Nhóm tuyến tính bậc n trên vành chia
3.2 Nhóm tuyến tính tối đại căn trên tâm
Trong ([27], Theorem 6), tác giả đã chứng minh rằng, nếu D là vành chia hữu hạn tâm không giao hoán với tâm F và M là nhóm con tối đại của D ∗
sao cho M căn trên F thì F∗
⊆ M, M là nhóm nhân của một trường con tối đại K của D, F có đặc trưng p > 0, K/F là mở rộng thuần túy không tách được, vàD có chỉ số p. Ở đây, bằng cách xét bài toán tương tự cho lớp vành
chia hữu hạn địa phương yếu, chúng tôi chứng minh đượcD là vành chia hữu hạn tâm. Điều này có nghĩa là Định lý 6 trong [27] cũng đúng cho lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu.
Định lý 3.9. Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn địa phương yếu, với tâm F. Nếu D∗ chứa nhóm con tối đại căn trênF thì D là vành chia hữu hạn tâm.
Chứng minh. Giả sử [D : F] =∞và M là nhóm con tối đại của D∗ sao cho
M căn trên F. Nếu M0 abel thì M lũy linh, nên theo Hệ quả 5 trong [10] ta được M abel. Do đó, theo ([13], Proposition 2.5), ta suy ra L :=M ∪ {0} là
trường con tối đại của D. Do D không giao hoán và M là nhóm con tối đại của D∗ nên tồn tại phần tử a ∈M \F. Khi đó, do M căn trên F nên a căn trên F. Đặt K :=F(a), suy ra m := [K : F] < ∞. Rõ ràng L∗
⊆ CD(K)∗, nên từ tính tối đại của L∗ = M trong D∗ ta suy ra L = CD(K). Áp dụng Định lý tâm hóa tử kép (xem [8]), ta được
K =CD(CD(K)∗) = CD(L) = L.
Do đó [L : F] = m < ∞. Tiếp tục áp dụng Định lý tâm hóa tử kép ta suy
ra D ⊗F L ∼= Mm(L), kéo theo [D : F] < ∞, là điều mâu thuẫn. Vậy M0
không abel.
Đặt G = D0∩M. Với mỗi x ∈ G, tồn tại n(x) nguyên dương sao cho
xn(x) ∈ F. Suy ra, xn(x) ∈ D0
∩F = Z(D0). Do Bổ đề 2.14 ta được Z(D0)
là nhóm xoắn, nên x là phần tử xoắn. Như vậy G là nhóm xoắn. Từ M 0 là nhóm con củaG, ta cũng được M0 là nhóm xoắn. Xét nhóm conH hữu hạn sinh của M0. DoD hữu hạn địa phương yếu nên vành chia con L của D sinh bởi H là vành chia hữu hạn tâm, nghĩa là n := [L : Z(L)] < ∞. Do đó H
có thể được xem là nhóm xoắn tuyến tính bậc n trên trường Z(L). Áp dụng ([22], (9.9), p. 154) ta được H là nhóm hữu hạn. Như vậy M 0 là nhóm hữu hạn địa phương.
Với mọi x, y ∈ M0, xét nhóm con H = hx, yi sinh bởi x và y trong M 0. Do M0 hữu hạn địa phương nên H hữu hạn. Mặt khác, CharF =p > 0, nên từ ([22], (13.3), p.215) suy ra H là nhóm cyclic. Nói riêng, x và y giao hoán nhau, kéo theo M0 abel, là điều mâu thuẫn.
Trường hợp 2. CharF = 0.
Ta có M0 hữu hạn địa phương nên F[M 0] là không gian vectơ hữu hạn chiều địa phương trên F. Do đó F[M 0] = F(M0). Rõ ràng M chuẩn hóa
F[M0], kéo theo M ⊆ ND∗(F[M0]∗). Do tính tối đại của M trong D∗, suy ra ND∗(F[M0]∗) = M hoặc ND∗(F[M0]∗) = D∗. Nếu ND∗(F[M0]∗) = M
thì F[M0] ⊆ M, nên với mọi a ∈ M0 ta được F(a) là trường căn trên F. Áp dụng Bổ đề Kaplansky ([22], (15.13), p.258), với chú ý rằng CharF = 0, ta suy ra M0
⊆ F. Nói riêng, M0 abel, là điều mâu thuẫn. Như vậy
ND∗(F[M0]∗) = D∗, nghĩa là F[M0]∗ chuẩn tắc trong D∗. Nếu F[M0] 6= D
thì từ Định lý Cartan-Brauer-Hua ([22], (13.17), p.222) ta được F[M 0] ⊆ F, do đóM0 abel, lại là điều mâu thuẫn. Vậy F[M0] =D. Hơn nữa, do M0 hữu hạn địa phương nên bằng cách áp dụng ([32], 2.5.5, p.74) ta được M 0 chứa nhóm con metabelian chuẩn tắc A với chỉ số hữu hạn. Mà A là metabelian nên A lũy linh, do đó từ ([32], (2.5.2), p.73) ta được A chứa nhóm con abel chuẩn tắc N với chỉ số hữu hạn. Như vậy, N là nhóm con abel với chỉ số hữu hạn trong M0. Đặt {c1, c2, . . . , cs} là tập hợp đầy đủ các phần tử đại
diện của các lớp kề trái của N trong M0. Ta viết M0 = Ss
i=1
ciN và đặt
K :=F(N). Ta có D = F[M0] nên mọi phần tử x ∈ D đều được biểu diễn dưới dạngx = Pk
i=1
aimi, trong đó ai ∈F và mi ∈M0. Do mi ∈M0 nên tồn tại yi∈ {c1, c2, . . . , cs} và ni ∈N sao cho mi = yini. Suy ra,
x = k X i=1 ai(yini) = k X i=1 yi(aini)∈ s X j=1 cjK. Như vậy D = Ps j=1
cjK, kéo theo [D : K]r < ∞. Mặt khác, do N abel nên K
Vậy định lý đã được chứng minh.
Bổ đề 3.10. Cho D là vành chia không giao hoán với tâm F và M là nhóm con tối đại của GLn(D) sao cho M căn trên F. Nếu M là metabelian thì
i) n= 1,
ii) CharD= p >0, iii) [D : F] =p2, iv) F∗
⊆M,
v) K :=M ∪ {0} là trường con tối đại của D, vi) K/F là mở rộng thuần túy không tách được.
Chứng minh. Do ([10], Theorem 6) ta đượcM abel. Áp dụng ([4], Corollary 2), suy ra K :=M ∪ {0} là trường con tối đại của Mn(D). Rõ ràng M 6= F. Với mọi a ∈ M \F, kéo theo a căn trên F, nên mở rộng trường F ⊆ F(a)
là mở rộng hữu hạn, nghĩa là m := [F(a) : F] < ∞. Từ Định lý tâm hóa tử
kép (xem [8], p.42) ta được
Mn(D)⊗F F(a)∼= CMn(D)(F(a))⊗F Mm(F)
và CMn(D)(F(a)) là vành đơn. Do tính tối đại của M trong GLn(D) suy ra (CMn(D)(F(a)))∗ = M. Như vậy CMn(D)(F(a)) = K. Ta có K∗ ≤ CMn(D)(K)∗
≤ GLn(D) và K∗ = M tối đại trong GLn(D) nên K = CMn(D)(K). Suy ra,
F(a) = CMn(D)(CMn(D)(F(a))) = CMn(D)(K) =K.
Do đó [K : F] =m. Tiếp tục áp dụng Định lý tâm hóa tử kép, ta được
Mn(D)⊗F K ∼=Mm(K),
Bây giờ, do F K và K căn trên F, nên từ Bổ đề Kaplansky ([22], (15.13), p.258) suy ra CharF = p > 0 và K thuần túy không tách được trên
F hoặc K đại số trên trường con nguyên tố Fp. Do Định lý Jacobson ([22], (13.11), p.219), ta được trường hợp thứ hai không xảy ra. Như vậy, K thuần túy không tách được trên F. Lấy a ∈ K \F và giả sử rằng t là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho apt ∈ F. Nếu b = apt−1 thì b ∈ K \F và b có bậc
p trên F. Bằng cách thay a bởi b trong phần đầu của chứng minh, ta được
p2 = n2[D : F]. Do[D : F] > 1nên ta suy ra rằngn= 1và[D :F] =p2.
Bổ đề 3.11. Cho F là trường và L là một vành Artin nửa đơn sao cho F ⊆ Z(L). Khi đó, nếu F∗ không xoắn và L∗ căn trên F thì L là trường.
Chứng minh. Do Định lý Wedderburn-Artin (xem [22]), tồn tại các số nguyên dương ni và các vành chia Di sao cho
L ∼= Mn1(D1)×. . .×Mnt(Dt).
Khi đóZ(L) ∼= F1×. . .×Ft, với Fi = Z(Di). Theo giả thiết, F ⊆ Z(L) và
L∗ căn trên F, nên Định lý Kaplansky (xem [22], (15.15), p.259) kéo theo
Di = Fi với mọi i. Mặt khác, do F ⊆ Z(L) và F không xoắn, nên tồn tại một trường con Fi nào đó là trường không xoắn. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử F1 không xoắn. Giả sử t > 1 và u là phần tử không xoắn của F1. Do (u,1, . . . ,1) ∈ GLn1(D1)×. . .×GLnt(Dt) căn trên F nên tồn tại m nguyên dương sao cho (um,1, . . . ,1) ∈F. Suy ra
(um −1,0, . . . ,0) = (um,1, . . . ,1)−(1,1, . . . ,1) ∈F.
Nhưng(um−1,0, . . . ,0) 6= 0, nên (um−1,0, . . . ,0) ∈F∗, là điều mâu thuẫn. Vậy t = 1, nghĩa là L ∼= Mn1(D1) và F ⊆ Z(L) ∼= F1. Nếu n1 > 1 thì với mọi f ∈ F∗
1 ta có ma trận đường chéo diag(f,1, ...,1) ∈ GLn1(F1) căn trên
F1, nên F∗
1 là nhóm xoắn, điều này mâu thuẫn với điều giả sử ở trên. Do đó n1 = 1, nghĩa là L ∼= F1, hay L là trường.
Bổ đề 3.12. Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn địa phương yếu, với tâm F; M là nhóm con tối đại bất khả quy của GLn(D) sao cho M căn trên F. Khi đó, nếu N là nhóm con chuẩn tắc hữu hạn địa phương của M sao cho F[N]∗ ⊆ M thì N ⊆F.
Chứng minh. Giả sử F∗ là nhóm xoắn. Khi đó, do M căn trên F nên ta cũng được M là nhóm xoắn. Xét H = hA1, A2, . . . , Aki là một nhóm con
hữu hạn sinh của M và S là tập hợp tất cả các phần tử xuất hiện trong tất cả các vị trí của các ma trận Ai và A−i 1. Ta có D hữu hạn địa phương yếu nên vành chia con L của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm. Khi đó
H có thể được xem như là một nhóm tuyến tính hữu hạn sinh bậc mn trên
Z(L), với m:= [L : Z(L)]. Hơn nữa, H là nhóm xoắn, nên theo ([22], (9.9), p. 154) ta được H hữu hạn. Như vậy M là nhóm hữu hạn địa phương. Áp dụng ([4], Theorem 9), ta được D = F, là điều mâu thuẫn. Vậy F ∗ không xoắn.
Do M chuẩn hóa F[N]∗ nên áp dụng ([32], (1.1.15), p.9) ta được F[N]
là vành nửa nguyên tố. Hơn nữa, N hữu hạn địa phương, nên F[N] là vành Artin địa phương. Do đó, theo ([32], (1.1.9), p. 5 và (1.2.6a), p.11), ta được
F[N] là vành Artin nửa đơn. Áp dụng Bổ đề 3.11 ta suy ra F[N] là trường. Giả sửN 6⊆ F. Khi đó ta có mở rộng trường thực sự F F[N]. Theo Bổ đề Kaplansky ([22], (15.13), p.258) ta được CharF = p > 0 và F[N] thuần túy không tách được trên F hoặc F[N] đại số trên trường con nguyên tố F p. Do F∗ không xoắn nên trường hợp thứ hai không xảy ra. Do đó F[N] thuần túy không tách được trênF. Bây giờ ta lấy một phần tử a bất kỳ thuộcN\F
và chọn t là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho a pt = α∈ F. Nếu b = apt−1
thì bp ∈ F và bk 6∈ F với mọi k thỏa 0 < k < p. Từ N hữu hạn địa phương ta suy ra, tồn tại số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho b m = 1. Ta viết
Khi đó br ∈F nên r = 0, và do đó m = ps. Như vậy ta có
0 =bps −1 = (bs −1)p.
Từ điều này ta được bs = 1, là điều mâu thuẫn. Vậy N ⊆ F.
Để chứng minh các kết quả tiếp theo, ta cần Bổ đề sau (được xem như là mở rộng của Định lý Cartan-Brauer-Hua cho vành ma trận).
Bổ đề 3.13(Rosenberg). Cho D là một vành chia và R là vành con của vành ma trận Mn(D), n≥ 2. Khi đó, nếu R∗ là nhóm con chuẩn tắc của GLn(D) thì R nằm trong tâm của Mn(D) hoặc R= Mn(D).
Chứng minh. Xem Hệ quả 1 trong [29].
Định lý 5 trong [26] đã chỉ ra rằng, nếu D là vành chia hữu hạn tâm không giao hoán, với tâmF, và M là nhóm con tối đại của GLn(D) sao cho
M căn trên F, thì M chứa nhóm con abel với chỉ số hữu hạn. Định lý sau chứng tỏ rằng nhóm con như vậy không tồn tại trong GL n(D) với n ≥ 2 và
D hữu hạn địa phương yếu. Nhắc lại rằng, trường hợp n = 1 đã được xét đến trong Định lý 3.9.
Định lý 3.14. Cho D là vành chia không giao hoán hữu hạn địa phương yếu với tâm F, và n≥ 2. Khi đó GLn(D) không chứa nhóm con tối đại căn trên tâm F.
Chứng minh. Giả sử M là nhóm con tối đại của GLn(D) sao cho M căn trênF. Do Bổ đề 3.10, ta có thể giả sử rằng M không lũy linh. Ta có M tối đại trong GLn(D) nên ([4], Lemma 2) suy ra F ∗
≤ M hoặc SLn(D) ≤ M. Nếu SLn(D)≤ M thì SLn(D) căn trên F, nên ([24], Corollary 2) kéo theo
D = F, là điều mâu thuẫn. Vậy F∗ ≤M.
Đặt G = SLn(D)∩M. Với mỗi x ∈ G, tồn tại n(x) nguyên dương sao cho xn(x) ∈ F. Do đó xn(x) ∈ SLn(D)∩F = Z(SLn(D)). Từ các bổ đề
2.14 và 3.3 suy ra Z(SLn(D)) là nhóm xoắn. Nói riêng, x là phần tử xoắn. Như vậy G là nhóm xoắn. Mà M0
≤ G nên M0 cũng là nhóm xoắn.
Xét H = hA1, A2, . . . , Aki là nhóm con hữu hạn sinh củaM 0 và S là tập hợp tất cả các phần tử xuất hiện trong tất cả các vị trí của các ma trận Ai
và A−i 1. Do D hữu hạn địa phương yếu nên vành chia con L của D sinh bởi
S là vành chia hữu hạn tâm. Khi đó H có thể được xem như là một nhóm tuyến tính hữu hạn sinh bậc mn trên Z(L), với m := [L : Z(L)]. Hơn nữa,
H là nhóm xoắn, nên ([22], (9.9), p. 154) suy ra H hữu hạn. Như vậyM 0 là nhóm hữu hạn địa phương.
Do ([4], Corollary 1), ta suy ra M bất khả quy hoặc M chứa một phiên bản của D∗. Nếu trường hợp thứ hai xảy ra thì D căn trên F, nên từ Định lý Kaplansky ([22], (15.15), p. 259) ta được D = F, là điều mâu thuẫn. Như vậy M bất khả quy. Áp dụng ([32], (1.1.15), p.9) ta được F[M 0] là vành nửa nguyên tố. Hơn nữa, do M 0 hữu hạn địa phương nên F[M0] là vành Artin địa phương. Theo ([32], (1.1.9), p.5 và (1.2.6a), p.11), ta có
F[M0] là vành nửa đơn Artin. Mặt khác, M ≤ NGLn(D)(F[M0]∗), nên từ tính tối đại của M trong GLn(D) ta suy ra NGLn(D)(F[M0]∗) = GLn(D) hoặc
NGLn(D)(F[M0]∗) = M. Do F[M0]∗
6⊆ M nên trường hợp thứ hai không xảy ra. VậyNGLn(D)(F[M0]∗) =GLn(D), nghĩa là F[M0]∗ chuẩn tắc trong
GLn(D). Mặt khác, do F[M0] nửa đơn vàM0 không abel nên từ Bổ đề 3.13 ta được F[M0] =Mn(D).
Trường hợp 1. CharF = 0.
Từ ([32], 2.5.5, p.74) ta được M 0 chứa một nhóm con metabelian chuẩn tắc A với chỉ số hữu hạn. Do đó A lũy linh và hữu hạn địa phương. Áp dụng ([32], (2.5.2), p.73) ta suy ra A chứa nhóm con abel chuẩn tắc N với chỉ số hữu hạn. Như vậy N là nhóm con abel với chỉ số hữu hạn trong M 0. Theo Định lý Poincaré ([19], (13.2.2), p.83), N chứa nhóm con B sao cho
B là nhóm con chuẩn tắc với chỉ số hữu hạn trong M 0. Đặt m := [M0 : B]
và G = hxm|x ∈ M0
M. Như vậy M ⊆ NGLn(D)(F[G]∗). Từ tính tối đại của M trong GLn(D), ta suy ra NGLn(D)(F[G]∗) = GLn(D) hoặc NGLn(D)(F[G]∗) = M. Nếu
NGLn(D)(F[G]∗) = GLn(D) thì từ Bổ đề 3.13 ta được F[G] = Mn(D). Mà
G abel nên điều này không thể xảy ra. Như vậy N GLn(D)(F[G]∗) =M. Nói riêng, F[G]∗
⊆M. Áp dụng Bổ đề 3.12 ta được G⊆ F∗.
Bây giờ, do ([32], (2.5.1), p.73), ta có thể xem B như là nhóm con của nhóm tuyến tính GLn(C). Ta có B ≤ M0 nên với mọi x ∈ B ta có
det(x) = 1 và xm ∈ G⊆ F. Xem x như là một phần tử của GLn(C), suy ra
1 = det(xm) = xmn. Do Định lý Burnside thứ nhất (xem [22], (9.4), p. 151) ta đượcBhữu hạn, và như vậyM 0là nhóm hữu hạn. Do đóF[M0](=Mn(D))
là không gian vectơ hữu hạn chiều trên F. Nói riêng, [D : F]< ∞. Áp dụng
([26], Theorem 5) ta suy ra, tồn tại một họ {Ki}r1 các trường thực sự chứa F
sao choK∗
i ⊆M và A= K∗
1× · · · ×K∗
r là nhóm con abel với chỉ số hữu hạn trongM. Do đó mỗi Ki đều căn trênF. Nhưng điều này mâu thuẫn với Bổ đề Kaplansky ([22], (13.11), p.219).
Trường hợp 2. CharF = p >0.
Nhắc lại rằng F[M0] = Mn(D) và M0 hữu hạn địa phương. Do đó, từ ([32], (1.1.14), p.9), ta được F p[M0] là vành đơn Artin.
Trường hợp 2.1. Fp[M0]∗
6⊆ M.
Do M tối đại trong GLn(D) và M chuẩn hóa Fp[M0], suy ra Fp[M0]∗
chuẩn tắc trong GLn(D). Mà M0 không abel, nên Bổ đề 3.13 kéo theo
Fp[M0] =Mn(D). Từ đẳng thức này và từ M0 hữu hạn địa phương suy ra D
đại số trên Fp. Do đó, từ Định lý Jacobson ([22], (13.11), p.219) ta được D
giao hoán, là điều mâu thuẫn. Trường hợp 2.2. Fp[M0]∗
⊆ M
Do Fp[M0] là vành đơn Artin nên tồn tại số nguyên dương n1 và vành chia D1 sao cho Fp[M0] ∼= Mn1(D1). Điều này suy raD1 đại số trênFp, nên theo Định lý Jacobson ([22], (13.11), p.219) ta được D 1 là trường. Do đó
Bây giờ, với mọi x ∈ Mn(D) = F[M0], tồn tại các fi ∈ F và mi ∈ M0 sao cho
x =f1m1+f2m2+· · ·+fkmk.
Xem các mi như là các ma trận trong Mn1(D1) với chú ý rằng D1 ⊆ F, ta suy ra x ∈ Mn1(F). Như vậy [D : F] < ∞. Từ Định lý 5 trong [26] ta suy ra, tồn tại một họ {Ki}r
1 các trường thực sự chứa F sao cho K∗
i ⊆ M
và A = K∗
1 × · · · ×K∗
r là nhóm con abel với chỉ số hữu hạn trong M. Do
M/A hữu hạn nên theo Định lý Poincaré (xem [19]), tồn tại nhóm con chuẩn tắc B của M sao cho B ⊆ A ⊆ M và M/B hữu hạn. Gọi H là nhóm con abel chuẩn tắc tối đại của M sao cho B ⊆ H (nhóm con này luôn tồn tại vì B là nhóm con abel chuẩn tắc với chỉ số hữu hạn trong M). Rõ ràng
H = CM(H) = F[H]∗. Do đó, từ ([32], (1.1.15), p.9) ta được F[H] là vành nửa nguyên tố. Hơn nữa, D hữu hạn tâm, nên F[H] là vành Artin. Do đó, từ ([32], (1.1.9), p. 5 và (1.2.6a), p.11) suy raF[H]là vành Artin nửa đơn. DoD
hữu hạn tâm và không giao hoán nên Định lý Jacobson ([22], (13.11), p.219) kéo theo F∗ là nhóm không xoắn. Áp dụng Bổ đề 3.11 ta được L :=F[H] là trường. Mặt khác, L căn trên F, nên theo ([22], (15.13), p. 258) ta được
L thuần túy không tách được trên F hoặc L đại số trên trường con nguyên tố Fp. Nếu trường hợp thứ hai xảy ra thì ta được D đại số trên Fp, nhưng do D không giao hoán nên điều này mâu thuẫn với Định lý Jacobson ([22], (13.11), p.219). Như vậy L thuần túy không tách được trên F.
Giả sử H 6= L và ta lấy x ∈ M \ H. Khi đó, do H = CM(H) nên