Một phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI QUỐC ĐỘ MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành : TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Nội dung TT Trang Mở đầu 2 Chương 1: Bài tốn qui hoạch tuyến tính tốn qui hoạch phân tuyến tính 1.1Bài toán tối ưu tổng quát 4 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 1.3 Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 1.4 Một số mơ hình tốn thực tế đưa tốn quy hoạch tuyến tính phân tuyến tính 1.5 Một số khái niệm tính chất hàm gần lồi-gần lõm 8 Chương 2:Thuật toán nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính thuật tốn kiểu đơn hình giải tốn quy hoạch phân tuyến tính 17 2.1 Thuật tốn nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 17 10 2.2 Thuật tốn kiểu đơn hình giải tốn quy hoạch phân tuyến tính 20 11 Chương 3:Phương pháp nón xoay xấp xỉ giải tốn quy hoạch phân tuyến tính 28 12 3.0 Bổ trợ 28 13 3.1 Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 30 14 3.2.Khái niệm nón đơn hình tuyến tính, cạnh phương cạnh 32 15 3.3 Bảng lặp nón xoay giải tốn quy hoạch phân tuyến tính thuật toán PTT 47 16 3.4 Nhận xét độ phức tạp tính tốn thuật tốn nón xoay PTT kết luận 56 17 Tài liệu tham khảo 58 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mở đầu Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính tốn có ý nghĩa kinh tế Rất nhiều tốn thực tế cơng nghệ hóa chất, lý thuyết trị chơi, mạng vận tải, tốn cắt ngun vật liệu, định giá thành sản phẩm, …đều đưa tốn quy hoạch phân tuyến tính Như biết, hàm mục tiêu toán quy hoạch phân tuyến tính hàm đơn điệu theo đoạn thẳng, nửa đường thẳng đường thẳng nằm miền xác định Vì ta xây dựng thuật tốn kiểu đơn hình giải tốn quy hoạch phân tuyến tính Trong sách “Các phương pháp tối ưu hóa”([6]) đưa thuật tốn kiểu đơn hình giải tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính Luận văn xây dựng thuật tốn xấp xỉ giải tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Thuật tốn xây dựng dựa khái niệm nón xoay trình bày sách “quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” ([1]), gần giống với thuật tốn nón xoay tuyến tính (thuộc lược đồ xấp xỉ ngồi) giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn đề nghị, khác đỉnh nón xoay dịch chuyển thuật tốn nằm miền ràng buộc (thuộc lược đồ xấp xỉ trong) Cơ sở lý luận để xây dựng thuật toán dựa tính gần lồi-gần lõm hàm mục tiêu tốn quy hoạch phân tuyến tính Vì hai chương đầu luận văn đề cập đến khái niệm tính chất hàm gần lồi-gần lõm thuật tốn nón xoay tuyến tính giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Nội dung luận văn đề nghị thuật tốn giải tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Luận văn gồm chương: Chương trình bày toán quy hoạch tổng quát, khái niệm tập lồi, số mơ hình tốn thực tế đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn quy hoạch phân tuyến tính với số khái niệm tính chất hàm gần lồi-gần lõm mà hàm tuyến tính phân tuyến tính thuộc lớp hàm đăc biệt Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương trình bày thuật tốn nón xoay tuyến tính[1] giải trực tiếp tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn biết nón-min hàm mục tiêu toán thuật toán kiểu đơn hình giải tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính[6] Chương dựa khái niệm nón xoay xây dựng thuật toán xấp xỉ giải trực tiếp toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ví dụ số minh hoạ cho thuật toán Trong trường hợp đặc biệt mẫu số hàm mục tiêu toán đồng hàm mục tiêu tốn trở thành hàm tuyến tính thuật tốn đề nghị trở thành thuật toán giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng qt Thuật tốn nón xoay thuộc lược đồ xấp xỉ giải tốn quy hoạch phân tuyến tính biết điểm chấp nhận miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Nó xây dựng chi tiết, bước thuật tốn trình bày cho dễ dàng lập trình chuyển sang chương trình máy tính ngơn ngữ Pascal, C, Java, Luận văn hoàn thành dựa sách “Quy hoạch gần lồi - gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính” [2] “Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” [1] sách, tài liệu có phần tài liệu tham khảo Tác giả Bùi Quốc Độ Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 1.1Bài tốn tối ƣu tổng quát Bài toán tối ưu tổng quát phát biểu sau Cực đại hoá (cực tiểu hoá) hàm : f(x) với điều kiện gi x x X , , max ( ) (1.1) (1.2) bi , i 1, , m n (1.3) Bài toán (1.1 ) – (1.3) gọi quy hoạch, hàm f( ) gọi hàm mục tiêu, hàm gi x , i 1, , m gọi hàm ràng buộc, đẳng thức hệ (1.2) gọi ràng buộc Tập hợp : D x X / gi x , , bi , i 1, , m (1.4) Được gọi miền ràng buộc ( hay miền chấp nhận ) Mỗi điểm : x x1, x2 , , xn D gọi phương án ( hay lời giải chấp nhận ) Một phương án x* thể là: D đạt cực đại ( hay cực tiểu ) hàm mục tiêu, cụ f x* f x , x D ( toán Max ) f x* f x , x D ( toán Min ) Được gọi phương án tối ưu ( lời giải tối ưu ) Khi giá trị f x* gọi giá trị tối ưu toán 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bài tốn qui hoạch tuyến tính sau gọi tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát: n f ( x) C, x ci xi ( L) i x PL : x R n : Ai , x bi x  n , Ai véc tơ dòng Ai 0, i 1,2, , m  n , m n, Ai (ai1, ai2, , ain) ≠ O(0,…,0) , C(c1, c2, …, cn), bi  , i=1, 2, , m Hạng hệ Ai (i=1, 2, …, m) n, giả thiết bình thường miền ràng buộc PL tốn quy hoạch tuyến tính có ràng buộc dấu biến x Rõ ràng tốn quy hoạch tuyến tính dễ dàng đưa dạng để giải 1.3 Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phƣơng trình tuyến tính Bài toán quy hoạch sau gọi toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến: f ( x) ( P) x P: Trong L1 x A0 , x L1 ( x) L2 ( x) x  n : Ai , x b0 , L2 x C0, x bi 0, i 1,2, , m d , A0,Ai,C0, x  n , A0,Ai,C0 véc tơ dòng , m n,A0(a01, a02 , …, a0n), C0(c01, c02 , …, c0n), Ai (ai1, ai2, , ain) ≠ O(0,…,0) , bi  , i=1, 2, , m Hạng hệ Ai (i=1, 2, …, m) n, giả thiết bình thường miền ràng buộc P tốn quy hoạch phân tuyến tính có ràng buộc dấu biến x Rõ ràng tốn quy hoạch phân tuyến tính đưa dạng với vài giả thiết thông thường khác L2(x) ≠ miền xác định P 1.4 Một số mơ hình tốn thực tế đƣa tốn quy hoạch tuyến tính phân tuyến tính: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.4.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất Giả sử xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm sử dụng m loại nguyên liệu khác nhau, cj lãi suất (hay giá bán) đơn vị sản phẩm j (j =1,…, n), aij suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất đơn vị sản phẩm loại j, bi lượng dự trữ tài nguyên loại i (i = 1,…,m) Gọi xj lượng sản phẩm loại j (j = 1,…, n) mà xí nghiệp sản xuất Trong điều kiện cho, xác định giá trị x j (j = 1,…, n) cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) lớn với số tài ngun có Mơ hình tốn học có dạng tốn quy hoạch tuyến tính sau: n cjxj max j với điều kiện n ajxj bi 0, j 1, , n i 1, , m j xj 1.4.2 Bài toán túi Một người du lịch muốn đem theo túi đựng đồ vật nặng không b kilogam Có n loại đồ vật mà dự định đem theo Mỗi đồ vật loại j có khối lượng a j kilogam giá trị c j Người du lịch muốn chất vào túi đồ vật cho tổng giá trị đồ vật đem theo lớn Ký hiệu x j số đồ vật loại j chất vào túi Ta có tốn sau: n cjxj max j n ajxj b j xj Số hóa Trung tâm Học liệu 0, j 1, , n http://www.lrc-tnu.edu.vn/ x j - nguyên, j 1, , n Đây toán quy hoạch nguyên 1.4.3 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ƣu: Để mở rộng hoạt động, hãng hàng không dự định mua thuê K loại máy bay (B777, B767, A321, A330, A320, AT7, ) ta gọi tương ứng loại máy bay k (k=1, 2, …, K) máy bay loại k có giá mua (thuê) ck có thời gian sử dụng Tk năm Hãng đự định mua (thuê) tối đa N máy bay loại máy bay với số vốn đầu tư có V , Bài toán cần giải hãng hàng không nên mua máy bay loại để tổng thời gian sử dụng nhiều nhất? Ta gọi xk số lượng máy bay loại k cần mua, mơ hình tốn đặt là: K M Tk xk (1.5) max k Với ràng buộc: K xk N k K ck xk V k xk 0, k 1,2, , K , nguyên Đây toán quy hoạch nguyên 1.4.4 Bài toán định giá thành sản phẩm[6] Giả sử pj suất phương pháp Tj (j=1, 2, …, n) (tức số lượng sản phẩm sản xuất đơn vị thời gian), rj chi phí đơn vị thời gian phương pháp Tj , xj số đơn vị thời gian sản xuất theo phương pháp TJ giá thành đơn vị sản phẩm là: n c( x) j Số hóa Trung tâm Học liệu n cj xj / pj xj j http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bài toán đặt cực tiểu hàm c(x) với ràng buộc vật tư, lao động, kỹ thuật, vốn, … 1.4.5 Bài tốn vận tải phân tuyến tính Giả sử ta có m địa điểm phát hàng (kho hàng) Ai (i=1, 2, …, m), địa điểm phát hàng i cung cấp tối đa đơn vị hàng Và n địa điểm nhận hàng (nơi tiêu thụ) Bj (j=1, 2, …,n), địa điểm nhận hàng j cần phải nhận tối thiểu bj đơn vị hàng pij lợi nhuận thu vận chuyển đơn vị hàng từ Ai đến Bj dij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ Ai đến Bj p0 d0 lợi nhuận chi phí khác vận chuyển Gọi xij số lượng hàng cần vận chuyển từ Ai đến Bj tốn đặt là: m L1 ( x) L2 ( x) ( L) f ( x) n pij xij p0 i j m n dij xij d0 i j Với ràng buộc n xij , i 1.2, , m j m xij b j , j 1,2, , n i=1 xij 0, i 1,2, , m; j 1,2, , n 1.5 Một số khái niệm tính chất hàm gần lồi-gần lõm Trong mục nhắc lại số khái niệm tính chất lớp hàm có liên quan mật thiết với hàm tuyến tính phân tuyến tính Như biết hàm gần lồi liên tục (khơng thiết khả vi) cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối miền xác định nó, cịn hàm gần lõm có cực tiểu miền xác định miền xác định có điểm cực biên cực tiểu đạt đỉểm cực biên miền xác định Chính ta dựa khái niệm tính chất hàm gần lồi-gần lõm nhắc lại xây dựng thuật tốn kiểu đơn hình để giải tốn cực tiểu hàm gần lồi-gần lõm Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ miền ràng buộc thuyến tính ([1],[2]) Rõ ràng hàm tuyến tính phân tuyến tính thuộc lớp hàm gần lồi-gần lõm miền xác định Chính ta cải tiến thuật toán đề nghị [1] [2] để xây dựng thuật toán giải cho toán quy hoạch phân tuyến tính tuyến tính 1.5.1 Tập lồi đa diện Định nghĩa : Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện.Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính : , x bi , i 1, , m(a i  n ,bi nghĩa tập nghiệm Ax b với ) (1.4) ma trận cấp m*n b  m Vì phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính nên tập lồi đa diện tập nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính : , x , x bi , = 1,…, bi , i p 1, , m Hạng hệ bất phương tuyến tính (1.4) định nghĩa hạng ma trận A Nếu hạng hệ ta nói hệ độc lập tuyến tính Một tập lồi đa diện khơng bị chặn ( khơng giới nội ) Một tập lồi đa diện mà đồng thời nón lồi ( tương ứng với trường hợp b=0) gọi nón lồi đa diện.Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường  ví dụ cụ thể đa diện lồi Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi đỉnh Tập đỉnh C ký hiệu c Mỗi cạnh vô hạn tập lồi đa diện tương ứng với phương cực biên Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ J k (rk ) : {j J k : A j ,z krk 0}; J k0 (rk ) : {j J k : A j ,z krk =0}; J k (rk ) : {j J k : A j ,z krk >0}; Gọi sk số thuộc J k (rk ) thỏa mãn: sk rk min{ j rk A j , xk j rk : bj A j , zkrk ; j J k (rk )} (3.45) Nếu có nhiếu sk đạt tiêu chuẩn (3.45) ta chọn số nhỏ (hoặc số lớn nhất) chúng (ta gọi quy tắc chọn max) Xây dựng nón xoay M k số sở I k (Ik M k (rk , sk ) sinh từ nón Mk (xem mục 3.2.3) với tập {s k }) \{rk } , véc tơ phương zki zki z i k z i k xác định theo (3.35) i I k0 Ask , zki sk A ,z rk k zkrk i I ks , i zkrk sk rk A , zk i xk x M k ( rk ,sk ) r s xk sk rk zkrk bi zki i Ik 1 Quay lại bước k với k 0 , x P (P đa diện nằm đơn hình) D0 :={ x  n : x1 0, x2 0, x1 x2 } ), dễ thấy L2(x)>0, x P Ta có nón đơn hình chấp nhận toán  đỉnh gốc tọa độ x0 (0, 0) Số TT CS sở -5 -2 -4 10 -1 0 -1 -6 -12 1 -2 (2) 0 -4 Bc 0 -5 x -6 1 [4] -12 2 1 -2 -12 -1/2 Bc -29 x Đến bảng nón xoay này, sau bước lặp ta có ( 1 52 0; j -10 -25 10 -1/2 -6 -12 -4 52 -3/2 25/2 28 -29/28 0, j I1 : {3,2} 25 / ), phương án tối ưu toán xopt =( 0, 6) Vậy xuất phát từ x0(0,0) Sau bước lặp ta nhận lời giải toán Vậy phương án tối ưu toán Xopt (0, 6) Ví dụ 3.2.([6]) Giải tốn quy hoạch phân tuyến tính sau: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [2] x1 x2 x1 x2 35 f ( x) x1 x2 25 x1 x2 x1 x2 x3 x2 x4 14 xj x3 x4 21 0, j 1, 2,3, Từ ràng buộc đẳng thức ta dễ dàng biểu diễn biến x3 x4 qua x1 , x2 sau: x3 x1 x2 x4 x2 xj 0, j 1,2,3,4 x1 Qua biểu diễn trên, để giải toán gốc ta dễ dàng theo kết mục 3.0 chuyển tốn tương đương sau: x1 x2 x1 x2 35 f ( x) x1 x2 25 x1 x2 x1 x2 x1 xj x2 0, j 1, Ta dễ dàng kiểm tra thấy L2(x)>0 , x P (P đa diện nằm đơn hình D0 :={ x  n : x1 0, x2 0, x1 x2 } ) Từ ràng buộc thứ ta suy ra: x1 14; x2 x1 x2 20 x1 x2 35 15 tức ta có L2(x)>0, x P Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ta có nón đơn hình chấp nhận tốn  đỉnh gốc tọa độ x0 (0, 0) Số TT CS sở -7 -6 35 -2 -1 -1 0 -1 -25 -1 -7 -6 -7 1 -7 -1 (1) -6 0 Bc 0 -7 x [3] -25 -1 -7 1 -6 -7 1 -7 -1 -1 -25 -1/5 6/5 1/5 39/5 Bc -37 x Đến bảng nón xoay này, sau bước lặp ta có ( 716 / 0; j -2 -1 35 -25 -7 -224 308 -7/35 (5) -7 [5] -1 2/5 224/5 -7/5 716/5 25 -37/25 0, j I1 : {3,2} 224 / ), phương án tối ưu toán xopt =( 5, 0) , theo định lý 3.2 suy x3 x1 x2 x4 x1 x2 12 Vậy phương án tối ưu toán ban đầu Xopt (5, 0, 2, 12) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ví dụ 3.3 ([6]) Giải tốn quy hoạch phân tuyến tính sau: f ( x) x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x3 x1 xj 0, j 1,2,3 Ta dễ dàng kiểm tra thấy L2(x)>0 , x P (P đa diện nằm đơn hình D0 :={ x  n : x1 0, x2 0, x3 0, x1 x2 x3 } ) Ta có nón đơn hình chấp nhận tốn  đỉnh gốc tọa độ x0 ( 0, 0, 0) Số TT CS sở (2) Bc [5] Bc -1 0 -2 -4 0 x0 -2 -4 -4 x1 sau bước ta có -2 -1 0 1 0 1 0 j -1 -1 0 1 0 -1 -1 -1 -1 0 -1 0 0 0 0, j I1 : {1,5,3} ( -2 -1 -1 -1 -1 -5 1 4; 1; -1 -1 -1/2 -4 -1 (4) 15 -5/6 15 ) Vậy phương án tối ưu tốn xopt =( 0, 4, 0) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [1] Ví dụ 3.4 ([6]) Giải toán quy hoạch phân tuyến tính sau: f ( x) x1 x1 x2 x1 x3 x4 x5 x2 x3 3x4 x2 x3 x5 x1 x2 x3 x4 x5 14 x1 x3 x4 x5 xj 0, j 1,2,3,4,5 Từ ràng buộc đẳng thức ta dễ dàng biểu diễn biến x2 , x4 x5 qua x1 , x3 sau: x2 15 x1 x3 x4 15 x1 x3 x5 x1 x3 xj 0, j 1,2,3,4,5 Qua biểu diễn trên, để giải tốn gốc ta dễ dàng theo kết mục 3.0 chuyển tốn tương đương có số chiều sau: f ( x) x1 18 x3 67 x1 x3 15 3x1 x3 15 x1 x3 15 x1 x3 xj 0, j 1,3 Ta dễ dàng kiểm tra thấy L2(x)>0 , x P (P đa diện nằm đơn hình D0 :={ x  n : x1 0, x3 0, x1 x3 } ) Từ ràng buộc thứ ta suy ra: 3x1 15;5x3 15 x1 5; x3 Số hóa Trung tâm Học liệu x1 x3 15 tức ta có L2(x)>0, x P http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ta có nón đơn hình chấp nhận toán  đỉnh gốc tọa độ x0 (0, 0) Số TT CS sở Bc -67 15 0 -15 -15 -7 0 x0 -1 -1 1 0 18 -2 -1 5 1 Bảng nón xoay có 18 -67 j -1 -2 15 0, j I : {1,2} ( 136 -67/15 0; 136 ) Vậy phương án tối ưu toán xopt =( 0, 0) , theo định lý 3.2 suy x2 15 3x1 x3 15 x4 15 x1 x3 15 x5 x1 x3 xj 0, j 1,2,3,4,5 Vậy phương án tối ưu toán ban đầu Xopt (0, 15, 0, 15, 7) 3.4 Nhận xét độ phức tạp tính tốn thuật tốn nón xoay PTT kết luận Rõ ràng thuật toán PTT giải trực tiếp lớp tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính khơng cần đưa miền ràng buộc dạng hệ phương trình với biến có dấu khơng âm bớt khâu trung gian làm cho số chiều toán tăng lên tỏ hiệu áp dụng vào thực tế Đối với thuật tốn nón xoay PTT đề nghị luận văn này, giải cho lớp tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính qua nhiều ví dụ, thấy số bước lặp trung bình tốn có kích Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ thước cỡ mxn qua thống kê O(K.n) (1≤K≤ 1,5), n số chiều tốn, số phép tính tốn bước lặp O(nxn) Nếu toán quy hoạch phân tuyến tính có miền ràng buộc hệ bất phương trình muốn giải thuộc tốn kiểu đơn hình phải đưa hệ ràng buộc hệ phương trình tuyến tính với biến khơng âm số chiều tốn tăng lên đáng kể, kích thước tốn lúc tăng lên (m+n)xm số phép tính tốn bước m>>n O((m+n)xm) lớn O(nxn) nhiều Mặt khác toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ phương trình bất kỳ(cỡ m.n, m số ràng buộc chính, n số chiều tốn), đưa tốn quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình có số chiều nhỏ số biến phi sở n – m Do n-m