2 BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU PHÂN TUYẾN
2.4 Bài toán đối ngẫu
Mục đích của phần này là trình bày một vài kết quả chính của thuyết đối ngẫu áp dụng vào bài toán vận tải phân tuyến tính.
Xét bài toán vận tải phân tuyến tính sau:
Q(x) = P(x) D(x) = m P i=1 n P j=1 pijxij +p0 m P i=1 n P j=1 dijxij +d0 →max (2.27) với các ràng buộc n X j=1 xij ≤ bi, i = 1,2, ..., m, (2.28) m X i=1 xij ≤aj, j = 1,2, ..., n, (2.29)
xij ≥ 0, i = 1,2, ..., m, j = 1,2, ..., n, (2.30) Như thông lệ, ta giả thiết D(x) > 0, ∀x = (xij) ∈ S, với S là miền chấp nhận được xác định bởi các ràng buộc (2.28) -(2.30).
Bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) có thể được thiết lập như sau
ψ(y) = y0 → min (2.31) với các ràng buộc d0y0 − m X i=1 biui+ n X j=1 ajvj ≥ p0 (2.32) dijy0 +ui −vj ≥pij (2.33) ui ≥ 0, i = 1,2, ..., m, j = 1,2, ..., n (2.34) ở dây y là một véctơ với n + m + 1 thành phần
y0, u1, u2, ..., um, v1, v2, ..., vn.
Do bài toán vận tải phân tuyến tính là trường hợp đặc biệt của bài toán quy hoạch phân tuyến tính, nên những mệnh đề của thuyết đối ngẫu trong qui hoạch phân tuyến tính cũng có thể áp dụng được cho bài toán vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30). Ở đây chúng tôi chỉ nên ra một số kết quả cơ bản
Định lý 2.5. (Định lý đối ngẫu yếu) Nếu x là một nghiệm cơ sở chấp nhận được của bài toán vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) và y là một nghiệm của bài toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) thì
Q(x) ≥ψ(y).
Bổ đề 2.1. Nếu x∗ là một nghiệm cơ sở chấp nhận được của bài toán vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) và y∗ là một nghiệm chấp nhận
được của bài toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) và nếu có đẳng thức
Q(x∗) =ψ(y∗).
thì x∗ và y∗ lần lượt là nghiệm tối ưu của các bài toán (2.27) - (2.30) và (2.31) - (2.34).
Bổ đề sau đây chỉ ra một liên kết rất quan trọng giữa tính giải được của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu.
Bổ đề 2.2. Nếu hàm mục tiêu ψ(y) của bài toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) không bị chặn dưới trên miền chấp nhận được của nó thì bài toán vận tải gốc (2.27) - (2.34) không có lời giải, vì miền chấp nhận được của nó là tập rỗng.
Rõ ràng, bổ đề này chỉ ra trường hợp tổng cầu vượt quá tổng cung, tức là n X j=1 bj > m X i=1 ai
Định lý 2.6(Định lý đối ngẫu mạnh) Nếu bài toán vận tải phân tuyến tính gốc (2.27) - (2.30) là giải được và x∗ là một nghiệm tối ưu thì bài toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) cũng giải được và với bất kỳ nghiệm tối ưu y∗ của bài toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) ta có
(x∗) = ψ(y∗) (2.35)
Ngược lại, nếu bài toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) là giải được và y∗ là một nghiệm tối ưu thì bài toán vận tải phân tuyến tính gốc (2.27) - (2.30) cũng giải được và với nghiệm tối ưu bất kỳ x∗ ta có đẳng thức (2.36).
Giả sử rằng x∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán vận tải phân tuyến tính gốc (2.27) - (2.30) và y∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu (2.31) - (2.34). Chọn hai chỉ số 1 ≤r ≤ m và 1≤ k ≤n và thay thế lượng cung ar, và lượng cầu bk trong bài toán vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) như sau
với δ đủ nhỏ. Giả sử x0 là nghiệm tối ưu của bài toán vận tải phân tuyến tính đã biến đổi (thay thế lượng cung ar và lượng cầu bk). Định lý sau đây cho thấy vai trò quan trọng của các biến đối ngẫu y0, u1, u2, ..., um và v1, v2, ..., vn trong phân tích độ nhạy.
Định lý 2.7. Nếu x∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30), y∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán đối ngẫu (2.31) - (2.34), x0 là nghiệm tối ưu của bài toán vận tải phân tuyến tính biến đổi (với lượng cunga0rvà lượng cầu b0k), và δ đủ nhỏ, khi đó ta có đẳng thức sau đây
Q(x0) =y0∗ + δ(u
∗
r −vk∗)
D(x0) . (2.37)
Chú ý rằng ta có thể xác định các thành phần của nghiệm tối ưu mới x0 như sau:
• Nếu xrk là biến cơ sở trong nghiệm tối ưu x∗ thì chỉ cần tăng xrk thêm δ.
• Nếu xrk là biến phi cơ sở trong nghiệm tối ưu x∗ thì ta cần tìm chu trình chứa ô rk và một vài ô cơ sở. Sau đó ta đi theo chu trình này và luân phiên tăng và giảm các biến cơ sở trong chu trình một lượng bằng δ
Để minh họa cho công thức (2.38) ta xét lại bài toán vận tải phân tuyến tính cân bằng (2.21) - (2.24) được cho trong ví dụ minh họa ở Mục 2.3. Nghiệm tối ưu của bài toán là
x∗ =
0 0 0 150 0 250 0 0 150 0 50 0
!
với P(x∗) = 7000; D(x∗) = 5370 và Q(x∗) = 1.30353818. Giải bài toán đối ngẫu
với các ràng buộc 15y0 +u1 −v1 ≥10 12y0 +u1 −v2 ≥14 16y0 +u1 −v3 ≥ 8 8y0 +u1 −v4 ≥ 12 i = 1 (2.39) 10y0 +u2 −v1 ≥ 8 6y0 +u2 −v2 ≥ 12 13y0 +u2 −v3 ≥14 12y0 +u2 −v4 ≥ 8 i = 2 (2.40) 13y0 +u3 −v1 ≥ 9 15y0 +u3 −v2 ≥ 6 12y0 +u3 −v3 ≥15 10y0 +u3 −v4 ≥ 9 i = 3 (2.41) ui ≥0, i = 1,2,3, vj ≥0, j = 1,2,3,4 (2.42) ta được nghiệm tối ưu
y∗0 = 1.303538,
u∗1 = 1.571695, u2∗ = 4.178771, u∗3 = 0,
v1∗ = 7.945996, v2∗ = 0, v3∗ = 0.642458, v4∗ = 0,
(2.43)
Nghiệm này cho phép ta dự đoán sự thay đổi giá trị tối ưu của hàm mục tiêu Q(x), nếu một số thay đổi xảy ra với véctơ cung a = (150,250,200)T
và véctơ cầu b = (150,250,50,150)T. Chẳng hạn, nếu ta tăng lượng cung a1 = 150 và lượng cầu b4 = 150 thêm δ = 1 đơn vị, thì ta có nghiệm tối ưu mới x0 = 0 0 0 150 +δ 0 250 0 0 150 0 50 0 !
trong khi đó D(x0) = 5378. Do đó, theo công thức (2.38) với nghiệm tối ưu mới x0 ta có Q(x0) = Q(x∗) + u ∗ 1 −v∗4 D(x0) = 1.30353818 + 1.571695−0 5378 = 1.303830425
Kết thúc bàn luận về bài toán vận tải phân tuyến tính ta chú ý rằng tất cả các kết quả nêu ra ở trên có thể dễ dàng áp dụng vào trường hợp bài toán vận tải tuyến tính. Để có được công thức hoặc mệnh đề tương ứng cho trường hợp tuyến tính ta chỉ cần ghi nhớ một điều là
dij = 0, i = 1,2, ..., m, j = 1,2, ..., n, d0 = 1.
Tóm lại, chương này đã xét bài toán vận tải phân tuyến tính chỉ khác bài toán vận tải xét ở Chương 1 ở hàm mục tiêu phi tuyến (tổng số hai hàm mục tiêu). Nhiều tính chất nghiệm của bài toán vận tải vẫn còn đúng cho bài toán vận tải phân tuyến tính. Thuật toán giải bài toán vận tải phân tuyến tính về cơ bản dựa trên thuật toán thế vị đã biết. Bài toán đối ngẫu và các quan hệ đối ngẫu thuật toán thế vị đã biết. Bài toán đối ngẫu và các quan hệ đối ngẫu nêu ra ở cuối chương có nhiều điểm giống với lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính.
Kết luận
Bài toán vận tải là dạng bài toán qui hoạch tuyến tính đơn giản nhất, đã khá quen thuộc trong lý thuyết tối ưu hoá và là bài toán được ứng dụng rộng rãi nhất trong thực tiễn. Bài toán vận tải có nhiều dạng mở rộng khác nhau: thay đổi điều kiện ràng buộc hoặc thay đổi dạng hàm mục tiêu của bài toán. Luận văn này tập trung chú ý vào dạng mở rộng là bài toán vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số của hai hàm tuyến tính), hàm này có tính chất đơn điệu theo từng phương, nghĩa là cực tiểu của hàm trên một đoạn thẳng đạt được tại một trong hai đầu mút của đoạn thẳng đó, nhờ đó cho phép sử dụng các thuật toán kiểu đơn hình để giải bài toán.
Luận văn đã trình bày những nội dung cụ thể như sau:
1. Mô hình và các tính chất cơ bản của bài toán vận tải tuyến tính, quan hệ đối ngẫu, tiêu chuẩn tối ưu của nghiệm và thuật toán thế vị giải bài toán.
2. Mô hình bài toán vận tải phân tuyến tính, nêu các tính chất cơ bản của bài toán, đưa ra điều kiện tối ưu của nghiệm bài toán và trình bày thuật toán giải bài toán, dựa trên sự mở rộng thuật toán thế vị quen thuộc. Có thể xem luận văn như bước tìm hiểu đầu tiên về bài toán vận tải tuyến tính và phân tuyến tính nói chung, về thuật toán thế vị giải bài toán vận tải (tuyến tính và phân tuyến tính) nói riêng.
Tác giả luận văn hy vọng sẽ có địp được tìm hiểu sâu hơn về nội dung, thuật toán giải và ý nghĩa thực tế của nhiều bài toán tối ưu khác của lý thuyết qui hoạch toán học trong tương lai.
Tài liệu tham khảo
Tài liệu tiếng Việt
[1] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình các phương pháp tối ưu - Lý thuyết và thuật toán, Nxb Bách Khoa, Hà Nội.
Tài liệu tiếng Anh
[3] E. B. Bajalinov (2003), Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software, Kluwer Academic Publishers, 245 - 278..
[4] S. Gass (1994), Linear Programming, International Editions.
[5] R. J. Vanderbei (2008), Linearr Programming - Foundations and Ex- tensions. 3rd edition. Springer.