Bài toán vận tải phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRÀ GIANG BÀI TỐN VẬN TẢI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TRÀ GIANG BÀI TOÁN VẬN TẢI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU Nội dung BÀI TỐN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH 1.1 Bài tốn tính chất 1.2 Tìm phương án cực biên ban đầu 1.3 Tiêu chuẩn tối ưu 13 1.4 Phương pháp vị 17 1.5 Ví dụ minh họa 19 BÀI TỐN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU PHÂN TUYẾN TÍNH 25 2.1 Phát biểu toán 25 2.2 Phương pháp giải 28 2.3 Ví dụ minh họa 38 2.4 Bài toán đối ngẫu 45 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn vận tải quen thuộc lý thuyết qui hoạch tuyến tính Trong tốn hàm mục tiêu tuyến tính (nghĩa chi phí vận chuyển tỉ lệ thuận với lượng hàng vận chuyển) ràng buộc tốn có dạng đặc biệt Nhờ khai thác cấu trúc đặc biệt người ta đề phương pháp giải riêng hiệu hẳn so với việc áp dụng phương pháp đơn hình tổng qt vào tốn, đáng ý phương pháp vị, phương pháp qui không chọn, phương pháp thu hẹp tắc Có thể xét mở rộng toán vận tải theo nhiều hướng khác nhau, thay đổi điều kiện ràng buộc: vận tải khơng có cân cung cầu (cung vượt cầu cầu vượt cung), vận tải có trung chuyển, vận tải có hạn chế lực thơng qua, vận tải có vận chuyển ngược; thay đổi dạng hàm mục tiêu: vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính), vận tải với hàm mục tiêu lồi hay lõm, v.v Chẳng hạn, toán vận tải phân tuyến tính tìm phương án vận chuyển làm cực tiểu tỉ số chi phí vận chuyển hàng hố tổng lợi nhuận thu vận chuyển toàn số hàng Tuy hàm mục tiêu tốn phi tuyến, ràng buộc toán có cấu trúc tốn vận tải thơng thường, vận dụng phương pháp giải toán vận tải biết cho toán vận tải mở rộng Bài toán vận tải tuyến tính có dạng qui hoạch tuyến tính tắc, kiến thức qui hoạch tuyến tính tắc nói chung áp dụng vào tốn vận tải tuyến tính nói riêng Ràng buộc tốn vận tải tuyến tính phân tuyến tính có cấu trúc vận tải nên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn miền ràng buộc tốn có tính chất đặc biệt Có thể khâi thác tính chất để xây dựng thuật tốn giẩi riêng, hiệu Luận văn đề cập tới toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính phân tuyến tính: giới thiệu nội dung, mơ hình tính chất tốn; giới thiệu thuật tốn vị giải tốn vận tải tuyến tính dạng mở rộng để giải tốn vận tải phân tuyến tính Vấn đề đối ngẫu quan hệ đối ngẫu toán vận tải tuyến tính phân tuyến tính đề cập tới Nội dung luận văn chia thành hai chương Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính" trình bày nội dung tính chất tốn vận tải tuyến tính Tiếp đó, đề cập tới phương pháp "min cước" phương pháp "góc Tây - Bắc" để tìm phương án cực biên ban đầu toán Sau đó, trình bày sở lý luận nội dung thuật toán vị (một biến thể thuật toán đơn hình) giải hiệu tốn vận tải Cuối chương nêu ví dụ số để minh họa cho thuật toán giải Các kiến thức toán vận tải nói chung thuật tốn vị nói riêng cần đến chương sau, xét toán vận tải phân tuyến tính Chương với tiêu đề "Bài tốn vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính" đề cập tới mở rộng toán vận tải tuyến tính, cách thay hàm mục tiêu tuyến tính hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số hai hâm tuyến tính), hàm có tính chất đơn điệu theo phương Dựa vào cấu trúc đặc biệt toán, chương nêu điều kiện để phương án toán tối ưu nêu thuật toán vị mở rộng giải toán Thuật tốn có kèm theo ví dụ số để minh họa Cuối chương đề cập tới toán đối ngẫu tốn vận tải phân tuyến tính nêu quan hệ đối ngẫu hai toán gốc đối ngẫu, tương tự lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn đề cập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tới nội dung tốn vận tải phân tuyến tính, chưa sâu vào chi tiết thực thi thuật toán Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học-Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Người thực Nguyễn Trà Giang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI VỚI HÀM MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chương xét tốn vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính (chi phí vận chuyển tỉ lệ thuận với lượng hàng vận chuyển), dạng tốn qui hoạch tuyến tính đơn giản áp dụng rộng rãi thực tiễn Mục 1.1 giới thiệu mơ hình tốn tính chất Mục 1.2 nêu phương pháp cước phương pháp góc Tây-Bắc tìm phương án cực biên ban đầu toán Điều kiện tối ưu đưa Mục 1.3 thuật toán vị sở lý luận thuật tốn trình bày Mục 1.4 Ví dụ số xây dựng Mục 1.5 Nội dung chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1] , [2] [4] 1.1 Bài tốn tính chất Mơ hình tốn học tốn vận tải có dạng sau: m n cij xij → (cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) i=1 j=1 với điều kiện: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) n xij = , i = 1, 2, , m (mọi điểm phát giao hết hàng) (1.2) xij = bj , j = 1, 2, , n (mọi điểm thu nhận đủ hàng) (1.3) j=1 m i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n (lượng hàng vận chuyển không âm) (1.4) Ở m kho hàng (điểm phát), n nơi tiêu thụ hàng (điểm thu) lượng hàng có (cung) điểm phát i (i=1,2, ,m) bj lượng hàng cần (cầu) điểm thu j (j=1,2, ,n) cij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j xij biểu thị lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i đến điểm thu j Điều kiện cần đủ để toán (1.1) - (1.4) giải phải có điều kiện cân thu phát , nghĩa tổng cung tổng cầu: a1 + a2 + + am = b1 + b2 + + bn (1.5) Bài toán vận tải (1.1) - (1.4) dạng đặc biệt qui hoạch tuyến tính Để thấy rõ điều ta xếp biến số theo thứ tự x11 , x12 , , x1n , x21 , x22 , , x2n , , xm1 , xm2 , , xmn viết lại hệ ràng buộc (1.2) - (1.3) dạng hệ m + n phương trình m × n biến số xij sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x11 + x12 + + x1n    x21 + x22 + + x2n      xm1 + xm2 + + xmn x11 + x21 + xm1    x12 + x22 + xm2      x1n + x2n + xmn = a1 , = a2 , = am , = b1 , = b2 , = bn Ký hiệu A ma trận hệ số hệ phương trình (gồm m + n hàng m × n cột) x = (x11 , x12 , , x1n , x21 , x22 , , x2n , , xm1 , xm2 , , xmn )T véctơ cột m × n thành phần, c = (c11 , c12 , , c1n , c21 , c22 , , c2n , , cm1 , cm2 , , cmn )T véc tơ cột m × n thành phần, b = (a1 , a2 , , am , b1 , b2 , , bn )T véctơ cột vế phải (m + n thành phần) Bài toán vận tải (1.1) - (1.4) viết lại thành tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc: f = < c, x > → min, Ax = b, x ≥ Ta gọi Aij véctơ cột ma trận A ứng với biến xij Dễ thấy véctơ có hai thành phần dịng thứ i dòng thứ m + j, thành phần khác Véctơ x thỏa mãn (1.2) - (1.4) gọi phương án toán vận tải Một phương án đạt cực tiểu (1.1) gọi phương án tối ưu hay lời giải Phương án x phương án cực biên véctơ cột Aij ma trận A ứng với xij > độc lập tuyến tính.Sau ta giả thiết có điều kiện cân thu phát (1.5) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do toán vận tải có m+n ràng buộc chính, nên ta nghĩ phương án cực biên có m+n thành phần dương, thực tế có nhiều m+n-1 thành phần dương, số ràng buộc có ràng buộc thừa (có thể bỏ mà không làm ảnh hưởng tới lời giải toán) Một phương án cực biên toán gọi không suy biến số phần tử tập hợp G = {(i, j) : xij > 0} m+n-1, gọi suy biến |G| < m+n-1 Để cho gọn, ta ghi lại liệu toán dạng bảng chữ nhật, gọi bảng vận tải (Bảng 1.1) Bảng gồm m hàng (i = 1, 2, , m) n cột (j = 1, 2, , n) Chỗ giao hàng i, cột j ký hiệu ô (i,j) Mỗi hàng tương ứng với trạm phát, cột tương ứng với trạm thu Số ghi đầu hàng lượng cung, số ghi đầu cột lượng cầu Chi phí vận chuyển cij ghi góc bên trái ô (i,j), lượng hàng vận chuyển xij ghi góc bên phải Ô (i,j) biểu thị tuyến đường vận chuyển từ trạm phát i đến trạm thu j Đặt cij = ∞ chuyển hàng từ i đến j Bảng 1.1 Bảng vận tải Thu b1 ··· bj ··· bn Phat a1 c11 ··· ··· cin xij ··· cm1 x1n ··· cij xi1 c1n x1j ··· ci1 am ··· x11 ··· c1j ··· Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ··· cmj xm1 xin ··· xmj cmn xmn http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Biểu thức cho thấy ràng sau thực bước lặp đơn hình ta nhận nghiệm sở x(θ) suy biến, số biến sở xf1 q1 (θ), xf2 q2 (θ), , xfh qh (θ) có giá trị khơng Giả sử nghiệm sở có x suy biến Trong tình xảy trường hợp ta nhận chu trình có chứa giá trị khơng đánh dấu ’-’ Nói cách khác , có nghĩa có số (i0 j0 ) ∈ JB− cho xi0 j0 = Do đó, theo cơng thức (2.20) có θ = khơng có thay đổi giá trị hàm mục tiêu Rõ ràng, trường hợp để tránh đgặp xoay vịng xảy ta áp dụng quy tắc đặc biệt chọn biến đưa vào phương pháp đơn hình tổng quát Phương án sở ban đầu toán vận tải phân tuyến tính tìm làm tốn vận tải thơng thường 2.3 Ví dụ minh họa Trong phần này, ta minh họa phương pháp đơn hình vận tải nêu Xét tốn vận tải cân phân tuyến tính sau: P (x) = Q(x ) = D(x) pij xij + p0 i=1 j=1 → max (2.21) dij xij + d0 i=1 j=1 với điều kiện x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 150 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 250 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 200  x11 + x21 + x31 ≥ 150   x12 + x22 + x32 ≥ 250 x13 + x23 + x33 ≥ 50  x + x + x ≥ 150  14 24 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.22) (2.23) 39 xij ≥ 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, (2.24) với điều kiện p0 = 100, d0 = 120, hệ số pij dij cho bảng Áp dụng phương pháp cực đại lợi nhuận (thay cho cước) ta thu nghiệm chấp nhận ban đầu ghi bảng 2.4 Bảng 2.4 Nghiệm sở ban đầu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 có chứa hàng x12 = 150, x22 = 100, x24 = 150, x31 = 150, x33 = 50 Nó nghiệm chấp nhận khơng nghiệm sở, khơng chứa đủ m + n - = + - = ô mà Trong trường hợp ta đưa vào sở biến sở bất kì, chẳng hạn x11 = Vì nghiệm cho Bảng 2.4 nghiệm suy biến với tập ô chọn JB = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} Với nghiệm chấp nhận ta tính giá trị hàm mục tiêu P (x) = 6700, D(x) = 6870, Q(x) = 6700/6870(≈ 0, 975255) Bây ta sử dụng nghiệm sở công thức (2.14) - (2.15) để thiết lập hệ phương trình tuyến tính sau  u1 + v1 = 10    u1 + v2 = 14     u2 + v2 = 12 u2 + v4 =     u3 + v1 =    u3 + v3 = 15 u1 + v1 u1 + v2 u2 + v2 u2 + v4 u3 + v1 u3 + v3 = 15 = 12 = = 12 = 13 = 12         (2.25) (2.26)        Đặt u1 = u1 = (2.25) (2.26) giải hệ phương trình ta thu giá trị ẩn số lại u1 = 0, u2 = −2, u3 = −1, v1 = 10, v2 = 14, v3 = 16, v4 = 10, u1 = 0, u2 = −6, u3 = −2, v1 = 15, v2 = 12, v3 = 14, v4 = 18, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Ta sử dụng biến để tính ước lượng ∆ij ∆ij (xem (2.16)) biến phi sở JN = {(1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (4, 2), (4, 4)} ∆13 ∆14 ∆21 ∆23 ∆32 ∆34 = u1 + v3 − p13 = u1 + v4 − p14 = u2 + v1 − p21 = u2 + v3 − p23 = u3 + v2 − p32 = u3 + v4 − p34 = + 16 − = = + 10 − 12 = −2 = −2 + 10 − = = −2 + 16 − 14 = = −1 + 14 − = = −1 + 10 − = ∆13 ∆14 ∆21 ∆23 ∆32 ∆34 = u1 + v3 = u1 + v4 = u2 + v1 = u2 + v3 = u3 + v2 = u3 + v4 − d13 − d14 − d21 − d23 − d32 − d34 = + 14 − 16 = −2 = + 18 − = 10 = −6 + 15 − 10 = −1 = −6 + 14 − 13 = −5 = −2 + 12 − 15 = −5 = −2 + 18 − 10 = Tiếp đó, với giá trị biến phi sở ∆ij , ∆ij sử dụng công thức (2.17) ta xác định ∆ij (x) biến chi phí sở 653 ∆13 (x) = ∆13 − Q(x)∆13 = 687 ∆14 (x) = ∆14 − Q(x)∆14 = −11 517 687 ∆21 (x) = ∆21 − Q(x)∆21 = 670 687 602 687 ∆23 (x) = ∆23 − Q(x)∆23 = ∆32 (x) = ∆32 − Q(x)∆32 = 11 602 687 195 687 Do tất giá trị ∆ij (x) không âm, nên theo tiêu ∆34 (x) = ∆34 − Q(x)∆34 = −5 chuẩn tối ưu (Định lý 2.4) điều có nghĩa nghiệm sở x chưa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 phải nghiệm tối ưu Bởi ta cần chọn biến phi sở xij có ∆ij (x) âm đưa biến vào sở Giả sử, biến xij Tiếp theo, ta đưa lượng hàng θ (lúc θ chưa xác định) vào (1,4) lập chu trình để tìm giá trị θ Kết thao tác ghi Bảng 2.5 Bảng 2.5 Nghiệm chấp nhận thứ Với chu trình thu được, ta xác định giá trị θ sau θ = min{x12 , x24 } = min{150, 150} = 150 Chú ý biểu thức ta thấy có hai cho giá trị nhỏ θ, (1,2) (2,4) Điều có nghĩa biến x12 , x24 bị loại khỏi sở biến lại giữ lại sở với giá trị không, suy biến Giả sử ta chọn biến x24 để đưa khỏi sở biến x12 chọn giữ lại sở Khi tập hợp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 chọn JB = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}, tập hợp ô loại JN = {(1, 3), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} Sau biến đổi bảng, ta thu Bảng 2.6 Bảng chứa nghiệm sở chấp nhận Bảng 2.6 Nghiệm chấp nhận thứ hai x11 = 0, x12 = 0, x14 = 150, x22 = 250, x31 = 150, x33 = 50 với giá trị mục tiêu P (x) = 7000, D(x) = 5370, Q(x) = 7000/5370 (≈ 1.303538) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Tiếp đó, với sở ta xây dựng hai hệ phương trình u1 + v1 u1 + v2 u1 + v4 u2 + v2 u3 + v1 u3 + v3 = 10 = 14 = 12 = 12 = = 15 u1 + v1 u1 + v2 u1 + v4 u2 + v2 u3 + v1 u3 + v3 = 15 = 12 = = = 13 = 15 giải hệ phương trình ta thu u1 = 0, u2 = −2, u3 = −1, v1 = 10, v2 = 14, v3 = 16, v4 = 12, u1 = 0, u2 = −6, u3 = −2, v1 = 15, v2 = 12, v3 = 14, v4 = 8, cho phép ta tính lại ước lượng ∆ij , ∆ij ∆ij (x) sau ∆13 ∆21 ∆23 ∆24 ∆32 ∆34 ∆13 ∆21 ∆23 ∆24 ∆32 ∆34 = u1 + v3 − p13 = u2 + v1 − p21 = u2 + v3 − p23 = u2 + v4 − p24 = u3 + v2 − p32 = u3 + v4 − p34 = u1 + v3 = u2 + v1 = u2 + v3 = u2 + v4 = u3 + v2 = u3 + v4 − d13 − d21 − d23 − d24 − d32 − d34 = + 16 − = = −2 + 10 − = = −2 + 16 − 14 = = −2 + 12 − = = −1 + 14 − = = −1 + 12 − = = + 14 − 16 = −2 = −6 + 15 − 10 = −1 = −6 + 14 − 13 = −5 = −6 + − 12 = −10 = −2 + 12 − 15 = −5 = −2 + − 10 = −4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 cuối ∆13 (x) = ∆13 − Q(x)∆13 = 10 326 537 ∆21 (x) = ∆21 − Q(x)∆21 = 163 537 ∆23 (x) = ∆23 − Q(x)∆23 = 278 537 ∆24 (x) = ∆24 − Q(x)∆24 = 15 19 537 ∆32 (x) = ∆32 − Q(x)∆32 = 13 278 537 115 537 nên nghiệm sở chấp nhận có ∆34 (x) = ∆34 − Q(x)∆34 = Do ∆ij (x) ≥ 0, (ij) ∈ JN nghiệm tối ưu 2.4 Bài tốn đối ngẫu Mục đích phần trình bày vài kết thuyết đối ngẫu áp dụng vào tốn vận tải phân tuyến tính Xét tốn vận tải phân tuyến tính sau: m P (x) Q(x) = = D(x) n pij xij + p0 i=1 j=1 m n → max (2.27) dij xij + d0 i=1 j=1 với ràng buộc n xij ≤ bi , i = 1, 2, , m, (2.28) xij ≤ aj , j = 1, 2, , n, (2.29) j=1 m i=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 xij ≥ 0, i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n, (2.30) Như thông lệ, ta giả thiết D(x) > 0, ∀x = (xij ) ∈ S , với S miền chấp nhận xác định ràng buộc (2.28) -(2.30) Bài toán đối ngẫu tốn vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) thiết lập sau ψ(y) = y0 → (2.31) với ràng buộc m d0 y0 − n aj vj ≥ p0 bi ui + i=1 (2.32) j=1 dij y0 + ui − vj ≥ pij ui ≥ 0, i = 1, 2, , m, (2.33) j = 1, 2, , n (2.34) dây y véctơ với n + m + thành phần y0 , u1 , u2 , , um , v1 , v2 , , Do toán vận tải phân tuyến tính trường hợp đặc biệt tốn quy hoạch phân tuyến tính, nên mệnh đề thuyết đối ngẫu qui hoạch phân tuyến tính áp dụng cho tốn vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) Ở nên số kết Định lý 2.5 (Định lý đối ngẫu yếu) Nếu x nghiệm sở chấp nhận tốn vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) y nghiệm toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) Q(x) ≥ ψ(y) Bổ đề 2.1 Nếu x∗ nghiệm sở chấp nhận tốn vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) y ∗ nghiệm chấp nhận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) có đẳng thức Q(x∗ ) = ψ(y ∗ ) x∗ y ∗ nghiệm tối ưu toán (2.27) - (2.30) (2.31) - (2.34) Bổ đề sau liên kết quan trọng tính giải toán gốc toán đối ngẫu Bổ đề 2.2 Nếu hàm mục tiêu ψ(y) tốn đối ngẫu (2.31) - (2.34) khơng bị chặn miền chấp nhận tốn vận tải gốc (2.27) - (2.34) khơng có lời giải, miền chấp nhận tập rỗng Rõ ràng, bổ đề trường hợp tổng cầu vượt tổng cung, tức n m bj > j=1 i=1 Định lý 2.6 (Định lý đối ngẫu mạnh) Nếu toán vận tải phân tuyến tính gốc (2.27) - (2.30) giải x∗ nghiệm tối ưu tốn đối ngẫu (2.31) - (2.34) giải với nghiệm tối ưu y ∗ toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) ta có (x∗ ) = ψ(y ∗ ) (2.35) Ngược lại, toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) giải y ∗ nghiệm tối ưu tốn vận tải phân tuyến tính gốc (2.27) - (2.30) giải với nghiệm tối ưu x∗ ta có đẳng thức (2.36) Giả sử x∗ nghiệm tối ưu tốn vận tải phân tuyến tính gốc (2.27) - (2.30) y ∗ nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (2.31) - (2.34) Chọn hai số ≤ r ≤ m ≤ k ≤ n thay lượng cung ar , lượng cầu bk toán vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30) sau ar → ar = ar + δ, bk → bk = bk + δ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.36) 48 với δ đủ nhỏ Giả sử x nghiệm tối ưu toán vận tải phân tuyến tính biến đổi (thay lượng cung ar lượng cầu bk ) Định lý sau cho thấy vai trò quan trọng biến đối ngẫu y0 , u1 , u2 , , um v1 , v2 , , phân tích độ nhạy Định lý 2.7 Nếu x∗ nghiệm tối ưu toán vận tải phân tuyến tính (2.27) - (2.30), y ∗ nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (2.31) - (2.34), x nghiệm tối ưu toán vận tải phân tuyến tính biến đổi (với lượng cung ar lượng cầu bk ), δ đủ nhỏ, ta có đẳng thức sau Q(x ) = y0∗ δ(u∗r − vk∗ ) + D(x ) (2.37) Chú ý ta xác định thành phần nghiệm tối ưu x sau: • Nếu xrk biến sở nghiệm tối ưu x∗ cần tăng xrk thêm δ • Nếu xrk biến phi sở nghiệm tối ưu x∗ ta cần tìm chu trình chứa rk vài sở Sau ta theo chu trình luân phiên tăng giảm biến sở chu trình lượng δ Để minh họa cho công thức (2.38) ta xét lại tốn vận tải phân tuyến tính cân (2.21) - (2.24) cho ví dụ minh họa Mục 2.3 Nghiệm tối ưu toán ∗ x = 0 150 250 0 150 50 với P (x∗ ) = 7000; D(x∗ ) = 5370 Q(x∗ ) = 1.30353818 Giải toán đối ngẫu φ(y) = y0 → Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.38) http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 với ràng buộc 15y0 + u1 − v1 ≥ 10 12y0 + u1 − v2 ≥ 14 16y0 + u1 − v3 ≥ 8y0 + u1 − v4 ≥ 12    10y0 + u2 − v1 ≥ 6y0 + u2 − v2 ≥ 12 13y0 + u2 − v3 ≥ 14 12y0 + u2 − v4 ≥    13y0 + u3 − v1 15y0 + u3 − v2 12y0 + u3 − v3 10y0 + u3 − v4    ui ≥ 0, i = 1, 2, 3, ≥ ≥ ≥ 15 ≥ i=1 (2.39) i=2 (2.40) i=3 (2.41) j = 1, 2, 3, (2.42)       vj ≥ 0, ta nghiệm tối ưu y0∗ = 1.303538, u∗1 = 1.571695, u∗2 = 4.178771, u∗3 = 0, v1∗ = 7.945996, v2∗ = 0, v3∗ = 0.642458, v4∗ = 0, (2.43) Nghiệm cho phép ta dự đoán thay đổi giá trị tối ưu hàm mục tiêu Q(x), số thay đổi xảy với véctơ cung a = (150, 250, 200)T véctơ cầu b = (150, 250, 50, 150)T Chẳng hạn, ta tăng lượng cung a1 = 150 lượng cầu b4 = 150 thêm δ = đơn vị, ta có nghiệm tối ưu x = 0 150 + δ 250 0 150 50 D(x ) = 5378 Do đó, theo công thức (2.38) với nghiệm tối ưu x ta có u∗1 − v4∗ 1.571695 − Q(x ) = Q(x ) + = 1.30353818 + = 1.303830425 D(x ) 5378 ∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Kết thúc bàn luận tốn vận tải phân tuyến tính ta ý tất kết nêu dễ dàng áp dụng vào trường hợp tốn vận tải tuyến tính Để có cơng thức mệnh đề tương ứng cho trường hợp tuyến tính ta cần ghi nhớ điều dij = 0, i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n, d0 = Tóm lại, chương xét tốn vận tải phân tuyến tính khác toán vận tải xét Chương hàm mục tiêu phi tuyến (tổng số hai hàm mục tiêu) Nhiều tính chất nghiệm tốn vận tải cịn cho tốn vận tải phân tuyến tính Thuật tốn giải tốn vận tải phân tuyến tính dựa thuật tốn vị biết Bài toán đối ngẫu quan hệ đối ngẫu thuật toán vị biết Bài toán đối ngẫu quan hệ đối ngẫu nêu cuối chương có nhiều điểm giống với lý thuyết đối ngẫu quy hoạch tuyến tính Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Kết luận Bài toán vận tải dạng tốn qui hoạch tuyến tính đơn giản nhất, quen thuộc lý thuyết tối ưu hoá toán ứng dụng rộng rãi thực tiễn Bài tốn vận tải có nhiều dạng mở rộng khác nhau: thay đổi điều kiện ràng buộc thay đổi dạng hàm mục tiêu toán Luận văn tập trung ý vào dạng mở rộng toán vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính (tỉ số hai hàm tuyến tính), hàm có tính chất đơn điệu theo phương, nghĩa cực tiểu hàm đoạn thẳng đạt hai đầu mút đoạn thẳng đó, nhờ cho phép sử dụng thuật tốn kiểu đơn hình để giải tốn Luận văn trình bày nội dung cụ thể sau: Mơ hình tính chất tốn vận tải tuyến tính, quan hệ đối ngẫu, tiêu chuẩn tối ưu nghiệm thuật toán vị giải tốn Mơ hình tốn vận tải phân tuyến tính, nêu tính chất toán, đưa điều kiện tối ưu nghiệm tốn trình bày thuật tốn giải tốn, dựa mở rộng thuật toán vị quen thuộc Có thể xem luận văn bước tìm hiểu tốn vận tải tuyến tính phân tuyến tính nói chung, thuật tốn vị giải tốn vận tải (tuyến tính phân tuyến tính) nói riêng Tác giả luận văn hy vọng có địp tìm hiểu sâu nội dung, thuật toán giải ý nghĩa thực tế nhiều toán tối ưu khác lý thuyết qui hoạch tốn học tương lai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu Lý thuyết thuật toán, Nxb Bách Khoa, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [3] E B Bajalinov (2003), Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software, Kluwer Academic Publishers, 245 - 278 [4] S Gass (1994), Linear Programming, International Editions [5] R J Vanderbei (2008), Linearr Programming - Foundations and Extensions 3rd edition Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... vận tải phân tuyến tính Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải với hàm mục tiêu phân tuyến tính" đề cập tới mở rộng tốn vận tải tuyến tính, cách thay hàm mục tiêu tuyến tính hàm mục tiêu phân tuyến. .. hình tính chất toán; giới thiệu thuật toán vị giải tốn vận tải tuyến tính dạng mở rộng để giải tốn vận tải phân tuyến tính Vấn đề đối ngẫu quan hệ đối ngẫu tốn vận tải tuyến tính phân tuyến tính. .. trúc tốn vận tải thơng thường, vận dụng phương pháp giải tốn vận tải biết cho toán vận tải mở rộng Bài tốn vận tải tuyến tính có dạng qui hoạch tuyến tính tắc, kiến thức qui hoạch tuyến tính tắc