địa phương yếu
Trở lại giả thuyết của I.N. Herstein được nhắc đến ở trước Định lý 2.11, B.X. Hải và L.K. Huỳnh (xem [14]) đã chứng minh giả thuyết trên đúng cho trường hợp vành chia hữu hạn tâm. Trong mục này chúng tôi sẽ chứng minh nó cũng đúng cho trường hợp vành chia hữu hạn địa phương yếu. Trước hết, ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 2.14. Nếu D là vành chia hữu hạn địa phương yếu thì Z(D0) là nhóm xoắn.
Chứng minh. Do Mệnh đề 2.2, Z(D0) = D0
∩F. Với mọi x ∈ Z(D0), tồn tại các ai, bi ∈D∗ sao cho
x= a1b1a−11b−11a2b2a2−1b−21. . . anbna−n1b−n1.
Đặt S = {ai, bi : i = 1, n}. Do D hữu hạn địa phương yếu nên vành chia con L của D sinh bởi S là vành chia hữu hạn tâm. Đặt m := [L : Z(L)]. Do
x ∈F nên x giao hoán với mọi phần tử của S. Do đó x ∈Z(L). Như vậy,
xm =NL/Z(L)(x) =NL/Z(L)(a1b1a−11b−11a2b2a−21b−21. . . anbna−n1b−n1) = 1.
Do đó x xoắn.
Từ bổ đề trên, ta được kết quả sau được xem như là mở rộng của Định lý 1 trong [17] từ lớp vành chia hữu hạn tâm sang lớp vành chia hữu hạn địa phương yếu.
Mệnh đề 2.15. Cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu với tâm F. Khi đó, nếu mọi hoán tử nhân của D đều căn trên F thì D giao hoán.
Chứng minh. Với mọi a, b ∈ D∗, tồn tại số nguyên dương n phụ thuộc vào
a, b sao cho (aba−1b−1)n ∈ F. Do đó, từ Bổ đề 2.14 ta được aba−1b−1 xoắn. Áp dụng Định lý 1 trong [17] ta được D giao hoán.
Định lý sau khẳng định rằng Giả thuyết Herstein ([17], Giả thuyết 3) đúng cho trường hợp vành chia hữu hạn địa phương yếu.
Định lý 2.16. Cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu với tâm F và N
là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu N căn trên F thì N ⊆ F.
Chứng minh. Xét nhóm con N0= [N, N] ⊆D0 và giả sử x∈ N0. Vì N căn trên F nên tồn tại số nguyên dương n sao cho xn ∈ F. Vậy xn ∈ F ∩D0 = Z(D0). Từ Bổ đề 2.14 ta được xn xoắn, và do đó x xoắn. Hơn nữa, do N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗ nên N0 là nhóm con xoắn á chuẩn tắc trong
D∗. Do đó, theo Định lý 8 trong [17] ta được N 0⊆ F. Vậy N là nhóm giải được. Do đó, theo ([31], 14.4.4, p. 440), ta được N ⊆ F.
Bổ đề 2.17. Cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu với tâm F và N là nhóm con á chuẩn tắc của D∗. Nếu với mọi x, y ∈ N, tồn tại số nguyên dương nxy sao cho xnxyy = yxnxy thì N ⊆ F.
Chứng minh. Bằng cách thay K :=F(x, y) bởi K là vành chia con sinh bởi
x và y trong chứng minh Bổ đề 2.10, ta được chứng minh của bổ đề này cho trường hợp vành chia hữu hạn địa phương yếu hoàn toàn tương tự trường hợp vành chia kiểu 2.
Sử dụng bổ đề trên, bằng cách thực hiện tương tự như chứng minh Định lý 2.11, ta được kết quả sau:
Định lý 2.18. Cho D là vành chia hữu hạn địa phương yếu với tâm F, K là vành chia con thực sự của D và N là nhóm con chuẩn tắc của D∗. Khi đó, nếu N căn trên K thì N ⊆ F.
Chương 3.