Bài toán quy hoạch phân tuyến tính

Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN VĂN HÙNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN VĂN HÙNG BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện 1.2 Hàm lồi, hàm lõm mở rộng 1.3 Cực tiểu địa phương toàn cục 5 11 Bài 2.1 2.2 2.3 2.4 15 15 18 20 21 21 23 23 24 27 27 31 34 38 38 39 toán qui hoạch phân tuyến tính Bài tốn tính chất Dạng tắc dạng tổng quát Liên hệ với quy hoạch tuyến tính Bài tốn hai biến số 2.4.1 Lời giải tối ưu 2.4.2 Nhiều lời giải tối ưu 2.4.3 Lời giải tối ưu hữu hạn vô 2.4.4 Lời giải tối ưu tiệm cận cực Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến 3.1 Biến đổi Charnes Cooper 3.2 Thuật toán Gilmore Gomory 3.3 Thuật toán Dinkelbach 3.4 Thuật toán Béla Martos 3.4.1 Tiêu chuẩn tối ưu 3.4.2 Các bước thuật toán Kết luận tính 44 Tài liệu tham khảo 45 Soá hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Giáo sư Tiến sĩ Trần Vũ Thiệu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, Thầy, cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Hịa Bình, Ban giám hiệu, tổ chức Đồn thể, tổ chun mơn, nhóm tốn trường THPT Lạc Thủy B bạn bè đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Nguyễn Văn Hùng Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) tốn tối ưu đơn giản Đó tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm tuyến tính với ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính Qui hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi lý thuyết thực tiễn Phương pháp đơn hình (do G B Dantzing đề xuất năm 1974) phương pháp quen thuộc, có hiệu để giải tốn qui hoạch tuyến tính tốn đưa qui hoạch tuyến tính Mơ hình tốn học tốn qui hoạch tuyến tính (chính tắc) có dạng sau: Tìm biến số xj (j = 1, 2, , n) cho c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → min, với điền kiện ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi , i = 1, 2, , m, xj ≥ 0, j = 1, 2, , n, aij , bi cj số cho trước (m, n nguyên dương) Có thể xét mở rộng tốn qui hoạch tuyến tính theo nhiều cách khác nhau, xét tốn với biến số bị chặn, toán với hàm mục tiêu phi tuyến (phân tuyến tính, tồn phương, lồi hay lõm), qui hoạch tuyến tính với hệ số mục tiêu hay vế phải ràng buộc phụ thuộc tham số (qui hoạch tham số), v.v Đáng ý mở rộng trực tiếp sau đây: tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm phân thức tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính) với ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính Bài toán mở rộng gọi qui hoạch hypecbolic, hay qui hoạch phân tuyến tính (LinearFractional Programming, thường viết tắt LFP) Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính nảy sinh từ thực tiễn, có nhu cầu tối ưu hóa hiệu hoạt động Chẳng hạn, cực đại hóa lợi nhuận thu cơng ty đơn vị hao phí lao động, cực tiểu chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm làm ra, cực đại lượng chất dinh dưỡng thu số tiền bỏ mua thực phẩm, v.v Hiện nay, nguồn tài nguyên thiên nhiên có hạn nên việc sử dụng tiêu chuẩn cụ thể ngày trở nên phổ biến Vì thể ứng dụng qui hoạch phân tuyến tính giải tốn thực tế tối ưu hóa hiệu hoạt động hữu ích qui hoạch tuyến tính Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu trình bày kết có Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ tốn qui hoạch phân tuyến tính, mở rộng trực tiếp tốn qui hoạch tuyến tính Đặc biệt tính chất đặc thù đáng ý phương pháp quen thuộc giải tốn qui hoạch phân tuyến tính Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương với tiêu đề "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số kiến thức tập lồi (tập lồi da diện), hàm lồi (hàm lõm), hàm lồi mở rộng tính chất cực trị hàm Các kiến thức dùng đến xét toán tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính, với ràng buộc tuyến tính Chương với tiêu đề "Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính" đề cập tới tốn qui hoạch phân tuyến tính, tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm phân thức tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính) với ràng buộc (đẳng thức hay bất đẳng thức) tuyến tính Hàm phân thức có tính chất đơn điệu (tăng giảm) theo phương cực trị địa phương ln cực trị tồn cục Từ cực trị hàm phân thức đa diện lồi ln đạt đỉnh Phần đầu nêu nội dung ý nghĩa thực tiến toán, dạng hay gặp toán nêu mối liên hệ toán qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Cuối chương, xét tính chất nghiệm tốn hai biến số Chương với tiêu đề "Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến tính" đề cập tới phương pháp tiêu biểu giải tốn qui hoạch phân tuyến tính Khi tập ràng buộc toán tập đa diện lồi (tập lồi đa diện bị chặn), thuật toán Charnes Cooper (1962) đưa giải toán quy hoạch tuyến tính tương đương Tiếp thuật tốn Gilmore Gomory (1960), chuyển từ đỉnh tới đỉnh đa diện đạt tới đỉnh tối ưu thuật toán Dinketbach (1962) dựa qui hoạch tham số Cuối chương, xét thuật tốn kiểu đơn hình Béla Martos (1960) Do thời gian kiến thức cịn hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hồn thiện luận văn Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức sở tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi (hàm lõm) mở rộng, tính chất cực trị hàm Các kiến thức cần đến xét toán tối ưu với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính) với ràng buộc tuyến tính Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [4] [5] 1.1 Tập lồi tập lồi đa diện Tập lồi khái niệm quan trọng dùng rộng rãi tối ưu hóa Tập lồi có nhiều tính chất đáng ý, đặc biệt tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1 Tập C Rn gọi tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Nói cách khác, tập C lồi λa + (1 − λ)b ∈ C với a, b ∈ C ≤ λ ≤ Nói riêng tập rỗng, tập gồm phần tử tồn khơng gian Rn tập lồi Ví dụ 1.1 Các tập sau tập lồi: a) Tập afin, tức tập hợp chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng, tức tập có dạng H = {x ∈ Rn : aT x = α, a ∈ Rn \{0}, với α ∈ R} c) Các nửa khơng gian đóng H1 = {x ∈ Rn : aT x ≤ α}, H2 = {x ∈ Rn : aT x ≥ α} d) Các nửa không gian mở K1 = {x ∈ Rn : aT x < α}, K2 = {x ∈ Rn : aT x > α} e) Hình cầu đóng B(a,r)={x ∈ Rn : x − a ≤ r}, (a ∈ Rn với r > cho trước) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi (nhưng hợp không đúng!) b) Tổng hai tập lồi hiệu hai tập lồi tập lồi c) Nếu C ⊂ Rm , D ⊂ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm+n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi) d) Tập M tập afin M = a + L với a ∈ M L không gian con, gọi không gian song song với M, hay tương đương: M tập afin M tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính, tức có biểu diễn M = {x ∈ Rn : Ax = b, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm } Giao tập afin tập afin Định nghĩa 1.2 a) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, λ1 + λ2 + λk = 1, gọi tổ hợp lồi điểm a1 , a2 , , ak b) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λ1 + λ2 + λk = 1, gọi tổ hợp afin điểm a1 , a2 , , ak c) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, gọi tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a1 , a2 , , ak Định nghĩa 1.3 Cho E tập Rn a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, kí hiệu affE Đó tập afin nhỏ chứa E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu convE Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.4 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, ký hiệu dimM , thứ nguyên (số chiều) không gian song song với Quy ước dimφ = −1 b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dimC , thứ nguyên hay số chiều bao afin affC Một tập lồi C Rn gọi có thứ nguyên đầy đủ dimC = n Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản hay gặp lý thuyết tối ưu tuyến tính Định nghĩa 1.5 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện (polyhedral convex set) Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, , m Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ nghĩa tập x ∈ Rn nghiệm Ax ≤ b với A = (aij ) ∈ Rm×n , b = (b1 , , bm )T Nhận xét 1.1 Do phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính tập lồi đa diện: ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi , i = 1, 2, , p, ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≤ bi , i = p + 1, , m, Một tập lồi đa diện khơng bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi (polytope) Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường R2 ví dụ cụ thể đa diện lồi Cho D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}, tức D tập nghiệm không âm hệ phương trình tuyến tính Theo định nghĩa, D tập lồi đa diện Tập không chứa trọn đường thẳng (do x ≥ 0) nên D có đỉnh Các phương cực biên (đã chuẩn hóa) D nghiệm sở hệ Ay = 0, eT y = 1, y ≥ e = (1, , 1)T Ta có định lý biểu diễn sau đây, hay dùng chứng minh Định lý 1.1 Mỗi điểm tập lồi đa diện D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} biểu diễn dạng tổ hợp lồi tập hữu hạn đỉnh D cộng với tổ hợp tuyến tính khơng âm tập hữu hạn phương cực biên D Ví dụ 1.2 Ví dụ nhằm minh họa cho cách biểu diễn điểm thuộc tập lồi đa diện dạng tổ hợp lồi tập hữu hạn đỉnh cộng với tổ hợp tuyến tính khơng âm tập hữu hạn phương cực biên chuẩn hóa, chứng minh Định lý 1.1 Cho tập lồi đa diện: D = {x ∈ R2 : x1 + x2 ≥ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}, vẽ Hình 1.1 Từ hình vẽ ta thấy Hình 1.1: Minh họa định lý biểu diễn Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Các đỉnh D gồm có u1 = (2, 0)T u2 = (0, 2)T Các cạnh vô hạn D : (x1 ≥ 2, x2 = 0) (x1 = 0, x2 ≥ 2) Các phương cực biên D gồm có v = (1, 0)T v = (0, 1)T Với ví dụ này, Định lý 1.1 nói điểm x ∈ D viết dạng: x = α1 + α2 + β1 + β2 , α1 + α2 = 1, α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, β1 ≥ 0, β2 ≥ Chẳng hạn, x = (1, 3)T có biểu diễn với α1 = 0, α2 = 1, β1 = β2 = α1 = α2 = 0, 5, β1 = 0, β2 = tổ hợp lồi hai biểu diễn 1.2 Hàm lồi, hàm lõm mở rộng Định nghĩa 1.6 a) Hàm f : S → [−∞, +∞] xác định tập lồi S ⊆ Rn gọi hàm lồi S với x1 , x2 ∈ S số thực λ ∈ [0, 1] ta có f [λx1 + (1 − λ)x2 ] ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) vế phải xác định, nghĩa hệ thức cần thỏa mãn trừ f (x1 ) = −f (x2 ) = ±∞ (vì biểu thức +∞; −∞ khơng có nghĩa) b) Hàm f gọi hàm lồi chặt S với x1 , x2 ∈ S , x1 = x2 số thực λ ∈ (0, 1) ta có f [λx1 + (1 − λ)x2 ] < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) Hiển nhiên, hàm lồi chặt hàm lồi, điều ngược lại không Định nghĩa 1.7 a) Hàm f gọi hàm lõm (hàm lõm chặt) S −f hàm lồi (hàm lồi chặt) S b) Hàm f gọi hàm tuyến tính afin (hay đơn giản hàm afin) S f hữu hạn vừa lồi, vừa lõm S Một hàm afin Rn có dạng f (x) = aT x + α với a ∈ Rn , α ∈ R với x1 , x2 ∈ Rn λ ∈ [0, 1] ta có f [λx1 + (1 − λ)x2 ] = λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) Hàm tuyến tính trường hợp riêng hàm afin, α = Tuy nhiên, hàm afin (nói riêng, hàm tuyến tính) khơng lồi chặt hay lõm chặt Số hóa trung tâm học liệu 3.2 http://lrc.tnu.edu.vn/ Thuật tốn Gilmore Gomory Xét toán qui hoạch phân tuyến tính (LF P ) pT x + α min{f (x) = T : Ax = b, x ≥ 0} q x+β (3.3) p, q, x ∈ Rn (các vectơ cột n thành phần), b ∈ Rm (vectơ cột m thành phần), A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n) α, β ∈ R Ký hiệu S = {x : Ax = b, x ≥ 0} tập ràng buộc toán (LFP) Giả thiết S = ∅ bị chặn q(x) = q T x + β = với x ∈ S Thuật tốn gồm bước sau Bước • Trước tiên, tìm đỉnh x1 ∈ S Phân hoạch A = (B, N ) Đặt k = • Lập bảng đơn hình ứng với x1 Tính • Đặt T B f (x) = ∂f (x) , (Aj ∈ B), ∂xj f (x) = ( T N f (x) = ∂f (x) T ) , (j = 1, , n) ∂xj ∂f (x) , (Aj ∈ N ) ∂xj Bước • Tính • Nếu N N = N f (x k T ) − B f (x ) B −1 N k T ≥ xk lời giải tối ưu: dừng thuật tốn • Trái lại, chuyển sang Bước Bước • Tìm s = min{ j : j < với Aj ∈ N } • Xác định biến sở (xB )r để loại khỏi sở theo tỉ số nhỏ nhất: zr0 zi0 = { : zis > 0} zrs 1≤i≤m zis Bước • Đưa biến xs vào sở thay cho biến (xB )r (ký hiệu xk ) loại khỏi sở • Giả sử nhận đỉnh xk+1 với sở (B\{Ak }) ∩ {As } • Biến đổi bảng đơn hình theo phần tử quay zrs • Đặt k ← k + quay trở lại Bước để tiếp tục thuật tốn 31 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ 3.3 (xem[4], tr.71) Giải qui hoạch phân tuyến tính f (x) = −2x1 + x2 + → x1 + 3x2 + với điều kiện −x1 + x2 ≤ 4, x2 ≤ 2x1 + x2 ≤ 14, x1 ≥ 0, x2 ≥ Lời giải: Hình 3.1: Ví dụ 3.3 Tập ràng buộc S tốn vẽ Hình 3.1 x = (0, 0)T đỉnh S Bước Thêm biến bù x3 , x4 , x5 ≥ để đưa ràng buộc đẳng thức Ta nhận lời giải sở x1 = (0, 0, 0, 4, 6, 14)T Biến sở x3 , x4 , x5 Biến phi sở x1 , x2 Đặt k = Tính đạo hàm riêng hàm mục tiêu theo biến: ∂f (x) −2(x1 + 3x2 + 4) − (−2x1 + x2 + 2) −7x2 − 10 = = ∂x1 (x1 + 3x2 + 4)2 (x1 + 3x2 + 4)2 ∂f (x) (x1 + 3x2 + 4) − 3(−2x1 + x2 + 2) 7x1 − = = ∂x2 (x1 + 3x2 + 4)2 (x1 + 3x2 + 4)2 ∂f (x) = 0, với j = 3, 4, ∂xj 32 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Bảng 3.1 Bảng đơn hình tương ứng với x1 Các tính tốn Vịng lặp 1: Ta thấy pT x1 + α = q T x1 + β = Từ f (x1 )T = Ta thấy Tính B −5 −1 , , 0, 0, ⇒ B f (x1 )T = (0, 0, 0), 8 = ( , , ) = (0, 0, 0), N T N f (x ) =( −5 −1 , ) 8 − B f (xk )T B −1 N −1 −5 −1 −5 −1 =( , ) − (0, 0, 0) × = ( , ) 8 8 =( 1, 2) = k T N f (x ) ≤ nên x1 = (0, 0, 0, 4, 6, 14)T chưa tối ưu −5 Tìm s = min{ , } = = < ⇒ biến x1 đưa vào sở zi0 14 min{ : zis > 0} = min{ , , } ⇒ biến x5 bị loại khỏi sở zis −1 Biến đổi Bảng 3.1 theo qui tắc đơn hình ta nhận đỉnh (lời giải sở) x2 = (7, 0, 11, 6, 0)T Biến sở : x3 , x4 , x1 Biến phi sở x2 , x5 N Bảng 3.2 Bảng đơn hình tương ứng với x2 33 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Các tính tốn Vịng lặp 2: Ta thấy pT x2 + α = −12 q T x2 + β = 11 Từ −10 47 −10 f (x2 )T = , , 0, 0, ⇒ B f (x2 )T = (0, 0, ), 121 121 121 47 −10 T , 0) Ta thấy B = ( , , ) = (0, 0, ), N f (x ) = ( 121 121 Tính N − B f (xk )T B −1 N   2 47 −10 52 =( , 0) − (0, 0, ) × 1 0 = ( , ) 1 121 121 121 121 =( 2, 5) = k T N f (x ) N ≥ : Dừng thuật toán Lời giải tối ưu: x1 = 7, x2 = 0, fmin = 3.3 −12 ≈ −1, 091 11 Thuật toán Dinkelbach Cách tiếp cận tham số W.Dinkelbach đề xuất năm 1962 chiến thuật tổng quát hay dùng toán qui hoạch phân thức (không thiết phân thức tuyến tính) Với qui hoạch phân tuyến tính, phương pháp qui việc giải toán ban đầu giải dãy tốn qui hoạch tuyến tính Xét tốn qui hoạch phân tuyến tính (LF P ) min{ p(x) pT x + α = T : Ax ≤ b, x ≥ 0} q(x) q x+β (3.4) Kí hiệu S = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} Giả thiết mẫu số q(x) > với x ∈ S Xét hàm F (λ) = min{p(x) − λq(x)}, λ ∈ R Định lý sau sở cho thuật x∈S toán Dinkelbach Định lý 3.2 x∗ lời giải tối ưu toán qui hoạch phân tuyến tính (LFP) F (λ∗ ) = min{p(x) − λ∗ q(x)} = 0, x∈S p(x∗ ) λ = q(x∗ ) ∗ Chứng minh: Nếu x∗ lời giải tối ưu toán (LFP) p(x∗ ) p(x) λ = ≤ , ∀x ∈ S q(x∗ ) q(x) ∗ 34 (3.5) Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Do giả thiết q(x) > với x ∈ S nên điều cho thấy p(x∗ ) − λ∗ q(x∗ ) = p(x) − λ∗ q(x) ≥ 0, ∀x ∈ S Suy x∗ đạt cực tiểu p(x) − λ∗ q(x) S, tức p(x∗ ) F (λ ) = min{p(x) − λ q(x)} = 0, với λ = x∈S q(x∗ ) ∗ ∗ ∗ Ngược lại, x∗ lời giải tối ưu (3.5) p(x) − λ∗ q(x) ≥ p(x∗ ) − λ∗ q(x∗ ), ∀x ∈ S Từ cho thấy p(x∗ ) p(x) λ = ≤ , ∀x ∈ S q(x∗ ) q(x) ∗ Điều chứng tỏ x∗ lời giải tối ưu toán (LFP) Định lý cách tìm lời giải tối ưu tốn qui hoạch phân thức (LFP) Thật vậy, giả thiết q(x) > với x ∈ S nên ∂F (λ) ≤ −q(x) < 0, ∀x ∈ S ∂λ Điều cho thấy hàm F (λ) thực giảm λ tăng Thuật toán Dinkelbach gồm bước: p(x0 ) Bước Chọn x ∈ S , tính λ1 = đặt k = q(x0 ) Bước Giải qui hoạch tuyến tính tìm xk = arg min{p(x) − λk q(x)} x∈S ∗ k Bước Nếu F (λk ) = x = x lời giải tối ưu : dừng thuật toán p(xk ) Bước Đặt λk+1 = đặt k ← k + 1; Trở lại Bước q(xk ) Ví dụ 3.4 Để minh họa thuật toán, ta giải lại toán xét Ví dụ 3.1 f (x) = p(x) x1 − 2x2 + = → q(x) 2x1 + x2 + với điều kiện −x1 + 2x2 ≤ 8, x1 + x2 ≤ 10, x1 − x2 ≤ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 35 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Hình 3.2: Ví dụ 3.4 Tập ràng buộc S tốn vẽ Hình 3.2 (đa giác đỉnh) Bước Do x = (0, 0)T ∈ S nên ta chọn x0 = (0, 0)T làm điểm xuất phát cho thuật toán nhận λ1 = p(x0 ) = = q(x0 ) Bước Lập hàm mục tiêu p(x) − λ1 q(x) = p(x) − 2q(x) = −3x1 − 4x2 Cực tiểu hàm tập S đạt x1 = (4, 6)T F (λ1 ) = −36 Bước Do F (λ1 ) = nên x1 chưa tối ưu Bước Tính p(x1 ) × − × + −2 λ2 = = = q(x1 ) 2×4+1×6+1 Đặt k := k + = quay trở lại Bước Bước Lập hàm mục tiêu p(x) − λ2 q(x) = p(x) + q(x) 2 12 = (1 + × 2)x1 + (−2 + × 1)x2 + (2 + × 1) = x1 − x2 + 5 5 5 Cực tiểu hàm tập S đạt x2 = (0, 4)T F (λ2 ) = −4 Bước Do F (λ2 ) = nên x2 chưa tối ưu Bước Tính p(x2 ) × − × + −6 λ3 = = = q(x2 ) 2×0+1×4+1 36 Số hóa trung tâm học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ Đặt k := k + = quay trở lại Bước Bước Lập hàm mục tiêu p(x) − λ2 q(x) = p(x) + q(x) 6 17 16 = (1 + × 2)x1 + (−2 + × 1)x2 + (2 + × 1) = x1 − x2 + 5 5 5 T Cực tiểu hàm tập ràng buộc S đạt x = (0, 4) F (λ3 ) = Bước Do F (λ3 ) = nên x∗ = x3 = (0, 4)T lời giải tối ưu Từ đó, lời giải tối ưu tốn (LFP) x∗ = (0, 4)T với giá trị mục p(x∗ ) tiêu nhỏ = −1, q(x∗ ) Với tốn tìm max ta có kết tương tự (thay max (3.5)) Ví dụ 3.5 (xem[3], tr.60) Tìm lời giải tối ưu tốn f (x) = p(x) x1 + x2 + = → max q(x) 3x1 + 2x2 + 15 với điều kiện 3x1 + 1x2 ≤ 6, 3x1 + 4x2 ≤ 12, x1 ≥ 0, x2 ≥ Bước Do x = (0, 0)T thỏa mãn ràng buộc tốn nên ta chọn x0 = (0, 0)T làm điểm xuất phát cho thuật toán ta nhận p(x0 ) λ1 = = = q(x0 ) 15 Bước Lập hàm mục tiêu 1 p(x) − λ1 q(x) = p(x) − q(x) = x2 3 Cực đại hàm tập ràng buộc S đạt x1 = (0, 3)T F (λ1 ) = Bước Do F (λ1 ) = nên x1 chưa tối ưu Bước Tính p(x1 ) 1×3+5 λ2 = = = q(x1 ) × + 15 21 Đặt k := k + = quay trở lại Bước Bước Lập hàm mục tiêu p(x) − λ2 q(x) = p(x) − 37 q(x) 21 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 8 5 × 3)x1 + (1 − × 2)x2 + (5 − × 15) = − x1 − x2 − 21 21 21 21 Cực đại hàm tập ràng buộc cho đạt x2 = (0, 3)T F (λ2 ) = Bước Do F (λ2 ) = nên x∗ = x2 = (0, 3)T lời giải tối ưu Từ đó, lời giải tối ưu toán (LFP) x∗ = (0, 3)T với giá trị mục p(x∗ ) tiêu lớn = q(x∗ ) 21 = (1 − 3.4 3.4.1 Thuật toán Béla Martos Tiêu chuẩn tối ưu Xét qui hoạch phân tuyến tính dạng tắc (LF P ) p(x) pT x + α min{f (x) = = T : Ax = b, x ≥ 0} q(x) q x+β (3.6) p, q ∈ Rn , A ∈ Rm×n , b ∈ Rm với m ≤ n rank(A) = m Giả thiết b ≥ q(x) > với x ∈ S = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} Giả sử x = (x1 , x2 , , xn )T phương án cực biên (lời giải sở) không p(x) suy biến toán (LFP) với giá trị hàm mục tiêu f (x) = với q(x) sở B = (Ai1 , Ai2 , , Aim ) Ký hiệu J = {i1 , i2 , , im } - tập số biến sở, pB = (pi1 , pi2 , , pim )T - vectơ hệ số biến sở tử số hàm mục tiêu, qB = (qi1 , qi2 , , qim )T vectơ hệ số biến sở mẫu số hàm mục tiêu Khi đó, rank(B) = m tồn B −1 Tính xB = (xi1 , xi2 , , xim )T = B −1 b - vectơ giá trị biến sở (xj = 0, ∀j ∈ J) Zk = B −1 Ak , k = {1, 2, n}\J - vectơ hệ số khai triển Ak theo sở B k = (z1k pi1 + z2k pi2 + + zmk pim ) − pk , k = {1, 2, n}\J, ( k = 0, ∀k ∈ J) k = (z1k qi1 + z2k qi2 + + zmk qim ) − qk , k = {1, 2, n}\J, ( k = 0, ∀k ∈ J) k (x) = k − f (x) k , k = {1, 2, n}\J, ( k (x) = 0, ∀k ∈ J) Định lý sau nêu tiêu chuẩn để phương án cực biên tối ưu Định lý 3.3 Tiêu chuẩn tối ưu (xem Định lý 4.4 [3], tr.82) Phương án cực biên không suy biến x = (x1 , x2 , , xn )T tốn qui hoạch phân tuyến 38 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ tính (LF P ) phương án (cực biên) tối ưu k = 1, 2, , n k (x) ≤ với Định lý sau cho biết dấu hiệu nhận biết tốn có lời giải tối ưu vô cực (tiệm cận) Định lý 3.4 (Dấu hiệu tốn có lời giải tối ưu vơ cực) Nếu phương án cực biên x tồn số k ∈ J cho k (x) > zik ≤ 0, ∀i ∈ J tốn (LF P ) cho có lời giải tối ưu vơ cực (inf x∈S f (x) hữu hạn hay −∞) 3.4.2 Các bước thuật toán Thuật toán Béla Martos vận dụng mở rộng thuật tốn đơn hình Dantzig cho tốn qui hoạch phân tuyến tính Thuật toán phương án cực biên (lời giải sở) tùy ý toán mà đỉnh tập ràng buộc S Tiếp đó, kiểm tra xem phương án có phải phương án tối ưu hay chưa, cách so sánh giá trị hàm mục tiêu đỉnh với giá trị hàm mục tiêu đỉnh kề với Nếu dừng q trình tính tốn Trái lại, tìm phương án cực biên tốt (với giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn) mà đỉnh kề với đỉnh trước Q trình lặp lại tìm đỉnh tối ưu phát tốn có lời giải tối ưu tiệm cận cạnh vô hạn S (đi theo cạnh giá trị hàm mục tiêu giảm dần tới cận hữu hạn vô hạn) Thuật tốn Béla Martos giải qui hoạch phân tuyến tính dựa lập biến đổi bảng đơn hình (mở rộng) gồm bước sau: Bước Tìm phương án cực biên ban đầu x0 với sở J0 B = {Aj , j ∈ J0 } gồm m vectơ cột độc lập tuyến tính A Đặt pB = {pj : j ∈ J0 }, qB = {qj : j ∈ J0 } Tính vectơ biến sở xB = B −1 b, khai triển Zk = B −1 Ak , ước lượng k = (pB )T Zk − pk , k = (qB )T Zk − qk k (x) = k − f (x) k với k = 1, 2, , n Lập bảng đơn hình 39 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Bảng 3.3 Bảng đơn hình mở rộng Bước (Kiểm tra tối ưu) Nếu k (x) ≤ với k ∈ J0 x0 phương án tối ưu (Định lý 3.3): dừng thuật toán Trái lại, chuyển bước Bước 2.(Kiểm tra toán khơng có lời giải tối ưu hữu hạn) Nếu có k ∈ J0 cho k (x) > zik ≤ 0, ∀i ∈ J0 tốn khơng có lời giải tối ưu hữu hạn (Định lý 3.4): dừng tính tốn Trái lại, chuyển sang bước Bước (Tìm vectơ đưa vào sở) Đưa vào sở vectơ As (s ∈ J0 ) cho s (x) = max{ k (x) : k ∈ J0 } > Bước (Tìm véctơ đưa khỏi sở) Loại khỏi sở véctơ thứ r sở B cho zr0 zi0 = min{ : zis > 0, i = 1, , m} = θ zrs zis Bước (Lập phương án cực biên mới) Xây dựng phương án x1 với  xj − θzjs , j ∈ J0 , xj = 0, j ∈ J0 , j = s, (3.7)  θ, j ∈ J0 , j = s Tập số sở J1 = (J0 \{ir })∪{s} Tính hệ số khai triển theo  zrk   ,i = r zjk = zrs (3.8) zrk  zik − ( )zis , i = r zrs 40 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Với i = 1, 2, , m; k = 1, 2, , n Lưu ý p(x), q(x), k , k (∀k = s) biến đổi theo qui tắc đơn hình: zr0 zr0 p(x) ← p(x) − × s , q(x) ← q(x) − × s zrs zrs zrk × s , (k = 1, 2, , n, k = s), s ← k ← k − zrs zrk × s , (k = 1, 2, , n, k = s), s ← k ← k − zrs p(x) Sau tính f (x) = , k (x) = k −f (x)× k với k = 1, 2, , n q(x) Trở lại thực Bước tiếp tục thuật toán nhận lời giải tối ưu (Bước 1) phát tốn khơng có lời giải tối ưu hữu hạn (Bước 2) dừng trình giải Định lý sau khẳng định tính hữu hạn thuật toán Béla Martos Định lý 3.5 Nếu toán qui hoạch phân tuyến tính có phương án phương án cực biên tốn khơng suy biến thuật tốn Béla Martos cho phương án tối ưu (hữu hạn hay vô cực) sau số hữu hạn lần thay đổi phương án cực biên Ví dụ 3.6 Giải qui hoạch phân tuyến tính sau theo phương pháp Béla Martos f (x) = −x1 + 2x2 − → x1 + x2 + với điều kiện x1 − 6x2 ≤ 1, x1 − x2 ≤ 6, −x1 + 2x2 ≤ 6, x1 ≥ 0, x2 ≥ Tập ràng buộc S tốn vẽ Hình 3.3 x = (0, 0)T đỉnh S 41 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Hình 3.3: Ví dụ 3.6 Bước Thêm biến bù x3 , x4 , x5 ≥ để đưa ràng buộc dạng đẳng thức Ta nhận lời giải sở x1 = (0, 0, 1, 6, 6)T Biến sở: x3 , x4 , x5 Biến phi sở: x1 , x2 Đặt k = Lập bảng đơn hình ban đầu (bảng 3.1) Vịng lặp k = Có (x) = 0, 75 > nên phương án x1 chưa tối ưu Đưa A1 vào sở thay cho A3 Biến đổi bảng đơn hình ta nhận phương án cực biên x2 = (1, 0, 0, 5, 7)T bảng đơn hình (Bảng 3.2) Vịng lặp k = Có (x) = 1, > nên phương án x2 chưa tối ưu Đưa A2 vào sở thay cho A4 Biến đổi bảng đơn hình ta nhận phương án cực biên x3 = (7, 1, 0, 0, 11)T bảng đơn hình (Bảng 3.3) Vịng lặp k = Mọi k (x) ≥ (k = 1, 2, 3, 4, 5) nên x3 = (7, 1, 0, 0, 12)T phương án tối ưu Vậy lời giải tối ưu toán x∗ = (7, 1)T với fmin = −0, Bảng 3.4 Bảng đơn hình ban đầu 42 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Bảng 3.5 Bảng đơn hình Bảng 3.6 Bảng đơn hình tối ưu Tóm lại, chương trình bày số thuật tốn chính, hay sử dụng qui hoạch phân tuyến tính Đáng ý thuật toán Charnes Cooper (1962) đưa qui hoạch tuyến tính, thuật tốn Gilmore Gomory (1963) di chuyển từ đỉnh tới đỉnh đa diện lồi đạt tới đỉnh tối ưu, thuật toán Dinkelbach (1962) dựa qui hoạch tham số cuối thuật tốn kiểu đơn hình Béla Martos (1960) Các thuật tốn trình bày với đầy đủ sở lý thuyết, bước tính tốn cụ thể nhiều ví dụ minh họa 43 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới toán qui hoạch phân tuyến tính, tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tỉ số hai hàm tuyến tính với ràng buộc tuyến tính Qui hoạch phân tuyến tính mở rộng trực tiếp qui hoạch tuyến tính cơng cụ hữu ích lập kế hoạch sản xuất, tài dịch vụ y tế, thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng Luận văn trình bày nội dung sau: Một số kiến thức cần thiết tập lồi tập lồi đa diện, hàm lồi (hàm lõm), hàm lồi mở rộng (tựa lồi, giả lồi ) tính chất hàm Nội dung ý nghĩa thực tiễn toán qui hoạch phân tuyến tính Hàm phân thức có tính chất đơn điệu (tăng giảm) theo phương cực trị địa phương ln cực trị tồn cục Từ cực trị hàm phân tuyến tính đa diện lồi đạt đỉnh Nêu dạng hay gặp tốn nêu mối liên hệ với toán qui hoạch tuyến tính Tính chất nghiệm tốn có hai biến số Các phương pháp giải tốn qui hoạch phân tuyến tính Khi tập ràng buộc của toán đa diện lồi, thuật toán Charnes Cooper (1962) đưa giải toán qui hoạch tuyến tính tương đương, thuật tốn Gilmore Gomory (1963), chuyển từ đỉnh tới đỉnh đa diện ràng buộc đạt tới đỉnh tối ưu, thuật toán Dinkelbach (1962) dựa qui hoạch tham số cuối thuật tốn kiểu đơn hình Béla Martos (1960) Nêu nhiều ví dụ số minh họa thuật tốn Có thể xem luận văn bước tìm hiểu tốn qui hoạch phân tuyến tính, dạng toán qui hoạch phi tuyến gần với qui hoạch tuyến tính, lý thuyết lẫn thuật toán giải Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nội dung, ý nghĩa thực tiễn thuật toán giải nhiều toán tối ưu khác lý thuyết qui hoạch toán học tương lai 44 Số hóa trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu, Các phương pháp tối ưu hóa, NXB Giao thông Vận tải Hà Nội, 1998 [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 [3] E B Bajalinov, Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software Kluwer Academic Publishers 2003 [4] M S Bazara et al, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition A John Willey and Sons, Inc, Publication, 2006 [5] G B Dantzig, M N Thapa, Linear Programming: Theory and Extensionn Springer 2003 [6] H A Eiselt, C L Sandblom Linear Programming and its Applications Springer 2007 45 ... thức) tuyến tính Các tốn gọi toán qui hoạch phân tuyến tính Phần đầu trình bày nội dung ý nghĩa thực tiễn toán, dạng hay gặp toán nêu mối quan hệ toán qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến. .. cập tới toán qui hoạch phân tuyến tính, tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tỉ số hai hàm tuyến tính với ràng buộc tuyến tính Qui hoạch phân tuyến tính mở rộng trực tiếp qui hoạch tuyến tính cơng... án tối ưu y tốn qui hoạch tuyến tính vừa mơ tả x = phương án tối z ưu tốn qui hoạch phân tuyến tính ban đầu Như vậy, ta đưa tốn qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính có thêm biến thêm