Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia
3.1Nhóm tuyến tính hữu hạn sinh
Trong ([23], Theorem 1) các tác giả đã chứng minh rằng, nếuD hữu hạn tâm thì mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D ∗ đều nằm trong tâm của
D. Kết quả này có thể được mở rộng cho lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu như sau:
Định lý 3.1. Cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu. Khi đó, mọi nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D∗ đều nằm trong tâm của D.
Chứng minh. Giả sử N là nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn sinh của D. Do
D hữu hạn địa phương yếu nên vành chia con L của D sinh bởi N là vành chia hữu hạn tâm. Do Định lý 1 trong [23], ta được N ⊆ Z(L). Do đó N là nhóm abel. Khi đó, từ ([31], 14.4.4, p. 440), ta được N ⊆ F.
Định lý 3.2. Cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu với tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc vô hạn của GLn(D), n ≥ 2. Khi đó, nếu N hữu hạn sinh thì N ⊆ F.
Chứng minh. Giả sử N 6⊆ F. Khi đó, do ([24], Theorem 11) ta được
SLn(D) ⊆ N. Như vậy N là nhóm con chuẩn tắc của GLn(D). Giả sử nhóm con N sinh bởi các ma trận A1, A2, . . . , Ak trongGLn(D) và T là tập hợp tất cả các hệ số của các ma trận Aj. Do D hữu hạn địa phương yếu nên vành chia L sinh bởi T là vành chia hữu hạn tâm. Như vậy N là nhóm con chuẩn tắc hữu hạn sinh của GLn(L). Do ([4], Theorem 5), ta suy ra
N ⊆ Z(GLn(L)). Nói riêng, N là nhóm abel, do đó SLn(D) cũng abel, là điều mâu thuẫn. Vậy định lý đã được chứng minh.
Bổ đề 3.3. Cho D là vành chia và n≥ 1. Khi đó Z(SLn(D)) là nhóm xoắn khi và chỉ khi Z(D0) là nhóm xoắn.
Chứng minh. Trường hợp n= 1 là hiển nhiên. Do đó ta có thể giả sửn≥2. Từ ([8], §21, Th.1, p.140) ta được
Z(SLn(D)) =
dI|d ∈F∗ và dn ∈D0 .
Nếu Z(SLn(D)) là nhóm xoắn thì với mọi d ∈ Z(D0) = D0 ∩ F ta có
dI ∈ Z(SLn(D)), nên d là phần tử xoắn. Ngược lại, nếu Z(D0) là nhóm xoắn thì với mọiA∈Z(SLn(D)), tồn tạid∈ F∗ sao choA =dI vàdn ∈ D0. Do đó dn là phần tử xoắn. Vậy A là phần tử xoắn.
Định lý 3.4. Cho D là vành chia đại số, không giao hoán, hữu hạn địa phương yếu, với tâm F. Khi đó, nếu N là nhóm con của GLn(D), n ≥1, sao cho N chứa F∗, thì N không hữu hạn sinh.
Chứng minh. Nhắc lại rằng, nếu D là vành chia hữu hạn địa phương yếu thì Z(D0) là nhóm xoắn (xem Bổ đề 2.14). Do đó, từ Bổ đề 3.3 ta được
GLn(D) sao cho N chứa F∗. Khi đó, từ ([31], 5.5.8, p. 113) ta suy ra
F∗N0/N0 là nhóm abel hữu hạn sinh, với N 0 là đạo nhóm của N.
Trường hợp 1. Nếu Char(D) = 0 thì F chứa trường các số hữu tỷ Q, do đó Q∗I/(Q∗I ∩N0) ∼= Q∗N0/N0. Do F∗N0/N0 là nhóm abel hữu hạn sinh nên nhóm conQ∗N0/N0 của nó cũng là nhóm abel hữu hạn sinh, và như vậy nhóm Q∗I/(Q∗I∩N0) cũng là nhóm abel hữu hạn sinh. Xét phần tử bất kỳ
A ∈ Q∗I ∩N0. Khi đó A ∈ F∗I ∩SLn(D) ⊆ Z(SLn(D)), nên A là phần tử xoắn. Do A ∈ Q∗I nên tồn tại d ∈ Q∗ sao cho A = dI. Mà A xoắn và
d ∈Q∗ nên d = ±1. Như vậy, Q∗I∩N0 là nhóm hữu hạn. Theo chứng minh trên ta có Q∗I/(Q∗I∩N0)là nhóm hữu hạn sinh, nên Q∗I cũng là nhóm hữu hạn sinh. Do đóQ∗ là nhóm hữu hạn sinh, là điều không thể xảy ra.
Trường hợp 2. NếuChar(D) =p >0 thì ta ký hiệuFp là trường con nguyên tố của F. Ta sẽ chứng minh rằng trường F đại số trên F p. Thật vậy, giả sử tồn tại u ∈ F sao cho u là phần tử siêu việt trên Fp. Đặt K := Fp(u). Khi đó, nhóm K∗I/(K∗I ∩N0) được xem như là nhóm con của nhóm abel hữu hạn sinh F∗N0/N0, nên nó cũng là nhóm abel hữu hạn sinh. Với mọi phần tử A∈ K∗I∩N0, tồn tại các đa thức f(X), g(X)∈ Fp[X] thỏa mãn g(u)6= 0
và ((f(X), g(X)) = 1 sao cho A= (f(u)/g(u))I. Như đã đề cập ở trên, tồn tại số nguyên dương s sao cho f(u)s/g(u)s = 1. Do u là phần tử siêu việt trên Fp nên ta suy ra f(u)/g(u) ∈ Fp. Do đó K∗I ∩N0 là nhóm hữu hạn, kéo theo K∗I là nhóm hữu hạn sinh. Suy ra, K∗ là nhóm hữu hạn sinh, nên
K là trường hữu hạn. Điều này mâu thuẫn với điều giả sử ở trên. Như vậy
F là trường đại số trên Fp, và do đó vành chia D cũng đại số trên Fp. Bây giờ, theo Định lý Jacobson ([22], (13.11), p. 219) ta được D giao hoán, là điều mâu thuẫn.
Như vậy định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 3.5. Cho D là vành chia đại số, hữu hạn địa phương yếu, n≥ 1. Khi đó, nếu GLn(D) hữu hạn sinh thì D giao hoán.
hạn sinh. Do đó kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 3.5.
Hệ quả 3.6. Cho D là vành chia đại số, hữu hạn địa phương yếu, và n ≥ 1. Khi đó, nếu GLn(D) chứa nhóm con tối đại hữu hạn sinh thì D giao hoán.
Bằng cách thực hiện tương tự chứng minh của Định lý 3.4, ta được hệ quả sau:
Hệ quả 3.7. ChoD là vành chia đại số, không giao hoán, hữu hạn địa phương yếu với tâm F, S là nhóm con của GLn(D), n ≥ 1. Đặt N = SF∗. Khi đó
N/N0 không hữu hạn sinh.
Chứng minh. Giả sử rằng N/N0 hữu hạn sinh. Từ N0 = S0 và F∗I/(F∗I∩ S0) ∼= F∗S0/S0, ta suy ra F∗I/(F∗I ∩S0) là nhóm abel hữu hạn sinh. Bây giờ, bằng các kỹ thuật tương tự như ở chứng minh Định lý 3.4 ta đượcD giao hoán, là điều mâu thuẫn.
Hệ quả 3.8. Cho D là vành chia đại số, không giao hoán và hữu hạn địa phương yếu. Khi đó D∗ không hữu hạn sinh.
Chứng minh. Lấy N = S = GLn(D) trong Hệ quả 3.7 với chú ý rằng
[GLn(D), GLn(D)] =SLn(D),
ta được D∗ ∼=GLn(D)/SLn(D) không hữu hạn sinh.