bài toán vận tải phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRÀ GIANG BÀI TOÁN VẬN TẢI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRÀ GIANG BÀI TOÁN VẬN TẢI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i LỜI NÓI ĐẦU 1 Nội dung 4 1 BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH 4 1.1 Bài toán và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tìm phương án cực biên ban đầu . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Tiêu chuẩn tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Phương pháp thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU PHÂN TUYẾN TÍNH 25 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 52 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI NÓI ĐẦU Bài toán vận tải đã khá quen thuộc trong lý thuyết qui hoạch tuyến tính. Trong bài toán này hàm mục tiêu là tuyến tính (nghĩa là chi phí vận chuyển tỉ lệ thuận với lượng hàng vận chuyển) và các ràng buộc của bài toán có dạng đặc biệt. Nhờ khai thác cấu trúc đặc biệt này người ta đã đề ra các phương pháp giải riêng hiệu quả hơn hẳn so với việc áp dụng phương pháp đơn hình tổng quát vào bài toán, đáng chú ý là phương pháp thế vị, phương pháp qui không ô chọn, phương pháp thu hẹp chính tắc. Có thể xét mở rộng bài toán vận tải theo nhiều hướng khác nhau, như thay đổi điều kiện ràng buộc: vận tải khi không có cân bằng cung cầu (cung vượt quá cầu hoặc cầu vượt quá cung), vận tải có trung chuyển, vận tải có hạn chế năng lực thông qua, vận tải có vận chuyển ngược; hoặc thay đổi dạng của hàm mục tiêu: vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính), vận tải với hàm mục tiêu lồi hay lõm, v.v Chẳng hạn, bài toán vận tải phân tuyến tính tìm phương án vận chuyển làm cực tiểu tỉ số của chi phí vận chuyển hàng hoá trên tổng lợi nhuận thu được khi vận chuyển toàn bộ số hàng đó. Tuy hàm mục tiêu của bài toán là phi tuyến, nhưng các ràng buộc của bài toán vẫn có cùng cấu trúc như của bài toán vận tải thông thường, vì thế có thể vận dụng các phương pháp giải bài toán vận tải đã biết cho bài toán vận tải mở rộng. Bài toán vận tải tuyến tính có dạng một qui hoạch tuyến tính chính tắc, vì thế các kiến thức về qui hoạch tuyến tính chính tắc nói chung đều có thể áp dụng vào bài toán vận tải tuyến tính nói riêng. Ràng buộc của bài toán vận tải tuyến tính và phân tuyến tính có cấu trúc vận tải nên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 miền ràng buộc của các bài toán này có các tính chất đặc biệt. Có thể khâi thác các tính chất đó để xây dựng thuật toán giẩi riêng, hiệu quả. Luận văn này đề cập tới bài toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính và phân tuyến tính: giới thiệu nội dung, mô hình và các tính chất cơ bản của bài toán; giới thiệu thuật toán thế vị giải bài toán vận tải tuyến tính và dạng mở rộng của nó để giải bài toán vận tải phân tuyến tính. Vấn đề đối ngẫu và các quan hệ đối ngẫu của bài toán vận tải tuyến tính và phân tuyến tính cũng được đề cập tới. Nội dung luận văn được chia thành hai chương. Chương 1 với tiêu đề "Bài toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính" trình bày nội dung và các tính chất cơ bản của bài toán vận tải tuyến tính. Tiếp đó, đề cập tới phương pháp "min cước" và phương pháp "góc Tây - Bắc" để tìm phương án cực biên ban đầu của bài toán. Sau đó, trình bày cơ sở lý luận và nội dung thuật toán thế vị (một biến thể của thuật toán đơn hình) giải hiệu quả bài toán vận tải. Cuối chương nêu ví dụ số để minh họa cho thuật toán giải. Các kiến thức về bài toán vận tải nói chung và thuật toán thế vị nói riêng sẽ cần đến ở chương sau, khi xét bài toán vận tải phân tuyến tính. Chương 2 với tiêu đề "Bài toán vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính" đề cập tới một mở rộng bài toán vận tải tuyến tính, bằng cách thay hàm mục tiêu tuyến tính bằng hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số của hai hâm tuyến tính), hàm này có tính chất đơn điệu theo từng phương. Dựa vào cấu trúc đặc biệt của bài toán, chương này nêu ra điều kiện để phương án của bài toán là tối ưu và nêu thuật toán thế vị mở rộng giải bài toán. Thuật toán có kèm theo ví dụ số để minh họa. Cuối chương đề cập tới bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải phân tuyến tính và nêu các quan hệ đối ngẫu giữa hai bài toán gốc và đối ngẫu, tương tự như lý thuyết đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn này mới chỉ đề cập Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 tới những nội dung cơ bản của bài toán vận tải phân tuyến tính, chưa đi sâu vào các chi tiết thực thi thuật toán. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học-Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012. Người thực hiện Nguyễn Trà Giang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chương này xét bài toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính (chi phí vận chuyển tỉ lệ thuận với lượng hàng vận chuyển), đó là dạng bài toán qui hoạch tuyến tính đơn giản nhất và được áp dụng rộng rãi trong thực tiễn. Mục 1.1 giới thiệu mô hình bài toán và các tính chất cơ bản. Mục 1.2 nêu phương pháp min cước và phương pháp góc Tây-Bắc tìm phương án cực biên ban đầu của bài toán. Điều kiện tối ưu được đưa ra ở Mục 1.3 và thuật toán thế vị cùng cơ sở lý luận của thuật toán được trình bày ở Mục 1.4. Ví dụ số được xây dựng ở Mục 1.5. Nội dung của chương chủ yếu tham khảo từ các tài liệu [1] , [2] và [4]. 1.1 Bài toán và các tính chất Mô hình toán học của bài toán vận tải có dạng như sau: m  i=1 n  j=1 c ij x ij → min (cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) (1.1) với các điều kiện: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 n  j=1 x ij = a i , i = 1, 2, , m (mọi điểm phát giao hết hàng) (1.2) m  i=1 x ij = b j , j = 1, 2, , n (mọi điểm thu nhận đủ hàng) (1.3) x ij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n (lượng hàng vận chuyển không âm) (1.4) Ở đây m là kho hàng (điểm phát), n là nơi tiêu thụ hàng (điểm thu). a i là lượng hàng có (cung) ở điểm phát i (i=1,2, ,m). b j là lượng hàng cần (cầu) ở điểm thu j (j=1,2, ,n). c ij là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j. x ij biểu thị lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i đến điểm thu j. Điều kiện cần và đủ để bài toán (1.1) - (1.4) giải được là phải có điều kiện cân bằng thu phát , nghĩa là tổng cung bằng tổng cầu: a 1 + a 2 + + a m = b 1 + b 2 + + b n (1.5) Bài toán vận tải (1.1) - (1.4) là một dạng đặc biệt của qui hoạch tuyến tính. Để thấy rõ điều này ta sắp xếp các biến số theo thứ tự x 11 , x 12 , , x 1n , x 21 , x 22 , , x 2n , , x m1 , x m2 , , x mn và viết lại hệ ràng buộc chính (1.2) - (1.3) dưới dạng hệ m + n phương trình của m × n biến số x ij như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6                  x 11 + x 12 + + x 1n = a 1 , x 21 + x 22 + + x 2n = a 2 , x m1 + x m2 + + x mn = a m , x 11 + x 21 + x m1 = b 1 , x 12 + x 22 + x m2 = b 2 , x 1n + x 2n + x mn = b n . Ký hiệu A là ma trận hệ số của hệ phương trình trên (gồm m + n hàng và m × n cột). x = (x 11 , x 12 , , x 1n , x 21 , x 22 , , x 2n , , x m1 , x m2 , , x mn ) T là véctơ cột m × n thành phần, c = (c 11 , c 12 , , c 1n , c 21 , c 22 , , c 2n , , c m1 , c m2 , , c mn ) T là véc tơ cột m × n thành phần, b = (a 1 , a 2 , , a m , b 1 , b 2 , , b n ) T là véctơ cột vế phải (m + n thành phần). Bài toán vận tải (1.1) - (1.4) được viết lại thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc: f = < c, x > → min, Ax = b, x ≥ 0. Ta gọi A ij là véctơ cột của ma trận A ứng với biến x ij . Dễ thấy rằng véctơ này có hai thành phần bằng 1 tại dòng thứ i và dòng thứ m + j, còn các thành phần khác bằng 0. Véctơ x thỏa mãn (1.2) - (1.4) gọi là một phương án của bài toán vận tải. Một phương án đạt cực tiểu (1.1) gọi là phương án tối ưu hay lời giải. Phương án x là phương án cực biên khi và chỉ khi các véctơ cột A ij của ma trận A ứng với các x ij > 0 là độc lập tuyến tính.Sau đây ta sẽ giả thiết là có điều kiện cân bằng thu phát (1.5). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Do bài toán vận tải có m+n ràng buộc chính, nên ta nghĩ rằng mỗi phương án cực biên cũng có m+n thành phần dương, nhưng thực tế nó chỉ có nhiều nhất m+n-1 thành phần dương, vì trong số các ràng buộc này có một ràng buộc là thừa (có thể bỏ đi mà không làm ảnh hưởng tới lời giải của bài toán). Một phương án cực biên của bài toán gọi là không suy biến nếu số phần tử của tập hợp G = {(i, j) : x ij > 0} bằng m+n-1, gọi là suy biến nếu |G| < m+n-1. Để cho gọn, ta ghi lại dữ liệu của bài toán dưới dạng một bảng chữ nhật, gọi là bảng vận tải (Bảng 1.1). Bảng gồm m hàng (i = 1, 2, , m) và n cột (j = 1, 2, , n). Chỗ giao nhau ở hàng i, cột j ký hiệu là ô (i,j). Mỗi hàng tương ứng với một trạm phát, mỗi cột tương ứng với một trạm thu. Số ghi ở đầu mỗi hàng là lượng cung, số ghi ở đầu mỗi cột là lượng cầu. Chi phí vận chuyển c ij ghi ở góc trên bên trái của ô (i,j), lượng hàng vận chuyển x ij sẽ ghi ở góc dưới bên phải của ô. Ô (i,j) biểu thị tuyến đường vận chuyển từ trạm phát i đến trạm thu j. Đặt c ij = ∞ nếu không thể chuyển hàng từ i đến j. Bảng 1.1. Bảng vận tải Thu b 1 · · · b j · · · b n Phat c 11 c 1j c 1n a 1 · · · · · · x 11 x 1j x 1n . . . . . . · · · . . . · · · . . . c i1 c ij c in a i · · · · · · x i1 x ij x in . . . . . . · · · . . . · · · . . . c m1 c mj c mn a m · · · · · · x m1 x mj x mn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Do đó, bài toán vận tải phân tuyến tính luôn tồn tại nghiệm Định nghĩa 2.1 Nếu tổng các nhu cầu bằng tổng mức cung cấp m n ai = i=1 bj (2.8) j=1 thì bài toán vận tải phân tuyến tính được gọi là bài toán vận tải cân bằng Bài toán vận tải (2.1), (2.4) được xem là bài toán vận tải không có chế độ thông qua bởi vì không có giới hạn trên cho các... vị nêu ở chương này sẽ được sử dụng ở chương sau, khi xét bài toán vận tải phân tuyến tính Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Chương 2 BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU PHÂN TUYẾN TÍNH Chương này chúng ta sẽ đề cập đến bài toán vận tải phân tuyến tính Mục 2.1 nêu mô hình bài toán và điểm qua một số tính chất chính của nghiệm Phương pháp giải sẽ được trình... aj (2.13) j=1 Phát biểu sau chỉ ra một tính chất hữu ích của bài toán vận tải phân tuyến tính Định lý 2.3 (Định lý về nghiệm nguyên) Nếu mọi ai và bj trong bài toán vận tải phân tuyến tính (2.9) - (2.12) là các số nguyên, thì các nghiệm cơ sở của bài toán (2.9) - (2.12) là các véctơ nguyên Và nếu có thêm điều kiện cân bằng (2.13) thì bài toán vận tải phân tuyến tính (2.9) - (2.12) có nghiệm tối ưu x∗... Phương pháp giải Cũng giống như những bài toán phân tuyến tính tổng quát, quá trình giải bài toán vận tải phân tuyến tính được chia làm hai giai đoạn: 1 Tìm nghiệm cơ sở (cực biên) 2 Cải thiện nghiệm cực biên ban đầu cho tới khi các điều kiện tối ưu được thỏa mãn Vì quy trình tìm nghiệm cơ sở ban đầu cho bài toán vận tải phân tuyến tính cũng giống như bài toán vận tải thông thường nên chúng ta chỉ tập... xij được gọi là một nghiệm cơ sở chấp nhận được của bài toán vận tải phân tuyến tính (2.9) - (2.12) nếu tất cả các thành phần xij ∈ JB , thỏa mãn các điều kiện (2.9) - (2.12) là các số âm Phát biểu sau nêu lên điều kiện cần và đủ để cho bài toán vận tải phân tuyến tính dạng chính tắc (2.9) - (2.12) có nghiệm Định lý 2.2 Bài toán vận tải phân tuyến tính (2.9) - (2.12) giải được Số hóa bởi Trung tâm Học... điều kiện (1.5) bài toán vận tải (1.1) - (1.4) có các tính chất quan trọng sau đây Định lý 1.1 a )Bài toán vận tải luôn luôn có phương án tối ưu b) Hạng của hệ phương trình (1.2) - (1.3) của bài toán bằng m + n 1 c) Nếu lượng cung cầu ai , bj là các số nguyên thì bài toán này sẽ có lời giải nguyên Có thể dùng các phương pháp của quy hoạch tuyến tính để giải bài toán vận tải Tuy nhiên do bài toán này có... đã đề cập tới bài toán vận tải tuyến tính, bài toán có dạng một qui hoạch tuyến tính chính tắc Nêu mô hình và các tính chất cơ bản của bài toán, phương pháp min cước hay được dùng để tìm phương án cực biên ban đầu của bài toán và trình bày cơ sở lý luận và nội dung thuật toán thế vị quen thuộc giải bài toán Cuối chương đưa ra ví dụ số để minh họa cho thuật toán giải đã trình bày Kỹ thuật tính các thế... nghiệm Phương pháp giải sẽ được trình bày ở mục 2.2 Ví dụ minh họa được đưa ra ở mục 2.3 Cuối chương chúng ta xét bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải phân tuyến tính và nêu các mệnh đề của thuyết đối ngẫu cho bài toán này 2.1 Phát biểu bài toán Một cách tổng quát, bài toán vận tải phân tuyến tính được xác định bởi các thông tin như sau 1 Tập hợp m điểm cung cấp hàng hóa (kho hàng) Mỗi điểm cung cấp i... của bài toán vận ii tải (1.1) - (1.4) Theo định lý đối ngẫu mạnh, bài toán đối ngẫu có phương án tối ưu y 0 = (u1 , , um , v1 , , vn )T Do y 0 là phương án chấp nhận được của bài toán đối ngẫu nên nó thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán, tức ui + vj ≤ cij ; i = 1, , m; j = 1, , n Đây chính là điều kiện (1.6) Hơn nữa, vì x0 là phương án tối ưu của bài toán gốc và y 0 là phương án tối ưu của bài toán. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Chúng ta xét bài toán vận tải phân tuyến tính dạng chính tắc như sau m P (x) = Q(x) = D(x) n pij xij + p0 i=1 j=1 m n → max (2.9) dij xij + d0 i=1 j=1 Với hệ ràng buộc n xij = ai , i = 1, 2, , m, (2.10) xij = bj , j = 1, 2, , n, (2.11) i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n, (2.12) j=1 m i=1 xij ≥ 0, ở đây D(x) > 0, ∀x = (xij ) ∈ S Bài toán vận tải phân tuyến tính có ma trận mở rộng của các . phân tuyến tính: giới thiệu nội dung, mô hình và các tính chất cơ bản của bài toán; giới thiệu thuật toán thế vị giải bài toán vận tải tuyến tính và dạng mở rộng của nó để giải bài toán vận tải. về bài toán vận tải nói chung và thuật toán thế vị nói riêng sẽ cần đến ở chương sau, khi xét bài toán vận tải phân tuyến tính. Chương 2 với tiêu đề " ;Bài toán vận tải với hàm mục tiêu phân. phân tuyến tính& quot; đề cập tới một mở rộng bài toán vận tải tuyến tính, bằng cách thay hàm mục tiêu tuyến tính bằng hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số của hai hâm tuyến tính) , hàm này có tính