguyễn Văn Sanh Phản biện 2: PGS.TS. Mỵ Vinh Quang Phản biện 3: TS. Nguyễn Viết Đông Phản biện độc lập 1: GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường Phản biện độc lập 2: TS. Phó Đức Tài Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. BÙI XUÂN HẢI TP. HỒ CHÍ MINH - 2012 Lời cảm ơn Trước tiên, tác giả luận án xin gởi lời cảm ơn trân trọng đến người thầy đáng kính, P GS .TS . Bùi Xuân Hải, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tác gi a û trong su o á t quá trình ho ï c tập tư ø đại học, đến c a o học va ø nghiên cứu sinh. Xin cám ơn anh Mai Hoàng Biên đã cùng tham gia nhóm nghiên cứu của tác giả và có những đóng góp quan trọng cho các kết quả của luận án. Xin cám ơn TS. Nguyễn Viết Đông và TS. Trần Ngọc Hội đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong việc thực hiện các chuyên đề nghiên cứu sinh. Xin cám ơn GS.TS. Đặng Đức Trọng (trưở n g khoa Toán - Tin học) đã tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành chương trình nghiên cứ u sinh. Xin c a ù m ơn các thầy cô và đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giả hoàn thành luận án của mình. Xin c a ù m ơn cá c anh c h ò thuộc Phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp.HCM đã nhiệt tình giúp đỡ và chỉ dẫn các thủ tục l i ê n quan đến công việc học tập của nghiên cứu sinh và các thủ tục bảo vệ l u a ä n án. Xin được gởi lời cảm ơn trân trọng đến thầy Võ Văn Phú (giáo viên trường THPT Hồ Thò Kỷ, Tp. Cà Ma u , tỉ n h Cà Mau) đã giúp cho tác giả co ù n i ề m đam mê học toán v a ø hình th a ø n h nhân c a ù c h học toán c u û a tác gi a û . Cuối cùng, xin gửi lời tri ân đến gia đ ì n h , bè bạn, người thân và đồng nghiệp đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác. TÁC GIẢ LUẬN ÁN 2 Mục lục Lời c am đoan 1 Lời c ả m ơn 2 Bảng ký hiệu 4 Phần giớ i thiệ u 5 Chương 1. Các kiến thức mở đầu 8 1.1 Các khái niệm và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Về các lớp vành chia không giao hoán . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Một số kết quả cổ điển liên quan đến luận án . . . . . . . . . 11 Chương 2. Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia 14 2.1 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chi a kiể u 2 . . . . . . . . . . 14 2.2 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chi a hữu hạn đòa phương yếu 29 Chương 3. Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia 32 3.1 Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Nhóm tuyến tính tối đại căn trên tâm . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận củ a luận án 48 Đề xuất của luận án 50 Danh mục các công trình của tác giả 51 Các bá o cáo tại các Hội nghò, Hội thảo 51 Tài l i ệ u tham khảo 52 3 Chương 1. Các kiến thức mở đầu Trong chươ ng này, chúng tôi sẽ đưa ra một số khái niệm và ký hiệu liên quan đến l u ậ n án. Bên cạnh đó, chúng tôi cũ ng phát biểu lại một số đònh lý cổ đ i e å n của lý thu y e á t vành chia được áp dụng nhiều trong luận án như Đònh lý Wedderburn-Artin, Jacobson, Kaplansky, Cartan-Brauer-Hua, Đònh lý tâm hóa tử kép, . . . 1.1 Các khái ni ệ m và ký hiệu Trong toàn bo ä luận án, chú ng tô i ký hie ä u D là vành chia và F là tâm của D, [D : F ] là chiều cu û a D (như là không gian vectơ) trên F . Ký hiệu D ∗ và D  := [D ∗ , D ∗ ] tương ứng là nhóm nhân của D và đạo nhóm của nhóm nhân. Nếu S là tập con khác rỗng của D thì ta ký hiệu F [S] và F (S) tương ứng là vành con và vành chia con của D sinh bởi S trên F . Nếu S là tập con khác rỗng của M n (D) thì F [S] là vành con của M n (D) sinh bởi S trên F . Ta nói rằng vành chia D là hữu hạn tâm nếu D là không gian vectơ hữu hạn chie à u trên tâm của nó; D hữu hạn đòa phương nếu với mọi tập con hữu hạn S của D, vành chia con F(S) của D là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F . Nếu a là một phần tử thuộc D thì ta có m ơ û rộng trường F ⊆ F (a). Ta nói a đại số trên F nế u mơ û rộng trường này là mở rộng hữu hạn. Một tập con S = Ø của D đ ư ơ ï c gọi là đại số trên F nếu mọi phần tử t hu o ä c S đều đại số trên F . Vành chia D được gọi là đại số trên tâm (nói ngắn gọn là đại số) nếu mọi phần tử thuộc D đều đại số trên tâm F. Ta cũng ký hiệu N D/F 8 và RN D/F lần lượt là chuẩn và chuẩn rút gọn của D trên F . M o ä t phần tử x ∈ M n (D) được gọi là căn trên một vành con K của M n (D) nếu tồn tại n(x) nguyê n dương sao cho x n(x) ∈ K. Một tập con S khác rỗng của M n (D) được go ï i là căn trên K nếu mọi phần tử thuộc S đ e à u căn trên K. Do tâm của vành M n (D) là tập hợp F I = {xI : x ∈ F } ∼ = F , vớ i I là ma trận đơn vò, nên trong luận án này chúng tôi đồng nhất F I với F . Cho G là một nhóm và X là một tập con của G, ký hiệu C G (X) và N G (X) lần lượt là tâm hóa tử và chuẩn hóa tư û của X trong G. Ta luôn dùng ký hiệu Z(G) để chỉ tâm của G. Vớ i R là một vành, ký hiệu R ∗ là tập hợp tất cả các phần tử khả nghòch của R và Z(R) là tâm của R. Các ký hiệu và khái niệm được dùng trong tài liệu này là chuẩn và được sử dụng nhiều trong các tài liệu về lý thuyết nhóm, vành, trường, nhóm con trong vành chia và nhóm tuyến tính tre â n vành chia, chẳng hạn như trong [6], [8], [18], [22], [32], . . . 1.2 Về các lớp vành chi a không giao hoán Theo đònh nghóa, rõ ràng lớp các vành chia hữu hạn tâm chứa trong các lớp vành chia hữu hạn đòa phương; lớp các vành chia hữu hạn đòa phương chứa trong l ơ ù p các vành chia đại số. Trong ([22], p.220-221) có một ví dụ chứng tỏ tồn tại một vành chia hữ u hạn đòa phương nhưng không hữu hạn tâm. Liệu lớp vành chia đại số có thực sự chứa lớp vành chia hữu hạn đòa phương hay không? Năm 1941, A. Kurosh (xem [21]) đã đưa ra giả thuyết rằng “mọi vành chia đ a ï i số đều hữu hạn đòa phương”. Giả thuyết này còn được biết với tên “Bài toán Kurosh về vành chia”. Bài toán Kurosh về vành chia đến nay vẫn chưa có câu trả lời, nhưng đã có một s o á kết quả chứng minh rằng bài toán này đú ng trong một số trường hợp đặc biệt như: F kho â ng đếm được (xem [30]); F hữu hạn (xem [22]); F có hữu hạn trường mở rộng đại số, nói riêng cho trường hợp F đóng đại số (xem [9], [20]). 9 Trong tài liệu này, chúng tôi xét hai lớp vành chi a mới là lớp vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu như sau: Đònh nghóa 1.1. Cho D là vành chia tâm F . Ta nói D là vành chia ki ể u 2 nếu với mọi x, y thuộc D, vành chia co n F (x, y) của D là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F . Đònh nghóa 1.2. Ta nói vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi tập con hữ u hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm. Lớp vành chia kiểu 2 đã được S. Akbari và M. Mahdavi-Hezavehi đònh nghóa năm 2002 trong [5]. Rõ ràng, lớp vành chia này chứa lớp vành chi a hữu hạn đòa phương, và là lớp vành chia con của lớp vành chia đại số. Việc chứng t o û lớp vành chia kiểu 2 có phải là lớp vành chia trung gian thực sự của các lớp vành chia hữu hạn đòa phương và đại số hay không là một vấn đề khó, điều này liên quan đe á n Bài to á n Kuros h đã trình bày ở trên. Lớp vành chia hữ u hạn đòa phương yếu là lớp vành chia do chúng tôi đònh nghóa trong quá t rình nghiên cứu. Sở dó có tên gọi như vậy vì lớp vành này là mở rộng của lớp vành hữu hạn đ òa phương thông qua mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3 . Mo ï i vành chia con của vành chia hữu hạn tâm đều hữu hạn tâm. Chứng minh. Giả sử D là vành chia hữu hạn tâm, với tâm F . Khi đó ta có thể xem D như là vành chia con của vành ma trận M n (F ). Theo Đònh lý Amitsur-Levitzki ([1], Theorem 1), M n (F ) thỏa mãn đồng nhất thức đa thức chuẩn S(x 1 , . . . , x 2n ), trong đó S(x 1 , . . . , x n ) =  σ∈S n sgn(σ)x σ(1) . . . x σ(n) là đa thức chuẩn theo n biến x 1 , . . . , x n . Do đó mo ï i vành chia con của D cũng thỏa S(x 1 , . . . , x 2n ). Bây giờ, áp dụng ([18], Theorem 6.3.1, p.157) ta được điều phải chứng minh. 10 Dựa vào đònh lý trên ta thấy rằng, nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương thì với mọi tập con hư õ u hạn S của D, ta có vành chia con F (S) của D là hữu hạn tâ m , nên vành chia con sinh bởi S cũng hữu hạn tâm. Do đó mọi vành chia hữu hạn đòa phương đều là hữu hạn đòa phương yếu. Trong Chương 2, chúng tôi xâ y dựng ví dụ chứng tỏ lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu thực sự chư ù a lớ p vành chia hữu hạn đòa phương (Mệnh đề 2.13). Hầu hết các kết quả đạt được của luận án đều là mở rộng của các kết quả đã có đối với lớp vành chia hữu hạn tâm le â n lớp vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu, và thậm chí có một số kết quả được mở rộng lên lớp vành chia tổng quát. Như đã thảo luận ở trên, các mở rộng này là t hư ï c sự mạ nh và có nhiều ý nghóa trong việc khảo sát lý thuye á t nhóm tuyến tính trên vành chia nói chung, và nhóm con của nhóm nhân t re â n vành chia nói ri e â ng. 1.3 Một số kết quả cổ điển liên quan đến luận án Để tiện cho việc theo dõi luận án, trong mục này chúng tôi phát biểu lại một số kết quả co å điển củ a lý thuyết vành và lý thuyế t vành chia được sử dụng nhiều t ro ng luận án, như các đònh lý: Jacobson, Kaplansky, Cartan-Brauer- Hua, Poincaré, . . . Đònh lý 1.4 (Đònh lý tâm hóa tử kép-Centralizer Theorem). Cho B là vành con của vành đơn A sao ch o K := Z(A) ⊆ Z(B) và n := [B : K] hữu hạn. Khi đó: i) C A (B) ⊗ K M n (K) ∼ = A ⊗ K B op , trong đo ù B op là đối vành của vành B; ii) C A (B) là vành đơn; iii) Z(C A (B)) = Z(B); iv) C A (C A (B)) = B; 11 v) Nếu L := Z(B) và r := [L : K] thì A ⊗ K L ∼ = M r (B ⊗ L C A (B)). Tài liệu dẫn: Xe m ([8], p.42).  Đònh lý 1.5 (C o â ng thư ù c tháp -Tower Fo rm u l ae ). Cho L là một trường mở rộng hữu hạn trên trường F và A là một L-đại số hữ u hạn chiều. Khi đó , nếu α ∈ A thì N A/K (α) = N L/K (N A/L (α)). Tài liệu dẫn: Xe m ([8], p.144).  Để tiện theo dõ i đònh lý tiếp theo, chúng tôi phát bie å u lại đònh nghóa vành Artin nư û a đơn như sau: Đònh nghóa 1.6. Cho R là vành và M là một R-môđun (trái). Khi đó: i) M được gọi là R-môđun đơn nếu M = 0 và M chỉ có hai R-môđun con là (0) và M; ii) M được gọi là R-môđun nửa đơ n ne á u M là tổ ng trực tiếp của các R- môđun con đơn của nó; iii) R được gọi là vành nửa đơn Artin nếu R là R-môđun nửa đ ơ n. Tài liệu dẫn: Xe m ([22], p.26-28).  Đònh lý 1.7 (Đònh lý Wedderburn-Artin). Cho R là một vành nửa đơn Artin. Khi đó, tồn tại các số nguyên dương n 1 , . . . , n r và các vành chia D 1 , . . . , D r sao c h o R ∼ = M n 1 (D 1 ) × ···× M n r (D r ). Số r xác đònh duy nhất, các cặp (n 1 , D 1 ), . . . , (n r , D r ) cũng xác đònh duy nhất (sai khác một hoán vò). Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (3.5), p.35).  Đònh lý 1.8 (Đònh lý Burnside thứ nhất). Cho K là một trường đặc trưng p ≥ 0 và G là một nhó m con của GL n (K). Nếu G có số mũ N < ∞ và p  N thì |G| < N n 3 < ∞. Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (9.4), p.151).  12 Đònh lý 1.9 (Đònh lý Jacobson). C h o D là một vành chia đại số trên trường hữu h a ï n F . Khi đó D giao hoán (và do đó D là một trường mở rộng đại số của F ). Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (13.11), p.219).  Đònh l y ù 1 .1 0 (Đ ònh lý Cartan-Brau e r-Hua). Cho D là một vành chia v a ø K là vành chia con của D. Khi đó, nếu nhóm nhân K ∗ chuẩn tắc trong D ∗ thì K = D hoặc K ⊂ Z(D). Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (13.17), p.222).  Đònh lý 1.11 (Bổ đề Kaplansky). Giả sử F  K là một mở rộn g trườn g và P là trường con nguyên tố của F . Khi đó, nếu mỗi a ∈ K đều căn trên F thì CharF = p > 0. Đồng thời, hoặc K là mở rộng thuần túy không tách được trên F hoa ë c K đại số trên P . Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (15.13), p.258).  Đònh lý 1.12 (Đònh lý Kaplansky). Nếu D là vành chia căn trên tâm của nó thì D giao hoán. Tài liệu dẫn: Xe m ([22], (15.15), p.259).  Đònh l y ù 1 .1 3 (Đònh lý Poincaré). Mọi nhóm con có chỉ số hữu hạn m của nhóm G đ ề u chứa một nhóm con chuẩn tắc của G với chỉ số hữu hạn là bội số c u û a m và l a ø ươ ù c số của m!. Tài liệu dẫn: Xe m ([19], (13.2.2), p.83).  Nhận xét 1.14. Ta dễ thấy rằng, mọi vành chia đều là một đại số trên tâm của nó. Do đ o ù , trong luận án này (cũng như trong các tài liệu về vành chia), ta có the å đo à ng nhất hai khái niệm vành chia và đại số chia. 13 Chương 2. Nhóm tuyến tính bậ c 1 trên vành chia Nhóm tu y e á n tính bậc 1 trên vành chi a D là nhóm con của nhóm nhân D ∗ = GL 1 (D) nên các kết quả liên quan đến nhóm t u y e á n tính bậc 1 trên vành chia D chính là các kết quả liên quan đến nhóm con của D ∗ . Cá c đònh lý được phát biểu và chứng m i nh trong chương này đều là các kết quả mới, đã được chúng tôi trình bày trong các bài báo [11] và [12]. 2.1 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chia kiểu 2 Mục đích chính của mục này là chứng minh rằng trong một vành chia kiểu 2 không giao hoán, không tồn tại nhóm con hữu hạn sinh chứa tâm. Và tiếp theo là khảo sát các nhóm con cu û a D ∗ thỏa mãn điều kiện căn trên một vành chia con thực sự của D. C á c kết quả chúng tôi thu được trên lớp vành chia kiểu 2 là mở rộng của các kết quả trên vành chia hữu hạn tâm, nhưng chúng chưa tư ø ng được mở rộng lên cho lớp vành chia hữu hạn đòa phương. Do đo ù , mặc dù chưa chứng minh được sự khác nhau giữa l ơ ù p vành chia kiểu 2 và lớp vành chia hữ u hạn đòa phương nhưng những kết quả mới nhận được trong mục này cũng thực sự có ý nghóa, vì ít nhất là nó mang lại những sự hiểu biết mới về lớp vành chia hữu hạn đòa phương. Bổ đề 2.1. Cho D là vành chia tâm F , L là v a ø n h chia co n của D và chứa F . Giả sử L là khôn g gian vectơ hữu hạn c h i ề u trên F và a ∈ L. Khi đó, N L/F (a) xoắn khi và chỉ khi N F (a)/F (a) xoắn. 14 [...]... 2.2 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu Nhắc lại rằng, vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi tập con hữu hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm (Đònh nghóa 1.2) Ta đã chứng minh rằng mọi vành chia hữu hạn đòa phương đều hữu hạn đòa phương yếu Trong phần này, chúng tôi sẽ xây dựng một ví dụ chứng tỏ lớp vành hữu hạn đòa phương và lớp vành hữu hạn đòa phương yếu. .. hợp vành chia hữu hạn đòa phương yếu hoàn toàn tương tự trường hợp vành chia kiểu 2 Sử dụng bổ đề trên, bằng cách thực hiện tương tự như chứng minh Đònh lý 2.11, ta được kết quả sau: 30 Đònh lý 2.18 Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F , K là ∗ vành chia con thực sự của D và N là nhóm con chuẩn tắc của D Khi đó, nếu N căn trên K thì N ⊆ F 31 Chương 3 Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia. .. các bài báo [12] và [7] 3.1 Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh Trong ([23], Theorem 1) các tác giả đã chứng minh rằng, nếu D hữu hạn tâm thì mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D ∗ đều nằm trong tâm của D Kết quả này có thể được mở rộng cho lớp vành chia hữu hạn đòa phương yếu như sau: Đònh lý 3.1 Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu Khi đó, mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D∗ đều nằm trong... là nhóm xoắn, nên x là phần tử xoắn Như vậy G là nhóm xoắn Từ M là nhóm con của G, ta cũng được M là nhóm xoắn Xét nhóm con H hữu hạn sinh của M Do D hữu hạn đòa phương yếu nên vành chia con L của D sinh bởi H là vành chia hữu hạn tâm, nghóa là n := [L : Z(L)] < ∞ Do đó H có thể được xem là nhóm xoắn tuyến tính bậc n trên trường Z(L) Áp dụng ([22], (9.9), p 154) ta được H là nhóm hữu hạn Như vậy M hạn. .. nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D Do D hữu hạn đòa phương yếu nên vành chia con L của D sinh bởi N là vành chia hữu hạn tâm Do Đònh lý 1 trong [23], ta được N ⊆ Z(L) Do đó N là nhóm abel Khi đó, từ ([31], 14.4.4, p 440), ta được N ⊆ F Đònh lý sau là trường hợp mở rộng của Đònh lý 5 trong [4]: 32 Đònh lý 3.2 Cho D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu với tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc vô hạn. .. minh Hệ quả 3.5 Cho D là vành chia đại số, hữu hạn đòa phương yếu, n ≥ 1 Khi đó, nếu GLn (D) hữu hạn sinh thì D giao hoán Nếu GLn (D) chứa nhóm con tối đại hữu hạn sinh thì GL n (D) cũng hữu 34 hạn sinh Do đó kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 3.5 Hệ quả 3.6 Cho D là vành chia đại số, hữu hạn đòa phương yếu, và n ≥ 1 Khi đó, nếu GLn (D) chứa nhóm con tối đại hữu hạn sinh thì D giao hoán... dựa vào việc xây dựng vành chia chuỗi Laurent tổng quát của Malcev-Neumann, chúng tôi xây dựng một vành chia chuỗi Laurent với vành cơ sở là một mở rộng của trường các số hữu tỷ Q Vành chia mà chúng tôi xây dựng trong mệnh đề sau là vành chia hữu hạn đòa phương yếu nhưng thậm chí không đại số trên tâm Mệnh đề 2.13 Tồn tại một vành chia hữu hạn đòa phương yếu nhưng không đại số trên tâm Chứng minh Ký... hợp vành chia hữu hạn đòa phương yếu Trước hết, ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.14 Nếu D là vành chia hữu hạn đòa phương yếu thì Z(D ) là nhóm xoắn Chứng minh Do Mệnh đề 2.2, Z(D ) = D ∩ F Với mọi x ∈ Z(D ), tồn tại các ai , bi ∈ D ∗ sao cho x = a1 b1 a−1 b−1 a2 b2 a−1 b−1 an bn a−1 b−1 n n 1 1 2 2 Đặt S = {ai , bi : i = 1, n} Do D hữu hạn đòa phương yếu nên vành chia con L của D sinh bởi S là vành chia. .. rằng, nếu nhóm nhân của một trường là hữu hạn sinh thì trường đó hữu hạn) ta được kết quả sau, được xem như là trường hợp tổng quát của Đònh lý 1 trong [25]: Hệ quả 2.6 Cho D là vành chia kiểu 2 Nếu nhóm nhân D∗ là hữu hạn sinh thì D là trường hữu hạn Nếu nhóm nhân D ∗ có một nhóm con tối đại hữu hạn sinh thì D ∗ là nhóm hữu hạn sinh, nên từ Hệ quả 2.6 ta được kết quả sau: Hệ quả 2.7 Cho D là vành chia. .. xoắn Khi đó, do M căn trên F nên ta cũng được M là nhóm xoắn Xét H = A 1 , A2 , , Ak là một nhóm con hữu hạn sinh của M và S là tập hợp tất cả các phần tử xuất hiện trong tất cả các vò trí của các ma trận A i và A−1 Ta có D hữu hạn đòa phương yếu i nên vành chia con L của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm Khi đó H có thể được xem như là một nhóm tuyến tính hữu hạn sinh bậc mn trên Z(L), với m := . 14 2.1 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chi a kiể u 2 . . . . . . . . . . 14 2.2 Vành chia hữu hạn đòa phương yếu . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Nhóm tuyến tính bậc 1 trên vành chi a hữu hạn. vectơ hữu hạn chiều trên F . Đònh nghóa 1.2. Ta nói vành chia D là hữu hạn đòa phương yếu nếu với mọi tập con hữ u hạn S của D, vành chia con của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm. Lớp vành chia. hữu hạn đòa phương yếu 29 Chương 3. Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia 32 3.1 Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Nhóm tuyến tính tối đại căn trên tâm . .